2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座三
函数及图像与几何问题
【知识纵横】
函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。
【典型例题】
【例1】（山西太原）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3
34
y x =-
+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．
（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．
（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边
形？如果存在，直接写出BE
CD
【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系； （2）当CBD △为等腰三角形时，分三种情况讨论，． （3）以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形
三种情形。
【例2】（浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与
B C ，重合）
，过F 点的反比例函数(0)k
y k x
=>的图象与AC 边交于点E ．
（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）用k 的代数式表示AOE △与FOB △的面积； （2）写出E F ，两点坐标（含k 的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点F ，将C E F △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．证
ENM MBF ∴△∽△．
【例3】（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点
C 的圆的切线交
x 轴于点D ．
（1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式；
（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？
【思路点拨】（1）作BG OA ⊥于G ； （2）连结A C,证CD ‖OB.（3）通过 几何图形建立二次函数模型解之，注意 自变量的取值范围。
【例4】（07杭州市） 在直角梯形ABCD 中，90C ∠=?，高6CD cm =（如图1）。动点
,P Q 同时从点B 出发，点P 沿,,BA AD DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，
两点运动时的速度都是1/cm s 。而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。设,P Q 同时从点B 出发，经过的时间为()t s 时，BPQ ?的面积为()
2y cm （如图2）。分别以,t y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。
（1）分别求出梯形中,BA AD 的长度； （2）写出图3中,M N 两点的坐标；
（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。
（图1）
（图2）
【思路点拨】（1）设动点出发t 秒后，点P 到达点A 且点Q 正好到达点C 时，由图3知此时△ABC 面积为30. （2）结合（1）的结论写出,M N 两点的坐标；（3）考虑当点P 在BA 上时及当点P 在DC 上时两种的y 关于t 的函数关系式.
【学力训练】
1、(07台州市)如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D
处．已知折叠CE =，且3tan 4
EDA ∠=
． （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x
轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，
如果不存在，请说明理由．
2、（浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；
(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；
(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。
3、（江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形,点A
的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把△AOP 绕着
点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD . （1）求直线AB 的解析式；
（2）当点P 运动到点（3,0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标； （3）是否存在点P ,使△OPD
的面积等于
4
,若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
4、（四川乐山）在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C ，若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程
2(2)10x m x n -++-=的两根:
(1)求m ，n 的值;
(2)若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式; (3)过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11
CM CN
+
的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.
O
l
））））））））） 1．如图 1，已知直线 y=2x+2 与 y 轴、 x 轴分别交于 A 、 B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作 等腰 Rt△ ABC （1）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式． （2）如图 2，直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D ，连接 AD ，若 AD=AC ，求证： BE=DE ． （ 3）如图 3，在（ 1）的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M ， P（， k）是线段 BC 上一点， 在线段 BM 上是否存在一点N ，使直线 PN 平分△ BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ ABO ≌△ BCQ，根据全等三角形的性质求OQ， CQ 的长，确定 C 点坐标； （ 2）同（ 1）的方法证明△ BCH ≌△ BDF ，再根据线段的相等关系证明△ BOE ≌△ DGE，得出结论； （ 3）依题意确定 P 点坐标，可知△BPN 中 BN 变上的高，再由S△PBN= S△BCM，求 BN ， 进而得出 ON ． 解答：解：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q， ∵∠ OBA+ ∠ OAB=90 °，∠ OBA+ ∠QBC=90 °， ∴∠ OAB= ∠ QBC， 又∵ AB=BC ，∠ AOB= ∠ Q=90°， ∴△ ABO ≌△ BCQ ， ∴BQ=AO=2 ， OQ=BQ+BO=3 ， CQ=OB=1 ， ∴C（﹣ 3， 1）， 由 A （ 0， 2），C（﹣ 3， 1）可知，直线 AC ： y=x+2 ； （2）如图 2，作 CH⊥ x 轴于 H， DF ⊥x 轴于 F， DG ⊥ y 轴于 G， ∵ AC=AD ，AB ⊥ CB ，∴ BC=BD ， ∴△ BCH ≌△ BDF ，∴ BF=BH=2 ， ∴ OF=OB=1 ， ∴DG=OB ， ∴△ BOE ≌△ DGE ， ∴BE=DE ；
