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数学物理方法答案_梁昆淼编_(第四版)

数学物理方法答案_梁昆淼编_(第四版)
数学物理方法答案_梁昆淼编_(第四版)

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题(一) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设cos z i =,则( ) A . Im 0z = B .Re z π= C .0z = D .argz π= 2.复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为( ) A .443(cos ,sin )55i ππ- B .443(cos ,sin )55i ππ- C .44 3(cos ,sin )55i ππ D .44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3.设C 为正向圆周|z|=1,则积分 ?c z dz ||等于( ) A .0 B .2πi C .2π D .-2π 4.设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ,则()f z 等于( ) A .1++z z e ze B .1-+z z e ze C .1-+-z z e ze D .1+-z z e ze 解答: 5.1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的( ) A . 3阶极点 B .4阶极点 C .5阶极点 D .6阶极点 6.下列映射中,把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为( ) A .4411z w z +=- B .44-11z w z =+ C .44z i w z i -=+ D .44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ) A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析,(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+,则(,)u x y = ( ) A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -

数学物理方法第八章作业答案

P 175 8.1在0x =的邻区域内,求解下列方程: (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解:依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -,2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点. 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑,则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑,2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有:202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有:311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有:42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有:533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有:64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有:755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有:866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学(2009—2010学年第一学期) 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ; 三角形式为:)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?). 4. 给出矢量场旋度的散度值,即=????f ? 0 . 5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线

于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分,共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数

《数学物理方法》各章节作业题

《数学物理方法》各章节作业题 要求:每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如,第一周星期四讲完第一章,则第二周 星期四上课时交第一章的作业,以此类推。 说明:若无特别标注,下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 (第三版的页码用红字标出,第四版的页码用蓝字标出) 希望:若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议,欢迎同学们及时指出和告知,不胜感激。(最好用E-mail:) 辅导答疑安排:待定 辅导答疑教师:刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题(2月23日交)

第5页(第三版)第6页(第四版): 第1题中(1),(2),(4),(6),(10); 第2题中(1),(2),(3),(7); 第3题中(2),(3),(7),(8); 第9页(第三版)第8页(第四版): 第2题中(1),(3),(7),(9); 第3题。 “第二章复变函数的导数”作业题(2月27日交) 第13页(第三版)第12页(第四版):习题; 第18页(第三版)第16页(第四版): 第1题; 第2题中(2),(3),(4),(8),(10),(11); 第23页(第三版)第20页(第四版): 第1题 第3题。 “第三章复变函数的积分”作业题(3月6日交) 第38页(第三版)第31页(第四版): 第1题,第2题; 补充题1:有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ,线电荷密度为λ,求此平面场的复势,并说明积分

?-l z dz α的物理意义。 补充题2:计算()?-l n z dz α,n为正整数,且n≠+1。 “第四章 复数级数”作业题(3月16日交) 第46页(第三版) 第37页(第四版):第3题,第4题; 第52页(第三版) 第41页(第四版):(1),(3),(4),(8); 第60页(第三版) 第47页(第四版): (1),(2),(4),(5),(9),(11),(15); 第64页(第三版) 第50页(第四版):习题。 “第五章 留数定理”作业题(3月23日交) 第71页(第三版) 第55页(第四版): 第1题中(1),(2),(3),(5),(9),(10); 第2题中(1),(4); 第3题; 第81页(第三版) 第63页(第四版): 第1题中(4),(5),(7),(8); 第2题中(4),(6); 第3题中(1),(2),(7),(8)。 第二部分 积分变换

第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼

第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =)固定的弦,用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ,然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__,__唯一性__,__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =)固定的弦,用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ,然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =)固定的弦,用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ,然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =)固定的弦,用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ,然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =)固定的弦,用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ,然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =)固定的弦,用手在离弦左端四分之一

