机械原理习题解答
例4-1 绘制图4-2所示液压泵机构的机构运动简图。
解:该机构由机架1、原动件2和从动件3、4组成,共4个构件,属于平面四杆机构。 机构中构件1、2,构件2、3,构件4、1之间的相对运动为转动,即两构件间形成转动副,转动副中心分别位于A 、B 、C 点处;构件3、4之间的相对运动为移动,即两构件间形成移动副,移动副导路方向与构件3的中心线平行。构件1的运动尺寸为A 、C 两点间距离,构件2的运动尺寸为A 、B 两点之间的距离,构件3从B 点出发,沿移动副导路方向与构件4在C 点形成移动副,构件4同时又在C 点与构件1形成转动副。
选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面。
选择比例尺l μ=0.001m/mm ,分别量出各构件的运动尺寸,绘出机构运动简图,并标明原动件及其转动方向,如图4-2所示。
例4-2 绘制图4-3所示简易冲床的机构运动简图。
解:图示机构中已标明原动件,构件6为机架,其余构件为从动件。需要注意的是,在区分构件时应正确判断图中各构件都包括哪些部分,例如:构件3就包括两部分,如图所示。
该机构中构件1与机架以转动副连接,转动副中心位于固定轴的几何中心A 点处;构件2除与构件1形成回转中心位于C 点的转动副外,又与构件3形成移动副,移动副导路沿BC 方向;构件3也绕固定轴上一点B 转动,即构件3与机架形成的转动副位于B 点,
同时
图4-3 简易冲床机构l μ=0.001m/mm
构件3与构件2形成移动副,又与构件4形成中心位于D 点的转动副;构件4与构件5形成中心位于E 点的转动副;构件5与机架6形成沿垂直方向的移动副。
该机构属于平面机构,因此选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面。
选择比例尺l μ=0.001m/mm ,量出各构件的运动尺寸,绘出机构运动简图,并标明原动件及其转动方向,如图4-3所示。
4-3 题4-3图为外科手术用剪刀。其中弹簧的作用是保持剪刀口张开,并且便于医生单手操作。忽略弹簧,并以构件1为机架,分析机构的工作原理,画出机构的示意图,写出机构的关联矩阵和邻接矩阵,并说明机构的类型。
解:若以构件1为机架,则该手术用剪刀由机架1、原动件2、从动件3、4组成,共4个构件。属于平面四杆机构。
当用手握住剪刀,即构件1(固定钳口)不动时,驱动构件2,使构件2绕构件1转动的同时,通过构件3带动构件4(活动钳口)也沿构件1(固定钳口)上下移动,从而使剪刀的刀口张开或闭合。其机构示意图和机构拓扑图如上图所示。
其关联矩阵为: 邻接矩阵为:
1
1
0110001110014
32
1
4
321
v v v v e e e e L M =; 0
1
1
1010010110104
3214321v v v v v v v v A M =;
例4-4 计算图4-13所示压榨机机构的自由度。
题4-3图
4
e 2e 1e 4
v 3
v 1
v 2
3
e 机构的拓扑图
1
解:机构为平面机构。
机构中构件1为偏心轮,构件2绕构件1的几何中心发生相对转动,即形成中心位于偏心轮几何中心的转动副,因此偏心轮相当于一个有两个转动副的构件,一个转动副是在点A 与机架11形成的,另外一个是在偏心轮几何中心处与构件2形成的。
该机构中存在结构对称部分,构件8、9、10 和构件4、5、6。如果去掉一个对称部分,机构仍能够正常工作,所以可以将构件8、9、10以及其上的转动副G 、H 、I 和C 处的一个转动副视为虚约束;构件7与构件11在左右两边同时形成导路平行的移动
副,只有其中一个起作用,另一个是虚约束;构件4、5、6在D 点处形成复合铰链。机构中没有局部自由度和高副。
去掉机构中的虚约束,则机构中活动构件数为7=n ,机构中低副数10=l
P ,得
11027323=?-?=--=h l P P n F
例4-5 计算图4-14所示自动驾驶仪操纵机构的自由度。
解:自动驾驶仪操纵机构为空间机构,机构中
共有3个活动构件,其中构件1、2之间形成圆柱副,属Ⅳ级副;构件2、3形成转动副,属Ⅴ级副;构件3、4形成球面副,属Ⅲ级副;构件4、1形成转动副,属Ⅴ级副。
