天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编3：三角函数
一、选择题
1 ．（天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）函数=2()(
-)4
4
y sin x cos x π
π
+
图象的
一个对称轴方程是 （ ）
A ．=
4
x π
B ．=
8
x π
C ．=
2
x π
D ．=x π
【答案】A
2 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））设函数
f(x)=Asin(?ω+x )(A>0,ω>0,-2
π
π)的图象关于直线x=3
2π
对称,且周期为π,则f(x)
（ ） A ．图象过点(0,
2
1
) B ．最大值为-A C ．图象关于(π,0)对称
D ．在[
125π,3
2π]上是减函数 【答案】D 3 ．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）在?ABC 中,A,B,C 为内角,且
sin cos sin cos A A B B =,则?ABC 是
（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D
【解析】由sin cos sin cos A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰或直角三角形，选
D ．
4 ．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）定义行列式运算
1234
a a a a =3241a a a a -.
将函数sin 2()cos 2x f x x
=
的图象向左平移6
π
个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）
A ．,04π??
???
B ．,02π??
???
C
．,03π??
???
D
．,012π?? ???
【答案】B
【解析】根据行列式的定义可知()sin 22=2sin(2)3
f x x x x π
=-
,向左平移
6
π
个单位得到
()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=,所以()2sin(2)2sin 022g πππ=?==,所以(,0)2
π
是函数的
一个对称中心,选 B ．
5 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）为了得到函数x x x y 2cos 2
1
cos sin 3+=
的图
象,只需将函数x y 2sin =的图象
（ ）
A ．向左平移12π
个长度单位 B ．向右平移
12π
个长度单位 C ．向左平移6
π
个长度单位
D ．向右平移6
π
个长度单位
【答案】A
6 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）函数
2()22sin f x x x =-,(02
x π
≤≤
)则函数f(x)的最小值为 （ ）
A ．1
B ．-2
C ．√3
D ．-√3
【答案】B
解
:
2()22sin 2cos 212sin(2)1
6
f x x x x x x π
=-=+-=+-,当02x π≤≤,702,2666x x ππππ≤≤≤+≤,所以当7266
x ππ-=时,函数()f x 有最小值71
()2sin()12()1262
f x π=-=?--=-,选
B ． 7 ．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）函数f(x)=sin2x-4sin 3
xcosx(x ∈R)的最小正周
期为 （ ）
A ．
8
π
B ．
4
π C ．
2
π D ．π
【答案】C
【解析】2
2
1
()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42
f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242
T π
ππ
ω
=
=
=，选 C ．
8 ．（2012年天津理）在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cosC=
（ ）
A ．
7
25
B ．725
-
C ．725±
D ．24
25
【答案】∵8=5b c ,由正弦定理得8s i n =5s i n
B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8s i n =10s i n c
o B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2
cos =cos 2=2cos 1C B B -=725
. 9 ．（2010年高考（天津理））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若
22a b -=,sin C B =,则A=
（ ）
A ．030
B ．060
C ．0
120
D ．0
150
【答案】A 10．（天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a,b,c,
且1
2,3,cos 4a b C ===,则sinA= （ ）
A B D 【答案】C 11．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别
为c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2
=
+,
则
=a
b
（ ）
A ．32
B ．22
C ．3
D ．2
【答案】D 解:由正弦定理得
s i n s i n
a b A B =
,即sin sin a B b A =.所以由a A b B A a 2c o s s in s in 2
=+得
22sin cos b A b A +=,即b =,所以b
a
=选 D ．
12．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）在?ABC 中,tanA 是以-4为第三项,4为第
七项的等差数列的公差,tanB 是以1
3
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是
（ ）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上都不对
【答案】B
解:由题意知374,4a a =-=,所以733tan a a A =+,所以73tan 24a a A -=
=.361
,93b a ==,所以363(tan )a b B =,即3tan 27B =,所以tan 3B =,所以tan tan 23
tan()11tan tan 123
A B A B A B +++===---?,即
tan 1C =,因为tan 30B =>,所以最大值90B < ,即三角形为锐角三角形,选
B ． 13．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）将函数??? ?
?
+=42sin 2)(πx x f 的图像向右
平移)0(>??个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍,所得图像关于直线4
π
=x 对称,则
?的最小正值为
（ ） A ．8π B ．83π C ．43π D ．2
π
【答案】B 【解析】函数??? ?
?
