第一章 解三角形
1、正弦定理：
在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有：
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD
当无交点则B 无解、
当有一个交点则B 有一解、
当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 当bsinAb 时，B 有一解 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ， 2 2 2 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ； ③若222a b c +<，则90C > ． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 、 D 两点， 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , ∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 练习题 一、选择题 1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为 A ．52 B ． C ．16 D ．4 3、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A 0 90 B 0 60 C 0 120 D 0 150 4 、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ． 1：3：2 D ．3：1：2 6、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 二、填空题（每题5分,共25分） 7、在ABC ?中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 8、在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b c A B C ++++= 9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2 7 = AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72 c =，且60C ? =，又ABC △的 a b +=________________ 三．解答题（2小题，共40分） 13、在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB= 1 3 .（I ）求sinA 的值； (II)设，求?ABC 的面积. 知识点巩固练习（一） 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60， 则底边长为（ ）A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 6030或 B ．0 6045或 C ．0 60120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 知识点巩固练习（二） 一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．0 90 B ．0 60 C ．0 135 D ．0 150 6．在△ABC 中，若14 13 cos ,8,7= ==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．8 1- 二、填空题 1．若在△ABC 中，0 60,1,ABC A b S ?∠===则 C B A c b a sin sin sin ++++=_______。 2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。 3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。 4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。 5．在△ABC 中，若=+= ==A c b a 则,2 2 6,2,3_________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，0 120,,ABC A c b a S =>== c b ,。 2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >??C B A 。 3． 在△ABC 中，求证：2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。 4． 在△ABC 中，若0 120=+B A ，则求证：1=+++c a b c b a 。 5． 在△ABC 中，若2 23cos cos 222 C A b a c += ，则求证：2a c b += 知识点巩固练习（三） 一、选择题 1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[- 2．在△ABC 中，若,900 =C 则三边的比 c b a +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2 sin 2B A - 3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ． 2 21 C ．28 D ．36 4．在△ABC 中，0 90C ∠=，0 0450< A ．sin cos A A > B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B > 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，若2 2 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 二、填空题 1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 2 2 2 =++C B A 则△ABC 的形状是______________。 3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。 4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+ -+C A C A C A sin sin 3 1 cos cos cos cos ______。 5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。 6．在△ABC 中，若ac b =2 ，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。 三、解答题 1．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2 2 2 2 B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。 2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 22 2 B b a C A R -=- 求△ABC 的面积的最大值。 3． 已知△ABC 的三边c b a >>且2 ,2π =-=+C A b c a ，求::a b c 4．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且ta n ta n 3A C += ，AB 边上的高 为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长 答案 知识点巩固练习（一） 一、选择题 1.C 00tan 30,tan 302b b a c b c b a =====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin , ,2 2 A A B A B π π =->-都是锐角，则 ,,2 2 2 A B A B C π π π ->+< > 4.D 作出图形 5.D 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A === =或0150 6.B 设中间角为θ，则22200005871 cos ,60,180601202582 θθ+-===-=??为所求 二、填空题 1. 12 11 sin sin sin cos sin 222 A B A A A ==≤ 2.0 120 22201cos ,12022 b c a A A bc +-==-= 3.26- 0 0sin 2 15, ,4sin 4sin154sin sin sin 4 a b b A A a A A B B ======? 4. 0 120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13， 令7,8,13a k b k c k === 22201 cos ,12022 a b c C C ab +-= =-= 三、解答题 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2 A π = 或2 B π = 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴ )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2 A B π +>即 02 2 A B π π >> -> ∴sin sin( )2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 知识点巩固练习（二） 一、选择题 1.C 12,,,::sin :sin :sin ::1:26 3 2 222 A B C a b c A B C π π π = = = == = 2.A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-= 3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 4.D sin sin lg lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A A B C B C B C === sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==，等腰三角形 5.B 2 2 ()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-= 2222 2 2 01 3,cos ,6022 b c a b c a bc A A bc +-+-== == 6.C 222 2cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1 cos 7 B =- 二、填空题 1. 3392 211sin 4,13,22ABC S bc A c c a a ?====== sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 2.> ,22A B A B ππ+>>-，即sin() 2tan tan()2cos()2 B A B B π ππ->-=- cos 1sin tan B B B ==，1 tan ,tan tan 1tan A A B B >> 3. 2 sin sin tan tan cos cos B C B C B C +=+ sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2 B C B C B C A B C A A +++=== 4. 锐角三角形 C 为最大角，cos 0,C C >为锐角 5. 060 2 2 2 23 1cos 22 b c a A bc +-==== 三、解答题 1. 解：1 sin 4,2 ABC S bc A bc ?= == 2 2 2 2cos ,5a b c bc A b c =+-+=，而c b > 所以4,1==c b 2. 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2 A B π +>即 02 2 A B π π >> -> ∴sin sin( )2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B C A B C A B C A B C >> ∴1tan tan tan >??C B A 3. 证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()22 A B A B A B C A B +-++=++ 2sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B +-++=+ 2sin (cos cos )222A B A B A B +-+=+ 2cos 2cos cos 222C A B =? 4cos cos cos 222 A B C = ∴2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++ 4．证明：要证1=+++c a b c b a ，只要证222 1a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222 a b c ab +-= 而∵0 120,A B +=∴0 60C = 2222 220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab +-=+-== ∴原式成立。 5．证明：∵2 23cos cos 222C A b a c += ∴1cos 1cos 3sin sin sin 222 C A B A C ++?+?= 即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++= ∴sin sin sin()3sin A C A C B +++= 即sin sin 2sin A C B +=，∴2a c b += 知识点巩固练习（三） 一、选择题 1.C sin cos ),4 A A A π += + 而50, sin()14 4 424 A A A π π πππ<<<+ < ?-<+≤ 2.B sin sin sin sin sin a b A B A B c C ++==+ 2sin cos 222A B A B A B +--== 3.D 0 11cos ,60,sin 22 ABC A A S bc A ==== 4.D 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==，00 045,A << sin cos A A <，0 4590,sin cos B B B <<> 5.C 2 2 2 2 2 2 1 ,,cos ,1202 a c b b c b c a bc A A -=++-=-=-= 6.B 22 sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A A A B B A B B A B ?=== sin 2sin 2,2222A B A B A B π==+=或 二、填空题 1. 对 ,sin sin B A >则22a b a b A B R R >?>?> 2. 直角三角形 21 (1cos 21cos 2)cos ()1,2A B A B +++++= 21 (cos 2cos 2)cos ()0,2 A B A B +++= 2cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++= cos cos cos 0A B C = 3. z y x << ,,sin cos ,sin cos ,2 2 A B A B A B B A y z π π +< < -<<< ,sin sin sin ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<< 4．1 sin sin 2sin ,2sin cos 4sin cos 2222 A C A C A C A C A C B +-+++== cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222A C A C A C A C -+== 则221sin sin 4sin sin 322 A C A C = 1 cos cos cos cos sin sin 3 A C A C A C +-+ 22(1cos )(1cos )14sin sin 22 A C A C =---++ 22222sin 2sin 4sin sin 112222 A C A C =-?++= 5. )2,3[ππ 2 tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1 A C B A C B A C A C +==-+=- 2tan tan tan tan()tan 1 A C B A C B +=-+=- 3tan tan tan tan 2tan B B A C B -=+≥= 3tan 3tan ,tan 0tan 3 B B B B B π ≥>?≥≥ 6．1 2 2 ,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2cos cos )cos(++- 2cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++- cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++- cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++ cos()cos 11A C B =+++= 三、解答题 1. 解：22222222 sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 2. 解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 2222 2 2 ,cos 452a b c a b c C C ab +-+-==== 2222,2sin ,2,sin c R c R C a b R C ===+-= 2 2 2 2 22,R a b ab ab +=+≥≤ 21sin 244S ab C ab ==≤2 max 2 12R S += 另法：1sin 2sin 2sin 244 S ab C ab R A R B = ==?? 22sin 2sin sin sin 4 R A R B A B = ??= 21 [cos()cos()]2A B A B =??--+ 21[cos()2(1A B =??-+≤ 2 max 12 S R ∴= 此时A B =取得等号 3. 解：sin sin 2sin ,2sin cos 4sin cos 2222 A C A C A C A C A C B +-+++== 1sin cos ,cos ,sin 2sin cos 222424224 B A C B B B B -===== 3,,,2 4242 B B A C A C B A C π πππ-= +=-= -=- 3331 sin sin( )sin cos cos sin 4444 A B B B πππ=-=-= 1 sin sin()sin cos cos sin 444 4 C B B B πππ =-=-= ::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-+ 4. 解：22201 ()()3,,cos ,602 a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-== = tan tan tan(),1tan tan A C A C A C ++= =- tan tan 2A C =+ tan tan 3A C +=+ 得tan 1tan 2tan 1tan 2A A C C =??=+????==+????，即00 00 7545 4575A A C C ??==????==???? 或 当00 75,45A C == 时，1),8sin b c a A = === 当00 45,75A C == 时，1),8sin b c a A = === ∴当0 75,60,45A B C === 时，8,1),a b c === 当0 45,60,75A B C === 时，8,1)a b c ===。 解三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ． 3 2π D ． 3π或3 2π A C 0150 30米 20米 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 C ．33 4 2< 4 2≤ ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11、在△ABC 中，3= AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ） A ． 2 3 B ． 4 3 C ． 2 3 或3 D ． 43 或2 3 12、已知△ABC 的面积为 2 3 ，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ） A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ） A ． 14 B ．142 C ．15 D ．152 14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空 地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则 购买这种草皮至少要（ ） A ． 450a 元 B ．225a 元 C ． 150a 元 D ． 300a 元 15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小 时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A ． 7 150 分钟 B ． 