第一章 证明(二) 单元复习题(2)
(时间90分钟 满分100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数为（ ）
A 、35°
B 、40°
C 、70°
D 、110°
2、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、以上都有可能
3、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则BC ∶AC ∶AB=（ ）
A 、1∶2∶3
B 、
C 、
D 、
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；
（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A 、（1）（2）（5）
B 、（2）（3）（5）
C 、（1）（4）（5）
D 、（1）（2）（3）
5、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）．
A 、AD ＝AE
B 、∠AEB ＝∠AD
C C 、BE ＝C
D D 、AB ＝AC
(第5题图) (第8题图) (第10题图)
6、在△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，则S △ABC 等于（ ）
A 、3
B 、2
C 、22
D 、33
7、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A 、75°或15°
B 、30°或60°
C 、75°
D 、30°
8、如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝1，
CD ＝3
2，则△ABC 的边长为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
9、两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为
A 、6
B 、4
C 、3
D 、2
10、某县政府准备为B 、C 两个村修建人畜饮水工程，取水点为A ，已知AB=BC=AC ，如图(1)、(2)、(3)的实线部分是三种不同的水管铺设线路设计方案，其中方案(3)的三段分别是∠BAC 、∠ABC 、∠BCA 的平分线，设三种方案的水管长度分别是l 1、l 2、l 3，则
（）
A、l1>l2>l3
B、l2>l1>l3
C、l3>l2>l1
D、l1>l3>l2
二、填空题(每小题3分，共24分)
11、在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是三角形.
12、如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你
添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB。
13、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是cm.
(第11题图) (第12题图) (第17题图) (第18题图)
14、在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其
中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：
15、补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别载取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C。③作射线OC即为∠AOB的平分线。
16、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系
是.
17、如图，△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于
点O，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则△ADE的周长等于cm.
18、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的
直角三角形拼和而成。若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的和是cm.
三、(每小题6分，共12分)
19、如图所示，它是由6个面积为1的正方形组成的矩形，点A、B、C、D、E、F、G是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个为顶点，可组成多少个面积为1的三角形？
请你写出所有这样的三角形.
20、已知：如图，△ABC中，AB=AC.
(1)按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过D作DF⊥AC，垂足为点F.
(2)根据上面所画的图形，求证：EB=FC.
四、(每小题6分，共18分)
21、已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=BD.
求证：DB=DE.
22、如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=
∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？并说明理由.
23、如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.
求证：AD垂直平分EF.
五、(每小题8分，共16分)
24、此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分．请你任选一类证明，多证明的题目不记分．
（A类）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
（B类）已知：如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平
分∠BAC．求证：OB＝OC．
（C类）如图9，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC 交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．
25、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA，
交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
北师大九年级（上）第一章证明（二）单元测试 必做题（24个题，共100分） 12、如图6,已知AABC 。（1）如图①若P 点是ZABC 和ZACB 的角平分线的交点，则ZP 二90° ZA ； （2）如 图②，若P 点是ZABC 和外角ZACE 的角平分线的交 点， 则ZP 二*ZA ； （3）如图③，若P 点是外角 ZCBF 和ZBCE 的和平分线的交点，贝IJ ZP=90° -|ZAo 上述说法正确的是（） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 二、填空（4'x8 = 32‘） 13、若AABC 为直角三角形，两条直角边BC 二7, AC 二24,在AABC 内有一点P,且点P 到各边的距离相等，贝0 —、精心选一选（3'xl2 = 36‘） 卜列命题中，正确的命题是（ ） A 、等腰三角形一定是锐角三角形 B 、等腰三角形的腰长总大于底边长 C 、等腰三角形底角的外角一?定是钝角 D 、顶角相等的两个等腰三角形是全等三角形 等腰三角形周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为（ A^ 7 cm B> 3cm C 、7cm 或 3cm 如图1,在Z\ABC 中，ZC=90°, ZB=30°, AB 的垂直平分线 DE 交BC 于点D,点E 为垂足，若BD=10cm,则AC 等于（ 1、 2、 D 、5cm A. 10cm B 、 8cm C 、5 V3 cm D 、 25cm 4、 在Z\ABC 中，AB=AC, ZA 二50° , ZPBC=ZPCA,那么ZBPC 等于（ A 、 100° 5、如图2,在正方形ABCD 中点E, B 、115° EF=3, AF 二5,那么正方形ABCD 的面积等于（ P 为ZXAB C 内任一点， ） C 、130° F 分别在边 BC 、CD±, H. D 、65° 如果 D 256 匕IT c 256 °、 6、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、肓角三角形 D 、不能确定 等腰三角形的底角为15°,腰长为a,则此三角形的面积为（ ） B 、-a 2 C 、-a 2 2 4 如图3, AB=AC=BD 那么Zl, Z2之间关系满足（ B 、2Z1 + Z2 = 18O° D 、3Z1-Z2=18O° 一腰上的屮线把夷周长分为两部分， 7、 8、 9、 a, A 、a 2 D 、非以上答案 A 、Z1 = 2Z2 C 、Zl + 3Z2=180° 等腰三用形底边长为5cm, 其差为3cm,则腰长为（） As 2cm 8cm C 、 2cm 或 8cm D^ 7cm 10、 如图4, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD ±的点，且CD=DF, AE 、BF 相交于点0,下列结论①AE 二BF ；②AE 丄BF ；③A0二0E ； @S A AOB = S 四娠DEOF ， 错误的冇（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 11、 已知：如图5, AEBD 是以正方形ABCD 的对角线BD 为一边的止三角形, EF 丄DA 于F, ZAEF 的度数是（ ） A 、 15° B 、 30° C 、 45° D 、60° ) D F C 图4 图 C E
