第三章 流体的运动
习题解答
1．应用连续性方程的条件是什么？ 答：不可压缩的流体作定常流动。
2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？
答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。
3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。
答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。
4．冷却器由19根Φ20×2mm （即管的外直径为20mm ，壁厚为2mm ）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm 的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s ，求列管中水流的速度。
解：已知Φ120×2mm ，d 1=20－2×2=16mm ，n 1=19，Φ254×2mm ，d 2=54－2×2=50mm ，v 2=1.4m/s ，根据连续性方程知：
S 0v 0= S 1v 1+S 2v 2 +……+S n v n ，则
72.016194.1504
1412221122
221
122
211221=??==ππ==d n d d n d S n S v v v v m/s
5．水管上端的截面积为4.0×10－4m 2，水的流速为5.0 m/s ，水管下端比上端低10m ，下端的截面积为8.0×10－4m 2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa ，求下端的压强。
解：(a)已知S 1=4.0×10－4m 2，v 1=5.0 m/s ，h 1=10m ，S 2=8.0×10－4m 2，1p =1.5×105Pa ，根据连续性方程：S 1v 1=S 2v 2 知：
5.210
0.80.5100.44
42112=???==--S S v v ( m/s ） (b) 根据伯努利方程知：
222211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，h 2=0，水ρ=1.0×103 kg/m 3
(Pa)
106.25.2100.121
105.11010100.15100.121212152
3532322
21121?=???-?+???+???=--++=
gh p gh p ρρρρv v 26．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s 和1.96×105Pa ，那么水在细处的流速和压强各是多少？ 解：(a)已知d 1=2 d 2，v 1=1.00m/s ，1p =1.96×105Pa ，根据连续性方程知：S 1v 1=S 2v 2
00.400.1)2(4
1412
22
222121*********=?==ππ==d d d d d d S S v v
v v (m/s) (b) 根据伯努利方程知（水平管）：22
2
112
121p p 2+=+v v ρρ 5
235232
2121210885.100.410211096.100.110212121?=??-?+??=-+=v v ρρp p (Pa)
7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s 的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m 时，问筒内空气的压强比大气压高多少？
解：已知v 1=1.2m/s ，h 1=0.60m ，1p =0p ，根据伯努利方程知：
222
211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v 由于S 1<< S 2，则v 2=0，因此
332312102106.66.08.9102.1102
1
21?=??+??=+=-gh p p ρρv (Pa)
8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m ，细颈处的直径为0.10m ，如果水在主管的压强为5.5×104Pa ，在细颈处的压强为4.1×104Pa ，求水的流量是多少？
解：已知d 1=0.25m ，d 2=0.10m ，1p =5.5×104Pa ，2p =4.1×104Pa ，根据汾丘里流速计公式知：
/s)
(m 102.4)1.025.0(1010)1.45.5(21.025.014.341)
()
(241)()2(3244342
242412122
212221212
1-?=-??-?????=--π=--=d d p p d d S S p p S S Q ρρ
9．一水平管道内直径从200mm 均匀地缩小到100mm ，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m 3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U 形管压强计中水面高度差h 1=40mm ，2处压强计中水面高度差h 2=-98mm （负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q 。
解：已知d 1=200mm=0.200m ，d 2=100mm=0.100m ，ρ=0.645kg/m 3，'ρ=1.0×03kg/m 3，h 1=40mm=0.040m ，h 2=-98mm=-0.098m ，根据汾丘里流速计公式知：
)
s m (525.0)1.02.0(645.0)098.0040.0(8.9100.121.02.014.341)
()
('241)()2(34432
242412122
212221212
1 /=-?+????????=--π=-=d d h h g d d S S p p S S Q ρρρ-
10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm 和5.4cm ，求水速。
解：已知h 1=5.4cm=0.054m ，h 2=0.5cm=0.005m ，根据比托管流速计公式知：
98.0)005.0054.0(8.92)(221=-??=-=h h g v (m/s)
11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO 2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm ，采气管的横截面积为10cm 2。求5分钟所采集的CO 2的量是多少m 3？已知CO 2的密度为2kg/m 3。
解：已知h =2.0cm=0.02m ，S =10cm 2，t =5min ，ρ=2kg/m 3，'ρ=1.0×03kg/m 3，根据比托管流速计公式知：
142
02
.08.9100.12'23=????=
=
ρ
ρgh
v (m/s)
所以5min 采集的CO 2为：
334102.4)m (2.4605141010?==????==-vt V S (L)
12．水桶底部有一小孔，桶中水深h =0.3m 。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。
解：(a)已知h 1=0.30m ，021p p p ==，S 1>> S 2，桶是静止时，根据伯努利方程知：
222211212
121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，由于S 1>> S 2，则v 1=0，因此 42.23.08.92212=??==gh v (m/s)
(b)桶匀速上升时，v 2=2.42 (m/s)
13．注射器的活塞截面积S 1=1.2cm 2，而注射器针孔的截面积S 2=0.25mm 2。当注射器水平放置时，用f =4.9N 的力压迫活塞，使之移动l =4cm ，问水从注射器中流出需要多少时间？
解：已知S 1=1.2cm 2，S 2=0.25mm 2，f =4.9N ，l =4cm ，作用在活塞上的附加压强：4411008.410
2.19
.4?=?==
?-S f p (pa)，根据水平管的伯努利方程知： 2221212
121p p +=+v v ρρ 由于p p p ?+=01，02p p =，S 1>> S 2，则v 1≈0，因此
910
11008.422)
234
212=???=?=
-(=
ρρ
p
p p v (m/s) 根据连续性方程知：S 1v 1=S 2v 2
0188.010
2.19
1025.04
61221=???==--S S v v (m/s) 13.20188
.004
.01===
v l t (s)
14．用一截面为5.0cm 2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最
高点在容器的水面上1.20m 处，出水口在此水面下0.60m 处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。
解：(a)已知S D =5.0cm 2=5.0×10－4m 2，h B =1.20m ，h D =－0.60m ，S A >> S D ，如图3-10所示，选取容器内液面A 为高度参考点，对于A 、D 两处，
0p p p D A ===1.013×105 Pa ，应用伯努利方程，则有：
D D A A gh gh ρρρρ+=+2
22
121v v 43.36.08.922)(2=??==-=AD D A D gh h h g v (m/s)
B 、D 两处（均匀管）应用伯努利方程得： D D B B p gh p gh +=+ρρ
5351084.0)20.160.0(8.91010013.1)(?=--??+?=-+=B D D B h h g p p ρ(pa) (b)Q =S D v D = 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m 3/s)
15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q =150 cm 3/s ，容器的底部有面积S =0.50cm 2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。 解：已知Q =150 cm 3/s=1.5×10－4m 3/s ，S 2=0.5cm 2=5.0×10－5m 2，因为以一定流量为Q 匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：
gh 22=v 和gh S Q 222=
45.010
2)100.5()1050.1(22
52
4222
2=????=?=--g S Q h (m)
16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B 和F ，盛有相同的液体。由容器B 底部接一水平管子BCD ，水平管的较细部分C 处连接到一竖直的E 管，并使E 管下端插入容器F 的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C 处的横截面积是D 处的一半。并设管的D 处比容器B 内的液面低h ，问E 管中液体上升的高度H 是多少？
解：已知截面积D C S S 21
=
，由连续性方程得D D C
D C S S v v v 2==，考虑到A 槽中的液面流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得
gh D 2=v
对C 、D 两点列伯努利方程：
222
121D D C C p p v v ρρ+=+
因为，大气压）(0p p D =，所以，gh p p C ρ30-=，即C 处的压强小于0p ，又因为F 槽液面的压强也为0p ，故E 管中液柱上升的高度H 应满足：
0p gH p C =+ρ
解得 h H 3=
17．使体积为25cm 3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa 的截面移到压强为1.1×105Pa 的截面时，克服摩擦力做功是多少？
解：已知V =25 cm 3=2.5×10－5m 3，1p =1.3×105Pa ，2p =1.1×105Pa ，由实际流体运动规律知：
w +++=++222
211212
121p gh p gh ρρρρv v 45521100.2101.1103.1?=?-?=-=p p w (Pa)（水平均匀管）
50.0105.2100.254=???=?=-V W w (J)
18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度？ 答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。
19．20℃的水，在半径为1.0cm 的水平管内流动，如果管中心处的流速是10cm/s 。求由于粘性使得管长为2.0m 的两个端面间的压强差是多少？
解：已知R =1.0 cm ，v max =10cm/s=0.10m/s ，L =2.0m ，t =20℃，查表知20℃时水的黏度系数为：310005.1-?=水η Pa ?s ，由泊肃叶定律的推导知：
)(422
21r R L
p p --=
ηv 当r =0，10.04)(221max
=-=L
R p p ηv m/s
04.8)100.1(10
.0210005.1442
23221=?????==---R L p p v η(Pa)
20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。若图中h =23cm ；h 1=15cm ；h 2=10cm ；h 3=5cm ；a =10cm 。求液体在管路中流动的速度。 已知：h =23cm ；h 1=15cm ；h 2=10cm ；h 3=5cm ；a =10cm 求：v =?
