第五章立体及其表面的交线§5.1 平面立体
§5.2 曲面立体
§5.3 立体与立体相交
§5.1 平面立体
(a)(b)
一、平面立体的投影及其表面上的点
1.棱柱
2.棱锥
一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。
1"
1
1'r r I R 三棱锥表面上取点
2" 2'
2'
2
三棱锥表面上取点
1'
I 二、平面与平面立体相交的投影
2’
2”2
1Ⅱ
1"侧垂面棱线例1:补全切口三棱锥的投影.
8711
1"2"10"5"6"9"4"3"9
61（3）
2（4）
105
7"11"8"1
112
910431'（2'）
8'（7'）3'（4'）
10'（5'）
9'（6'）
11'
例2：求立体截切后的投影
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3'
2'
1'
(4')
1"
●
2"
●
4"●
3"
●
1
●
2●
4●
?空间分析
3
●?投影分析
?求截交线
?分析棱线的投影
?检查尤其注意检查截交线投影的类似性
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。12
1'(2')2"●1"●
注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线
后再取局部。
例5：被三棱柱穿孔的四棱柱
§5.2 曲面立体
（1）圆柱体的投影
（2）圆柱体的投影特点
例1：分析圆柱轮廓素线的投影
A (D)
C B
（3）圆柱体表面上取点
2.圆锥体
（1）圆锥体的投影
（2）圆锥体的投影特点
（3）圆锥体表面上取点
3.圆球
（1）圆球的投影
(b)
(a)
（2）圆球的投影特点
中职机械制图截交线教学案例 教学前综述 【学科】机械制图（教材版本：中国劳动社会保障出版社（第五版）） 【课题】§3-2截交线的投影作图——平面切割平面体 【教学目的】掌握截交线的两个基本特征；熟练掌握平面切割平面体的截交线作图方法与步骤 【教学重点】平面切割平面体的作图方法与步骤 【教学难点】如何求截平面与立体表面的共有点和共有线 【教时】1课时 【教学方法】演示法、探究法、讨论法等 【教具】机械制图教具模型等 【教学步骤】 一、观察复习提问 同学们，前面我们已经学习了“基本体的投影作图”。请仔细观看模型，如图1中a、b、c、d、e五个几何体，讲出它们的例外特点，归纳什么是平面（几何）体和曲面（几何）体？ （构成几何体的表面均是平面图形的几何体。构成几何体的表面至少有一个表面是曲面几何体） 二、设问导入新课 当几何体被平面切割后，如何求截交线呢？请仔细观看模型，如图2中a、b、c、d、e五个几何体被平面切割后，它们的截面与截交线的例外特点。 （a、c图由一个平面切割形成截面，截交线a图是四段直线，c图是椭圆曲线；b、d图由两个切平面切割形成组合截面，截交线b图是圆弧加四段直线构
成，d图是部分椭圆曲线加四段直线构成；e图由三个切平面切割形成组合截面，截交线是四段圆弧加两条直线构成） 我们先学习平面体被切割后，如何求截交线的问题。 ▲板书1：§3-2截交线的投影作图——平面切割平面体 三、新课讲授 我们一起观看模型，如下图a。 （1）截交线的定义：观察模型得出截交线的定义。 ▲板书2：1.定义：平面几何体被平面切割后的交线叫截交线 （2）平面几何体截交线的基本特征：引导学生观察模型，师生共同探讨，分析得出截交线的两个基本特征。 ▲板书3：2.截交线的基本特征：截交线是封闭的平面图形；是切平面与立体表面的共有线 （3）例题讲解。例题1：六棱柱被一平面切割画出俯视图和左视图。 ▲板书4：图 请问切平面属于什么面？（正垂面）。同学们看黑板，我们来分析并画图。首先（准备）画出六棱柱的左视图；第二在主视图（V面）中找出并标注切平面与六个棱线的交点（分外点）；第三根据“三等规律”画出（标出）各点在俯视图（H面）、左视图（W面）的投影，依点连线得到切面形状；第四检查并画全其他图线。由此，得出画平面体被平面切割后画截交线的方法与步骤。 ▲板书5：3.画平面体截交线的方法与步骤：①分析图形特征，找出分外公共点；②运用“三等规律”，画其他视图对应的分外公共点；③运用分外公共点，画出截交线（公共线）；④检查并画全其他图线。 （4）课堂巩固例题：学生画出正三棱锥被一平面切割后的俯视图、左视图。
第三章立体及立体表面交线 目的要求： 1）掌握平面立体和回转体的投影特性，以及表面取点线的方法 2）熟悉立体表面上常见交线的画法（截交线、相贯线） 重点难点： 1）掌握和熟练运用各种立体的投影特性求解表面取点线的方法 2）熟练求解立体表面上截交线和相贯线 授课学时：8学时 主要作图练习： 1）完成平面立体、回转体的三面投影，平面立体、回转体表面找点、找线。 2）单个截平面截棱柱、棱锥后的三面投影。 3）多个截平面（切口）截棱柱、棱锥的三面投影，尤其是长方体截切后的三面投影。 4）单个和多个截平面截切圆柱、圆锥、圆球后的三面投影，尤以带槽的圆柱和圆球为主。 5）圆柱与圆柱相贯、同轴回转体相贯的各种情况作图、综合作图。 6） 授课内容： 机件形状是多种多样的，经过分析，都是由一些基本几何体所组成。而几何体又是由一些表面所围成，根据这些表面的性质，几何体可分为两类： 平面立体——由若干个平面所围成的几何体，如棱柱、棱锥等。 曲面立体——由曲面或曲面与平面所围成的几何体，最常见的是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。 用投影图表示一个立体，就是把围成立体的这些平面和曲面表达出来，然后根据可见性判别哪些线是可见的，哪些线是不可见的，把其投影分别画成粗实线和虚线，即可得立体的投影图。 §3-1 平面立体的投影 平面立体各表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成，棱线又由其端点确定。因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。 一、棱柱 以正六棱柱为例，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚为一直线。棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影为类似形。
