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第8章 鲁棒建模方法与发展
对于实际系统，模型一般不可能考虑所有因素。从这个意义上说，所谓模型就是按照使用者的要求对系统的一种近似描述。在建模时，当只考虑主要因素而忽略次要因素时，模型就可以变得简单些。也就是说，建立实际过程的模型时，存在着精确性和复杂性这一对矛盾的要求。如何解决不精确模型的控制，是鲁棒控制理论的主要任务之一。鲁棒控制理论研究的对象是不确定系统，其控制器是针对一个模型集合而不是某个具体模型设计的。用这种方法设计的控制器，只要不确定系统的模型落在此模型集合之内，就能达到预期的控制性能指标。显见，鲁棒控制器设计需要一个标称模型和其不确定性的一个量化边界。鲁棒辨识就是求取这个标称模型和不确定性边界的辨识方法。由此可以看出辨识理论与控制理论应该是紧密结合的，辨识与控制的相互配合似乎也应是一种不言而喻的常识。尤其是近几年的研究已表明，基于以控制作为最终目的的系统辨识以及与辨识理论体系相一致的控制器设计问题已得到了越来越多学者的关注，而只有真正解决了辨识与控制之间的配合问题，才能使现代控制理论在实际系统中得到更广泛、更有效的应用。
8.1 鲁棒辨识的发展和研究现状
人们认识客观世界的能力决定了系统的不确定性是普遍存在的，而相对于任何一种不确定性水平的系统，总存在着一种控制策略使得该系统的某项性能指标达到最优。在现有的各种控制策略中，大多数是基于模型的(Model-based)，且不同的控制策略对模型的要求不同，系统模型的重要性是不言而喻的。系统辨识理论得到迅速发展并形成一门学科却是近几十年的事，尤其20世纪60年代以来，随着系统分析方法、控制技术及电子计算技术的高速发展，从而促使系统辨识作为一门介于现代控制理论和系统理论的边缘学科应运而生。但是直到目前为止，“系统辨识理论尚处在蓬勃发展之中，还没有形成完善的、统一的学科体系”。 鲁棒辨识(Robust Identification)或者适合控制的辨识(Control Oriented System Identification)等研究正是这一结合在系统辨识理论方面的革新；而目前发展的鲁棒自适应控制(Robust Adaptive Control)和鲁棒预测控制(Robust Model Predictive Control)等研究，正是这一结合在控制器设计方面所引起的变革。各种鲁棒控制器的设计均将建模误差或系统的不确定性作为控制器设计的条件之一，而鲁棒辨识正是将系统的不确定性作为辨识条件，将建模误差作为辨识的目的。
在最差情况(Worst Case)下的鲁棒控制器设计需要有关模型不确定性的一个明确边界，这就要求辨识技术能够对不确定性系统，以某种最优意义来求出模型不确定性的量化边界。根据对不确定性的两种描述，相应的存在两种辨识方法：一种是传统的随机统计方法，它假设系统的噪声服从于一定的统计分布，从而求得系统参数的估计量。这种方法已有大量的结果和应用，并趋于成熟；另一种方法则是本书后几章将要介绍的适合控制的鲁棒辨识方法，又称之为确定性方法(Deterministic Approach)或最差情况辨识(Worst Case Identification)。这种方法假设系统噪声的统计特性是未知的，但是有界的。由第一种方法给出的边界通常称为软误差边界(Soft Error Bounds)；而第二种方法给出的是模型硬误差边界(Hard Error Bounds)。 8.1.1 集员辨识
集员辨识(Set Membership Identification)理论建立在经典辨识理论基础上，早在20世纪60年代已经形成[112]
，最初用于不确定性系统的状态估计，直到20世纪80年代，集员辨识的研究主要集中在参数估计领域，其研究对象为：
v A y +=θ
其中，为不确定性系统的待辨识参数，),,,(21n T
θθθθ
L =v 为外界干扰，且。与经典辨识不同，
集员辨识的显著特点是对系统噪声ε≤||k v v 的假设基于UBBE(Unknown But Bounded Error)，
即关于噪声的统计特性未知，但已知其幅值有界。同经典辨识方法相比，这种噪声假设对其先验信息的要求降低了，从而更符