解：由实际流体运动规律知：1，2两处（水平均匀管）
w +++=++222211212
121p gh p gh ρρρρv v h g h h g p p ?=-=-=ρρ)(1221w (J/m 3)
容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知：
w 42
1
020++=+p p gh v ρρ
得： 77.0)05.0423.0(8.92)4(2=?-??=?-=h h g v (m/s)
21．直径为0.01mm 的水滴，在速度为2 cm/s 的上升气流中，能否向地面落下？设空气的η=1.8×10－5Pa ?s 。
解：已知d =0.01mm=10－5m ，v =2 cm/s=0.02 m/s ，η=1.8×10－5Pa ?s ，水滴受力分析：重力、浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：
115101.0802.0105.066--5-?π=???10?1.8?π=π=v r f η阻(N)
g )'613ρρ-(π=
-d f mg 浮1010)10(6
1
335???π≈-111017.0-?π= (N)<阻f 故水滴不会落下。
22．水从一截面为5cm 2的水平管A ，流入两根并联的水平支管B 和C ，它们的截面积分别为4cm 2和3cm 2。如果水在管A 中的流速为100cm/s ，在管C 中的流速为50 cm/s 。问：(a)水在管B 中的流速是多大？(b)B 、C 两管中的压强差是多少？(c)哪根管中的压强最大？
解：(a)已知S A =5cm 2，S B =4cm 2，S C =3cm 2，v A =100cm/s=1.00m/s ，v C =50cm/s=0.50m/s ，根据连续性方程知：S A v A = S B v B +S C v C
875.04
5
.0315=?-?=-=
B C C A A B S S S v v v (m/s)
(b) 根据伯努利方程知：
A 、
B 两处： B B B A A A
p gh p gh ++=++ρρρρ2
22
121v v
A 、C 两处：
C C C A A A p gh p gh ++=++ρρρρ222121v v 因此，258)875.05.0(102
1)(212232
2-=-??=-=-B C
C B p p v v ρ(Pa) (c)由以上两个方程可知：C B A v v v >>则：C B A p p p <<，即C 管压强最大。
23．如图3-4所示，在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔，若从这两个小孔的射流相交于一点，试证：h 1H 1=h 2H 2。
证明：根据小孔流速规律gh 2=v 知：112gh =v 和222gh =v 再根据平抛运动规律知：
x =v t 和2
2
1gt H =
联立以上关系式得：
24x hH =
由于 x 1=x 2 所以 h 1H 1=h 2H 2 证毕。
24．在一个顶部开启高度为0.1m 的直立圆柱型水箱内装满水，水箱底部开有一小孔，已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400，(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间？(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在0.1m ，把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间？并把此结果与(a)的结果进行比较。
解：(a)已知h 1=0.1m ，S 2= S 1/400，随着水的流出，水位不断下降，流速逐渐减小，根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为：gh 22≈v ，该处厚度为d h 的一薄层从小孔流出时间为：
gh
S h
S S h S t 2d d d 21221=
=
v 整个水箱的水流尽所需时间为
5728
.924008.92d 4002d 1.00
1.00
2111=??=
??==?
?
h
h
h gh
S h S t h (s)
(b) 水面距小孔的高度始终维持在0.1m ，则小孔速度始终不变为12gh =2v 则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为：
5.281
.08.921.04002
21
12=???==
v S h S t (s)
比较(a)、(b)知：212t t =
第四章 振动和波
习题解答
1．一振动的质点沿x 轴作简谐振动，其振幅为5.0×10-2m ，频率2.0Hz ，在时间t =0时，经平衡位置处向x 轴正方向运动，求运动方程。如该质点在t =0时，经平衡位置处向x 轴负方向运动，求运动方程。
解：已知25.010m A -=?,ν=时>02.0Hz,=0t v 。
通解方程式为π?π?--=???+=?+22005.010cos(22) 5.010cos(4)x t t 由t =0时x =0 有π
??==±
00cos 0,2
速度表达式为ππ?-=
=-??+20d 4 5.010sin(4)d x
v t t
根据已给条件时>0=0t v 有
?<0sin 0，考虑π
π
??=±
=-
00,
2
2
。
∴运动方程为π
π-=?-
25.010cos(4)m 2
x t
2．质量为 5.0×10-3
kg 的振子作简谐振动，其运动方程为
)π3
2
5c o s (100.62+?=-t x
式中，x 中的单位是m ，t 的单位是s 。试求：(a)角频率、频率、周期和振幅；(b)t =0时的位移、速度、加速度和所受的力；(c)t =0时的动能和势能。
解：(a)根据已给条件rad 5=ωωππωνππω=====5225,,225
T ，-=?26.010m A 。
(b) 将条件t =0带入方程
s /m 1035.0100.6)3
2cos(22--?-=??-==π
A x
s /m 26.032sin 5100.6)32sin(d d 2-=???-=+-==-ππωωt A t x v
s /m 75.03
2cos 55100.6)32cos(d d 22-=????-=+-==-ππωωt A t v a
(c) 动能J m E p 5210169.021
-?==v
势能J mx kx E k 422210625.52
1
21-?===ω
3．一轻弹簧受29.43N 的作用力时,伸长为9.0×10-2m ,今在弹簧下端悬一重量P =24.5N 的重物，求此这重物的振动周期。
解：由胡克定律 kx
F -=
9
43.29==
x F k k
m T m
k
π
ω
π
ω22==
=
带入相关数值 3275
.2210
9/43.298.9/5.24222
πππ
=?==-k m T
4．续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下6.0×10-2m ,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。
5．经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1.0m /s 2，乘客就不会有不舒服的感觉。若车辆竖直的振动频率为1.5Hz ，求车辆振动振幅的最大允许值。
解：由加速度2ωA a =有
()
m 1013.15.121
22
2
-?=?=
=
πω
a A
6．质量为m 、长圆管半径为r 的比重计，浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为
ρ
g m
r T π2=
证：设坐标x 向下为正。以比重计在水中的平衡位置为坐标零点，比重计被
向下压入水中偏离平衡位置的位移为x ，比重计排开水的体积为x r V 2π=，其所受浮力为
gx r gx V F ρπρ2-=-=
其中负号表示力的方向与位移相反。由牛顿第二定律ma F =有
222
d d t
x
m ma gx r F ==-=ρπ
整理有 0d d 222=+x m g
r t
x ρπ 令
2
2ωρπ=m g
r ，方程化为振动方程0d d 222=+x t
x
ω
则 g
m r g
r m
T ρπ
ρππ
ω
π
2222=
==
证毕
7.当重力加速度g 改变d g 时,单摆的周期T 的变化d T 是多少?找出d T /T 与d g /g 之间的关系式。
解：单摆周期与加速度关系为g
l T 12π
=
两边取微分，则当重力加速度g 改变d g 时,单摆的周期T 的变化d T 是
()
g g l T d 2d 2
/3--=π
d T /T 与d g /g 之间的关系式
()g
g
l T
g
g l T T d 2d 2d 2
/3-
=-=-π
