2016年宁波市五校联考数学试卷
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分， 考试时间120分钟． 参考公式：
球的表面积公式:S = 4πR 2
，
球的体积公式：V =3
4
πR 3 ，
其中R 表示球的半径；
柱体的体积公式: V =Sh 其中S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：V =31
Sh ，其中S 表示锥体的底面积， h 表示棱锥的高；
台体的体积公式:)2211(31
S S S S h V ++=其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台
的高．
一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)
1．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的 个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数1
()0
x D x x ?=?
?为有理数为无理数
，则( )
A ．(())1D D x =，0是()D x 的一个周期；
B ．(())1D D x =，1是()D x 的一个周期；
C ．(())0
D D x =，1是()D x 的一个周期； D ．(())0D D x =，()D x 的最小正周期不存在．
3．已知,a b
为单位向量，|||a b a b +=-
，则a 在a b + 的投影为( )
A ．13
B
． C ．
3 D
．3
4． 已知函数()y f x =，数列{}n a 的通项公式是()n a f n =，n N ∈,那么“函数()y f x = 在[1,)
+∞正视图
侧视图
俯视图
（第1题图）
第8题图
上单调递增”是“{}n a 数列是递增数列的( )
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件；
C ．充要条件；
D ．既不充分也不必要条件．
5．设整数,x y 满足约束条件，0
8540
x y x x y >??
>??+
，则231x y x +++取值范围是（ ）
A ．[2,6]
B ．[3,11]
C ．11
[,8]3
D ．[3,10] 6． 设1234,,,(0,
)2
x x x x π
∈，则( )
A ．在这四个数中至少存在两个数,x y ，满足1sin()2
x
y ->
； B ． 在这四个数中至少存在两个数,x y ，满足cos(
)x y -≥
； C ．在四个数中至多存在两个数,x y ，满足
tan()3x y -<
； D ．在这四个数中至多存在两个数,x y ，满足sin()3
x y -≥
7．过2
:8C y x =抛物线上一点(2,4)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率是（ ）
A ． 12-
B ．1-
C ． 2
3
- D ．2- 8．如图，在各棱长均为2的正三棱锥A BCD -中，平面α与 棱AB 、AD 、CD 、BC 分别相交于点E 、F 、G 、H ， 则四边形EFGH 的周长的最小值是( )
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．4
二、填空题：(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
9．设全集222{|340},{|4},{|U x R x x A x x y B x y =∈--≤=+===，则 A B = ，()U C A B = 。
10．已知数列{}n x 中，110,x =21log (2)n n x x -=-，则数列{}
n x 的第2项是
所有项和T =
11(2,1)P ，则该双曲线
的标准方程是 ；渐近线方程是 ．
12．函数2
()2cos cos(2)13
f x x x π
=++-在[0,]π内的一条对称轴方程是 ，
在[0,]π内单调递增区间是
13．已知函数2
2
()42x m
f x x m
x x >?=?
≤++?，若函数()()g x f x x =-有三个不同的零点，则实数m 的
取值范围是
14．已知点P 是正方体1111ABCD A BC D -表面上一动点，且满足 ||2||PA PB =，设1PD 与平面
ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值是
15．正三棱锥O ABC -的每一条棱长均为1，若(0,,1)OP xOA yOB zOC x y z =++≤≤
，且满足
12x y z ≤++≤，则动点P 的轨迹所围成的区域的体积是
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本题满分14分） 在ABC ?中，D 为边AB 上一点，DA DC =，已知4
B π
=
，1BC =，
(1) 若3
DC =
，求角A 的大小； (2)若BCD ?的面积为1
6
，求边AB 的长．
17．（本题满分15分）
在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1
2
AD BC =，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点，将ABCD
绕AB 旋转90
，得到梯形ABC D '' (1)求证//C N '平面ADD '；
(2)求二面角A C N C '--的余弦值．
18．（本题满分15分）
已知函数2
2
()()x f x x a =-，
(1)若1a >，试确定()f x 在(0,1)上单调性；并给出证明．
(2)当1,(1,)a x =∈+∞时，问是否存在一个常数c ，使得对于任意给定的正数ε，总存在实数G ，
使得当x G >时，有|()|f x c ε-<．
19．（本题满分15分）
已知12,F F 分别是椭圆1C ：22221y x a b
+=(0)a b >>的上下焦点，其中1F 为抛物线2C :2
4x y =的
焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15
||3
MF =． (1)求椭圆1C 的标准方程；
(2)与圆22(1)1x y ++=相切的直线:()(0)l y k x t t =+≠与椭圆相交于,A B 两点，若椭圆上存在一点P 满足
OA OB OP
λ+=
，求实数λ的范围．
20．（本题满分15分） 已
知
数
列
{}
n a 满足
132
a =
且
1
13(,2)21
n n n na a n N n a n --=
∈≥+-，
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：当2n ≥时，31211
(12316)
n a a a a n n ++++-<．
2016年宁波市五校联考数学试卷 数学（理科）试题参考答案
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，满分40
你认为最正确的一个)
1．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的 个数为( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
侧视图
正视图
2．已知函数1()0
x
D x x ?=?
