(2018?安徽)如图,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1.正方形ABCD的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处.将正方形ABCD沿l 向右平移,直到点A与点N重合为止.记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为()
A.B.C.D.
【解答】解:当0≤x≤1时,y=2x,
当1<x≤2时,y=2,
当2<x≤3时,y=﹣2x+6,
∴函数图象是A,
故选:A.
(2018?安徽)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为或3.
【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠BAD=90°,
∴BD==10,
当PD=DA=8时,BP=BD﹣PD=2,
∵△PBE∽△DBC,
∴=,即=,
解得,PE=,
当P′D=P′A时,点P′为BD的中点,
∴P′E′=CD=3,
故答案为:或3.
(2018?河北)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()
A.4.5B.4C.3D.2
【解答】解:连接AI、BI,
∵点I为△ABC的内心,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI,
由平移得:AC∥DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI,
同理可得:BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,
即图中阴影部分的周长为4,
故选:B.
(2018?河北)对于题目“一段抛物线L:y=﹣x(x﹣3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值,”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则()
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
【解答】解:∵抛物线L:y=﹣x(x﹣3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点∴①如图1,抛物线与直线相切,
联立解析式
得x2﹣2x+2﹣c=0
△=(﹣2)2﹣4(2﹣c)=0
解得c=1
②如图2,抛物线与直线不相切,但在0≤x≤3上只有一个交点
此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上
∴c min=2,但取不到,c max=5,能取到
∴2<c≤5
又∵c为整数
∴c=3,4,5
综上,c=1,3,4,5
故选:D.
(2018?河北)如图1,作∠BPC平分线的反向延长线P A,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,
而=45是360°(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.
图2中的图案外轮廓周长是14;
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是21.
【解答】解:图2中的图案外轮廓周长是:8﹣2+2+8﹣2=14;
设∠BPC=2x,
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为:=,
以∠APB为内角的正多边形的边数为:,
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6,
根据题意可知:2x的值只能为60°,90°,120°,144°,
当x越小时,周长越大,
∴当x=30时,周长最大,此时图案定为会标,
则会标的外轮廓周长是=+﹣6=21,
故答案为:14,21.
(2018?大庆)如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=()
A.30°B.35°C.45°D.60°
【解答】解:作MN⊥AD于N,
∵∠B=∠C=90°,
∴AB∥CD,
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°,
∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,
∴MN=MC,
∵M是BC的中点,
∴MC=MB,
∴MN=MB,又MN⊥AD,MB⊥AB,
∴∠MAB=∠DAB=35°,
故选:B.
(2018?大庆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∵y=a(x﹣1)2﹣4a,
∴当x=1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;
当x=4时,y=a?5?1=5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;
∵点C(1,5a)关于直线x=1的对称点为(﹣2,﹣5a),
∴当y2>y1,则x2>4或x<﹣2,所以③错误;
∵b=﹣2a,c=﹣3a,
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0,
整理得3x2+2x﹣1=0,解得x1=﹣1,x2=,所以④正确.
故选:B.
(2018?大庆)已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值
范围为0<m<.
【解答】解:把点(12,﹣5)代入直线y=kx得,
﹣5=12k,
∴k=﹣;
由y=﹣x平移平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣
x+m(m>0),
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B,(如下图所示)
当x=0时,y=m;当y=0时,x=m,
∴A(m,0),B(0,m),
即OA=m,OB=m;
在Rt△OAB中,
AB=,
过点O作OD⊥AB于D,
∵S△ABO=OD?AB=OA?OB,
∴OD?m=×m×m,
∵m>0,解得OD=m
由直线与圆的位置关系可知<6,解得0<m<.
故答案为:0<m<.
(2018?哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()
A.=B.=C.=D.=
【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,
∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,
∴=,=,
∴==.
故选:D.
(2018?哈尔滨)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=OB,点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为4.
【解答】解:设EF=x,
∵点E、点F分别是OA、OD的中点,
∴EF是△OAD的中位线,
∴AD=2x,AD∥EF,
∴∠CAD=∠CEF=45°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=2x,
∴∠ACB=∠CAD=45°,
∵EM⊥BC,
∴∠EMC=90°,
∴△EMC是等腰直角三角形,
∴∠CEM=45°,
连接BE,
∵AB=OB,AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°,
∴BM=EM=MC=x,
∴BM=FE,
易得△ENF≌△MNB,
∴EN=MN=x,BN=FN=,
Rt△BNM中,由勾股定理得:BN2=BM2+MN2,
∴,
x=2或﹣2(舍),
∴BC=2x=4.
故答案为:4.
(2018?黑龙江)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为2.
【解答】解:如图:
取点D关于直线AB的对称点D′.以BC中点O为圆心,OB为半径画半圆.
连接OD′交AB于点P,交半圆O于点G,连BG.连CG并延长交AB于点E.
由以上作图可知,BG⊥EC于G.
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知,此时PD+PG最小.
∵D′C=4,OC′=6
∴D′O=
∴D′G=2
∴PD+PG的最小值为2
故答案为:2
(2018?黑龙江)Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC 分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC==5,S△ABC=AB?BC=6.
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:
①当AB=AP=3时,如图1所示,
S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6;
②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示,
作△ABC的高BD,则BD===2.4,
∴AD=DP==1.8,
∴AP=2AD=3.6,
∴S等腰△ABP=S△ABC=×6=4.32;
④当CB=CP=4时,如图3所示,
S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8.
综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.
故答案为3.6或4.32或4.8.
(2018?黑龙江)如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边△AB2C2;再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边△AB3C3;…,记△B1CB2的面积为S1,△B2C1B3的面积为S2,△B3C2B4的面积为S3,如此下去,则S n=?()n﹣1.
【解答】解:∵等边三角形ABC的边长为2,AB1⊥BC,
∴BB1=B1C=1,∠ACB=60°,
∴B1B2=B1C=,B2C=,
∴S1=××=
依题意得,图中阴影部分的三角形都是相似图形,且相似比为,
故S n=?()n﹣1.
故答案为:?()n﹣1.
(2018?黑龙江)如图,平面直角坐标系中,点A是x轴上任意一点,BC平行于x轴,分别交y=(x>0)、y=(x<0)的图象于B、C两点,若△ABC的面积为2,则k值为()
A.﹣1B.1C.D.
【解答】解:连接OC、OB,如图,
∵BC∥x轴,
∴S△ACB=S△OCB,
而S△OCB=?|3|+?|k|,
∴?|3|+?|k|=2,
而k<0,
∴k=﹣1.
故选:A.
(2018?黑龙江)如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为()
A.15B.12.5C.14.5D.17
【解答】解:如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,
∵∠DAB=∠DCB=90°,
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,
∴∠D=∠ABE,
又∵∠DAB=∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠EAB,
又∵AD=AB,
∴△ACD≌△AEB,
∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形,
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,
∵S△ACE=×5×5=12.5,
∴四边形ABCD的面积为12.5,
故选:B.
(2018?黑龙江)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是()
A.2B.3C.4D.5