浙教版八年级三角形中
几种模型
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一、手拉手模型： 1手的判别：
判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义
两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7）
GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4）
AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证
明：
（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.
问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立
（2）AE 是否与CD 相等
（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分∠AHC
例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H
问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立
（2）AG 是否与CE 相等
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE
例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二
者相交于H.
问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立
（2）AG 是否与CE 相等
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE 二、半角模型
1、条件：
.
1802
10=+=γθβα且
2、思路：①截长补短 ②旋转
例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，
求证：①.∠MAN=
45 ②.
AB
C CMN 2=?
③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.
例2拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN=
45，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， ①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.
例3.在四边形ABCD 中，∠B+∠D=
180，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.
求证：.
21
BAD EAF ∠=∠
练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别
是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2
1
∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，
若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明.. 练习巩固2：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．
（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到
BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明．
练习巩固3：在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ?外一点，且
60MDN ∠=?，120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M N ，
分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系． （1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式
_________；此时
Q
L
=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的
猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示) 练习巩固4：如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。 求证：（1）MN=MB+DN ；
（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）
=
ABCD CMN S 2AB
S MN
； （5）若∠MAB =20°，求∠AMN ； （6）若(
)
∠=ααMAB 0
45，求∠AMN ；
（7）=+222EF EB DF ；
（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）
=
AEF AMN
S 1S
2
。 三、三垂直模型（一线三等角）（K 型） 1、常见的一线三垂直的模型。
例1：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE ⊥BF ，垂足为点G ． 求证：AE=BF ．
变式训练：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点
F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
例2：.如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ．B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF 。 求证：∠ADP=∠EPB ；
N
M O
A
B
P 2
图4
32
1
A
C
P B
D A
B
C
图1
求∠CBE 的度数；
例3：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ．
（1）你能找到一对三角形的全等吗并说明．
（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立
四、角平分线模型 1、边垂直
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作 PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA
例1：（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。
例2：如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC
的平分线BP 交于点
P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 例3：．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD
平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2、翻折全等（对称）
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。
Q
P
O
N
M
例1：（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
例2：．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。
例3：如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，
DE=AD 。求证：BC=AB+CE 。
例4：已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。 求证：BC=AB+CD 。
3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。 结论：△AOB 是等腰三角形。
例1：如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ， CE ⊥BD ，垂足为E 。求证：BD=2CE 。
例2：如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D 。 求证：∠2=∠1+∠C 。
例3：（1）如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点A 作AD ⊥BD 、
AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE 。 求证：(1)AB+AC+BC=MN
（2）如图②，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立 成立请说明理由，若不成立，那MN 与△ABC 三边又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并进行证明。
（3）如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变。MN 与△ABC 三边又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并进行证明。 4、角平分线+平行线→等腰（底角相等） 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
例1：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交
于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N 。若BM+CN=9，则线段MN 的长为 。
3． 例2：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在CD 上，且AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC 。求证：AD=AB-BC 。
一、手拉手模型： 1手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？
例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 二、半角模型 1、条件： 2、思路：①截长补短 ②旋转 例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN= ②. ③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM. . 1802 10=+=γθβα且 45AB C CMN 2= ?