则机构自由度为:
113142536=?-?-?-?=F
4-6 在题4-6图所示所有机构中,原动件数目均为1时,判断图示机构是否有确定的运动。如有局部自由度、复合铰链和虚约束请予以指出。
解:(a )、11027323=?-?=--=h l P P n F ,机构有确定的运动。其中:F、D
、
图4-13 压榨机机构
图4-14 自动驾驶仪操纵机构
B 、
C 四处均为复合铰链,没有局部自由度、虚约束;
(b )、211229323=-?-?=--=h l P P n F ,机构没有确定的运动。其中:A处为复合铰链,K处为局部自由度,没有虚约束;
(C )、11027323=?-?=--=h l P P n F ,机构有确定的运动。其中:构件AB 、BC 、CD 、AD 四杆中有一杆为虚约束,如果将构件AD 视为虚约束,去掉虚约束,则点B、C均为复合铰链,没有局部自由度;
(d )、01423323=-?-?=--=h
l P P n F ,系统不能运动,
所以也就不是一个机构。从图中可以看出,铰链点C 是构件BC 上的点,其轨迹应当是以铰链点B 为圆心的圆,同时,铰链点C 又是构件CD 上的点,轨迹应当是移动副F 约束所允许的直线,两者是矛盾的,所以,系统不能运动。系统中没有局部自由度、复合铰链、虚约束。
(e )、3625323=?-?=--=h l P P n F ,机构没有确定的运动。没有局部自由度、复合铰链、虚约束。
4-7 计算题4-7图所示齿轮-连杆机构的自由度。
)
(a )(b )
(c )
(d )
(e 题4-6图
解:(a )、11524323=-?-?=--=h l P P n F ,铰链点A 为复合铰链,齿轮副为高副。
(b )、13726323=-?-?=--=h l P P n F ,铰链点B 、C 、D 均为复合铰链。
4-8 题4-8图所示为缝纫机中的送料机构。计算该机构的自由度,该机构在什么条件下具有确定的运动?
解:
2
2424323=-?-?=--=h l P P n F C 处的滚子为局部自由度,构件1于构件2、构件3与构件2之间形成两对高副,但是,每对高副的法线都是重合的,所以,每对高副中有一个高副为虚约束。
由于该机构具有2个自由度,所以该机构在有2个原动件的条件下就具有确定的运动。
4-9 计算题4-9图所示机构的自由度。
解:(a )、24626323=-?-?=--=h l P P n F
(b )、21927323=-?-?=--=h l P P n F (注:滑块D受到的运动约束与构件FGC 上C的运动轨迹相重合,所以滑块D及其上的转动副和移动副均应视为虚约束。)
题4-8图 )
(
b )
(a 题4-9图
4-10 构思出自由度分别为1、2和3的Ⅲ级机构的设计方案。
解:由机构的组成原理可知,一个Ⅲ机构中,至少应当包含有一个Ⅲ级基本杆组。将一个Ⅲ级基本杆组中的一个外副与一个单自由度的机构相联,另外两个外副与机架相联,则可以得到一个单自由度的Ⅲ机构;如果将Ⅲ级基本杆组中的两个外副分别与两个单自由度的机构相联,另外一个外副与机架相联,则可以得到一个有两个自由度的Ⅲ机构。而最简单的单自由度机构是一个构件与机架通过一个低副(如:转动副)联接所形成的机构。
按照以上分析,自由度分别为1、2和3的Ⅲ级机构最简单的结构分别如图中(a)、(b)和(c)所示。
4-12 确定图4-19a所示机构当构件8为原动件时机构的级别。
解:确定机构的级别关键是要拆出机构中所含的基本杆组。当构件8为原动件时,拆基本杆组首先应当从最远离原动件的构件1拆起,可以拆出Ⅱ级基本杆组ABC,然后,又依次可以拆出Ⅱ级基本杆组DEF和GHI。如下图示。所以该机构为Ⅱ级机构。
例5-1 在图5-3所示的铰链四杆机构中,已知该机
构的结构参数以及构件1的转速为
1
ω,机构运动简
图的比例尺为
l
μ。利用速度瞬心法,求在图示位置
时,构件2和构件3的转速
2
ω和
3
ω的大小和方向。
解:首先找出相关的速度瞬心:速度瞬心P10、
P12、P23、P03可根据相应的构件构成转动副直接确
)
(c
)
(a
C
B