+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>??个单位得到
2sin[2()]2sin(22)44y x x ππ??=-+=+-,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21
倍得到
2sin(42)4y x π?=+-,此时 关于直线4π=
x 对,即当4π
=x 时,4242,4442x k k Z ππππ??π+-=?+-=+∈,所以324k π?π=+,3,82
k k Z ππ
?=+∈,所以当
0k =时,?的最小正值为38
π
?=,选 B ． 14．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）若?ABC 的三个内角成等差数列,三边成等
比数列,则?ABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形
【答案】C 【解析】设三个内角,,A B C 为等差数列,则2A C B +=,所以60B = .又,,a b c 为等比数列,
所以2
a c
b =
,即222222cos60b a c ac a c ac ac =+-=+-= ,即2220a c ac +-=,所以
2()0,a c a c -==,所以三角形为等边三角形,选 C ．
15．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知2
1
)4tan(=+απ,则
α
α
α2cos 1cos 2sin 2+-的值为( )
【答案】B 16．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）若f (x )a sin x b =+(a ，b 为常数)的最大值是
5，最小值是-1，则
a
b
的值为 （ ）
（ ）
A ．3
5
-
A ．、2
3
-
B ．、
23或2
3
- C ．、 3
2
-
D ．、
3
2
【答案】B 17．（天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,
其中120,1A b ==
,且ABC ?,
则
sin sin a b
A B
+=+( )
（ ）
A B ．3
C ．
D ．【答案】D
18．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）在钝角△ABC 中,已知AB=3,
AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积是 （ ）
A ．
2
3
B ．
4
3 C ．
2
3 D ．
4
3 【答案】B
19．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）函数ln cos y x =??? ??<<-
22
ππ
x 的图象是
【答案】A
【解析】函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除B,
D
．
又
0c o s x <<，所以
ln cos 0y x =<，排除C ，选
（ ）
A ．
20．（2013天津高考数学（理））在△ABC 中, ,3,AB BC ABC π
∠==
=则sin BAC ∠ = （ ）
A B C D
【答案】C 由余弦定理得2
2
2
2cos 5AC BA BC BA BC BAC AC =+-?∠=?=,由正弦定理
得:
sin sin sin 10
BC AC BAC BAC ABC =?∠=∠∠.
二、填空题
21．（天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）一海轮在B 处望见A 处的小岛,
测得小岛在海轮北偏东75o
,海轮由B 处向正东方向行驶8 n mile 到达C 处,测得此时小岛在海轮北偏
东60o
.这艘海轮不改变方向继续前行,则海轮与小岛的最近距离为___________. 【答案】4n mile 22．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数
，给出下列四
个说法：
①若，则
； ②的最小正周期是；
③
在区间
上是增函数； ④
的图象关于直线
对称．
其中正确说法的序号是______.
【答案】③④
【解析】函数1()sin cos sin 22f x x x x ==，若12()=()f x f x -，即1211
sin 2=sin 222x x -，所以
12sin 2=sin 2x x -，即12sin 2=sin(2)x x -，所以122=22x x k π-+或122=22,x x k k Z ππ-+∈，所以①错误；2,ω=所以周期
2T π
πω
=
=，所以②错误；当
44x π
π
-
≤≤
时，222x π
π
-
≤≤
，函数递增，
所以③正确；当
34x π=时，313131()sin 2)=sin =424222f π
ππ=?-
（为最小值，所以④正确。 23．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）已知3sin cos 8x x =,且(,)42
x ππ
∈,则
cos sin x x -=_________.
【答案】12
-
【解析】因为(
,)42
x ππ
∈，所以sin cos x x <，即cos sin 0x x -<，所以21
(cos sin )12sin cos 4
x x x x -=-=
，所以1cos sin 2x x -=-。
24．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）函数()=(+)(,,f x Asin x A ω?ω?为常数，A>0,
ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是 ；
【解析】由图象可知741234T A πππ==-=,所以T π=，又2T ππω
==，所以2ω=
，所以函数((2+)f x x ?，
由
777(
=2+=2(
11f s i n s n π
π
π???，得
7(+)=16s i n π?-，所以73+=262k ,k Z
ππ
?π+∈，即=23
k ,k Z
π?π+∈，所
以
((2+
)3
f x x π
，3
2
2
f π==
。
25．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）函数()sin(2)3
f x x π
=-
(x ∈R)的图象为C,以
下结论中:
①图象C 关于直线1112
x π
=对称; ②图象C 关于点2(
,0)3
π
对称; ③函数f(x)在区间5(,
)1212ππ
-
内是增函数;
④由3sin 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 【答案】①②③ 【解析】当1112
x π
=
时，1111113)sin(2)=sin()=sin()=112123632f ππππππ=?---（，所以为最小值，
所以图象C 关于直线1112x π=对称，所以①正确。当23x π=时，22)sin(2)=sin =0333
f ππππ=?-（，所以图象C 关于点2(
,0)3π对称;所以②正确。2222k x k ππππ-+≤≤+，当51212
x ππ
-≤≤
时，526
6x π
π-
≤≤
，所以5263363x πππππ--≤-≤-，即2232
x πππ-≤-≤，此时函数单调递增，所以③正确。3sin 2y x =的图象向右平移3
π
个单位长度，得到23sin 2()3sin(2)33y x x ππ=-=-，所以
④错误，所以正确的是①②③。
26．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC 则△ABC
的形状为________。 【答案】等腰三角形 【
解
析
】
在
三
角
形
中
sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即s i n c o s c o s B C B C B
C +=
，所以s i n c o s c o s s i n s i n (B C B C B C -=-=，所以B C =，即三角形为等腰三角形。
三、解答题
27．（天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）已知函数2
()sin 2cos ,f x x a x a =+,a 为
常数,a R ∈,且()04
f π
=.