合实际情况。
集员辨识是一种考虑系统在最差情况(Worst-case)下的确定性辨识方法，其早期算法研究是将统计辨识
算法及有关结论推广到模型集合，并且当利用有界棱正交的多胞形(Orthotope)来逼近参数集合时，将参数估计问题转化为一类线性规划问题；而用有界椭球来逼近参数集合时，则为一类二次型规划问题。
集员辨识近期的发展则是对辨识问题和辨识算法的高度抽象，将估计问题转化为函数的优化问题，并推广到更广的应用领域[11]。如线性和非线性回归、动态系统的状态和参数估计、状态空间或ARMA模型预测、滤波和光滑、时间序列预测、插值、函数逼近等。
尽管集员辨识是在假设噪声为UBBE的前提下，研究系统在最差情况下的参数辨识及算法的收敛性，并且已有一些成熟的结论和递推算法，但它仍具有以下一些缺点：
* 计算复杂性增长快；
* 参数集合的估计保守；
* 具有固定的结构和阶次；
* 误差的描述形式不适合控制系统设计方法。
有关集员辨识的问题我们将在第十四章做更深入的探讨。
8.1.2 鲁棒辨识与经典辨识方法的差别
鲁棒辨识理论始于20世纪90年代初，从一开始该理论就强调以控制作为系统辨识的最终目的，它从一个全新的角度研究稳定的线性时不变(LTI)稳定系统的辨识问题，考虑在最差情况下如何得到系统的名义模型及估计模型的不确定性误差上界。在这种辨识方法中，系统噪声的先验信息以范数形式给出，模型不确定性的描述与鲁棒控制理论相一致，因此是一种真正“适合控制的辨识”(Control-oriented Identification)。
与经典辨识和集员辨识相比，鲁棒辨识在建模理论、算法、模型验证理论及算法上有较大的差别，这主要在于：
·对待辨识系统的描述不同
经典辨识假设系统噪声特性可以用概率密度函数所描述，但实际上，系统噪声，尤其是系统的不确定性是不可以测量的，即使是可以测量的，有限的数据也很难证明其假设的正确性。此外，迫于理论研究的不完善和控制设计的简化而作出的假设，以及由于实验代价的昂贵而无法获取大批量的数据等等产生的不确定性，均无法用统计特性来描述。而一旦假设不成立，辨识的收敛性及误差界也就失去了意义。而鲁棒辨识是一种基于系统噪声非概率假设，特别是UBBE假设的系统辨识方法，这与鲁棒控制理论中对系统外界干扰的假设是范数有界信号相一致的。
·辨识算法不同
经典辨识与集员辨识算法是以最小二乘法为框架，模型具有固定的结构和阶次，是一类线性算法。而由于鲁棒辨识是将不确定性系统的建模问题定义在泛函空间中，从而可转化为凸空间的优化问题，因此是一种非线性算法。事实上，在存在外界噪声情况下，不存在任何具有鲁棒收敛性的线性算法。同时，鲁棒辨识也是一类非参数辨识问题，无需模型结构及阶次的假设，其辨识模型尚需转化成参数模型。值得指出的是由鲁棒辨识方法所得到的不确定性系统的辨识模型是稳定的。
·描述辨识误差的收敛不同
由经典辨识所给出的辨识误差界是软误差边界，如Cramer-Rao界。而鲁棒辨识给出的误差界是硬误差界，这一点与鲁棒控制是接轨的，并且其误差范数界是随着噪声的衰减及采样数目的增大而趋于零。
·模型验证的方法不同
模型验证(Model Validation)是系统建模与控制器设计中非常重要的一步，由于经典辨识强调模型对真实系统的再现，其模型验证着重于系统残差序列的白色性检验，并且至今一直采用Cramer-Rao界作为衡量的标准。而鲁棒辨识的模型验证所采用的是确定性方法，这主要是因为在鲁棒控制器设计中所采用的方法就是确定性的方法。另外，鲁棒辨识的模型验证目的在于检验不确定系统辨识模型集合里是否存在一定
124
125
的元素可以再现实际系统的输入输出数据，这实际上是一种模型的无效性验证。根据鲁棒控制理论中不确定性的数学描述，鲁棒辨识的模型验证分为结构不确定性和非结构不确定性的模型验证，经验证为并非无效的模型可直接为鲁棒控制器设计服务。
由以上几点可以看出，鲁棒辨识是一种真正适合控制的辨识方法。自20世纪90年代以来，许多学者在此领域作了大量的研究，发表了许多论文，并且在每届全美控制年会(ACC)及IEEE 控制与决策会议(CDC)上都对鲁棒辨识及辨识与控制的配合问题给予了相当的重视，1992年在美国Santa Barbara 举行了“控制系