?为有理数为无理数
，则( B )
A ．(())1D D x =，0是()D x 的一个周期；
B ．(())1D D x =，1是
()D x 的一个周期； C ． (())0D D x =，1
是()D x 的一个周期； D ． (())
0D D x =，()D x 的最小正周期不存在．
3．已知,a b 为单位向量，|||a b a b +=-
，则a 在a b + 的投影为( C )
A ．
1
3 B ．3- C ． D 4． 已知函数()y f x =，数列{}n a 的通项公式是()n a f n =，n N ∈，那么“函数()y f x = 在[1,)
+∞上单调递增”是“{}n a 数列是递增数列的( A )
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件；
C ．充要条件；
D ．既不充分也不必要条件．
5．设整数,x y 满足约束条件，0
8540
x y x x y >??
>??+
A ． [2,6]
B ．[3,11]
C ．11
[,8]3
D
．[3,10]
解：
231
1211
x y y x x +
++=+?++，可行域内的整数点如图所示，(2,处取到最小值11
3
，在点(1,7)处取到最大值8
6． 设1234,,,(0,
)2
x x x x π
∈，则( B )
A ．在这四个数中至少存在两个数,x y ，满足1sin()2
x y ->
； B ． 在这四个数中至少存在两个数,x y ，满足cos()x y -≥
； C ．在这四个数中至多存在两个数,x y ，满足tan()3
x y -<
；
第8题图
D ．在这四个数中至多存在两个数,x y ，满足sin()3
x y -≥ 解:把区间(0,
)2π
三等分，每个区间的长度为
6
π，于是由1234,,,(0,)2x x x x π
∈知至少有两个数在同
一区间内，即存在,x y 在同区间内这两个数的差的绝对值小于6
π，即||6x y π
-≤，所以选B ．
7．如图，过2:8C y x =抛物线上一点(2,4)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于A 、
B 两点，则直线AB 的斜率是（ B ）
A ． 12-
B ．1-
C ． 2
3
- D ．2-
解：选B ，设1122(,),(,)A x y B x y ，:(2)4PA y k x =-+代入
24y x =得：
283280ky y k -+-=于是132164k
y k
-=
得132164k y k -=，同理232164k y k
+=-
121222112
128188
AB y y y y k y y x x y y --=
===--+- 8．如图，在棱长为2的正四面体A BCD -中，平面α与棱AB 、AD 、CD 、BC 分别相交于点E 、
F 、
G 、
H ，则四边形EFGH 的周长的最小值是( )
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．4
解：选D ， 如图所示，周长最小，等于4．
二、填空题：(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 9．设全集222{|340},{|4},{|U x R x x A x x y B x y =∈--≤=+===，则 A B = ()U C A B =
{|13}x x -≤≤ {|24}x x <≤
10．已知数列{}n x 中，110,x =21log (2)n n x x -=-，则数列{}n x 的第2项是 所有项和T =
第14题图
3，13
解:12310,3,0x x x ===，共有3项，所有项和为13．
11(2,1)P ，则该双曲线的标准方程是 ；渐近线方程是 ．
223x y -= 0x y ±=
12．函数2
()2cos cos(2)13
f x x x π
=++
-在[0,]π内的一条对称轴方程是 ，
在[0,]π内单调递增区间是
2()2cos cos(2)1)36f x x x x ππ
=++-=+
一条对称轴方程可以是512x π=或1112x π=中的一条，递增区间511[
,]1212
ππ
13．已知函数22
()42x m f x x m x x >?=?≤++?