[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的，解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流． 随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试
二次函数图像与几何变换 1 求某点的平移、对称点的坐标： 一个点A(-2,-5)作如下变化： （1）把点A先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位； （2）把点A沿x轴翻折； （3）把点A绕坐标系原点旋转180?； （4）把点A绕点P(1,0)旋转180?； 分别求出点的坐标. 2：已知；抛物线y =-x 2 + 2x + 3，回答下列问题： (1)分别写出此抛物线的顶点P，与x轴的两个交点A、B ( A点在B点的左侧)，与y轴的交 点C的坐标.，并画出函数图像。 (2)若将抛物线y =-x 2 + 2x + 3 向左平移2 个单位长度，且向下平移3 个单 位长度，求所得抛物线的解析式. (3)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3 关于y轴对称的抛物线的解析式. (4)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3 关于x轴对称的抛物线的解析式. (5)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3关于原点O对称的抛物线的解析式. 思考：对比以上几问,你能总结出: 图象变换背景下，求函数解析式的一般方法吗？ 一、二次函数图象的平移变换 【例1】函数y = 3(x + 2)2 -1的图象可由函数y = 3x2 的图象平移得到，那么平移的步骤是：（） A.右移两个单位，下移一个单位 B. 右移两个单位，上移一个单位 C. 左移两个单位，下移一个单位 D. 左移两个单位，上移一个单位 【例2】函数y =-2(x - 1)2 - 1 的图象可由函数y =-2(x + 2)2 + 3 的图象平移得到，那么平移的步骤 是（） A. 右移三个单位，下移四个单位 B. 右移三个单位，上移四个单位 C. 左移三个单位，下移四个单位 D. 左移四个单位，上移四个单位
一次函数综合题选讲及练习 例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B 两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③． 问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 变式练习： 1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3． （1）求点B的坐标； （2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标； （3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等． ①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．） ②求点P的坐标．
例2．如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 交x轴负半轴与点C，且OC=OB． （1）求直线BC的函数表达式； （2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC； （3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习： 2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO． （1）点A坐标是，BC= ． （2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． （3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标． 课后作业： 1．已知，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B两点． （1）求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB （1）求直线AC的解析式； （2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．
中考数学动态几何与函数问题 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO =
∴直角梯形OABC 的面积为：()()11 2441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1 122 S OD OE =-? ∵ 1 42 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()2 1122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x = >的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少 （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE 和△FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K 。所以直
一次函数与几何图形综合专题思想方法小结： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结： （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． b＞0时，直线与x轴正半轴相交； ②当k，b异号时，即- k b=0时，直线经过原点； 当b=0时，即- k b﹤0时，直线与x轴负半轴相交． 当k，b同号时，即- k ③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 121b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③?? ?≠=2 121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④???==2 121,b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC (2) 在 OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作 PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：① x
一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
1
? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ．
一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考 一．解答题（共30小题） 1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO 于D，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值． 2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．
中考数学重难点专题讲座动态几何与函数问题 含答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考数学重难点专题讲座 第八讲动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E. （1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当24 t<<时，求S关于t的函数解析式.