A
图4-19
定出来;而P 02和P 13需应用三心定理来确定:速度瞬心P 02应在三个构件0、1、2的两个已知速度瞬心P 10和P 12的连线上,同时又应在三个构件0、3、2的两个已知速度瞬心P 03、P 23的连线上,则这两条连线的交点即为P 02。速度瞬心P 13的确定方法类似,它应是P 12 P 23连线和P 10P 03连线的交点。
由速度瞬心的概念,在速度瞬心点两构件的绝对速度相同,便可求解未知转速。在速度瞬心点P 12有
l l P V μωμω021*********P P P P ?=?= 式中1210P P 和0212P P 可直接从所作的图中量取。由上式可解出
102
1212102P P P P ωω=
由绝对速度→
12P v 方向,得出ω2方向为顺时针方向。 同理, 在速度瞬心点P 13有
l l P V μωμω130331310113P P P P ?=?= 由绝对速度→
13P v 的方向,可知其为逆时针方向。
例5-2 在图5-4所示的凸轮机构,已知该机构的结构尺寸和凸轮1的角速度1ω。利用瞬心法,求机构在图示位置时从动件2的线速度2v
。机构运动简图的比例尺为l μ。
解:构件1与机架0的速度瞬心P 01以及从动件与机架的速度瞬心P 02可根据相应的构件分别构成转动副和移动副而直接确定出来。凸轮1和从动件之间的瞬心P 12的确定方法是:一方面,P 12应在构件1、2高副接触点K 的公法线n-n 上,另一方面,利用三心定理,它又应在瞬心P 01和P 02的连线上,即又应在过点P 01而垂直于从动件2与机架移动副导路的直线上。因而,n-n 与该直线的交点即为P 12。
再根据速度瞬心的概念,可得:
21212011P P v v P l ==?μω
其中,1201P P 可以直接从图中量出。从动件的速度v 2方向如图中12P v 所示。
图5-4
5-2 在题5-2图所示所示的平面组合机构中,已知机构作图的比例尺μl ,及构件1的角速度
1ω,求图示位置构件4的线速度4v
。
解:根据两个构件相成运动副的瞬心的确定方法可以确定出瞬心230201,,P P P ,34P ,
04P 的位置或所在的直线。由于题目已知构件1的角速度,求构件4的线速度,因而需求出
速度瞬心14P 。一方面,14P 应在瞬心01P 和04P 的连线上,另一方面,它也应在瞬心12P 和24P 的连线上。而瞬心12P 一方面应在构件1、2高副接触点的公法线n-n 上,另一方面,它也应在瞬心01P 和02P 的连线上;瞬心24P 一方面应在瞬心23P 和34P 的连线上,另一方面,它也应在瞬心02P 和04P 的连线上。
根据速度瞬心的概念,可得41401114
v v P P P l ==?μω,其中,1401P P 可以直接从图中量出。构件4的速度方向如图中14P v 所示。
5-3 确定题5-3图所示机构所有的速度瞬心。如果已知构件1的角速度1ω,设图示比例为l μ,
求图示位置时,题5-3图(a )齿轮4的角速度4ω的大小、方向和题5-3图(b )构件3的
速度3V 的大小和方向。
解:(a )、图示机构共有6个构件,所以速度瞬心的数目为152
)
1(2
=-=
N N C N 。其中:14P 、16P 和46P 在转动副1O 处;12P 、15P
和25P 在转动副2O 处; 35P 在转动副3O 处;36P 在转动副O 处;23P 在表示齿轮2和齿轮3的圆的切点处;24P 在表示齿轮2和齿轮4的圆的切点处;13P 在瞬心12P 和23P 的连线与瞬心16P 和36P 的连线的交点处;26P 在瞬心24P 和46P 的连线与瞬心23P 和36P 的连线的交点处;34P 在瞬心23P 和24P 的连线与瞬心36P 和46P 的
连线的交点处;56P 在瞬心35P 和36P 的连线与瞬心15P 和16P 的连线的交点处;45P 在瞬心24P 和25P 的连线与瞬心34P 和35P 的连线的交点处。
13
P
根据速度瞬心的概念,可得13
1336313161P l l v P P P P =?=?μωμω,从而可先求出构件3的角速度13
36131613P P P P ?