8．两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x 1=4cos (3πt +π/3)和x 2=3cos （3πt －π/6），试求它们的合振动的运动方程。
解：由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有
5)6
3cos(43234cos 222212
221=+???-+=-+=π
πθA A A A A
rad 128.0)
6
cos(33cos 4)6sin(33sin
4tan 1ππ
π?=-+-+=-
合振动方程为：)128
.03cos(5ππ+=t x
9．设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示，其运动方程为x =A sin ωt +B sin 2ωt 。(a)写出该质点的速度和加速度表示式；(b)这一运动是否为简谐振动？
解：(a)
22d cos 2cos 2d d sin 4sin2d x
v A t B t t
v a A t B t
t
ωωωωωωω=
=+==--
(b)不是简谐振动
10．已知平面波源的振动方程为y =6.0×10-2cos
π
9
t （m ），并以2.0m /s 的速度把振动传播出去，求：(a)离波源5m 处振动的运动方程；(b)这点与波源的相位差。 解：(a)
由已给方程可直接得到：11,,189
218T s π
ωωνπν
==
=== 将x=5m 代入波动表达式
225
6.010cos() 6.010cos()
m 9918
x y t t u ππωπ--=?-=?-
(b)相位差518
?π=-
11．一平面简谐波，沿直径为0.14m 的圆形管中的空气传播，波的平均强度为8.5×10-3Js -1m -2 ，频率为256Hz ，波速为340ms -1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的空气中有多少能量？
解：已知D=0.14m ，平均强度I=8.5×10-3Js -1m -2，ν=256Hz,u =840m/s 。 (a)平均能量密度和最大能量密度
-----?===??==??3
53
53
max 8.510 2.510J m 340
2 5.010J m I W u W W (b)两个相邻相面间的空气能量E
25270.14340
() 2.510() 5.1110J 22256
D u
E W ππν--=?=?=?
12．为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W 的功率，如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m 和1.00m 处的能流密度（设介质不吸收能量）。 解：平均能流密度等于单位单位面积上的功率，因此5m 处的能流密度为
2
22
4 1.273Wm 44(0.5)
P I x ππ-=
==
同理有：1m 处为0.318Wm -2
13．设平面横波1沿BP 方向传播，它在B 点振动的运动方程为y 1=2.0×10-3cos2πt ，平面横波2沿CP 方向传播,它在C 点振动的运动方程为y 2=2.0×10-3cos （2πt +π），两式中y 的单位是m ，t 的单位是s 。P 处与B 相距0.40m ，与C 相距0.50m ，波速为0.20m /s ，求：(a)两波传到P 处时的相位差；(b)在P 处合振动的振幅。
解：(a)求两波在P 点相位差： 1点在P 点引起的振动为：
3310.40
2.010cos(22) 2.010cos(24)0.20
p y t t ππ
ππ--=?-=?- 2点在P 点引起的振动为：
3310.50
2.010cos(22) 2.010cos(24)0.20
p y t t ππ
πππ--=?-+=?- 相位相同，相位差0??=。
(b)合振动振幅：由于相位相同，合成波的振幅为两波振幅相加
3
4.010m A -=?
14．平面波斜入射到两种介质（各向同性）的界面，进入到介质2时将发生折射，设该波在介质1和介质2的波速比为5：3，试用惠更斯原理作图画出折射后波的传播方向。
解：注意两波在不同介质中的波速不一样。图4-1以波在介质1中波速快为例作图。
15．已知飞机马达的声强级为120dB ，求它的声强。 解：已知声强级为120dB ，由声强级定义可知
12200
02
120dB 10log
,10Wm log log 120
1Wm I
I I I I I ---===+==
16．两种声音的声强级相差1dB ，求它们的强度之比。 解：设两种声音的声强级分别为A 和A+1，
(1)0
110log
A I A I ++=
导出 1(1)010
A A I I ++=
10log
A
I A I = 10
010A A I I =
消去I 0,有
1110(1)10
10
10
10
1.2610
A A A A
I I ++===
17．频率为50000Hz 的超声波在空气中传播，设空气微粒振动的振幅为0.10×10-6m ，求其振动的最大加速度和最大速度。
解：
622max 2
2
3
2
max 20.1010250000 3.1410ms (2)9.9710ms v A A a A A ωπνπωπν----===???=?===?
18．装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为241H z 的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s 。
解：本题中的潜水艇接收探测器的超声波然后再反射，所以潜水艇首先是接收者，其次是发射者，这是一个双向多普乐效应问题。设超声波波速为u ,潜水艇速度为ν，运用双向多普乐公式，再根据拍频的定义有：
241u v
u v νν+-=- 解出16ms ν-=
19．对遥远星系发来的光谱分析表明，有一些在实验室已确认的谱线显著地移向了长波端，这种现象叫做谱线红移。谱线红移可以解释为由于光源的退行速度所引起的多普勒频移。例如，钾光谱中易辨认的一对吸收线K 线和H 线，在地面实验室中是出现在395nm 附近；在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm 处观测到了这两条谱线。试问该星云正以多大的速度离开地球？
解：多普乐效应可以应用在光学问题上，但应考虑相对论效应，应用光学多普乐公式
'ν=
对于本题'447nm ,=395nm νν= 代入公式解出u =0.123c 。
第五章 分子物理学
习题解答
1．压强为1.32×107Pa 的氧气瓶,容积是32×10-3m 3。为避免混入其他气体，规定瓶内氧气压强降到1.013×106Pa 时就应充气.设每天需用0.4m 3、1.013×105Pa 的氧，一瓶氧气能用几天？
解：用可以使用的气体总量除以每天的使用量即可得到使用的天数。设气体总量为PV ，可以用到的最小数值为P*V*，设每天的使用量为Δ(PV)。则可以使用的天数n 为：
6.9324
.010013.11013.1010132)(**5
5
5=????-?=?-=PV V P PV n 一瓶氧气可以使用大约9.6天。
2．一空气泡，从3.04×105Pa 的湖底升到1.013×105Pa 的湖面。湖底温度为7℃，湖面温度为27℃。气泡到达湖面时的体积是它在湖底时的多少倍？
解：设气体在湖底时的状态参量为p 1V 1T 1，在湖面时的状态参量为p 2V 2T 2，
设气体为理想气体，满足理想气体方程，考虑到气体总量不变，应有
2
2
2111T V p T V p =
所以 22.328010013.1300
1004.355122112=????==T p T p V V
气体到达湖面时体积扩大为湖底的3.22倍。
3．两个盛有压强分别为p 1和p 2的同种气体的容器，容积分别为V 1和V 2，用一带有开关的玻璃管连接。打开开关使两容器连通，并设过程中温度不变，求容器中的压强。
解：设气体的摩尔质量为μ，质量分别为M 1和M 2，由理想气体方程有
RT M V p 1
1
11μ=
RT M V p 2
2
22μ=
相通合并后气体压强相同，总质量为M 1+M 2，总体积为V 1+V 2，应用理想气体方程有 22112
121)(V p V p RT M M V V p +=+=
+μ
2
12
211V V V p V p p ++=
∴
4．在推导理想气体动理论基本方程时，什么地方用到了平衡态的条件？什么地方用到了理想气体的假设？什么地方用到了统计平均的概念？
简答：考虑分子速度无宏观定向运动、运动分组时用到了平衡态的条件，讨论容器体积、分子的平均冲量时用到了理想气体假设（分子自身线度忽略、分子除碰撞瞬间外无相互作用力），对所有分子的集体作用进行叠加时用到了统计平均的概念。
5．将理想气体压缩，使其压强增加1.013×104Pa,温度保持在27℃，问单位体积内的分子数增加多少?
