高中数学易错专题点睛：数列

高中数学易错专题点睛四 数列

【原题】已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。

【原题】等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和

【错误分析】：本题可以根据条件直接列式求解，但是若能合理应用性质，选择不同的公式，则会得到不同的解法. 【答案】210

【解析】法一 将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+

2

)

1(-n n d ,得 11

(1)3022(21)21002

m m ma d m m ma d -?+= ???

-?+=??　① ②

2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a m d m 解得 解法二 由]2

)13([32)13(33113d

m a m d m m ma S m -+=-+

=知，

要求S 3m 只需求m ［a 1+

2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2

)

13(-m m d =70,∴S 3m =210 解法三 由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2

+Bn (A 、B 是常数） 将

S m =30,S 2m =100代入，得???

????

==??????=?+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 100

2)2(3022

2

,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法四

S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md )=S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md

=S 2m +S m +2m 2

d 由解法一知d =

240

m

,代入得S 3m =210 解法五根据等差数列性质知 S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列， 从而有2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210

解法六 ∵S n =na 1+

2)1(-n n d ,∴n S n =a 1+2)1(-n n d ∴点(n , n

S n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由

三点(m ,m S m ),(2m , m

S

m 22),(3m , m S m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210

解法七 令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110∴S 3=a 1+a 2+a 3=210

【易错点点睛】将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列，将条件“等差数列”换成“等比数列”，使用类比思想，考虑这七种方法是否都可类比. 【原题】等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若

),(2741

7+∈++=N n n n T S n n 求7

7b a 【错误分析】：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.

11

10

277417777=+?+?=∴

b a 【答案】

9279

【解析】

77713777137131924132779

a a a S

b b b T +?+====+?+ 【易错点点睛】

【原题】已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n

（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

【错误分析】：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a n n n n n n

)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n q a a n

n =∴

+1

（常数）∴{}n a 为等比数列，即B 。 【答案】选C

【解析】当n ＝1时，a 1=S 1＝aq;当n>1时，)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n

q a a n n =∴

+1（常数）但q q a a

≠-=11

2 ∴{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。 【易错点点睛】忽略了1--=∴n n n S S a 中隐含条件n ＞1.

【原题】已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和 【错误分析】：由a n ≥0得n ≤5∴

{}n a 前5项为非负，从第6项起为负，

∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)

当n ≥6时，12||||||n n S a a a ∴=+++ ＝

2

)

5)(520(--n n

∴ S n =??

?

??≥--≤6,2)

5)(520(5,50

n n n n 【答案】n S =???

????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2

)

545(n n n n n n

【解析】由a n ≥0得n ≤5∴{}n a 前5项为非负，当n ≤512||||||n n S a a a ∴=+++

12n a a a =+++ (455)

2

n n -=

当n ≥6时，12||||||n n S a a a ∴=+++ 1256n a a a a a =+++---

1251234562()n a a a a a a a a a a =+++--------

＝

(205)(5)

502

n n --+

综上所述n S =???

????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2

)

545(n n n n n n

【易错点点睛】一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和. 【原题】已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 【错误分析】：S 30= S 10·q 2

. ∴ q 2

＝7，q ＝7±，∴ S 40= S 30·q =770±

【答案】200

【解析】由题意：???????=--=--701)1(101)

1(30

1101q

q a q q a 得?????-==-=-)

(3210110101舍去或q q q a ，∴S 40=2001140

1=--）（q q a 【易错点点睛】是将等比数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列. 【原题】．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =

A ．2744

n n + B ．2533n n + C ．2324n n + D ．2n n + 【错误分析】： 【答案】A

【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得(22)22(25)d d +=?+，解得1

2

d =

或0d =（舍去），所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244

n n n n n

S n -=+?=+ 【易错点点睛】该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力 【原题】已知数列{}n a 中，156a =,1