《机械制图》（第六版) 习题集答案
第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范.
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆,试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线;要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径ON的中点M； ②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。 ③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、Ｃ、Ｄ、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、４5mm）. ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3～４、在平面图形上按１：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按１：１在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。 2、已知点A在Ｖ面之前36,点B在Ｈ面之上,点 D在Ｈ面上，点Ｅ在投影轴上,补全诸的两面投 影. ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角 坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做 题.
3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题. 4、作出诸点的三面投影:点A（2５,1５，20）;点Ｂ距离投影面Ｗ、V、H分别为20、10、15；点Ｃ在A之左，A之前１5,A之上12；点Ｄ在A之下８，与投影面V、H等距离，与投影面Ｗ的距离是与H面距离的3.５倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A(25，15，20） Ｂ(20，10，15) Ｃ（35，30，３2) D（４2,12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影,并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题,利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定,坐标值大者为可见；小者为不可见。）
第三章立体的表面交线 截交线：平面与立体表面相交而产生的交线 相贯线：两立体表面相交而形成的交线 第一节截交线 [教学目的] 1、了解截交线的性质 2、掌握截交线的画法 [教学重点] 截交线的一般作图方法 [教学难点] 平面立体截交线的画法 [教学内容] 一、基本概念 1、截断体：当立体被平面截断成两部分时，其中任何一部分均称为~。 2、截平面：用来截切立体的平面。 3、截交线：截平面与立体表面的交线称为~。 基本性质：截交线是立体表面与截平面的共有线； 由于任何立体都有一定范围，故截交线所围成的图形一定是封闭的平面图形。 4、作图时应先确定截平面的位置及其投影特性
二、平面立体的截交线 平面立体的截交线是一个平面多边形。 作图时，先分析截平面的投影特性；确定截平面的形状；再根据投影特点进行作图。 例：六棱锥的截割 三、曲面立体的截交线 曲面立体的截交线一般情况下是一条封闭的平面曲线。 作图时应先找特殊点的投影（利用投影积聚性作图），再找一般点的投影（用辅助直线、平面法作图），最后用光滑的曲线将各点依次连接即可。 1、圆柱的截交线 截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线也不同（长方形、圆、椭圆） 2、圆锥的截交线 截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线也不同（见书80页） 3、圆球的截交线
圆球的截平面是圆。其截平面位置不同，投影随其位置变化。 4、圆环的截交线 截平面与圆环面的相对位置不同，截交线也不同（圆、椭圆、扇面） 三、综合举例 铣床顶尖的投影图
第二节相贯线 [教学目的] 1.了解相贯线的特点 2.掌握相贯线的作图方法 [教学重点]相贯线的作图方法 [教学难点]相贯线的作图方法 [教学内容] 一、相贯线的性质 1、一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特殊情况下是平面曲线或直线。 2、相贯线是两回转体的共有线，也是分界线；故相贯线上所有的点都是两回转体的共有点。 3、作图时，求作相贯线实质上变成求点的投影的问题。 二、利用投影的积聚性求相贯线 （书第87页）
《机械制图》（第六版） 习题集答案