八年级专题复习---第二章 特殊三角形 知识点回顾 一、等腰三角形 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定 （1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）三条边都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符 号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称 之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的 两条直角边和斜边，那么222c b a =+ 3、直角三角形判定 (1)根据定义判定 (2)两内角互余的三角形是直角三角形. (3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 四、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴ 2、勾股定理的应用： （1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n 的线段. 3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
一、新课： 1、 在右下图中你能用符号表示上面的三角形吗？ 2、它的三个顶点分别是 ，三条边分别 是 ，三个内角分别是 。 3、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边 之和以及任意两边之差。你发现了什么？ 结论：三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 例1：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？ 为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 巩固练习： 1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ） （1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11， 12， 22 （5） 14， 15， 30 2、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。若X 是奇数，则X 的值是 。 A B C a b c
这样的三角形有 个 若X 是偶数，则X 的值是 。 这样的三角形又有 个 3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长 是 cm 4、一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长 是 cm 小 结：掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。 二、三角形的内角性质 根据自己手中的一副特殊的三角板，知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？（提出问题，激发学生的兴趣） 让学生用自己剪好的一个三角形，把三个角撕下来，拼在一块。你发现了什么？小组交流。 结论：三角形三个内角和等于180°（几何表示） 例2 、如右图，在△ABC 中，∠A ＝x 3°∠＝x 2°∠＝x °求三个内角的度数。 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，（ ） ∴=++x x x 23 ∴x 6= ∴x = 从而，∠A= ，∠B= ，∠C= 练习2 1、判断： （1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） x 2x 3x A B C
D B C A F E 三 角 形 一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ） （A ）17 （B ）22 （C ）17或22 （D ）13 2、 等边三角形的对称轴有 （ ） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ） A 3, 3 ,6 B 8, 12，13 C 6 ,7 ,8 D 8, 10 ,6 4、 已知ΔABC 的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC 的面积是 （ ） A 6c ㎡, B 7.5c ㎡ C 10c ㎡ D 12c ㎡ 5、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ） A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 6、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ） A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 7、等腰三角形的一个内角为40o，则它的底角为（ ） （A ）100o （B ）40o （C ）70o （D ）70o或40o 8、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） （A ）∠A=30o、∠B=60o （B ）∠A=50o、∠B=80o （C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 9、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角三角形 10、如图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（ ） A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 二．填空题 1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。 2、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A 的余角为______度. 3、 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 4、已知等边三角形的周长为24cm ，则等边三角形的面积为_______c ㎡ 5、Rt △ABC 的斜边AB 的长为10cm ，则AB 边上的中线长为________ 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2cm ，则AB=_____cm 。 7、等边三角形两条高线相交所成的钝角为________度 8、若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ 。 9、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线AF 、 CE 相交于点D ，且∠B=70o，则∠ADE 的度数为_________ 10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是AB 边上的高，若AC=4， BC=3 ，则CD= D C B A D C B A
三角形边之间的关系 1、_____________cm 8cm 5cm 4cm 2为可以组成三角形的个数，那么 取三根组成一个三角形长的四根木棒，任意选，，，现有 2、的取值范围边则第三 满足其中的三边长分别为设△c ,0)4(6,,,,2=+-+-+b a b a b a c b a ABC 3、个形的个数有的三角，但不是最短边，这样为整数，其中一边长是已知三角形的三边长均_________4 4、PC BP AC AB ABC P +>+内任意一点，证明： 是△如图， 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AD<12 (AB+AC) AC AB CE DE BD E D ABC +<++两点，求证：中有如图，在△, 三角形角与角的关系 1、求法呢？写出你的思考 ）想一想，还有其他的的度数）求，平分，于点，中，如图，在△216080AEC B DAC AE D BC AD BAC ABC ∠?=∠∠⊥?=∠ ）（，求证：和分别平分已知：如图，D B M BCD BAD CM AM ∠+∠=∠∠∠2 1,