111()32

n n n a a ++=+，求n a 【错误分析】：

【答案】113()2()2

3n

n

n a =-

【解析】在1111()32n n n a a ++=+两边乘以12+n 得：1

122(2)13

n n n n a a ++?=?+

令2n n n b a =?，则1213n n b b +=

+,应用待定系数法得：232()3

n n b =- 所以113()2()223

n n

n n n b a ==- 【易错点点睛】已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出的递推公式形式，然后选择合理的变形. 【原题】已知等比数列{}n a 的首项为3

11=a ，公比q 满足10≠>q q 且．又已知1a ，35a ，59a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项．（2）令n

a n

b 1

3

log =，求证：对于任意n N *

∈，都有

12231

1111...12n n b b b b b b +≤+++< 【错误分析】：数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。 【答案】（1）3n n a -=（2）见解析

【解析】（1）∵315259a a a ?=+ ∴24111109a q a a q =+ ∴4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴1

3

q =

∴113n n n a a q --== （2）证明：∵1

3

3log log 3n

a n n

b n === ，

11111

(1)1

n n b b n n n n +==-

++ ∴

12231

111

...n n b b b b b b ++++

1111111122311n n n =-+-++-=-++ 12231

1111

...12n n b b b b b b +∴≤+++<． 【易错点点睛】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第（２）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项1

11

n -+，进而由n 的范围证出不等式．

【原题】已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；（3）当a>0时，求数列{}n a 的

最小项。

【错误分析】：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 【答案】（2）43a =-

（3）当1(0,)4a ∈时，最小项为8a-1； 当1

4

a =时，最小项为4a 或8a-1； 当11(,)42a ∈时，最小项为4a ； 当12a =时，最小项为4a 或2a+1；当1

(,)2

a ∈+∞时，最小项为2a+1。

【解析】（1）∵2n a b n n +=

∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+，∵1a ≠-，∴ 20b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列。

【易错点点睛】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查．

【原题】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1),1n

n n S a n =+-≥．求数列{}n a 的通项公式.

【错误分析】：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推

理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.

【答案】2

12[2(1)]3

n n n a --=

+- 【解析】由1111211a S a a ==-?=

当2≥n 时，有

,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a

11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-

].)1(2[3

2

3

]

)2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11a =也满足上式，所以2

12[2(1)]3

n n n a --=

+- 【易错点点睛】有些数列给出{n a }的前n 项和n S 与n a 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n n a S S ++=-导出1n a +与n a 的递推式，从而求出n a 。

【原题】已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，

⑴设数列12(1,2,)n n n b a a n +=-= ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列,(1,2,)2n

n n

a c n =

= ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

【错误分析】：由于{n b }和{n c }中的项都和{n a }中的项有关，{n a }中又有1n S +=4n a +2，可由2n S +-1n S +作切入点探索解题的途径． 【答案】⑶n S =2

1

n -(3n-4)+2

【解析】(1)由1n S +=4n a +2，2n S +=41n a ++2，两式相减，得2n S +-1n S +=4(1n a +-n a )，即2n a +=41n a +-4n a ．(根据n b 的构造，如何把该式表示成1n b +与n b 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

2n a +-21n a +=2(1n a +-2n a )，又n b =1n a +-2n a ，所以1n b +=2n b ①

已知2S =41a +2，1a =1， 1a +2a =41a +2，解得2a =5，1b =2a -21a =3 ② 由①和②得，数列{n b }是首项为3，公比为2的等比数列，故n b =3·2

1

n -．

当n ≥2时，n S =41n a -+2=2

1

n -(3n-4)+2；当n=1时， 11S a ==1也适合上式

综上可知，所求的求和公式为n S =2

1

n -(3n-4)+2．

【易错点点睛】1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件142n n S a +=+得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

【原题】已知数列{}n a 的前n 项为{}2

251(),n n A n n n N b =++∈数列的前n 项和满足32

n n B b =

3

()2

n N -∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c 的通项公式；

【错误分析】：已知n n s a 求，一般由1n n n n n a s a s s -=-和的关系（2n ≥）来求得，然后再研究其他问题，本题的难点在于判定来那个个数列的公共项. 【答案】（I ）8(1)

43(2,)

n n a n n n N =?=?