第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。
第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径ON的中点M； ②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。 ③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。 ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。
5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。 2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上， 点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面 投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角 坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做 题。
3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。）
教学环节教学过程及内容 方 法 经典诵读1.《弟子规》诵读。 2.强调课堂纪律及操作规程。调动学生激情，调节课堂气氛。 学习任务 情境 公司的设计部门人员需要根据客户需求作图；公司的生产加工人员，也 需要读懂图纸、会作简单的零件图。 平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多 边形等直线轮廓的平面形。 空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置 有不同的投影特性。 讲 授 法 学习任务 描述 举例说明：铅垂面的投影特性 强调：（1）两个投影均为类似形； （2）一个投影积聚为直线，并反映 β、γ角。 总结投影面平行线的投影特性：两面一 线。要求学生必须掌握表2－3中的图例。 讲 授 法 演 示 法 任务引入 平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边 形等直线轮廓的平面形。 另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。平面投影的实质，就是求平 面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各 点的同面投影依次连线。 问 题 引 入 任务分析 平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。 各种位置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实形的判断上；对于每一种位置平面形的投影，重点讲解其中的一种类型。
学习内容教学方法 任务实施（一）平面对于一个投影面的投影特性 空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投 影特性。 1、真实性当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形。 2、积聚性当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线。 3、类似性当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形， 如图所示。 （二）各种位置平面的投影特性 根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂 直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。 1、投影面垂直面 垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于 V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投 影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W 面的倾角。 举例说明：铅垂面的投影特性 强调：（1）两个投影均为类似形； （2）一个投影积聚为直线，并反映β、 γ角。 总结投影面平行线的投影特性：两面一线。 要求学生必须掌握表2－3中的图例。 对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某 一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。 讲解例题（例2－9）如图2－39（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H 面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α= 45°，求作该平面的V面和 W面投影。 讲 授 法 演 示 法
《机械制图》 （第六版） 习题集答案 第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度 1 2 5 1 2 ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。 3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。