解：由理想气体压强公式nkT p =有
3
2423
4m 1045.210
30038.110013.1--?=???=?=?kT p n
6．一容器贮有压强为1.33Pa,温度为27℃的气体,(a)气体分子平均平动动能是多大? (b)1cm 3中分子的总平动动能是多少?
解：气体分子的平均平动动能为
J 1023.63001038.12
3
232121232--?=???==kT m v 平均总动能为J 100.21033.12
3
2321662--?=??=?=
=kT kT pV m n E k v
7．大瓶容积为小瓶容积的两倍，大瓶中理想气体的压强为小瓶中同种理想气体的一半，它们的内能是否相等？为什么？
答：理想气体内能为RT i M E 2μ=
，将理想气体方程RT M
pV μ
=代入，有 pV i
E 2
=
pV 乘积相等，同种气体自由度相等，所以内能相等。
8．一容积V =11.2×10-3m 3的真空系统在室温（23℃）下已被抽到p 1=1.33×10-3Pa 。为了提高系统的真空度，将它放在T =573K 的烘箱内烘烤，使
器壁释放吸附的气体分子。如果烘烤后压强增为p 2=1.33Pa,问器壁原来吸附了多少个分子？
解：由理想气体压强公式
nkT p =
111kT p n =
2
22kT p n = 20
323
112
212107.15733005731033.130033.11038.111????-???=???? ??-=-=?--T p T p k n n n 17108.18?=??=V n N
9．温度为27℃时，1g 氢气、氦气和水蒸汽的内能各为多少？
解：氢气、氦气和水蒸汽分别为双原子、单原子和三原子分子，其自由度分
别为5、3、6。根据内能定义RT i
M E 2
?=
μ有 J 101.330031.825
2132?=???=H E J 1035.930031.823
412?=???=He E J 1016.430031.82
6
16122?=???=O
H E
10．计算在T =300K 时，氢、氧和水银蒸汽的最概然速率、平均速率和方均根速率。
解：最概然速
率p =
v ，平均速率 πμ
RT 8=v ，方均根速率μ
RT
32=
v 。
代入相关数据：
1
33
ms 1058.110230031.822--?=???=pH v 123
ms 1076.1102300
31.882--?=????=
πH v 133
2
ms 1098.1102300
31.83--?=???=2
H v 123
ms 1095.31032300
31.822--?=???=pO v 1
23
ms 1045.410
3230031.882--?=????=
πO v
123
2ms 1083.41032300
31.83--?=???=2
O v 1
23
ms 1058.1106.20030031.82--?=???=pHg v 1
23
ms 1078.1106.20030031.88--?=????=πHg v 1
23
ms 1093.110
6.20030031.83--?=???=2Hg v
11．某些恒星的温度达到`108K 的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。试求：(a)质子的平均平动动能是多少电子伏特？(b)质子的方均根速率有多大？
解：质子可以看作质点，自由度为3。单个质子的平均平动能为 eV 101.29J 1007.2101038.12
3
23415823?=?=???==--kT E ki
1
627
ms 1057.110
67.130031.83--?=???=
2v
12．真空管中气体的压强一般约为 1.33×10-3Pa 。设气体分子直径 d = 3.0×10-10m 。求在27℃时，单位体积中的分子数及分子的平均自由程。
解：由理想气体压强公式有
3
1723
3m 1021.3300
1038.11033.1---?=???==kT p n 117
2102ms 79.71021.3)100.3(21
21--=???=
=
ππλn
d
13．一矩形框被可移动的横杆分成两部分，横杆与框的一对边平行，长度为10cm 。这两部分分别蒙以表面张力系数为40×10-3和70×10-3N/m 的液膜，求横杆所受的力。
解：表面张力与表面张力系数关系为l F α=，考虑液膜为双面有l F α2=，则横杆所受力为N 10601.0104021.010702333---?=???-???=F
14．油与水之间的表面张力系数为18×10-3N/m ，现将1g 的油在水中分裂成直径为2×10-4cm 的小滴，问所作的功是多少（假设温度不变，已知油的密度为
《南昌工程学院机械设计基础》习题与解答 一、选择题 1. 曲柄摇杆机构中，摇杆为主动件时， B 死点位置。 （A）不存在（B）曲柄与连杆共线时为（C）摇杆与连杆共线时为 2. 曲柄摇杆机构中，曲柄为主动件时， C 死点位置。 （A）曲柄与连杆共线时（B）摇杆与连杆共线时（C）不存在 3. 为保证四杆机构良好的机械性能， B不应小于最小许用值。 （A）压力角；（B）传动角（C）极位夹角 4. 平面四杆机构无急回特性时的行程速比系数 C。 （A）K＞1 （B）K＜1 （C）K=1 5. 在双曲柄机构中，已知三杆长度为a=80mm，b=150mm，c=120mm，则d杆长度为 B 。 （A）＜110mm （B）110mm≤d≤190mm （C）≥190mm 6. 凸轮机构中的压力角是指 A 间的夹角。 （A）凸轮上接触点的法线与从动件的运动方向 （B）凸轮上接触点的法线与该点线速度 （C）凸轮上接触点的切线与从动件的运动方向 7. B 决定了从动杆的运动规律。 （A）凸轮转速（B）凸轮轮廓曲线（C）凸轮形状
8. 凸轮机构中，基圆半径是指凸轮转动中心至_C_向径。 （A）理论轮廓线上的最大（B）实际轮廓线上的最大 （C）理论轮廓线上的最小（D）实际轮廓线上的最小 9. 在曲柄滑块机构中，当取滑块为原动件时，_C_死点位置。 （A）有一个（B）没有（C）有两个（D）有三个 10.对于铰链四杆机构，当满足杆长之和的条件时，若取__C_为机架，将得到双曲柄 机构。 （A）最长杆（B）与最短杆相邻的构件 （C）最短杆（D）与最短杆相对的构件 11.曲柄摇杆机构中，曲柄为主动件，则传动角是_B_。 （A）摇杆两个极限位置之间的夹角（B）连杆与摇杆之间所夹锐角 （C）连杆与曲柄之间所夹锐角（D）摇杆与机架之间所夹锐角 12.普通平键联接传递动力是靠 B 。 （A）两侧面的摩擦力（B）两侧面的挤压力 （C）上下面的挤压力（D）上下面的摩擦力 13.设计键联接的几项主要内容是：（a）按轮毂长度选择键的长度；（b）按要求选 择键类型；（c）按内径选择键的剖面尺寸；（d）进行必要强度校核。具体设计时一般顺序为 B 。 （A）b-a-c-d （B）b-c-a-d （C）a-c-b-d （D）c-d-b-a 14.平键联接能传递的最大扭矩为T，现要传递的扭矩为1.5T，则应 D 。
第1章 土的物理性质与工程分类 一．填空题 1． 颗粒级配曲线越平缓，不均匀系数越大，颗粒级配越好。为获得较大密实度，应选择级配良好的土料作为填方或砂垫层的土料。 2． 粘粒含量越多，颗粒粒径越小，比表面积越大，亲水性越强，可吸附弱结合水的含量越多，粘土的塑性指标越大 3． 塑性指标p L p w w I -=，它表明粘性土处于可塑状态时含水量的变化范围，它综合反映了粘性、可塑性等因素。因此《规范》规定：1710≤