+≥∈? (II) 213n n c +=

【解析】（I ）2

2

12(1)5(1)122(2)n A n n n n -=-+-+=-≥ ，143n n n a A A n -∴=-=+

∴

(II)由1133,13,2,22n n n n n B b n b n b B B -=

-==≥=-令得当时,即13

()2

n n n b b b -=-

1

3n n b b -∴

=,故{}n b 的通项公式为133 3.()n n

n b n N -=?=∈

设数列{}n a 中的第γ项与数列{}n b 中的第n 项相同，则有433n γ+=

由此33

4

n N γ-=∈ ∴必有n 为奇数2k+1()k N ∈，故{}

n c 的通项公式为213n n c += 【易错点点睛】本例主要复习了通过前n 项和求数列的通项,并学会通过观察两个不同数列,找出公共项通过化归写出新数列的通项.

【原题】设等差数列{an}的前n 项和为Sn 已知a3=12, S12＞0,S13＜0 (Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由

【错误分析】：（1）依据12130,0s s ><直接列方程求解d 的范围即可；（2）判断出转折项即可找出前n 项和的最大值. 【答案】(Ⅰ) 24

37

d -

<<-(Ⅱ) S 6 【解析】(Ⅰ)依题意,有 12112(121)

1202

S a d ?-=+

?>

13113(131)

1302S a d ?-=+?<，即11

2110(1)60(2)a d a d +>??+

(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 247030

d d +>??

+

37d -<<- (Ⅱ)由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得an ＞0,an+1＜0, 则Sn 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值由于S 12=6(a 6+a 7)＞0, S 13=13a 7＜0，即 a 6+a 7＞0, a 7＜0 由此得a 6＞－a 7＞0因为a 6＞0, a 7＜0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大

【易错点点睛】无论应用二次函数求最值，还是利用找转折项求最值，两种方法都具有一般性，但是需要注意的是，利用二次函数求最值，要注意n 只能取正整数，找转折项可以通过利用通项公式解不等式，但是计算比较繁琐，这时可以合理选择应用数列的性质，以简化运算和判断. 【原题】已知数列{}n a 满足411=

a ，()),2(2

111

N n n a a a n n n n ∈≥--=--．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设2

1n

n a b =

，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2

)12(sin

π

-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，7

4<

n T ． 【错误分析】：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明

通常是放缩通项以利于求和。

【答案】（Ⅰ）1

23)1(1

1+?-=--n n n a （Ⅱ）34629n n

n S n =?+?+- 【解析】（Ⅰ）12)1(1---=n n n a a

，])1(1

)[2()1(111

---+-=-+∴n n n n a a ，

又3)1(11=-+a ，∴数列()?

??

???-+n n a 11是首项为3，公比为2-的等比数列．

1

)2(3)1(1--=-+n n n a ， 即1

23)1(11+?-=--n n n a . （Ⅱ）12649)123(1121+?+?=+?=---n n n n b ．

9264321)21(1641)41(19-+?+?=+--??+--??=n n S n n n n n ．

（Ⅲ）1

)1(2)12(sin --=-n n π ， 1

231)1()2(3)1(1

11+?=----=∴---n n n n n c ． 当3≥n 时，则1

231

1231123113112+?+++?++?++=

-n n T <21

22

1121

1321])(1[28112

312312317141--+=?+?+?++--n n 7

484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=

-n ． 321T T T << ， ∴对任意的*∈N n ，74

【易错点点睛】本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ，第三问不等式的证明要用到放缩的办法。

【原题】已知函数()2

f x x x =+.(1)数列{}n a 满足: 10a >,()1n n a f a +'=,若

111

12n

i i

a =<+∑对任意 的n N ∈恒成立,试求1a 的取值范围;(2)数列{}n

b 满足: 11b =,()1n n b f b +=()n N ∈,

记1

1n n c b =+,k S 为数列{}n c 的前k 项和, k T 为数列{}n c 的前k 项积,求证1710n

k k k k

T S T =<+∑.