(I)求函数()f x 的最小正周期.
(Ⅱ)当11,2424x ππ??
∈?
???
时,求函数()f x 的最大值和最小值, 【答案】解:(Ⅰ)由已知得2()=sin +cos 0424
f a πππ= 即1
1+=02
a ,
所以=2a -
所以2
()sin 22cos =sin 2cos 21f x x x x x =---
)14
--π
x
所以函数()f x 的最小正周期为π
(Ⅱ)由112424,ππ??
∈????x ,得22463--,πππ??∈????
x 则1sin (2)142--,π??
∈????
x
所以1)1124
-
---π
x 所以函数()y f x =
1;
最小值为12
-
- 28．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）设函数22()cos()2cos ,32
x
f x x x R π=++∈. (Ⅰ) 求()f x 的值域;
(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,若()1f B =,1b =
,c =求a 的值.
【答案】解:(I)1cos 3
2sin sin 32
cos cos )(++-=x x x x f ππ
1
)6
5sin(1
sin 2
3
cos 211
cos sin 23cos 21++=+-=++--=π
x x x x x x 因此)(x f 的值域为]2,0[
(II)由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ,即0)6
5sin(=+π
B ,
又因π<
=
B .
解法一:由余弦定理023,cos 2222
=+--+=a B ac c a b 2
a 得,解得1=a 或2.
解法二:由正弦定理C
c
B b sin sin =
得32ππ或3,23sin ==C C 当3π
=
C 时,2
π
=
A ,从而222=+=
c b a ;
当π32=C 时,6
B π
π==又,6A ,从而1==b a .
故a 的值为1或2.
29．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）（本小题满分13分，已知函
数
2
((2-)+2(-)(R)
6
12
f x sin x sin x x π
π
∈ (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求使函数()f x 取得最大值的x 集合；
(3)若(0,
)2π
θ∈,且5
()=3
f θ，求4cos θ的值。 【答案】
30．（天津市南开中学2013届高三第三次（5月）模拟考试数学（理）试题）设函数f(x)=cos(2x-3
4π
)+2cos 2x. (Ⅰ)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x 的取值集合;
(Ⅱ)已知ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若f(B+C)=2
3
,b+c=2.求a 的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)f(x)=cos(2x -34π)+2cos 2
x=(cos2xcos 34π+sin2xsin 3
4π)+(1+cos2x) =1)3
2cos(12sin 232cos 21++=+-
π
x x x f(x)的最大值为2
要使f(x)取最大值,cos(2x+3π)=1,2x+3
π
=2k π(k∈Z) 故x 的集合为{x|x=k π-
6
π
,k∈Z} (Ⅱ)由题意,f(B+C)=cos[2(B+C)+3π]+1=23,即cos(2π-2A+3π)=2
1
化简得cos(2A-3π)=2
1
∵ A∈(0,π),
∴ 2A -3π∈(-3π,35π),只有2A-3π=3π,A=3
π 在ΔABC 中,由余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bccos 3
π=(b+c)2
-3bc
由b+c=2知bc≤(2
c b +)2=1,即a 2
≥1,当b=c=1时a 取最小值1
31．（2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）已知函数
22()sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求: (I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;
(II) 求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-
上的值域.
【答案】【解】(I): 1cos 23(1cos 2)
()222x x f x x -+=+
22cos 2x x =+2sin(2)26
x π
=++
∴最小正周期22
T π
π==,
∵222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤+
∈时()f x 为单调递增函数
∴()f x 的单调递增区间为[,],36
k k k Z ππ
ππ-
+∈ (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++,由题意得: 63
x ππ
-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-,
∴1
sin(2)[,1]62
x π+∈-,∴()[1,4]f x ∈
∴()f x 值域为[1,4]
32．（天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）已知函数
221
()2(cos sin )12
f x x x x =
---. (1)求函数()f x 的最小值及取最小值时相应的x 值;
(2)设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()0c f C ==,若(1,sin )m A =
与向量(3,si n )n B =
共线,求,a b 的值.