=ωω,其中,1316P P 和1336P P 可以直接从图中量出,构件3的速度方
向如图中3ω所示;再根据速度瞬心的概念,可得343634346344P l l v P P P P =?=?μωμω,从而可求出构件4的角速度46
34363434P P P P ?
=ωω,其中,3634P P 和4634P P 可以直接从图中量出,
构件4的速度方向如图中4ω所示。
(b )、图示机构共有4个构件,所以速度瞬心的数目为62
)
1(2
=-=
N N C N 。其中:14P 和24P 分别在构件1和构件4、构件2和构件4形成的转动副处;34P 在垂直于移动副导路的
无穷远处;12P 在过高副接触点B的公法线n-n 和瞬心14P 、24P 的连线的交点处;23P 在过高副接触点C的公法线n n '-'和瞬心24P 、34P 的连线的交点处;13P 在瞬心12P 和23P 的连线与瞬心14P 和34P
的连线的交点处。 根据速度瞬心的概念,可得31413113
v v P P P l ==?μω,其中,1413P P 可以直接从图中
量出。构件3的速度方向如图中3v 所示。
6-3 在题6-3图的四杆闭运动链中,已知mm a 150=,mm b 500=,mm c 300=,
mm d 400=。欲设计一个铰链四杆机构,机构的输入运动为单向连续转动,确定在下列
情况下,应取哪一个构件为机架?①输出运动为往复摆动;②输出运动也为单向连续转动。 解:①当输出运动为往复摆动时,机构应为曲柄摇杆机构,此时应取四杆中最短杆的相邻杆,即b 或d 作为机架。
②当输出运动也为单向连续转动时,机构应为双曲柄机构,此时应取四杆中的最短杆,即a 作为机架。
6-5 在题6-5图a 、b 中
(1) 说明如何从一个曲柄摇杆机构演化为题6-5图a 的曲柄滑块机构、再演化为题
6-5图b 的摆动导杆机构;
(2) 确定构件AB 为曲柄的条件;
(3) 当题6-5图a 为偏置曲柄滑块机构,而题6-5图b 为摆动导杆机构时,画出构件
3的极限位置,并标出极位夹角θ。
解:(1)当曲柄摇杆机构的摇杆为无穷长时,则原来摇杆与机架之间的转动副就变为移动副,原机构就演化为了题6-5图a 的曲柄滑块机构。如果取曲柄滑块机构中的连杆作为机架,则曲柄滑块机构就演化为了题6-5图b 的摆动导杆机构。
(2)对于图(a ),构件AB 为曲柄的条件是b e a ≤+;对于图(b ),只要导杆BC 足够长,满足装配要求,则构件AB 始终为曲柄。
题6-3图
)
(b )
(a 题6-5图
(3)对于题6-5图(a ),构件3的极限位置在曲柄1和连杆2的两次共线处,其极限
位置13、23和极位夹角θ如图(a )所示;对于题6-5图(b ),构件3的极限位置在曲柄1与滑块2形成的转动副B的轨迹圆与导杆3的切线处,即 90=∠ABC ,其极限位置13、
23和极位夹角θ如图(b )所示。
6-6 题6-6图为开槽机上用的急回机构。原动件BC 匀速转动,已知mm a 80=,mm b 200=,mm l AD 100=,
mm l DF 400=。
B )
(b
(1) 确定滑块F 的上、下极限位置; (2) 确定机构的极位夹角;
(3) 欲使极位夹角增大,杆长BC 应当如何调整?