【错误分析】：数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个

知识点交融的题，这应是命题的一个方向。 【答案】(1)13a ≥

【解析】(1)因为()21f x x '=+,所以121n n a a +=+.于是()1121n n a a ++=+,110a +>, {}1n a +为等比数列,所以()1

1112

n n a a -+=+,从而1

1111112n n a a -??

= ?

++??

,

有

11

1n

i n a ==+∑ 211111111112111122211212

n a a a -??++++

.故13a ≥. (2)因为()1n n b f b += (1)n n b b =+, 所以111n n n n b c b b =

=++,122311

1

n n n n b b b T b b b b ++==

,1(1)n n n b b b +=+, 111n n b b += 11n b -+,1

11

n n n c b b +=-.即有1211111111k k k k S b b b b b ++=-++-=-

. 由()11k k k b b b +=+,显然0n b >,知2

1k k b b +>,即

2111

k k

b b +<. 因为1231,2,3b b b ===,所以111

11

2n

n

k k k k k k T S T b ==+=<+∑∑

22421

111117616662106

16

k -+++++<+=- . 【易错点点睛】题目立意新颖,将函数、导数、数列的性质及求和的各种方法融为一体构成综合性推理题,考察同学们阅读理解、逻辑分析、运算求解能力及应用意识.这类题型是近几年高考命题的一个方向,要引起高度重视.

【原题】(1)证明: ()ln 1(0)x x x +<>(2)数列{}n a 中. 11a =,且1

1112n n n a a --??

=+

???

()212n n +

≥; ①证明: ()724

n a n ≥≥ ②()2

1n a e n <≥ 【错误分析】：数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数

列的应用性解答题.此外,高考也一定会出现解不等式的传统题目. 【答案】见解析

【解析】:(1)设()()ln 1f x x x =+-,则()()110011x

f x x x x

-'=

-=<>++.所以()f x 在()0,+∞内是减函数, ()00f =. 又()f x 在0x =处连续,所以()()00f x x <>. 即()ln 1(0)x x x +<>

(2) ①用数学归纳法证之.a.当2n =时, 27744a =

≥; b.假设n k =时, 7

4

k a ≥;当1n k =+时, ()121117112

241k k k

k k

k

a a a a k +?

??

?

=++>+≥≥ ? ?????

+,结论成立.综上,对一切2n ≥,有74n a ≥.②由①及已知得()11n a n ≥≥,所以1121112n n n a a n --?

?≤++< ??? ()()1111221n n n n -??++≥??-?

?.

所以()1

11ln 1ln 121n n a n n -??

<++

+??-??

, 又由(1)得()()111111ln 12121n n n n n n

--??+

+<+??

--??, 所以()111111111ln ln ln 2121n n n n n a a a n n n n ----??<+

+=++- ?--??

, 122

111ln ln 221n n n a a n n ---??<+

+- ?--??

,…… 2111ln ln 122a a ??

<++- ???

.

相加,得1

121111111

ln ln 1222222n n n a a n n

--??????

<+++++-=--

< ? ? ?

??????

,故不等式2n a e <成立. 【易错点点睛】本题是一道改编题,属于理科数学的预测题.递推数列与不等式证明的结合,是历年高考命题的常见策略. 把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（2）问不等式的证明更具有一般性

【原题】已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<< （Ⅱ）21;2n n a a +< （Ⅲ）若12,2

a =则当n ≥2时,!n n

b a n >?. 【错误分析】：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。 【答案】

【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*

n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时,

因为0

x

f x x x '=-

=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 所以f(0)

又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<.