，若函数()()g x f x x =-有三个不同的零点，则实数m 的
取值范围是
[1,2)-
14．已知点P 是正方体1
111A B C D A B C D -
表面上一动||2||PA PB =，设1PD 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ是
解:
4
π
，如图，建立坐标系，设正方体的棱长为2，则P 的轨迹是以点Q 为圆心，以4
3
为半径的球面与正方体的交线，即
如图所示的圆弧EMG ，EPF ，GNF ，要使1PD 与平面ABCD
所成
的最大，只要P 圆弧EPF 上，且在QD 上，DP 的最小值为
104
233
QD QP -=
-= 从而tan θ的最大值为1，θ的最大值为
4
π． 15．正三棱锥O ABC -的各棱长均为1，若(0,,1)
OP xOA yOB zOC x y z =++≤≤
，且满足
12x y z ≤++≤，则动点P 的轨迹所围成的区域的体积是
解：动点P 的轨迹所围成的区域是介于平面ABC 与平面EFG 之间的部分，
1
sin 602
312233433
A OA
B A V OA OB h S h ?=?-?=?-?=
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本题满分14分） 在ABC ?中，D 为边AB 上一点，DA DC =，已知4
B π
=
，1BC =
(1)
若DC =
A 的大小； (2) 若BCD ?的面积为
1
6
，求边AB 的长． 解:( 1）在BCD ?中，由正弦定理得,sin sin sin 44
BC DC AD
BDC ππ==∠
则1
3sin sin 4
BDC π=∠
，则sin BDC ∠=
， 所以3
BDC π
∠=
或23
BDC π∠=
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又DA DC =，所以6
A π
=
或3
A π
=
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 (2) 由已知得16BCD S ?=
，即11
sin 26BC BD B =
得，BD =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
又由余弦定理得2
2
2
2cos DC BC BD BC BD B =+-
得DC =
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又DA DC =
，所以3
AB AD DB DC DB =+=+=
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 17．（本题满分15分）
在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1
2
AD BC =
，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点，将ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''
(1)求证//C N '平面ADD '；
(2)求二面角A C N C '--的余弦值． （1）证明//,//BC AD BC ∴ 平面ADD ' 同理//BC '平面ADD ' 又BC BC B '=
∴平面//BCC '平面ADD '
NC '? 平面BCC ' ∴//NC '平面ADD '
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1
2
AD BC =
，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点，得AC AB ⊥
又平面ABCD ⊥平面ABC D ''且AC AB '⊥，AC '⊥平面ABCD 于是AC AC '⊥，AC AB '⊥，AC AB ⊥
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
如图建立空间直角坐标系，设1AB =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B
．C
，C '
，
1(2N ，
于是(1BC '=-
，(0,CC '=
； 设平面C N C '的法向量为(,,)n x y z =
，则
00n B C
n C C
?'=??'=??
即
x ?-+=??