解:(1)由于mm b mm a 20080=<=,所以四杆机构ABC 为转动导杆机构,导杆AB 也是曲柄,可以相对机架转动3600,则滑块F的上、下极限位置如图中F 2、F 1的位置。
mm l l l DF AD AF 5004001002=+=+= mm l l l AD DF AF 3001004001=-=+=
(2) 对应滑块F 的极限位置,可以确定出导杆AC 的位置及滑块C 的位置C 1,C 2。由图中几何关系,得
?===42.66200
80
arccos
arccos
BC
l a α 则极位夹角?=-?=16.472180αθ。
(3)欲使极位夹角增大,应使α角减小,所以杆长BC 就当减小。
例6-3已知图6-14所示机构的结构尺寸、固定铰链点的位置和原动件的运动。试分别以构件CD 和构件AB 为原动件,确定机构中所有从动构件的运动。
解:首先建立直角坐标系如图所示。 固定铰链点D 、E 、A 的坐标分别为D(0,0),E(x E ,y E ),A(x A ,y A )。当以构件CD 为原动件时,机构为Ⅱ级机构;而当以构件AB 为原动件时,机构为Ⅲ级机构。 (一)、以构件CD 为原动件时
构件CD 为定轴转动,已知原动件的运动,就是已知构件CD 绕点D 转动的角位置
1?、角速度1ω和角加速度1α
铰链点C 是构件CD 上点,同时也是构件3上的点,而构件3是一个从动构件,因此,运动分析从铰链点C 开始。
铰链点C 是构件1上的点,运动约束为到点D 之间的距离CD l 不变,并且点C 、D 连线与坐标轴x 正向之间的夹角为1?,所以可以写出其位置方程
??
?+=+=(b)
sin (a)
cos 11??CD D C CD D C l y y l x x 其中0==D D y x ,CD l 和1?由题意是已知的,只有C C y x ,两个未知数,因此,可以立即计算出铰链点C 的位置。
将上式对时间t 分别作一次、二次求导,可得点C 的速度和加速度方程如下
??
??
?
+=-=(b) cos (a)
sin 1111?ω?ωCD Dy Cy CD Dx Cx l v v l v v 其中 0==Dy Dx v v
??
???
+-=--=(b) cos sin (a)
sin cos 1112
111121?α?ω?α?ωCD CD Dy Cy CD CD Dx Cx l l a a l l a a 其中 0==Dy Dx a a ,根据已知的1ω和1α,就可以求出铰链点C 的速度和加速度。 确定出从动构件3上点C 的运动之后,必须再确定构件3上另外一个点才能确定出构件3的运动。构件3上的点B 和点F 都可以作为下一步要求解的点。但是,在目前的条件下,
图6-14
无论是确定点B 的位置、还是构件3上的点F 的位置都必须联立三个或三个以上的方程才能求解。
如果现在转而分析构件2上的点F 情况就不同了。构件2上点F 受到两个运动约束:1)直线CF 垂直于直线FE ;2)点F 到点E 的距离保持不变,且为已知的机构结构参数。因此,可以建立构件2上点F 的位置方程,如下:
???
??-=--?--=-+-(b)
1(a) )()(2
22C F C
F E F
E F EF E F E F x x y y x x y y l y y x x 由于点C 的位置已经求出,所以在上式中只有F F y x ,两个未知数,方程为非线性方程组,可以利用牛顿迭代法求解,初始点的选取可以由在草稿纸上画出机构的大概位置来确定。当然方程也可以利用代数消元的方法求解。
在求得点F 的位置之后,利用上式对时间的一阶和二阶导数,可以得到点F 的速度方程
???
?
?
????
-+-+-+-=--+---+-=-+-(b) )()()()()2()2((a)
)()()()(Cy E F Ey C F Cx E F Ex C F Fy E C F Fx E C F Ey E F Ex E F Fy E F Fx E F v y y v y y v x x v x x v y y y v x x x v y y v x x v y y v x x 式中0==Ey Ex v v ,只有两个未知数Fx v 和Fy v ,为线性方程组,可以直接求解。 利用上式对时间的二阶导数,求出点F 的加速度方程:
??
?
???
?
???
???
++-+-+-+-=--+---+-=-+-(b) )- - 2(-)
- - 2(-)()()()()2()2((a)
)-(-)-(-)()()()(22
22Cy Ey Ey Fy Cy Fy Fy Cx
Ex Ex Fx Cx Fx Fx Cy E F Ey C F Cx E F Ex C F Fy E C F Fx E C F Ey Fy Ex Fx Ey E F Ex E F Fy E F Fx E F v v v v v v v v v v v v v v a y y a y y a x x a x x a y y y a x x x v v v v a y y a x x a y y a x x 其中0==Ey Ex a a ,方程仍然为线性方程,可以直接求解。
在求出点F 的运动之后,便可以求解点B 的运动了。点B 既是构件3上的点,同时,也是构件4上的点,所以,它是继续进行机构运动分析的一个关键点,它所受到的运动约 束是:1)B 、F 、C 共线;2)点B 、C 之间的距离保持不变。据此可建立出点B 的位置方程:
?????=-+---=--(b) )()((a) 222BC C B C B
C F C B C F
C B l y y x x y y y y x x x x 点B 的速度方程为:
???