●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。） 6、已知点A距离W面20；点B距离点A为25；点C与点A是对正面投影的重影点，y坐标为30；点D在A的正下方20。补全诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系、两点的相对位置及重影点判断做题。 各点坐标为： A（20,15,15） B（45,15，30） C（20,30,30） D（20,15,10） 第7页直线的投影（一） 1、判断下列直线对投影面的相对位置，并填写名称。 ●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行判断。（具体参见教P73～77） AB是一般位置直线； EF是侧垂线； CD是侧平线； KL是铅垂线。 2、作下列直线的三面投影： （1）水平线AB，从点A向左、向前，β＝30°，长18。 （2）正垂线CD，从点C向后，长15。 ●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行做题。（具体参见教P73～77） 3、判断并填写两直线的相对位置。 ●该题主要利用两直线的相对位置的投影特性进行判断。（具体参见教P77） AB、CD是相交线； PQ、MN是相交线； AB、EF是平行线； PQ、ST是平行线； CD、EF是交叉线； MN、ST是交叉线；
第三章 立体及其表面交线 3-1 棱柱的投影 1．补画正六棱柱的左视图。 2．补画正三棱柱的左视图。 3．补画正五棱柱的俯视图。 4．求六棱柱表面上点的投影。 5．求三棱柱表面上点的投影。 6．求五棱柱表面上点的投影。 （机工高职）机械制图习题集（多学时第2版） 《习题答案》第三章 胡建生 编
3-2 棱锥的投影 1．补画四棱台的俯视图。 2．补画三棱锥的左视图。 3．补画三棱台的俯视图。 4．求四棱台表面上点的投影。 5．用辅助线法求三棱锥表面上点C 的投影。 6．用辅助平面法求三棱台表面上点D 的投影。 （机工高职）机械制图习题集（多学时第2版） 《习题答案》第三章 胡建生 编
3-3 圆柱的投影 1．补画半圆筒的左视图。2．补画半圆筒的主视图。 3．求圆柱表面上点的投影。4．求圆柱表面上点的投影。 （机工高职）机械制图习题集（多学时第2版）《习题答案》第三章 胡建生 编
3-4 圆锥的投影 1．补全1/2圆台的左视图。2．补全1/4圆台的俯视图。3．补画带孔圆台的俯视图。 4．求圆锥表面上点的投影。5．用辅助线法求圆锥表面上点的投影。6．用辅助平面法求圆锥表面上点的投 影。 （机工高职）机械制图习题集（多学时第2版）《习题答案》第三章 胡建生 编
3-5 圆球的投影 1．判断点的空间位置。 点A 位于（最前）点点B 位于（最高）点点C 位于（最左）点 2．补全点的投影。 3．判别点的空间位置，求出圆球表面上点的另外两面投影。想一想，此题有几种解法。 点A 在 左 、 前 、 上 半球上 点B 在 右 、 后 、 下 半球上 （机工高职）机械制图习题集（多学时第2版） 《习题答案》第三章 胡建生 编
《机械制图》公开课教案 [课题] 组合体的表面交线－截交线（一） [教学目标] 一、知识与能力 1、掌握截交线的概念；圆柱截交线及求作方法。 2、会求作圆柱的截交线。 二、学习方法与素质养成 引导学生观察感知，归纳共性，把握交线的变化趋势和物力转换的对应性。过截交线的学习，提高综合应用知识的能力。 [教学重点]圆柱截交线的画法。 [难点分析] 圆柱截交线的画法。 [分析学生] 具有相关的知识基础，截交线的求作有一定的难度。教学过程中，多采用直观教学法，充分利用多媒体课件和实体模型引导学生多观察积累感性知识。 [教学方法] 讲练法、演示法、归纳法。 [教学准备] 多媒体课件、圆规、三角板、模型：截割圆柱体等。 [教学安排] １课时（45分钟） [教学步骤] 讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程] Ⅰ、复习回顾（5分钟） 1、何谓形体分析法？分析过程中注意什么？ 2、讲评作业批改情况和共性问题； 3、预习检测：什么叫截交线？截交线有什么特点？ Ⅱ、导入新课（1分钟） 组合体的表面交线多为组合体在组合(或被切割)过程中所产生的交线或过渡线，按交线的形成和几何性质的不同，分为截交线和相贯线。本节课主要讨论学习截交线的概念和圆柱的截交线。
Ⅲ、新课教学（35分钟） 一、截交线的概念和性质 1、截交线的概念 平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。 2、截交线的性质 （1）截交线一定是一个封闭的平面图形。 （2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点。 因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。 二、圆柱的截交线 1、基本形状 平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状。利用多媒体课件演示平面与圆柱相交所得截交线的形成过程、形状，讲授截平面切割圆柱体，所形成的三种截交线情况，对照教材中表3－1分析讲解。每讲解一种就出示相应的实体模型给学生观看，让学生有直接的感官认识。 2、讲解例题 （1）例一如下图所示（出示实体模型），求圆柱被正垂面截切后的截交线。 分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。 边画图边讲解作图方法与步骤。