【答案】
33．（2010年高考（天津理））已知函数2
()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??
????
上的最大值和最小值; (Ⅱ)若006(),,542f x x ππ??
=
∈????
,求0cos 2x 的值? 【答案】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()y A x ω?=+的性质、同角
三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力?
(1)解:由2
()cos 2cos 1f x x x x =+-,得
2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
所以函数()f x 的最小正周期为π
因为()2sin 26f x x π??=+ ???在区间0,6π??????上为增函数,在区间,62ππ??
????上为减函数,又
(0)1,2,
162f f f ππ??
??===- ? ???
??,所以函数()f x 在区间0,2π??
????
上的最大值为2,最小值为-1 (Ⅱ)解:由(1)可知00()2sin 26f x x π?
?=+ ??
?
又因为06()5f x =,所以03sin 265x π?
?+= ??
?
由0,42x ππ??
∈????,得0272,636x πππ??+∈???
?
从而04cos 265x π??
+==- ??
? 所以
0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ???????
?=+-=+++= ? ? ???????????
34．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2
x .
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． 【答案】[解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6)，
(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2(k ∈Z)
得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3
(k ∈Z)，
∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π
3](k ∈Z)
(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π
6＝k π(k ∈Z)，
即x ＝
k π
2－π
12
(k ∈Z)，
∴f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标是(－π
12
，0)．
35．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,A
为锐角,已知向量→
p =(1,3cos 2A ),→q =(2sin 2
A
,1-cos2A),且→p ∥→
q .
(1)若a 2-c 2=b 2
-mbc,求实数m 的值;
(2)若a=3,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边b,c 的大小.
(
36．（2012年天津理）已知函数2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,
]44ππ
-
上的最大值和最小值.
【答案】(1)2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-2sin 2cos
cos 2)34
x x x π
π
=+=+
函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==
(2)32sin(2)11()4444424
x x x f x ππππππ
-≤≤?-≤+≤
?-≤+≤?-≤≤
当2()4
2
8
x x π
π
π
+
=
=
时,()max f x =当2()4
44
x x π
π
π
+
=-
=-时,min ()1f x =-
37．（2009高考(天津理)）在⊿ABC 中,AC=3,sinC=2sinA
(I) 求AB 的值:
(II) 求sin 24A π??
-
??
?
的值 【答案】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力?满分12分?
(Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理,A
BC
C AB sin sin =
于是AB=
522sin sin ==BC BC A
C
(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得cosA=5
5
22222=
?-+AC AB BD AC AB 于是 sinA=55
cos 12=-A
从而sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos 2A-sin 2
A=5
3
所以 sin(2A-4π)=sin2Acos 4π-cos2Asin 4π
=10
2
38．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）已知函数
f(x)=2cosxsin(x+π/3)-3sin 2
x+snxcosx (1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m 个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m 的最小正值. 【
答
案
】
x x x c x x x f c
o
s i n
s i n 3)c o s 2
3
s i n 21(c
o s 2)(2
+-+=
)3
2sin(22cos 32sin cos sin sin 3cos 3cos sin 22π
+
=+=+-+=x x x x x x x x
.],12
7,12
[)(,12
7
12,2
3
23222Z k k k x f Z
k k x k Z
k k x k ∈+
+
∈+≤≤+∈+≤+
≤+π
ππ
ππππππππ
ππ
的单调递减区间为故函数得由
（2）
)
23
2sin(2)3
2sin(2)
0,(m x y x y m a -+
=???→?+
==π
π
.
12
5
,0)
(12
)1(21)
(2232
2.
2)23
2sin(2ππ
ππ
ππ
π
π
π
的最小正值为时当对称的图象关于直线m k Z k k m Z k k m x m x y =∈---=∴∈+
=-+
?
∴=
-+=
39．（2011年高考（天津理））已知函数()tan(2)4
f x x π
=+
(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期;
(Ⅱ)设(0,)4πα∈,若()2cos22
f α
α=,求α的大小.
【答案】【命题立意】本小题考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.
【解析】(I)由242x k πππ+≠+,k Z ∈,得82
k x ππ
≠+,k Z ∈,
所以()f x 的定义域为{|,}82k x x k Z π
π≠
+
∈,()f x 的最小正周期为2
π
(II)由()2cos22f αα=,得(+)2cos24f παα=,
22sin()
42(cos sin )cos()4
π
αααπα+=-+, 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin )sin cos αααααααα
+=+--
因为(0,)4πα∈,所以s i n c o s 0αα+≠,因此21(c o s s i n )2α
α-=,即1sin 22
α=,由(0,)4π
α∈,得2(0,)2πα∈,所以26πα=,即12
π
α=.