=??取1z =
，x =1y =
，所以,1)n = ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为AC '⊥平面ABC ，平面C AN '⊥平面ABC ，又易知四边形ABND 是菱形，所以BD AN ⊥，平面C AN ' 平面ABC AN =，BD ⊥平面C AN '，设BD AN O = ，则交点O 为AN 的中点，
所以平面C AN '的法向量为3(,44
OB
=- ，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．12分
所以cos ,5
||||n OB n OB n OB <>==
，由图知二面角A C N C '--为钝角，所以二面角A C N C '--的余弦为5
-
． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
18．(本题满分15分）
已知函数2
2
()()
x f x x a =-， (1)若1a >，试确定()f x 在(0,1)(2)当1,(1,)a x =∈+∞时，问是否存在一个常数c ，使得对于任意给定的正数，总存在实数G ，使得当x G >时，有|()|f x c ε-<． 解：任取12,(0,1),x x ∈12x x <
2221211212212222
2112()(()2)
()()()()()()
x x a x x a x x x x f x f x x a x a x a x a -+--=-=---- ．．．．．．．
．．．．
．．．．．．
．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为1a >，12,(0,1),x x ∈，所以
12121212()2222(1)0a x x x x x x x x +-≥->-=> 21()()0f x f x ->
函数在(0,1)上单调递增．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
(2)存在常数1c =， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
222222
(1)21|()||1|||(1)(1)(1)
x x x x f x c x x x ε----=-==<--- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解得1
1x ε
ε
>+
+
所以取1
1G ε=+
，当x G >时，总有|()|f x c ε-<．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 19．(本题满分15分)
已知12,F F 分别是椭圆1C ：22
221y x a b
+=(0)a b >>的上下焦点，
其中1F 为抛物线2C :2
4x y =的焦点，点
M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15
||3
MF =
． (1)求椭圆1C 的标准方程；
（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:()(0)l y k x t t =+≠与椭
圆相交于,A B 两点，若椭圆上存在一点P 满足OA OB OP λ+=
，求实数λ的范围．
解:由2C :2
4x y =知焦点坐标为(0,1)，1c =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设00(,)M x y 0(0)x <，因为M 在抛物线2C 上，所以2
004x y =
又15||3MF =
，即0513y +=，得023y =，03
x =-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又因为点M 在椭圆上，所以
122||||4a MF MF =+==
得2
2,3a b ==
所以椭圆的方程为：22
143
y x += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22(1)1x y ++=
1,=
222211k t kt k ++=+
当0k =时，则:0l y =，则(0,0),OA OB OP λ+==
因为 0OP ≠ 所以0λ=
当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去． 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得2
21t
k t =
-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆方程22
143
y x +=得: 22222(43)63120k x k tx k t +++-=
易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆1C 相交，令1122(,),(,)A x y B x y
则2122643k t x x k +=-+，22122312
43k t x x k -=-+ ，
1212122
8()()()243kt
y y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=
+
于是：2121222
68(,)(,)4343k t kt
OA OB x x y y k k +=++=-
++ 因为OA OB OP λ+=
22268(,)(43)(43)k t kt OP k k λλ=-
++ ，即P 的坐标为22268(,)(43)(43)
k t kt
P k k λλ-++
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又因为P 在椭圆上，所以
2
222268(43)(43)143
k t kt
k k λλ????- ? ?++????+=
得22
2
2
443k t k λ=+，把221t k t =-代入得
22422422224
24()441211143()11t t t t t t t t t t
λ-===
+++++- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
因为
2
10t
>，所以421111t t ++>，2
04λ<< 于是20λ-<<或02λ<<，
综上所述(2,2)λ∈-
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 20．(本题满分15分)
已知数列{}n a 满足132a =
且113(2,)21
n n n na a n n N a n --=≥∈+-
(1)求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：当2n ≥时，31211 (12316)
n a a a a n n ++++-< 解：由1
13(2,)21
n n n na a n n N a n --=
≥∈+-
得
11233n n n n a a --=+，即1111(1)3n n n n a a ---=-，所以数列{1}n n a -是以1
1
1a -为首项，13为公比的等比
数列，于是11()3
n
n n a -=-得331n n n
n a =-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(2)当2n ≥时
2
331111191
111111131313183833(1)3(1)33
n n n n n n n n n --+==+≤+≤+≤+=+---??-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
3
1223123...1233333......31313131n n
n a a a a n n
n ++++-=++++----- 123411111
(1)(1)(1)(1)...(1)3131313131
n n =+
++++++++------
2211111 (28838383)
n -≤
+++++??? 111(1())18
31213
n --=+- 13216≤+ 1116= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分