p I 为粘土。 4． 对无粘性土，工程性质影响最大的是土的密实度，工程上用指标e 、r D 来衡量。 5． 在粘性土的物理指标中，对粘性土的性质影响较大的指标是塑性指数p I 。 6． 决定无粘性土工程性质的好坏是无粘性土的相对密度，它是用指标r D 来衡量。 7． 粘性土的液性指标p L p L w w w w I --= ，它的正负、大小表征了粘性土的软硬状态，《规范》 按L I 将粘性土的状态划分为坚硬、硬塑、可塑、软塑、流塑。 8． 岩石按风化程度划分为微风化、中等风化、强风化。 9． 岩石按坚固程度划分为硬质岩石，包括花岗岩、石灰岩等；软质岩石，包括页岩、泥岩等。 10．某砂层天然饱和重度20=sat γkN/m 3，土粒比重68.2=s G ，并测得该砂土的最大干重度1.17max =d γkN/m 3，最小干重度4.15min =d γkN/m 3，则天然孔隙比e 为0.68，最大孔隙比=max e 0.74，最小孔隙比=min e 0.57。 11．砂粒粒径范围是0.075~2mm ，砂土是指大于2mm 粒径累计含量不超过全重50%，而大于0.075mm 粒径累计含量超过全重50%。 12．亲水性最强的粘土矿物是蒙脱石，这是因为它的晶体单元由两个硅片中间夹一个铝片组成，晶胞间露出的是多余的负电荷，因而晶胞单元间联接很弱，水分子容易进入晶胞之间，而发生膨胀。 二 问答题 1． 概述土的三相比例指标与土的工程性质的关系？ 答：三相组成的性质，特别是固体颗粒的性质，直接影响土的工程特性。但是，同样一种土，密实时强度高，松散时强度低。对于细粒土，水含量少则硬，水含量多时则软。这说明土的性质不仅决定于三相组成的性质，而且三相之间量的比例关系也是一个很重要的影响因素。
高等数学1C 习题解答 习题一 一．单项选择题 1、A 2、D 3、C 二．填空题 1、2 2)1(133-+-x x x 2、（－9，1） 三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足 ???≥-≠0102 x x 即? ??≤≤-≠110 x x 定义域为]1,0()0,1(?- （2）解 函数要有意义，必须满足 ??? ? ??? ≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解 由11+-= x x y 得 y y x -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112 >+t ，x arcsin 无定义 （2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时12 1 -=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2 -====x w w v v u e y u (2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u e y w u 2) sin(3 2==+=== 6．解 ?? ???-≤+≤<-+->-=1 101) 1(0)]([2 2x x x x x x x f g 7．解 设c bx ax x f ++=2 )( 所以?? ? ??==++=++41242c c b a c b a 解得 2 521 4 -== =b a c
习题二 一．单项选择题 1、A 2、B 3、D 二．填空题 1、>1 2、单调增加 三．计算题 1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222 x f x x x x x x x f -=-+-=-+=++=- 所以函数是奇函数 （3）解 )(0)1(000) 1(0100 01)(x f x x x x x x x x x x x f -=?? ? ??>+-=<--=?????<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2 1 21sin 2 -= = 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π= 得23r v h π= 表面积： )0(919221226224222 222≥++=++=+?+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ 四 证明 )() 1() 1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=--- 习题三 一．单项选择题 1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题 1、1 2、a 3、≥ 4、2，0 5、1 三．判断正误 1、对； 2、对； 3、错 四．（1） 证明 令1 2 +=n n x n ε<=<+=-n n n n n x n 1 1022 只要ε1> n ，取]1 [ε =N 当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01 lim 2=+∞→n n n
1.什么是土的颗粒级配？什么是土的颗粒级配曲线？ 土粒的大小及其组成情况，通常以土中各个粒组的相对含量（各粒组占土粒总量的百分数）来表示，称为土的颗粒级配（粒度成分）。根据颗分试验成果绘制的曲线（采用对数坐标表示，横坐标为粒径，纵坐标为小于（或大于）某粒径的土重（累计百分）含量）称为颗粒级配曲线，它的坡度可以大致判断土的均匀程度或级配是否良好。 2.土中水按性质可以分为哪几类？ 3. 土是怎样生成的？有何工程特点？ 土是连续、坚固的岩石在风化作用下形成的大小悬殊的颗粒，经过不同的搬运方式，在各种自然环境中生成的沉积物。与一般建筑材料相比，土具有三个重要特点：散粒性、多相性、自然变异性。 4. 什么是土的结构？其基本类型是什么？简述每种结构土体的特点。 土的结构是指由土粒单元大小、矿物成分、形状、相互排列及其关联关系，土中水的性质及孔隙特征等因素形成的综合特征。基本类型一般分为单粒结构、蜂窝结（粒径0.075~0. 005mm）、絮状结构（粒径<0.005mm）。 单粒结构：土的粒径较大，彼此之间无连结力或只有微弱的连结力，土粒呈棱角状、表面粗糙。 蜂窝结构：土的粒径较小、颗粒间的连接力强，吸引力大于其重力，土粒停留在最初的接触位置上不再下沉。 絮状结构：土粒较长时间在水中悬浮，单靠自身中重力不能下沉，而是由胶体颗粒结成棉絮状，以粒团的形式集体下沉。 5. 什么是土的构造？其主要特征是什么？ 土的宏观结构，常称之为土的构造。是同一土层中的物质成分和颗粒大小等都相近的各部分之间的相互关系的特征。其主要特征是层理性、裂隙性及大孔隙等宏观特征。 6. 试述强、弱结合水对土性的影响 强结合水影响土的粘滞度、弹性和抗剪强度，弱结合水影响土的可塑性。 7. 试述毛细水的性质和对工程的影响。在那些土中毛细现象最显著？ 毛细水是存在于地下水位以上，受到水与空气交界面处表面张力作用的自由水。土中自由水从地下水位通过土的细小通道逐渐上升。它不仅受重力作用而且还受到表面张力的支配。毛细水的上升对建筑物地下部分的防潮措施和地基特的浸湿及冻胀等有重要影响；在干旱地区，地下水中的可溶盐随毛细水上升后不断蒸发，盐分积聚于靠近地表处而形成盐渍土。在粉土和砂土中毛细现象最显著。
数据库系统概论 第六章 1、关系规范化中的删除操作异常是指① ______ ，插入操作异常是指② ______ – A.不该删除的数据被删除 – B.不该插入的数据被插入 – C.应该删除的数据未被删除 – D. 应该插入的数据未被插入 答：删除操作异常是指执行删除操作时将不应该删除的数据删除的情形；插入异常是指执行插入操作时应该插入的数据无法插入的情形。本题答案为：①A ②D。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2、设计性能较优的关系模式称为规范化，规范化主要的理论依据是______ – A.关系规范化理论 – B.关系运算理论 –C系代数理论 – D.数理逻辑 答：关系规范化理论是关系数据库中进行关系模式设计的理论依据。本题答案为A。 2、根据关系数据库规范化理论，关系数据库中的关系要满足第一范式。下面“部门”关系中，因哪 个属性而使它不满足第一范式？ 部门（部门号，部门名，部门成员，部门总经理） – A.部门总经理 – B.部门成员 – C.部门名 – D.部门号 答：部门关系中的“部门成员”不是唯一的，不满足1NF。本题答案为B。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3、消除了部分函数依赖的1NF的关系模式必定是_______ A. 1NF B. 2NF C. 3NF D. 4NF 答：由2NF的定义可知本题答案为B。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4、若关系R的候选码都是由单属性构成的，则R的最高范式必定是______ – A. 1NF – B. 2NF – C. 3NF – D. 无法确定 答：候选码由单属性构成，一定不会存在非主属性对候选码的部分函数依赖。本题答案为B。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5、在关系模式R（A，B，C，D）中，有函数依赖集F={B→C，C→D，D→A}，则R能达到_______ A. 1NF B. 2NF C. 3NF