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题 1.研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的,则该端的边界条件为 __。 2.研究细杆的热传导,若细杆的0=x 端保持绝热,则该端的边界条件为 。 3.弹性杆原长为l ,一端固定,另一端被拉离平衡位置b 而静止,放手任其振动,将其平衡位置选在x 轴上,则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4.一根长为l 的均匀弦,两端0x =和x l =固定,弦中力为0T 。在x h =点,以横向力0F 拉弦,达到稳定后放手任其振动,该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+; B 2 t xx u a u f =+; C 2t xx u a u =; D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题,则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个; B 2个; C 3个; D 4个。 7.“一根长为l 两端固定的弦,用手把它的中 点朝横向拨开距离h ,(如图〈1〉所示)然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A .?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B .???? ?====00 t t t u h u C .h u t ==0 D .???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8.“线密度为ρ,长为l 的均匀弦,两端固定,开始时静止,后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。 1u x ?=?,0v y ?=?, u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明:令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或:()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。 证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??, 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上

数学物理方法第二篇第4章

第四章 分离变量法、本征函数法 在讨论有界区域具有齐次边界条件的数学物理问题时可寻求变量分离形式的解,这就是分离变量法. §2.4.1一维有界区域齐次方程齐次边界条件 混合问题的分离变量法 以弦的横振动为例,设弦长为l ,两端固定的一维自由振动的混合问题是 ?? ? ??≤≤==≥==>≤≤=) 0(),()0,(),()0,()0(, 0),(,0),0()0,0(),,(),(2l x x x u x x u t t l u t u t l x t x u a t x u t xx tt ψ? 由于边界条件是齐次的,因此设问题有变量分离形式的解: )()(),(t T x X t x u =, 这里X (x )与变量t 无关,T (t )与变量x 无关,将它代入方程,分离变量得到 ) ()() ()(2 x X x X t T a t T ''= '', 这是一个恒等式,左边仅是t 的函数,右边仅是x 的函数,而x ,t 是两个无关的独立变量,所以这个等式只能是常数,记为λ-,于是有 λ -=''= '') ()() ()(2 x X x X t T a t T , 从而得到两个常微分方程:

)()(,0)()(2 =+''=+''x X x X t T a t T λλ, 对齐次边界条件也有, )()(, 0)0()0(==t T l X T X , 由于求非零解,所以0)(≠t T ,只有,0)(,0)0(==l X X ,由此就得 到关于X (x )的施斗姆-刘维尔本征值问题: ?? ?===+''0 )(,0)0(0)()(l X X x X x X λ, (1)0<λ不是本征值. (2)0=λ,得B Ax x X +=)(,A ,B 为待定常数,由0)0(=X 得B =0, 由0)(=l X 得Al =0,0≠l ,所以A =0,表明0=λ也不是本征值. (3)当0>λ时,方程的通解为 x D x C x X λλs i n c o s )(+= 由0)0(=X 得C=0;由0)(=l X 得关于λ的方程 0sin =l D λ 由于求问题的非零解,所以0≠D .只有0sin =l λ,从而得到问题 的可列个本征值: ,...) 3,2,1(,== n l n n πλ 即 ,...) 3,2,1(,)( 2 ==n l n n πλ 对应的本征函数(把非零常数D 省去)有

数学物理方法 课程教学大纲

数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 (一)课程名称:数学物理方法 所属专业:物理、应用物理专业 课程性质:数学、物理学 学分:5 (二)课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法,主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等,适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础,其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务,是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用,往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲,因为同样的方程有同样的解,掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入,更本质。 (三)先修课程要求,与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础,为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备,也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 (四)教材:《数学物理方法》杨孔庆编 参考书:1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数

第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace(拉普拉斯)算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert(希尔伯特)空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy(柯西)积分定理 第三节Cauchy(柯西)积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开

【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类?如何判别?(6分) 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数. 2) () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分)

数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式(8分) 三角形式:()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式:由三角形式得: 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解: 奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