的度数 A 求∠ 110 = BG C ∠ 140 = BDC 若∠ ， G 交于 CE 与 BE 的平分线平 ACD 是∠ CF 的角平分线角 ABD 是∠ BE 如图 ， ， ， ? ? _________ 66= ∠ ? = ∠P FGE AM E B AN C F ABC P AFE G ，那么 上，如果 在 ， 上，点 在 ， 点 的两外角平分线的交点 是△ ， 的两外角平分线的交点 是△ 如图， 2、 A BPC ACB ABC P ABC ∠ + ? = ∠ ∠ ∠ 2 1 90 3,2,1 求证： 角平分线的交点 和 是 ，若点 ，已知△ 如图 3、 别为多少度？ 分 ， ， ；依次类推，则 ； 的角平分线，交于点 ， ，再作 的角平分线，交于点 ）的条件下，若再作 ）在 的度数 求 ）若 的度数 ，求 ）若 的角平分线交于点 与 上， 在直线 如图，点 n 3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 , 2 3 A m, 2 60 1 A A A A CE A BE A A CE A BE A A A A A ACE ABC BE C ∠ ? ∠ ∠ ? ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ = ∠ ∠ ? = ∠ ∠ ∠
浙教版八年级三角形 中几种模型 Revised on November 25, 2020
一、手拉手模型： 1手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证 明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ ABD=∠CBE=a
连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立 （2）AE是否与CD相等 （3）AE与CD之间的夹角为多少度 （4）HB是否平分∠AHC 例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立 （2）AG是否与CE相等 （3）AG与CE之间的夹角为多少度 （4）HD是否平分∠AHE 例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG≌△CDE是否成立 （2）AG是否与CE相等 （3）AG与CE之间的夹角为多少度 （4）HD是否平分∠AHE 二、半角模型 1、条件： . 180 2 1 = + =γ θ β α且 2、思路：①截长补短 ②旋转 例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN= 45 ②. AB C CMN 2 = ? ③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
第二章练习卷 一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为( ) (A)17 (B)22 (C)17或22 (D)13 2、 等边三角形的对称轴有 ( ) A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 ( ) A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,5 4、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 ( ) A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 6、等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为( ) (A)100o (B)40o (C)70o (D)70o或40o 7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是( ) (A)∠A=30o、∠B=60o (B)∠A=50o、∠B=80o (C)AB=AC=2，BC=4 (D)AB=3、BC=7，周长为13 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形 9、如上图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有( )个 A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有( ) (A)1个 (B)4个 (C)7个 (D)10个 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)以上都有可能 12．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) (A)线段 (B)角 (C)等腰三角形 (D)直角三角形 13．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为( ) (A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm 14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是( ) (A)2个角分别相等，且有一边相等; (B)3个角对应相等; (C)2边分别相等，且第三边上的中线也相等; (D)一边相等，且这边上的高也相等 15．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于( ) (A)2a (B)3a (C)4 a (D)以上结果都不对 16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=( ) (A)55° (B)60° (C)65° (D)70° B A D C E B ' B A C A ' B A D C (4) (5) (6) 17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，?那么这个三角形是( ) (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)可能是锐角三角形 (D)以上说法都不对 18．如图5所示，在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△A ′B ′C?′≌△ABC ，? 则∠BCA ′:∠BCB ′等于( ) (A)1:2 (B)1:3 (C)2:3 (D)1:4 19．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5， 则DC 的长度是( ?) (A)85 (B)45 (C)165 (D)225 20．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任 一点，则MC 2-MB 2?等于( ) (A)9 (B)35 (C)45 (D)无法计算 21. 一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ，那么梯子的顶端距墙脚的距离是 ( ) A. 0.7m B. 0.9m C. 2.4m D. 2.5m 22. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° D C B A B A D C M
G E F C B D A (1)P C B A (2) P C B A 1.1认识三角形 【例题讲析】 例1：如图,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择(3)加以说明. 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B),试说明∠EAD=1 2(∠C-∠B). 例2.如 图,在△ABC 【巩固练习】 1．在 △ABC 中，AB ＝4a ，BC ＝14，AC ＝3a ．则a 的取值范围 是 ( ) A ．a ＞2 B ．2＜a ＜14 C ．7＜a ＜14 D ．a ＜14 2．已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M ＝(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)(a －b －c)， 那么 ( ) A ．M ＞0 B ．M ＝0 C ．M ＜0 D ．不能确定 3．周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 A ．23P m P <≤ B ．23P m P << C ．2 3P m P ≤< D ．23P m P ≤≤ 4．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是 （ ） A ．18 B ．15 C ．18或15 D ．无法确定 5.下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A.∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3 B.