习题1解答（物教） 1.1 请分别用直接构造法、增量构造法（冒号表达式）和 linspace 函数创建数组：（1，3，5，7，9，11），体会以上创建方法有何区别和联系。若数组b 为在0--2π之间均匀分布的22个数据，c=(1.3,2.5,7.6,2,-3)， d=(23,20,17,14,11,8,5,2),各用何种方法输入较为简单？写出源程序。 【法一：直接构造法】向量元素必须用[ ]括住；向量元素必须用逗号或空格分隔 ；对于矩阵：在[ ]内矩阵的行与行之间必须 用分号（;）或Enter 键分隔。矩阵元素可以是任何matlab 表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊变量i ，j 输入 。 ——对于一般较小的简单的矩阵，元素值又没有规律，可采用此法。 【法二：增量构造法——冒号表达式法】3:2:1e e e ，可产生一个初值为e1,步长为e2，终值为e3的行向量，向量元素值是一个以e2为公差的等差数列。e2可缺省，缺省值为1。 ——如果已知一个向量的初值、终值和步长，采用此法比较简单。 【法三：linspace 函数构造法】 语法：v = linspace(a,b,n),其中a 和b 是生成向量的第一个和最后一个元素，n 是元素总数。——如果已知一个向量的初值、终值和元素的总数（即向量长度），采用此法比较简单。
小结：上面三种方法创建的向量a是等价的，尤其法二和法三之间一般可相互转换。但我们应该根据已知条件选择最方便的方法来创建向量。例如： ●已知：初值a，步长为b，终值为c，则易采用冒号表达式： t = a : b : c来创建向量。注意有时和t = linspace(a,c,fix(c-a)/b)+1)并不等价，为什么？ ●已知：初值a，终值为c，元素的总数n,则易采用linspace函数 来创建：t = linspace(a,c,n)，等价于 t = a : (c-a)/(n-1) : c。 即：t = a : b : (n-1)*b 或 t = linspace(a, (n-1)*b, n) 解题： a = [1 3 5 7 9 11] ; %或 a = [1,3, 5 , 7, 9 , 11]，直接输入法 a = 1: 2: 11; %冒号表达式 a = linspace(1,11,6); %linspace函数法
第1章土的物理性质与工程分类 一.填空题 1.颗粒级配曲线越平缓，不均匀系数越大，颗粒级配越好。为获得较大密实度，应选择级配良好的土料作 为填方或砂垫层的土料。 2.粘粒含量越多，颗粒粒径越小，比表面积越大，亲水性越强，可吸附弱结合水的含量越多，粘土的塑性 指标越大 3.塑性指标I P r W L -W P ,它表明粘性土处于可塑状态时含水量的变化范围，它综合反 映了粘性、可塑性等因素。因此《规范》规定：10 ::： I P _17为粉质粘土，I P 17为粘土。 4.对无粘性土，工程性质影响最大的是土的密实度，工程上用指标e、D r来衡量。 5.在粘性土的物理指标中，对粘性土的性质影响较大的指标是塑性指数I P 6.决定无粘性土工程性质的好坏是无粘性土的相对密度，它是用指标D r来衡量。 W-W P 7.粘性土的液性指标I L ，它的正负、大小表征了粘性土的软硬状态，《规范》 W L-W p 按I L将粘性土的状态划分为坚硬、硬塑、可塑、软塑、流塑。 &岩石按风化程度划分为微风化、中等风化、强风化。 9.岩石按坚固程度划分为硬质岩石，包括花岗岩、石灰岩等；软质岩石，包括页岩、泥岩 10.某砂层天然饱和重度sat =20kN∕m3,土粒比重G^ 2.68 ,并测得该砂土的最大干重 度dmax =17.1kN∕m3，最小干重度dmin =15.4 kN/m3,则天然孔隙比e为0.68，最大孔隙比e f maχ =0.74,最小孔隙比e min =0.57。 11.砂粒粒径范围是0.075~2mm，砂土是指大于2mm粒径累计含量不超过全重50%，而大 于0.075mm粒径累计含量超过全重50%。 12.亲水性最强的粘土矿物是蒙脱石，这是因为它的晶体单元由两个硅片中间夹一个铝片组成，晶胞间露出的是多余的负电荷，因而晶胞单元间联接很弱，水分子容易进入晶胞之间，而发生膨胀。 二问答题 1.概述土的三相比例指标与土的工程性质的关系？ 答：三相组成的性质，特别是固体颗粒的性质，直接影响土的工程特性。但是，同样一种土， 密实时强度高，松散时强度低。对于细粒土，水含量少则硬，水含量多时则软。这说明土的性质不仅决定于
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32621=< =Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ?? ? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=??? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ
土力学习题与答案三 一、判断题。（60题） 1、黄土在干燥状态下，有较高的强度和较小的压缩性，但在遇水后，土的结构迅速破坏发生显著的沉降，产生严重湿陷，此性质称为黄土的湿陷性。（√） 2、经试验得知液塑限联合测定法圆锥仪入土深度为17mm，则土样的含水率等于其液限。（√） 3、土的饱和度只与含水率有关。（×） 4、土的密实度越大，土的渗透性越小。（√） 5、一土样颗粒分析的结果d10=0.16mm,d60=0.58mm，它的不均匀系数Cu=3.63。（√） 6、根据颗粒分析试验结果，在单对数坐标上绘制土的颗粒级配曲线，图中纵坐标表示小于（或大于）某粒径的土占总质量的百分数，横坐标表示土的粒径。（√） 7、黄土都具有湿陷性。（×） 8、经试验得知液塑限联合测定法圆锥仪入土深度为2mm，则土样的含水率等于其液限。( × ) 9、土的含水率直接影响其饱和度的大小。（√） 10、土的孔隙比越大，土的渗透性越大。（×） 11、常用颗粒分析试验方法确定各粒组的相对含量，常用的试验方法有筛分法和密度计法、比重瓶法。（×） 12、湖积土主要由卵石和碎石组成。（×） 13、土层在各个方向上的渗透系数都一样。( × ) 14、土的物理指标中只要知道了三个指标，其它的指标都可以利用公式进行计算。（√） 15、粘性土的界限含水率可通过试验测定。（√） 16、一土样颗粒分析的结果d10=0.19mm,它的不均匀系数Cu=3.52，d60=0.76mm。（×） 17、土的饱和度为0，说明该土中的孔隙完全被气体充满。（√） 18、岩石经风化作用而残留在原地未经搬运的碎屑堆积物为坡积土。（×） 19、一般情况下土层在竖直方向的渗透系数比水平方向小。（√） 20、粘性土的塑性指数可通过试验测定。( × ) 21、一土样颗粒分析的结果d10=0.17mm,d60=0.65mm，它的不均匀系数Cu=3.82。（√） 22、残积土一般不具层理，其成分与母岩有关。（√） 23、两个土样的含水率相同，说明它们的饱和度也相同。（×） 24、同一种土中，土中水的温度越高，相应的渗透系数越小。( × ) 25、粘性土的塑性指数与天然含水率无关。（√） 26、土的含水率的定义是水的体积与土体总体积之比。（×） 27、土中水的温度变化对土的渗透系数无影响。( × ) 28、岩石是热的不良导体，在温度的变化下，表层与内部受热不均，产生膨胀与收缩，长期作用结果使岩石发生崩解破碎。（√） 29、岩石在风化以及风化产物搬运.沉积过程中，常有动植物残骸及其分解物质参与沉积，成为土中的次生矿物。（×） 30、粘性土的液性指数可通过试验测定。( × ) 31、曲率系数在1～3之间，颗粒级配良好。（×） 32、渗透力是指渗流作用在土颗粒上单位体积的作用力。（√）