?
?
????
-+-=-+----+---=---(b) )()()()((a)
)()()()()()(Cy C B Cx C B By C B Bx C B Fy C B Fx C B Cy B F Cx B F By C F Bx C F v y y v x x v y y v x x v x x v y y v x x v y y v x x v y y 点B 的加速度方程为:
?????
?
?
???
???
-+-=-+-++---+---=---(b)
)-(-)-(-)()()()((a)
)---2(-)()()()()()(2
2Cy By Cx Bx Cy C B Cx C B By C B Bx C B Fx Cy Cx By Fx By Fy Cx Cy Bx Fy Bx Fy C B Fx C B Cy B F Cx B F By C F Bx C F v v v v a y y a x x a y y a x x v v v v v v v v v v v v a x x a y y a x x a y y a x x a y y 至此已经可以看出:运动分析的关键是位置方程的建立,速度和加速度方程可以分别将位置方程对时间求一阶和二阶导数得到。
在求出了以上各点的运动以后,机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点,因此,各个从动构件的运动都可以确定出来了。例如,构件3的质心点S 3 的位置方程
???=-+-=-+-222222333
333)()()()(B s B s B s C
s C s C s l y y x x l y y x x 构件3的角位置、角速度和角加速度分别为
C
B C
B x x y y --=
3tan ?
2
323))(())(())(())((BC
C B C B C B C B BC
C B C B C B C B l x
x y y y y x x l x x y y y y
x x -----=
-----=αω
除了确定各个构件的运动,还可以确定构件与构件之间的相对运动。例如,要确定构件4与构件5的相对运动,由图6-14可知,构件4与构件5形成移动副,因此,两者之间的
相对运动为移动,可以选构件4上的点B 和构件5上的点A ,以这两个点之间的距离变化表示构件4与构件5之间的相对运动,则相对运动的位置方程为
222)()(B A B A AB y y x x H -+-=
相对运动的速度和加速度分别可由上式对时间的一阶和二阶导数求出。 (二)、以构件AB 为原动件时
此时,点A 、B 之间距离AB H 、AB v 和AB a 为已知的。构件5为液压驱动的油缸,构件4为活塞。机构可以拆出构件1、2、3、4组成的Ⅲ级杆组,机构为Ⅲ级机构。
机构中铰链点B 、C 和构件2上的点F 都不能分别求解,只能利用AB 、BC 、DC 、EF 之间的距离为已知的长度、点B 、F 、C 共线和直线BF 、EF 垂直的运动约束,建立出三个待求点B 、E 、F 的位置方程组,联立求解,即
))(())((0))(())((0
)
()(0
)()(0
)()(652
2
2
42
22
322222
221=--+--==-----==--+-==-+==--+-==--+-=E F B F E F B F F C B C B C F C EF
E F E F CD C
C
BC C B C B AB A B A B y y y y x x x x f y y x x y y x x f l
y y x x f l y x f l y y x x f H y y x x f
在上述方程中未知数的个数与方程数相等,在机构的可动范围内方程组有确定的解,方程组是非线性的代数方程,可采用牛顿迭代法等方法进行求解。
机构的速度和加速度方程仍然是由位置方程的一阶和二阶导数求得,与Ⅱ级机构相同,机构的速度和加速度方程均为线性方程组。
6-9 在题6-9图所示机构中,已知机构中各构件的杆长和固定铰链点A 、D 、F 的位置、原动件的运动。试在以下两种情况下写出确定机构中所有从动构件运动的相应位置方程。 (1)以构件1为原动件; (2)以构件5为原动件。
解:首先建立直角坐标系如图所示。固定铰链点A、D、F的坐标分别为)0,0(A 、
),(D D y x D 、),(F F y x F 。
(1)、当以构件1为原动件时,该机构为Ⅱ级机构,可以逐点求解。先求点B的运
动。点B在构件1上,所以点B的位置方程为
??