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问 题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写线动点形成的函数关系问题模拟题。 线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 在中考压轴题中，线动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1. 如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC= 线l 垂直于BC ，且从经过点B 的位置向右平移，直至经过点C 的位置停止，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数关系式是 ▲ 。 【答案】。 【考点】动线问题的函数图象，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】如图1，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ， ()()()2 21x 0x 22S 2x 22x 41 x 6x 104x 62 ?≤≤??? =-≤???-+-≤??＜＜
一次函数与几何图形 1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？ 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b 恰好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大
值为多少？ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A点，交x轴于点B（-6，0），△AOB的面积为15，且AB=AO，求正比例函数和一次函数的解析式。 7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A 点的坐标是（-1，0）， （1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； （2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。
9、在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b 小于0）的图像分别与x 轴、y 轴和直线x=4交于A 、B 、C ，直线x=4与x 轴交于点D ，四边形OBCD 的面积为10，若A 的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 10、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y 轴交于点A ，且OA=OB ：求这个一次函数解析式 11、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，m ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，S AOP =6. 求：（1）△COP 的面积 （2）求点A 的坐标及m 的值； （3）若S BOP =S DOP ，求直线BD 的解析式 12、一次函数y=- 3 3x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC
中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习含详细答案 一、反比例函数 1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于 D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值； （2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得， 所以一次函数解析式为y= x+ ， 把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2； （3）解：如下图所示： 设P点坐标为（t，t+ ）， ∵△PCA和△PDB面积相等， ∴? ?（t+4）= ?1?（2﹣t﹣），即得t=﹣，
∴P点坐标为（﹣，）． 【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到? ?（t+4）= ?1?（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标． 2．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣ 2），与y轴交于点C． （1）m=________，k1=________； （2）当x的取值是________时，k1x+b＞； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标． 【答案】（1）4； （2）﹣8＜x＜0或x＞4 （3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）． ∴CO=2，AD=OD=4． ∴S梯形ODAC= ?OD= ×4=12， ∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1， ∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图
二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()11 2441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1 122 S OD OE =-? ∵ 1 42 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()2 1122441242S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x = >的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
一次函数压轴题 1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值． 2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证： BE=DE．（3）如图3，在（1）的 条件下，直线AC交x轴于M， P（，k）是线段BC上一点， 在线段BM上是否存在一点N， 使直线PN平分△BCM的面积？ 若存在，请求出点N的坐标；若 不存在，请说明理由．
3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点，直线l经过点C， （1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式； （2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．
2019-2020 年八年级数学下《一次函数与几何综合》专题练习题 1.如图，直线 l1的函数解析式为 y＝－ 3x＋3，且 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2经过点 A，B，直线 l 1，l2交于点 C. (1)求点 D 的坐标； (2)求直线 l 2的函数解析式； (3)求△ADC 的面积； (4)在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标． 1 2. 如图，直线 y＝2x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y＝－2x＋1 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，两直线交于点 E，求 S△BDE和 S 四边形AODE . 4 3．如图，直线 y＝－3x＋8 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 C，D 两点． (1) 求点 C 的坐标； (2) 求直线 CE 的解析式； (3) 求△BCD 的面积．
4.如图，在平面直角坐标系中，点 A( －1，0)，B(0，3)，直线 BC 交坐标轴于 B，C两点，且∠ CBA ＝45°.求直线 BC 的解析式． 5.如图， A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD 于点 F，交 AB 于点 E，BM ⊥OB 交 OE 的延长线于点 M. (1)求直线 AB 和直线 AD 的解析式； (2)求点 M 的坐标； (3)求点 E，F 的坐标． 6.如图，正方形 OBAC 中， O(0，0)，A( －2，2)，B，C 分别在 x 轴、 y 轴上， D(0，1)，CE⊥BD 交 BD 延长线于点 E，求点 E 的坐标． 1 7. 如图，在平面直角坐标系中，A(0 ，1)，B(3，2)，P 为 x 轴上一动点，则 PA＋PB 最小时点 P 的坐标为 ________．
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等 腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM 上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图直线：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0） （1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C． （1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． （2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q 分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 4．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点． （1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式； （2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标； （3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合． （1）求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）求矩形ABCD的边DC与BC的长； （3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 6．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）．
龙文教育个性化辅导教案提纲 学生: 日期: 年 月 日 星期: 时段: 中考数学专题8 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 第一部分 真题精讲 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.
【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 1 - 函数与几何图形 1. 如图4，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0
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