思考题与习题 1-1 为什么在无线电通信中要进行调制？什么叫调幅？它的作用是什么？ 解答在无线电通信系统中若直接将基带音频信号进行传送，信号不容易辐射到空中，而且即使辐射出去，各个电台所发出的信号频率都在20HZ—20KHZ，收听者无法选择所要 接收的信号。因此，必须对信号进行调制，即将信号装载到某一高频振荡（载频）信号上，然后由天线辐射出去，收听者可根据选择相应的载频进行接收。 调幅是用调制信号去控制载波的振幅，使其随调制信号线性变化，而保持载波的角频率不变。 1-2 调幅接收机里为什么要“检波”？检波前、后的波形有什么变化？请粗略画出检波前后的波形。 解答调幅是用基带信号来改变载波的振幅，在接收端为了恢复原基带信号即从已调制的高频振荡中取出原基带信号必须进行解调，调幅波的解调过程称为检波。 件件件件件件件检波后的音频信号 图1-1 思考题1－2解答图 1-3 超外差式接收机里“混频”的作用是什么？如果接收信号的频率是2100兆赫，希望把它变成70兆赫的中频，该怎么办？画出方框图并标明有关频率。 解答“混频”的作用是将接收的巳调信号的载波频率变为一固定中频信号。如果接收信号的频率是2100兆赫，希望把它变成70兆赫的中频则需要加一个振荡频率为2170兆赫的本地振荡器。将接收信号和本地振荡信号同时加到某一非线性器件上，经过频率变换后再通过一个谐振频率为70兆赫的选频网络即可。其实现框图如图1-2。 图1-2 思考题1-3解答图 1-4 接收机收到的信号v(t) = V (1 + m cosΩt) cosωs t，本地振荡器信号角频率为ωo，经混频作用后输出信号还是不是调幅波，试画出混频前后的波形，频带宽度与v(t)相比是否发生变化？
第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)
《土力学》第二章习题集及详细解答 第2章土的物理性质及分类 一填空题 1.粘性土中含水量不同，可分别处于、、、、四种不同的状态。其界限含水量依次是、、。 2.对砂土密实度的判别一般采用以下三种方法、、。 3.土的天然密度、土粒相对密度、含水量由室内试验直接测定，其测定方法分别是、、。 4. 粘性土的不同状态的分界含水量液限、塑限、缩限分别用、、测定。 5. 土的触变性是指。 6.土的灵敏度越高，其结构性越强，受扰动后土的强度降低越。 7. 作为建筑地基的土，可分为岩石、碎石土砂土、、粘性土和人工填土。 8.碎石土是指粒径大于mm的颗粒超过总重量50%的土。 9.土的饱和度为土中被水充满的孔隙与孔隙之比。 10. 液性指数是用来衡量粘性土的状态。 二、选择题 1．作为填土工程的土料，压实效果与不均匀系数C u的关系：( ) （A）C u大比C u小好(B) C u小比C u大好(C) C u与压实效果无关 2.有三个同一种类土样，它们的含水率都相同，但是饱和度S r不同，饱和度S r越大的土，其压缩性有何变化？( ) (A)压缩性越大(B) 压缩性越小(C) 压缩性不变 3.有一非饱和土样，在荷载作用下，饱和度由80%增加至95%。试问土样的重度γ和含水率怎样改变？( ) (A)γ增加，减小(B) γ不变，不变(C)γ增加，增加 4.土的液限是指土进入流动状态时的含水率，下述说法哪种是对的？( ) (A)天然土的含水率最大不超过液限 (B) 液限一定是天然土的饱和含水率 (C)天然土的含水率可以超过液限，所以液限不一定是天然土的饱和含水率 5. 已知砂土的天然孔隙比为e＝0.303，最大孔隙比e max＝0.762，最小孔隙比e min＝0.114，则该砂土处于( )状态。 （A）密实（B）中密 (C)松散（D）稍密 6．已知某种土的密度ρ＝1.8g/cm3，土粒相对密度ds＝2.70，土的含水量w＝18.0％，则每立方土体中气相体积为( ) (A)0.486m3 (B)0.77m3(C)0.16m3(D)0.284m3 7.在土的三相比例指标中，直接通过室内试验测定的是（）。 (A)d s，w,e； (B) d s，w, ρ； (C) d s，e, ρ； (D) ρ，w, e。
第1章原子结构和元素周期律部分习题参考答案 1.1 玻尔理论有哪些局限性？ 答：玻尔理论的缺陷在于未能完全冲破经典物理的束缚，加入了一些假定，仍然认为，电子在原子核外的运动采用了宏观物体运动的固定轨道。玻尔理论不能解释这种光谱的精细结构，玻尔理论也不能解释多电子原子的光谱。 1.3 原子轨道的角度分布图与电子云的角度分布图相比有哪些不同？ 答：比较电子云的角度分布与原子轨道的角度分布图，可以看到，它们主要有两点区别：① 原子轨道的角度分布图上有正、负号，而电子云角度分布图上均为正值。②电子云的角度分布图比原子轨道的角度分布图要瘦一些。这是因为，Y的值总是小于1的，而∣Y∣2的值更小。 1.4 给出下面每组中可能的量子数： (1) n = 3 , l = 1 , m = ? (2) n = 4 , l = ? , m = -1 (3) n = ?，l = 1 , m = +1 答：(1) m = 0 ，±1。 (2) l = 3，2，1。 (3) n≥2 1.5 M2+离子的3d轨道上有3个电子，该元素位于周期表中哪一周期？什么族？什么区？中文名称是什么？分别写出描述这3个电子运动状态的四个量子数。 答：依题意：M的价层电子构型为3d34s2。因此可推知：该元素位于周期表中第4周期，ⅤB 族，d区。中文名称是钒（V）。3d3四个量子数分别是：（3，2，+1，+1/2），（3，2，-1，+1/2），（3，2，0，+1/2）。 1.6 填空 元素代号原子序数周期族区价电子排布 1 17 3 ⅧA p 3s23p5 2 24 4 ⅥB d 3d 54s1 3 29 4 ⅠB ds 3d 104s1 4 37 5 ⅠA s 5s1 5 64 6 ⅢB f 4f75d 16s2 1.7 某元素在Kr之前，当它的原子失去3个电子后，角量子数为2 的轨道上的电子恰好是半充满。写出该元素的核外电子排布式并指出该元素位于哪一周期？什么族？什么区？中文名称是什么？ 答：该元素的核外电子排布式为[Ar]3d64s2。该元素位于第4周期，Ⅷ族，d区，中文名称是铁。 1.10 A，B两元素，A原子的M层和N层的电子数分别比B原子的M层和N层的电子数少7个和4个。写出A，B两原子的名称和电子排布式。 答：A原子是钒，电子排布式为：1s22 2s2p63s23p63d34s2 B原子是硒，电子排布式为：1s22s22p63s23p63d104s24p43d 104s24p6。 1.11写出具有电子构型为1s22s22p5的原子中各电子的全套量子数。 答：n l m m n l m m s s 1s2 1 0 0 +1/2 1 0 0 -1/2 2s2 2 0 0 +1/2 2 0 0 -1/2 2p5 2 1 +1 +1/2 2 1 +1 -1/2 2 1 -1 +1/2 2 1 -1 -1/2