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元练习 一、单选题 1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（） A. 线段CD的中点 B. OA与OB的中垂线的交点 C. OA与CD的中垂线的交点 D. CD与∠AOB的平分线的交点 2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN 上，则点O是△ABC的（）
A. 垂心 B. 重心 C. 内 心 D. 外心 5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）． A. B. C. D.
证明题： 1. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间()l l ,-上的，证明： 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； 证：设)()()(x g x f x F +=，如果)(x f 和)(x g 都是偶函数，则 )()()()()()(x F x g x f x g x f x F =+=-+-=-， 所以)(x F 为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数； 如果)(x f 和)(x g 都是奇函数，则 )()()()()()(x F x g x f x g x f x F -=--=-+-=-， 所以)(x F 为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数。 2. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且a a f <)(，b b f >)(， 证明：存在),(b a ∈ξ，使得ξξ=)(f 。 证：构造辅助函数x x f x F -=)()(，易见)(x F 在],[b a 上连续，且 0)()(<-=a a f a F ，0)()(>-=b b f b F ， 由零点定理知，存在),(b a ∈ξ，使0)()(=-=ξξξf F ，即ξξ=)(f 。 3. 证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。 证：令13)(5--=x x x f ，显然)(x f 在]2,1[上连续，又03)1(<-=f ，025)2(>=f ， 由零点定理知，至少存在一点)2,1(∈ξ，使得：0)(=ξf ， 即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。 4. 证明方程0sin 1=++x x 在区间??? ? ?-2,2ππ内至少有一个根。 证：设x x x f sin 1)(++=，则)(x f 在区间??? ??- 2,2ππ内连续， ∵ 01212<--=??? ??-ππf ，01212>++=?? ? ??ππf ，
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
八年级下册数学第一章《证明二》章节复习 专题一、全等三角形 知识整理 1、全等三角形的判定 公理①：三边的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角的两个三角形全等；公理③：的两个三角形全等；推论：的两个三角形全等。2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边、对应角。 典例分析 例1、（2010年吉林）如图△1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE⊥BE，CE与AB 相交于点F，AD⊥CF，垂足为D，且AD平分∠FAC，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。 A C 例2、已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.(两种方法)D F E B 专题二、等腰三角形 知识整理 1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角，简称“”；（2）推论：等腰三角形的顶角平分线、、互相重合，简称“”； 2、等腰三角形的判定：的三角形是等腰三角形，简称“”； 3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角，且每个内角都等于。 4、等边三角形的判定：（1）有一个角为60°的是等边三角形； （2）三个角都的三角形是等边三角形。 典例分析 例1、已知：如图，AB=AC,D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的 延长线交CA的延长线于点△F.求证：ADF△是等腰三角形． 例△2、如图，在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC 的度数
A 例 3、 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MD ⊥BC ， 交∠BAC 的平分线于点 D ，求证：MD =MA . 例 4、如图，在 △Rt ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45° 的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A 、D 重合，连接 BE 、EC ．试猜 想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 例 △5、如右图，已知 ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD. 例 6、如图，以等腰直角三角形 A BC 的斜边 AB 为边作等边△ABD ， 连接 DC ，以 DC 为边作等边 △DCE ，B 、E 在 C 、D 的同侧， 若 AB= 2 ，求 BE 的长. 例 7、如图 1、图 △2， AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o， （1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗？请说明理由（4 分） （△2）若 COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相 等吗？为什么？（8 分） B B D C D A C 图 1 O O 图 2 例 △8、如图，在 ABC 中，AB=AC 、D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=BD ，连结 DE 交 BC 于 F 。（1）猜想 DF 与 EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。