∠A+∠B=∠C C.∠A= 21∠B=3 1 ∠C D.∠A=2∠B=3∠C 6.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 7.已知,△ABC 中,点D 、E 、F 分别在三边上,E 为AC 中点,AD 、BE 、CF 交于一点G,BD=2DC,S △GEC =3, S △GDC =4,则△ABC 的面积是( ) A.25 B.30 C.35 D.40 8. BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 与CF 交于G,若∠BDC= 140°,∠BGC=110°,则 ∠A 的大小是( ) A.70° B.75° C.80° D.85° 9.如图，三角形纸片ABC 中，∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内。若 ∠1=20°，则∠2的度数为( ) A 65° B 75° C 60° D 80° 10．在△ABC 中，AB ＝6， AC ＝10，那么BC 边的取值范围是________，周长的取值范围是_________. 11．在△ABC 中，∠A －∠B ＝30°、∠C ＝4∠B ，则∠C ＝________． 12.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______. 13．在等腰△ABC 中，如果两边长分别为6cm 、10cm ，则这个等腰三角形的周长为____________ 14．如图5—14，△ABC 的两个外角的平分线相交于点D ，如果∠A ＝50°，那么∠D ＝_____． 15．如图5—15，△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD 、CD 交于点D ，则∠BDC ＝_____． E A
一、等腰三角形定义及其性质 【知识梳理】 1．等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线．【例题精讲】 例1．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数． 例2．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是__________ ．
例3．探究题： （1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为；直接写出结论，不用证明． ②线段AD、BE之间的数量关系是．直接写出结论，不用证明． （2）拓展探究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 猜想：①∠AEB= °；②（CM、AE、BE的数量关系）． 证明：。 【巩固练习】 1．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 __________ ． 2．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分
考点分析 1、掌握等腰三角形的性质及判定定理 2、掌握直角三角形的性质 3、特殊三角形在全等证明中的运用 4、掌握勾股定理的计算方法 知识点概要 1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形 2、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 PS:等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 4、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余
2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优 姓名班级学号 基础巩固 1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR= PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1题第2题第3题 2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB 上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）. A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是 （）. A.124° B.122° C.120° D.118° 第4题第5题 4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知 等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ . 5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD = 3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .
6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE. （1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD. （2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点. 7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧 作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时. ①依题意将图1补全. ②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明. （2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.
浙教版八年级三角形中 几种模型 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一、手拉手模型： 1手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证 明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立 （2）AE 是否与CD 相等 （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分∠AHC 例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二 者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE 二、半角模型 1、条件： . 1802 10=+=γθβα且 2、思路：①截长补短 ②旋转 例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，
1.4全等三角形 教材分析 本节课为《全等三角形》，是浙江版七年级数学下册第一章《三角形的初步知识》第四节内容。在本章中学生已学过《认识三角形》, 《三角形角平分线中线》, 《三角形的高》,构成本章内容的基础,为下一步学习全等三角形的判定做好准备.因此本节课具有承上启下的重要作用. 学习了三角形的基本知识后，紧接着安排了本节课内容，由探讨一个三角形的基本性质上升到探讨两个三角形之间的关系，使学生感到亲切自然，符合七年级学生的认知规律，也为后续探讨三角形全等的条件打好基础。课文中安排了一些美丽的全等图片及利用透明纸片进行折叠活动等情景，有利于帮助学生对全等图形的感性认识。 本节课提出了全等图形、全等三角形、全等三角形的对应顶点、对应边、对应角等概念以及利用全等三角形的概念得到全等三角形的性质，是一节概念课，也是一节基础课。学生对有关概念的理解并不难，但利用概念说明三角形全等就比较抽象，难以理解。同时根据全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等是今后证明线段相等和角相等的基本方法。 教学目标 知识目标：（1）了解全等图形的概念，会用叠合等方法判定两个图形是否全等。 （2）知道全等三角形的有关概念，能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对 应边、对应角。 （3）会说出全等三角形的性质 能力目标：通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的 意识。 过程与方法：采用引导探究法和讲授法相结合的方法来完成这节课的教学,旨在引导学生积极思考,勇于探究。另外在教学中,运用多媒体课件进行动 态和直观的演示,使学生在获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造 条件,而且这样可以激发学生的学习兴趣,符合数学论中的直观性和可 接受。 情感目标：通过各种真实、贴近生活的素材和问题情景，激发学生学习数学的热情和兴趣。在合作学习中，学会交流，互相评价. 重难点分析： 重点：全等三角形的性质。 难点：确认全等三角形的对应元素。 设计思想： 一、创设情景，引入新课。 情景1：展示几组图形（全等图形），让学生观察每组图形中的两个图形之间有何关系？