1 第1章 习题答案 三、解答题 1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确. 2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤， 又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以 (1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6. (2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )． 解：因为)()(B A P AB P =， 即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ， 所以 .1)(1)(p A P B P -=-= 4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ． 解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P . 5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有4 10C n =种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：15C k =24C 2 12)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：! 21 61815 C C C k ??=+2 5C 其中：! 2161815 C C C ??为恰有1双配对的方法数, 2 5C 恰有2双配对的方法数 法三：分两种情况考虑：)(1 42815C C C k -=+25C 其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k =-2 5C
习题 第一章 土的物理性质及工程分类 选择题 1.土颗粒的大小及其级配，通常是用颗粒级配曲线来表示的。级配曲线越平缓表示： A ．土颗粒大小较均匀，级配良好 B.土颗粒大小不均匀，级配不良 C. 土颗粒大小不均匀，级配良好 2.作为填土工程的土料，压实效果与不均匀系数u C 的关系： A ． u C 大比 u C 小好 B. u C 小比 u C 大好 C. u C 与压实效果无关 3.有三个同一种类土样，它们的含水率w 都相同，但是饱和度r S 不同，饱和度r S 越大的土，其压缩性 有何变化？ A.压缩性越大 B. 压缩性越小 C. 压缩性不变 4.有一非饱和土样，在荷载作用下，饱和度由80%增加至95%。试问土样的重度γ和含水率w 怎样改变？ A ．γ增加，w 减小 B. γ不变，w 不变 C. γ增加，w 增加 5.土的液限是指土进入流动状态时的含水率，下述说法哪种是对的？ A ．天然土的含水率最大不超过液限 B. 液限一定是天然土的饱和含水率 C. 天然土的含水率可以超过液限，所以液限不一定是天然土的饱和含水率 判断题 6.甲土的饱和度大与乙土的饱和度，则甲土的含水率一定高于乙土的含水率 7.粘性土的物理状态是用含水率表示的，现有甲、乙两种土，测得它们的含水率乙甲w w ，则可以断定甲土比乙土软 8.土的液性指数L I 会出现L I >0或L I <0的情况 9.土的相对密实度r D 会出现r D >1或r D <1的情况 10.土的天然重度越大，则土的密实性越好 计算题 11.击实试验，击实筒体积1000cm 2 ，测得湿土的质量为1.95kg ，取一质量为17.48kg 的湿土，烘干后质量为15.03kg ，计算含水率w 和干重度 d r 。 12.已知某地基土试样有关数据如下：①天然重度r =18.4 kN/m 3 ，干密度 d r =13.2 kN/m 3 ；②液限试验， 取湿土14.5kg ，烘干后质量为10.3kg ；③搓条试验，取湿土条5.2kg ，烘干后质量为4.1kg ，求（1）土的天然含水率，塑性指数和液性指数；（2）土的名称和状态。 13.从A ，B 两地土层中个取粘性土进行试验，恰好其液塑限相同，液限 l w =45%，塑限 p w =30%，但A 地 的天然含水率为45%，而B 地的天然含水率为25%。试求A ，B 两地的地基土的液性指数，并通过判断土的状态，确定哪个地基土比较好。 14.已知土的试验指标为r =17 kN/m 3 ， s G =2.72，和w =10%，求 е和r S 。
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
第一章 习题解答 1-1什么是开环控制系统？什么是闭环控制系统？比较开环控制系统和闭环控制系统的不同，说明各自的优缺点。 答：在开环控制系统中，信号从控制器到执行机构再到被控对象单方向传递，输出量不对控制作用产生影响。开环控制系统结构简单，成本低，但无法克服被控对象变化和扰动对输出的影响。 在闭环控制系统中，被控对象的输出反方向被引到控制系统的输入端，信号沿前向通路和反馈通路闭路传输，控制量不仅与参考输入有关，还与输出有关，即根据参考输入和系统输出之间的偏差进行控制。闭环控制系统需要对输出量进行测量，存在稳定性设计问题，较开环控制系统复杂，但可以有效地克服被控对象变化和扰动对输出的影响。 1-2日常生活中反馈无处不在。人的眼、耳、鼻和各种感觉、触觉器官都是起反馈作用的器官。试以驾车行驶和伸手取物过程为例，说明人的眼、脑在其中所起的反馈和控制作用。 答：在驾车行驶和伸手取物过程的过程中，人眼和人脑的作用分别如同控制系统中的测量反馈装置和控制器。在车辆行驶过程中，司机需要观察道路和行人情况的变化，经大脑处理后，不断对驾驶动作进行调整，才能安全地到达目的地。同样，人在取物的过程中，需要根据观察到的人手和所取物体间相对位置的变化，调整手的动作姿势，最终拿到物体。 1-3 水箱水位控制系统的原理图如图1.12所示，图中浮子杠杆机构的设计使得水位达到设定高度时，电位器中间抽头的电压输出为零。试描述图1.12所示水位调节系统的工作原理，指出系统中的被控对象、输出量、执行机构、测量装置、给定装置等。 进水阀门 进水 图1.12 习题1-3图 答：当实际水位和设定水位不相等时，电位器滑动端的电压不为零，假设实际水位比设定水位低，则电位器滑动端的电压大于零，误差信号大于零（0e >），经功率放大器放大后驱动电动机M 旋转，使进水阀门开度加大，当进水量大于出水量时（12Q Q >），水位开始上升，误差信号逐渐减小，直至实际水位与设定水位相等时，误差信号等于零，电机停止转动，此时，因为阀门开度仍较大，进水量大于出水量，水位会继续上升，导致实际水位比设定水位高，误差信号小于零，使电机反方向旋转，减小进水阀开度。这样，经反复几次调整后，进水阀开度将被调整在一适当的位置，进水量等于出水量，水位维持在设定值上。 在习题1-3的水位控制系统中，被控对象是水箱，输出量是水位高，执行机构是功率放
一、填空题 1.土体的最大特征是（三相组成） 2.在土的物理性质指标中被称为基本指标的有（含水率，密度，土粒比重） 3.常用的填土夯实控制指标是（压实系数） 4.判定砂土密实度的指标有（相对密实度Dr；标准贯入实验锤击数N63.5 孔隙比e） 5.粘土的分界含水量有（液限wl。塑限wp。缩限ws ） 6.当液性指数为1.5时，该粘土的状态为（流塑） 7.在用累计曲线法表示粒度成分时描述土级配的指标是（曲率系数） 8.动水力的单位是（kn-m3 ） 9.土中水渗流速度V与真实流速V0之间的关系（v大于v0） 10.水头梯度是指（沿渗流途径水头损失与渗流途径长度的比值） 11.流沙产生的条件（渗透梯度大于临界水力梯度） 12.测定渗透系数K的方法有（实验室测定和野外现场测定） 13.土的毛细性是指（土的毛细孔隙能使水产生毛细现象的性质） 14.管涌是指（在渗流的作用下，土体中的细土粒间的孔隙通道中随水流移动并被带走的现象） 二、单项选择题 1.当土中的孔隙被水充满时，该土体为（）。 ①非饱和土②饱和土③干燥土④淤泥 2.土方工程中控制填土质量常用的指标是（）。 ①γd②D r③e ④ω 3.已知某砂土的天然孔隙比为e=0.7，e max=1.0，e min=0.4，其物理状态为（） ①密实②中密③松散④坚硬固态 4.累计曲线法土分析的粒组，级配良好的土是指（）。 ①Cu>5，Cc=2~3 ②Cu<5，Cc=2~3 ③Cu>5，Cc=1~3 ④Cu<5，Cc=1~3 5.《建筑地基基础设计规范》（GBJ7-89）规定划分粘土和粉质粘土的指标是（）。 ①液限②塑限③液性指数④塑性指数 6.影响粘性土工程性质最大的是土中的（）。 ①孔隙水②毛细水③重力水④结合水 7.理论上评价砂性土物理状态最合理的指标是（）。 ①γd②D r③e ④ω 8.下列反映土体重度的指标中，最大的是（） ①γd②γs③γ④γsat