40．（天津市宝坻区2013
届高三综合模拟数学（理）试题）已知函数2
()(sin )1f x x x ωω=+-(其
中ω>0),且函数()f x 的最小正周期 为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]43
,-
ππ
上的最大值和最小值.
【答案】解:(Ⅰ)因为
2
()(sin )1f x x x ωω=-
22= (sin 3cos cos )1x x x x ωωωω++-
22cos 2x x ωω=+
= cos221x x ωω++
π
= 2sin(2)1
6x ω++
因为函数()f x 的最小正周期为π,所以2π2π
2 2πT ω=
==
所以1ω=
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数π
()2sin(2)1
6f x x =++
当
ππ[]43x ∈-,时,π2π2[]23x ∈-,,ππ5π(2)[]
636x +∈-, 所以当π4x =-时,
函数取得最小值π()1
4f -=
当π
6x =时,函数取得最大值π()3
6f =
41．（天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word 版含答案）） 已知函数
1204
f (x )(sin x )tan(x ),()π
ωωω=-+> 其图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.
(I)求12f (x )π
+
在区间[]64,ππ
-
上的最小值,并求出此时x 的值;
(Ⅱ)若51
12233
(,),f ()πππαα∈+=,求2sin α的值.
【答案】
42．（2013天津高考数学（理））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π?
?=++- ?+?
?∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;
(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π??
????
上的最大值和最小值.
【答案】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.
(Ⅰ)解:()2cos sin
3sin 2cos24
4f x x x x x π
π
=+-=2sin 22cos2)4
x x x π
-=- 所以f(x)的最小正周期22T π
π=
=; (Ⅱ)解:因为()f x 在区间3[0,]8π上是增函数,在区间3[,]82
ππ
上是减函数.
又(0)2f =- ,3()8f π=()22
f π
= ,
故函数()f x 在区间[0,
]2
π
上的最大值为最小值为2-.
43．（天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）已知函数f(x)= sin 2
x+ 2sinxcosx+
3cos 2
x.
(I)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间;
(II)求函数f (x)在,44ππ??
-????
上的最值,并求出取得最值时自变量x 的取值. 【答案】
min ()1f x =时,4
x π
=-
44．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）在△ABC 中,2AB AC AB AC ?=-=
;(1)
求:AB 2
+AC 2
的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求A 的大小.
【答案】解:(1)||2AB AC AB AC ?=-=
||2AB AC BC a ?===
2222cos cos 2b c a bc A
bc A ?+=+?
=? 2222||||8AB AC b c ∴+=+=
(2)1
sin 2
ABC S bc A ?=
=12
=12
≤
当且仅当 b=c=2时A=
3
π 45．（天津市南开中学2013届高三第三次（5月）模拟考试数学（理）试题）如图,直角三角形ABC
中,∠B=90°,AB=1,BC=3.点M,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合),将△AMN 沿MN 翻折,△AMN 变为△A′MN,使顶点A′落在边BC 上(A′点和B 点不重合).设∠AMN=θ. (Ⅰ)用θ表示线段AM 的长度,并写出θ的取值范围; (Ⅱ)求线段A′N 长度的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由对称性可知,∠NMA′=θ,则∠A′BM=π-2θ 设AM=t(0 1 (< t t -1,解得t=242cos 11π θπθ<<-， (Ⅱ)在ΔAMN 中,∠ANM=θπ -3 2,利用正弦定理可得: )62sin(211 32sin(sin 21AN )32sin(sin πθθπθθπθ-+=-?=-=），AM AN 当θ=3 π时,AN′的最小值为32 经验证,θ=3 π 符合要求 46．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）已知函数 )(1cos 2)6 2sin()(2R x x x x f ∈-+- =π （1）求)(x f 的单调递增区间； （2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2 1 )(= A f ，b,a,c 成等差数列，且9=?，求a 的值. 【答案】解：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 2 1 2sin 231cos 2)6 2sin()(2+-= -+- =π )6 2sin(2cos 212sin 23π +=+= x x x 令)(2 26 22 2Z k k x k ∈+ ≤+ ≤- π ππ π π )(x f 的单调递增区间为)](6 ,3 [Z k k k ∈+ - π ππ π （2）由21)(=A f ，得2 1 )62sin(=+πA ∵ 6 26 26 π ππ π + <+