(整理)数学物理方法

《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明: 本课程是物理学专业的一门重要基础课程,它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是:(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法;(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法,以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题,以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材: 必读书:《数学物理方法》,梁昆淼编,高等教育出版社,1998年6月第3版。 参考书:《数学物理方法》,汪德新编,科学出版社,2006年8月第3版;《数学物理方法》,赵蕙芬、陆全康编,高等教育出版社,2003年8月第2版。 三、考试要点: 第一章复变函数 (一)考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 (二)考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念,并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系,并能从已知调和函数u或v,求解析函数iv 第二章复变函数的积分 (一)考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 (二)考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理,并能用它们来计算复变函数的积分。

2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 (一)考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 (二)考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 (一)考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 (二)考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 (一)考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 (二)考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题

数学物理方法作业习题第二篇第4章

习 题 1. 解具有固定端的弦0≤x ≤l 的自由振动问题,如果弦的点的初始速度为零,而初始位移)()0,(x x u ?=: (1) 正弦曲线,即l x n A x π?sin )(=,n 为整数; (2) 对称轴在直线l x 21= 上的抛物线,而顶点是点),2(h l M ,即2)2()(l x h x --=?,这里24 1 l h =; (3) 折线OAB ,其中l c l B h c A O <<0),0,(),,(),0,0(,讨论2 l c =的 情况. 2. 解具有固定端的弦0≤x ≤l 的自由振动问题,如果弦的初始状态处于静止 )0)((=x ?,而初始速度)(x ψ为 (1) ],0[,const )(l x C x ∈==ψ; (2) ?? ?∈∈=] ,[,0] ,[,)(0βαβαψx x v x , 其中0≤βα<≤l ; (3) ?? ??? +-∈+-∈-=],[,0] ,[,2)(cos )(00000ααααα πψx x x x x x x x A x , 其中 0≤αα+<-00x x ≤l . 3. 解均匀杆的纵振动(自由振动)问题,如果)()0,(x x u ?=,)()0,(x x u t ψ=,而端点: (1)杆的一端0=x 是刚性固定,而另一端l x =是自由的; (2) 杆的两端是自由的; (3) 杆的一端0=x 是自由的,而另一端l x =为弹性固定. 4. 解杆的自由纵振动,如果杆的一端0=x 是刚性固定的,而力P 施于另一端

l x =,在时刻0=t 时力P 停止作用,即解定解问题: ? ?? ? ??? ======0)0,(,)0,(0 ,0),0(2x u x E x u u t u u a u t l x x xx tt σρ 这里σ为杆的横截面积,E 为杨氏模量. 5. 求解可变电流流过长度为l 的导线中的电流强度),(t x i ,如果没有漏电,且可以忽略电阻,假定在导线中(当0=t 时)初始电流等于零,而初始电压为l x E 2sin 0π,导线的左端)0(=x 是绝缘的,而右端)(l x =是接地的. 提示:问题归结为混合问题: ??? ? ??? -=========l x lL E i i i i i LCi t t t l x x x xx tt 2cos 2,00,00000ππ 6. 解沿边缘固定的矩形薄膜)0, 0(b y a x <<<<的自由振动问题,如果 b y a x A u t ππsin sin =,00 ==t t u . 7. 解混合问题 ?? ?? ???======<<<<+=======y x u y x u u u u u y x u u a u t t t y y x x yy xx tt 4sin 3sin 5,2sin sin 30 )0,0(),(00 002π πππ 8. 求解沿边缘固定的半径为a 的均匀圆薄膜的自由振动问题: (1) 解混合问题

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程:()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1.计算: (1) i i i i 524321-+ -+ (2) y = (3) 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- (2) 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以:, 3.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明:所以:。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解: ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式,则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