一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) （3） 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三 角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D
1.1认识三角形 1．在三个内角互不相等的△ABC中，最小的内角为∠A，则在下列四个度数中，∠A最大可取() A. 30° B. 59° C. 60° D. 89° 2.若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是() A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 （三角形内角和180度和锐角、直角钝角三角形区分知识点） 3在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E 处，你知道这是为什么吗？ （三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短知识点） 4如图在△ABC中AD是高AE、BF是角平分线它们相交于点O，∠CAB＝50°∠C＝60°求∠DAE和∠BOA的度数． （高线和角平分线的角度知识点，角度的灵活计算） 5.．如图在△ABC中AB＝AC，P是BC边上任意一点PF⊥AB于点FPE⊥AC于点EBD 为△ABC的高线BD＝8求PF＋PE的值． （面积法应用或全等翻折）
1 直角三角形练习 1、填空题： （1）在△ABC 中，若∠A=∠B+∠C ，则△ABC 是 。 （2）在△ABC 中，∠C=90°，∠A =2∠B ，则∠A= ，∠B= 。 （3）在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 是 三角形。 （4）直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是 度。 （5）已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°， AD⊥BC 于D ，DE⊥AB 于E ，BE=1，BC= 。 （6）在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C，且AC= 21AB ，则∠B= 。 2选择题： （1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上都错 （2）如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形或钝角三角形 （3）用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰三角形 D ．梯形 （4）.如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC ，D 为AB 的中点， 有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°； ④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、解答题： （1）已知等腰三角形一腰上的高与底边成45°角，若腰长为2cm ，求它的面积。 （2）在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的 长。 A B C D E A B C D E F
浙教版八年级上册专题复习-- 特殊三角形． 八年级专题复习---第二章特殊三角形 知识点回顾 一、等腰三角形
1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定 （1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。（2）三条边都相等的三角形是等边三角形°的等腰三角形是等边三60）有一个角等于3（． 角形。 三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，
那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c?ab?、直角三角形判定3 (1)根据定义判定. 两内角互余的三角形是直角三角形(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平(3) 方，那么这个三角形是直角三角形． 四、勾股定理、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等1. 于斜边的平方
第一章 三角形的初步认识 1、 如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC 2如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的 两侧，AB ∥DE ， BF =CE ，请添加一个适当的条件： ， 使得AC =DF . 3、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( ) A 、 B 、 C 、 D 、 4、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( ) A 、两点之间的线段最短； B 、三角形具有稳定性； C 、长方形是轴对称图形； D 、长方形的四个角都是直角； 5、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A 、一个锐角，一个钝角； B 、两个锐角； C 、一个锐角，一个直角； D 、一个直角，一个钝角； 6、以下不能构成三角形三边长的数组是( ) A 、(1，3，2) B 、(3，4，5) C 、(23，24，2 5) D 、(3，4，5) 7、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( ) A 、115° B 、120° C 、125° D 、130° B A C D E F 图1 图2
8、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A 、第1块； B 、第2块； C 、第3块； D 、第4块； 10、在△ABC 中，若∠A －∠B=90°，则此三角形是________三角形；若C B A ∠=∠=∠3 1 21，由此三角形是_______三角形； 11、如图6，已知AC=BD ，要使△ABC ≌△DCB ， 只需增加的一个条件是________________； 12、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm ； 13、如图7，在△ABC 中，已知AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=________ 14、如图8，把矩形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，如果AD=35cm ，DM=5cm ，∠DAM=30°，则AN=_____cm ，NM=______cm ， 1 2 3 4 图3 A B C D O 图6
B A O C E 图8 浙教版八年级数学上册 全等三角形压轴题及分类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c C B O D 图7 A E A B C M N O P Q
3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，, M N分别为, EB CD的中点，易证： CD BE =，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ， 的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM=； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 图9 图10 图11 C E N D A B M 图① C A E M B D N 图②