综上可知10 1.n n a a +<<<

(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)=

2

ln(1)2

x x x ++-, 0

由2

()01x g x x

'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而2

1.2

n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=

≥+,所以0n b >,1n n

b

b +12n +≥ ,

所以1211211!2

n n n n n n b b b b b n b b b ---=

??≥? ——① ,

由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =3121212122

2n n n a a a a a a

a a a --?< ,

因为12

2

a =, n≥2, 10 1.n n a a +<<<所以 n a 1121222n a a a a -<

? <112n n a -<2122n a ?=12n ——② .

由①② 两式可知: !n n b a n >?

【易错点点睛】本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 【原题】过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于),(222y x P ，过点P 2作曲线C 的切线l 2与曲线C 交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，

2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x = 已知（1）求点P 2、P 3的坐标； （2）求数列}{n x 的通项公式.

（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ，求证：9

411121>+++n d d d .

【错误分析】：有关数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等问题既是考查的重点，也是考查的难点。

高中数学-数列公式及解题技巧

数列求和的基本方法和技巧 除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。

二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出 了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列 的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。 [例] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S （ 1≠x ）………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2 1 1= a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明： 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

(完整版)高三文科数学数列专题.doc

高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；

1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式

高考数学数列答题技巧解析

2019-2019高考数学数列答题技巧解析 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。下面是查字典数学网整理的数学数列答题技巧，请考生学习。 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面； (1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。 试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关 问题。 2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。 3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析

【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n .

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

必修5数列 2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3 a a a a a a a ++++=-则的值为 A ．14 B ．15 C ．16 D ． 17 3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大． 解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>， ，又 4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为． 解：∵ ，，， ，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ， 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，． ①求出公差d 的范围； ②指出1221S S S ，， ， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a a a a S + =+=36(27)0a d =+> ② 12671377666()013000 S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。 1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于() A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 794121215a a a a a +=+∴= A 2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==． 54

3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+= 1 1 10201930 123050 21019502 n a d a a a a n a d d +==??==∴∴=+??+==??，解方程组 5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分 钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇? 故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2 1 -++= n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列? ?? ?? ? +11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由． 12122(1)(1)() 2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+∴数列{}n a 为等差数列． ②1)1(311-+==+n n a n na a ，

人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版

——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word 版 ______年______月______日 ____________________部门

———综合训练篇 一、选择题： 1． 在等差数列中，，则的值为 （ D ）{}n a 120 31581=++a a a 1092a a - A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A ．16 B ．32 C ．64 D ．27{}n a 30,8531==+S a a {} n b ,,4311a b a b ==5b 3．等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{} n a 1 a {a （ C ）A ．66 B ．144 C ．99 D ．297 4．各项都是正数的等比数列的公比q ≠1，且，，成等差数列，则为（A ） A ． B ． C ． D ．或{} n a 2a 321a 1 a 5 443a a a a ++2 15-215+2 51-2 1 5+215- 5.设等比数列的前项和为，若则（ B ）{}n a n n S ,33 6=S S = 69S S A. 2 B. C. D.3738 3

6．已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向 量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,) n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈ A. B. C. D.1(2,)2 1(,2)2--1(,1) 2--(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列，则 的值为（ C ） A ． B ． C ． D ．a 1b 1c 1a c c a +15941594±15341534 ± 8． 已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){} n a ,1323211 ????????-??? ??? ? ? ??=--n n n a A ．最大项为最小项为 B ．最大项为最小项不存在,1a 3 a ,1a C ．最大项不存在，最小项为 D ．最大项为最小项为3 a ,1a 4a 9.已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大 值的是（B ）{}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ， 且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n －2·an ，且Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn ，若

高中数学50个解题小技巧

高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________

1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：

S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了

高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc

数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 )

2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为

例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1

高三数列专题练习30道带答案

高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列 典型例题分析 【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数 列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an } 的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d ++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a =2n ，由等比数列前n 项和 公式得 S m =2+22+23+…+2n =2(12) 12 n --=2n+1-2. 小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是 等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）.

【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、 常用求通项公式的结合 例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前 三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝ 8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等 差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n －1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4， b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n