7 15 分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟 16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000 米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ） A ． 5000米 B ．50002 米 C ．4000米 D ．24000 米 17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ） A ． 64 1 B ． 32 1 C ． 16 1 D ． 8 1 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．51< B ．135< C ．50< D ．513< 20、在△ABC 中，若 c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 二、填空题 21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝ 23、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ 24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 . 26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是 三、解答题 27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，33 20 ，5的情况下，求相应角C 。 28、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322 =+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。 求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。 29、在△ABC 中，证明：2 2221 12cos 2cos b a b B a A - =-。 30、在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322 =--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。 解三角形单元测试答案 一、选择题 1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20. ACCBB 二、填空题 21、2:3:1 22、7 23、61236-,24612- 24、无解 25、1 26、120° 三、解答题 27、解：由正弦定理得BC BC A AB C 10 sin sin = = （1）当BC ＝20时，sinC ＝2 1 ；AB BC > C A >∴ 30=∴C ° （2）当BC ＝ 33 20 时， sinC ＝23； AB BC AB < （3）当BC ＝5时，sinC ＝2>1； C ∴不存在 28、解：（1）()[]()2 1 cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2）由题设： ?? ?=+=3 22 b a ab ?-+=?-+=∴120cos 2cos 22 22 2 2ab b a C BC AC BC AC AB ()() 1023 22 2 22=-=-+=++=ab b a ab b a 29、证明：???? ??---=---=-222222222222sin sin 21 1sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2 222sin sin b B a A = 2 2221 12cos 2cos b a b B a A -=-∴ 30、解：02322 =--x x 2 1 ,221- ==∴x x 又C cos 是方程02322 =--x x 的一个根 2 1cos -=∴C 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=?? ? ??-?-+=2 2 22212 则：()()755101002 2 +-=--=a a a c 当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a ∴△ABC 周长的最小值为3510+ 31、解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+ 可得12 sin 22 =C 0cos =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 ()c b a r -+= 21 ()1sin sin 21-+=B A 2 1 221 4sin 22-≤-??? ? ?+= πA ∴内切圆半径的取值范围是??? ? ? ? -212,0 1．常见三角不等式 （1）若(0,)2 x π ∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0, )2 x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 2.同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin ，tan 1cot θθ?=. 3.正弦、余弦的诱导公式 21 2(1)sin ,sin()2(1)s , n n n co απαα-? -?+=??-? 21 2(1)s , s()2(1)sin , n n co n co απαα+? -?+=??-? 4.和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+ =)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决 定,tan b a ?= ). 45.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan α αα = - . 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2 解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ． 第一章解三角形练习题 姓名______学号______得分______ 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．32 4．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 6．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 7．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 8．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A =() A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150 10．在△ABC 中，若14 13cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51-B ．61-C ．7 1-D ．81- 11．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[- 12．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（） A ．12 B ．2 21C ．28D ．36 13．在△ABC 中，090C ∠=，00450< B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B > 14．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．在△ABC 中，若005,60,15a A C ===，则此三角形的最大边长为_________。 2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ?∠===则C B A c b a sin sin sin ++++=_______。 5．在△AB C 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。 6．在△ABC 中，03,30,b C B a ====则_________。 三、解答题（每小题10分，共50分） 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形： 1）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 2）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 3）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 4）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21===? 2. r c b a S ABC )(2 1 ++=?,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=?, 其中)(2 1 c b a p ++=, 4. R abc S ABC 4=?,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=?,R 为外接圆半径 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , 构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心 求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4 1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积. 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( ) 第一章解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a =;sin sin C B c b =;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边：R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b =;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或 10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．高中数学必修五 知识点总结【经典】
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