三 角 形 的 证 明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质 2? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（） 找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1．下列说法中，正确的是（ ） A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 2．如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 3．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM . 【知识点二：等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； ②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等． 【典型例题】 1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 3．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D， 求证：MD=MA. 【巩固练习】 1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（） A．30°B．40°C．50°D．70° 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9， 则线段MN的长为（） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE， 过D作DG∥AC交BC于G．求证： （1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．
第一部分：基础复习 九年级数学(上) 第一章：证明(二) 一、中考要求： 1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力． 2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义． 3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质、定理及判定定理． 4．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．5．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形 二、中考卷研究 (一)中考对知识点的考查： 2012、2013年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: (二)中考热点： 新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2014年中考的热点题型 三、中考命题趋势及复习对策 本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程。 ★★★(I)考点突破★★★ 考点1：利用定理证明 一、考点讲解： 公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等， 公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行． 公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹 边，或三边）分别相等，则这两个三角形全 等． 公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．定理1.平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补． 定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等． 定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心） 定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） 定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理． 二、经典考题剖析 ： 【考题1－1】（深圳南山）如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点． （1）求证：AF⊥DE； （2）求证：FH= GH． 证明：
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 第一章 图形与证明（二） 【知识回顾】 【基础训练】 1.（08，盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。 2．（08，南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。 3.（08，乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm 4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为__________cm ． 5.（08，梅州）如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度． 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定：3个判定定理 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 （2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长） 注意： （1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式： ()lh h b a S =+=21（l -中位线长）
1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简述为等边对等角)． 用符号语言表示为:如图1-1所示，在△ABC 中,∵AB =AC ,∴∠B =∠Ｃ． 定理的证明: 取BC 的中点Ｄ,连接AD ． ∵(),()()AB AC BD CD AD AD =??=??=? 已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ＡCD (ＳSS). ∴∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）． 定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等. 拓展 等腰三角形还具有其他性质. (1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°. (2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角. (3)等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ,则∠A =1８0°－∠B -∠C ＝１80°-2∠B ＝１8０°-２∠C . 知识点２ 等腰三角形的性质定理的推论 推论１:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”）. （１）用符号语言表示为:如图1－3所示, ①在△A ＢC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2,∴ＡD ⊥BC ．BD =DC ; ②在△ABC 中，∵A Ｂ＝AC ，A Ｄ⊥B Ｃ,∴∠1=∠２,BD =DC ； ③在△ＡB Ｃ中,∵ＡＢ=AC ,BD ＝DC ，∴∠1＝∠２,A Ｄ⊥ＢC ． （2)推论1的证明． ①在△A ＢC 中，∵AB ＝AC ,∠1=∠２,ＡD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AC Ｄ(ＳＡS)． ∴BD =ＤC ，∠ＡＤB ＝∠ADC ＝90°.∴AD ⊥BC . ②在△ＡBC 中，∵A Ｄ⊥ＢC ，∴∠AD Ｂ＝∠ADC =9０°．
第一章三角形的证明 1.等腰三角形（一） 一、教学目标如： 1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。 2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系； 二．教学重、难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 三、教学过程分析 第一环节：回顾旧知导出公理 请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条： .两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明； 2.回忆全等三角形的性质。 已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， 又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F（等量代换）。 又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。D B A