?==1
1
sin cos ??AB B AB B l y l x 点C到点B的距离保持不变,点C到点D的距离保持不变,根据这两个条件,可建
立C点的位置方程为
???=-+-=-+-2
222
22)()()()(CD
C D C D BC
C B C B l y y x x l y y x x 点E到点B的距离保持不变,点E到点C的距离保持不变,根据这两个条件,可建
立C点的位置方程为
???=-+-=-+-2
222
22)()()()(CE
E C E C BE
E B E B l y y x x l y y x x 在求出了以上各点的运动以后,机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点,
因此,各个从动构件的位置都可以确定出来了。
欲求构件5的运动,需要在构件5上确定一个特殊点G ,如图所示。点G 的位置方
程为:
??
???---=--=-+-E G E G F G F G FG G F G F y y x x x x y y l y y x x 222)()( (2)、当以构件5为原动件时,该机构为Ⅲ级机构,不能逐点求解,而只能联立求
解。先确定点G的运动,其位置方程为
??
?+=+=55
sin cos ??FG F G
FG F G l y y l x x 利用AB 、BC 、CD 、BE 、CE 之间的距离保持不变,且为已知的长度,直线FG 和
EG 垂直的运动约束,建立三个待求点B 、C 、E 的位置方程,即
G
y
x
题6-9图
????
??
??
???=--+--=-+-=-+-=-+-=-+-=-+-0
))(())(()()()()()()()()()()(2222
222222
222
22E G F G E G F G CE
E C E C BE
E B E B CD D C D C BC C B C B AB B A B A y y y y x x x x l y y x x l y y x x l y y x x l y y x x l y y x x 六个方程需要联立求解。
例6-4 对图6-16a 所示的平面二杆机械手进行逆运动学分析。
解:首先,考虑二杆机械手的工作空间,在此机构中运动输出为点P ,所以,其工作空间就是点P 可以到达的区域。
假设转动副A 、B 都是周转副,如果21l l =,则点P 可以到达的区域为以点A 为圆心、半径为12l 的圆;如果21l l ≠,则点P 的可到达区域为以点A 为圆心、外径为21l l +、内径为21l l -的圆环。如果转动副A 、B 不全是周转副,则点P 的可到达区域显然要减小。
由题21图b 可知,对于点P 的位置),(y x 逆解有两个,分别用实线和虚线表示。 为了得到封闭解,将点A 与点),(y x 连接起来,
x
y y x r arctan
2
2=+=φ
根据余弦定理可得
a b
图6-16 平面二杆机械手及其逆运动学分析
1
2
2
21221222212arccos
2arccos rl l l r l l r l l -+=-+=βα, 则 βφθαπθ±=±=12 ,
式中,取“-”对应图6-16b 中的实线所示的解,取“+”对应虚线所示的解。
例6-6 设计一个铰链四杆机构ABCD ,实现连杆的三个精确位置P 1Q 1,,P 2Q 2,P 3Q 3。
解:在铰链四杆机构中,动铰链点B 、C 既是连杆上的点,同时,又是连架杆上的点,其轨迹为分别以固定铰点A 和D 为圆心,相应连架杆杆长为半径的圆弧,故称点B 和C 为圆点,而点A 和D 为圆心点。据此,可以得出机构的设计作图方法如下:
将给出的表示连杆精确位置的直线PQ 扩大成一个平面封闭区域。在区域中任意取两个点作为圆点B 、C ,并由给定的连杆精确位置确定出B 1、B 2、B 3和C 1、C 2、C 3,如图6-18所示。
作21B B 连线的中垂线
a 12,再作32B B 连线的中垂a 23,则a 12和a 13的交点即为圆心点A 的位置。
同样,作21C C 连线的中垂线d 12和32C C 连线的中垂线d 23,d 12和d 23的交点即为圆心点D 的位置。
连接AB 1C 1D ,就得到了所要设计的机构。机构的两个连架杆分别是AB 、CD ,连杆是BC ,各个构件的杆长为直接从图中量出的长度乘以作图比例。
值得注意的是,在确定铰链点B 、A 的位置时没有考虑铰链点C 、D ,同样,在确定铰
图6-18 实现连杆三个位置的铰链四杆机构设计