第八章 分离变数法数学物理方法 梁昆淼

第八章 分离变数法 1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ,其中λ可为任意实数,试根据λ的可能取值求解方程,并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。 解:可分为三种情况讨论: 1) 0>λ ,解为x x e C e C x X λλ-+=21)(,由边界条件只能得到平庸解 0)(=x X , 显然没有意义。 ----------------(3分) 2) 0=λ,解为21)(C x C x X +=,代入边界条件得01=C ,于是 22,)(C C x X =为任意常数。 ----------------(2分) 3) 0<λ,解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得 ???=-=????=-+---=-.0sin ,0. 0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时,必有 01=C ,这和上两种情况一 样没有意义。 b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时, 1C 不必为 零,这种是有意义的情况。此时由 0sin =-l λ 得到本征值 λ:).,3,2,1(22 2 =-=?-=n l n n l πλλ π 综合2)和3)两种情况得本征值).,3,2,1,0(22 2 =-=n l n πλ 此时,本征解为.cos )(1x l n C x X π= ----------------(5分) 1. 2.已知复变量函数为解析函数,其实部满足

下面的条件, (1) 试给出所满足的数学物理定解问题; (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解,并利用它将或方向上的边界条件齐次化,然后求解 ; (3) 根据求出虚部。 3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==,其中λ可为任意实数,试根据λ的可能取值求解方程,并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分) 解:(1) 由题意,对于常微分方程: ()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0 X X π''== (2) 现在先求解X ,对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论: a) 0λ<,由(1)式的解是 12()x x X x C e C e λλ---=+ 积分常数1C ,2C ,由(2)决定,即 120C C -=,22120E E C e C e ππ----= 由此得出01=C , 02=C 而0)(≡x X 。无实际意义,即0λ<无可能性。(3分) b) 0λ=,式(1)的解是 21)(C x C x X += 则根据(2)式,有 10C =, 1(2)0X C π'== 即2C 为任意数 此时2()X x C ≡。(3分)

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。 1u x ?=?,0v y ?=?, u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明:令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或:()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。 证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??, 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上

【最新】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类?如何判别?(6分) 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数. 2) () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分)

数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式(8分) 三角形式:()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式:由三角形式得:3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解: 奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法习题2及答案

1. 计算221z dz z z --? 的值,Г为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单曲线。 解:我们知道,函数221z z z --在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的。由于Г是包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线,因此它也包含这两个奇点。在Г内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2,C1只包含奇点z=0,C2只包含奇点z=1。那么根据复合闭路定理得: 221z dz z z --? =22122121c c z z dz dz z z z z --+--?? 1122 111111c c c c dz dz dz dz z z z z =+++--???? =02204i i i πππ+++= 2. 求积分0 cos i z zdz ?的值。 解:函数cos z z 在圈平面内解析,容易求得它有一个原函数为sin cos z z z +.所以 00111cos [sin cos ]sin cos 1 1122 i i z zdz z z z i i i e e e e i e i ---=+=+--+=+-=-? 3..试沿区域i 1ln(1)Im()0,Re()0||1,1z z z z dz z +≥≥=+? 内的圆弧计算积分的值。 解:函数ln(1)1z z ++在所设区域内解析,它的一个原函数为21ln (1),2 z +所以 i 222112222ln(1)11ln (1)|[ln (1)ln 2]122 11ln 2ln 22243ln 2ln 2.3288 i z dz z i z i i πππ+=+=+-+????=+-?? ??????? =--+? 4.求下列积分(沿圆周正向)的值: 1)||41sin 2i z z dz z π=? ; 2)||4 12z 13z dz z =+-? (+); 解:由柯西积分公式得: ||4 1sin 2i z z dz z π=? =0sin |0z z ==; ||4||4 ||12221226z 1313z z z dz dz dz i i i z z z πππ==+=?+?=+-+-??? (+)= 5..求下列积分的值。其中C 为正向圆周:|z|=r>1. 1) 5cos (1)c z dz z π-? 2) 22.(1)z c e dz z +?

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