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-
5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133
第一章三角形的证明单元测试卷 一．选择题（共12小题） 1．（2016?当涂县四模）在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（） A．1 B．2 C．3 D．4 (第1题) (第3题) (第4题) 2．（2016春?盐城校级月考）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（） A．9 B．7 C．5 D．3 3．（2016春?重庆校级月考）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（） A．30°B．45°C．55°D．75°4．（2015?达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（） A．48°B．36°C．30°D．24°5．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（） A．150°B．160°C．130°D．60°
(第5题) (第6题) (第7题) 6．（2015?香坊区三模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，AD ∥BC，连接CD，则∠ADC的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．80° 7．（2015?河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD 上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC 的度数为（） A．75°B．65°C．63°D．61° 8．（2015?昌平区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接C D． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° (第8题) (第10题) (第11题) 9．（2015?泰安模拟）直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个． A．4 B．5 C．7 D．8 10．（2015?罗田县校级模拟）如图，在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动，且点P 从离点O有1厘米远的地方出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为等腰三角形时，两点的运动时间为（）秒．
第一讲等腰与等边三角形 【优秀学生必知的数学那点事】 等腰三角形 1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。 2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有： ①等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。 ②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。 ③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。 等边三角形 1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°. 2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角平分互相重合。（三线合一） 3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。 4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。 5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高） 6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形） 【精选精讲】 例题1.如图所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,若∠A=40°，求∠EDF。
例题2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，求证：AB+BD=AC 例题3、如图，在△ABC 中，AB=3AC ，∠A 的平分线交BC 于点D ，过B 作BE ⊥AD ， 垂足为E ，求证：AD=DE 。 【基础达标】 1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A 、30° B 、30°或150° C 、120°或150° D 、30°或120°或150° 2、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ） A 、6a B 、a 53 C 、a a 536或 D 、a 5 4 3、如图3，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，若BD=CE ，CD=BF ，则∠EDF 等于（ ） A 、90°－2 1∠A B 、90°－∠A C 、180°－∠A D 、180°－2∠A
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
第一章 图形与证明（二）复习教学案 【知识回顾】 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3 .平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定：3个判定定理 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 （2）菱形的面积公式：ab S 2 1= （b a ,是两条对角线的长） 注意： （1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=2 1（l -中位线长）
【基础训练】 1.梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。 2．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。 3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm 4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为 __________cm ． 5.如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度． 6.如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ， OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米． 7．平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个 条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ） A ．AB=BC B ．AC=BD C ．AC⊥B D D．AB⊥BD 8．(08，扬州)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当A C ⊥B D 时，它是菱形 C 、当∠ABC=900时，它是矩形 D 、当AC=BD 时，它是正方形 9.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A.AB=CD ，AD ∥BC B.AB=CD ，AB ∥CD C.AB ∥CD ，AD ∥BC D.AB=CD ，AD=BC 10.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ A B C D 第10题 D C 第11题 A D B O 第12题 第13题