统的不确定性系统建模”的专题讨论会[12]，另外许多控制学科的刊物也分别出版了研究此类问题的专刊[13，
14，15]
。 8.1.3 鲁棒辨识理论及算法的研究
鲁棒辨识理论及算法的研究方向很多，分类方式也不同，本书主要分为两大类：基于频域数据的鲁棒辨识和基于时域数据的鲁棒辨识。下面分别对这两类辨识进行综述。 一、基于频域数据的鲁棒辨识
基于频域数据的鲁棒辨识主要有辨识、线性规划法和基于IBC 理论的插值算法等。
H ∞ 1990年Helmicki 等首次提出了辨识的两步非线性算法H ∞[16]，这是一种基于Fourier 级数模型，在Hardy 空间的Nehari 最优逼近问题，误差界以范数形式给出。随后，Helmicki 等H ∞[17]成功地证明了两步非线性算法的鲁棒收敛性，并提出不存在任何鲁棒收敛的线性算法的推测。随后，Partington [18]证明了这一点。
在关于辨识的两步非线性算法研究中，Gu 等人H ∞[19]的工作同样引人注目：
① 指出了Helmicki 等在算法鲁棒收敛估计上的保守性，事实上，只要辨识模型的阶次大约为采样数据个数的一半即可保证算法的鲁棒收敛性； ② 两步非线性算法的性能完全由所选定的窗函数决定；
③ 辨识误差可分为逼近误差和噪声误差两部分，两者之间存在一种折中关系，不可能同时缩小。
其他关于辨识的两步非线性算法的研究主要集中在选择不同窗函数，以加快算法收敛速度，使误
差带更紧，以及获取系统先验信息上H ∞[20，
21]。
虽然两步非线性算法具有鲁棒收敛性，辨识模型是稳定的，算法容易实现等特点，但由于这种算法是基于Fourier 级数模型的，因此不能直接应用于系统频域响应数据在单位圆上非均匀分布的情形。针对此，
Partington [22]，
Akay [23]利用样条插值使非均匀分布数据均匀分布在单位圆上，并且Akay [3]和Helmicki 等[60]利用双线性变换将两步法进一步推广到连续系统。但在这些处理下，算法的收敛速度不是最优的。 在基于频域数据的鲁棒辨识算法中，另一类研究较多的方法是线性规划法[24,25,26,27]。它的关键在于构造模型集上，如果模型集形式选择得适当，那么可直接得到阶次较低的模型。Gu [25]基于n-宽度函数逼近理论，以p 次多项式作为模型集；Lindskog 及Wahlerg [27]采用Kautz 函数形式作为模型集；Heuberger 等[26]则以正交基函数作为模型集。线性规划法在算法实现上较两步非线性算法复杂，但对数据采样的频率点无特殊要求。
IBC 理论在解决逼近和插值问题中有着广泛的应用。Chen [28]，Gu [29]基于Nevannlina-Pick(NP)插值定理对离散系统构造了一类插值算法，所得到的辨识模型为有理函数形式。这类算法具有二次因子的强最优性，并且由于在构造算法前需对实验数据与系统假设先验信息的一致性(Consistency)问题进行检验，因此与模型验证问题有着直接关系。与两步非线性法不同，插值算法无须要求实验数据均匀分布，并可直接应用于连续系统的鲁棒辨识问题[30]。 二、基于时域数据的鲁棒辨识
基于时域数据的鲁棒辨识研究主要集中在基于IBC 理论的辨识和插值算法等。
l 1 Jacobson 等[31]首先提出了鲁棒辨识，它是基于系统时域输入输出数据的模型逼近问题，所得到的名
l 1
126
义模型为FIR 模型形式，其Worst-case 误差界以l 范数形式给出。为了使辨识模型的Worst-case 误差界尽可能紧致，通常需要寻找适当的输入序列使得名义模型为辨识模型集合的Chebychev 中心，但是Jacobson 指出这样的输入序列很难通过计算得到。针对此，Makila 1[32]研究了采用Galois 输入序列的l 鲁棒辨识的算法收敛性及辨识模型的Worst-case 误差界的估计；Jacobson 1[31]以及Chen [33]等提出如果以脉冲或阶跃信号作为输入，那么辨识模型集合的Chebychev 中心估计，即系统的单位脉冲响应序列可由输出数据、噪声幅值界及系统先验信息直接得到。
基于时域数据的鲁棒辨识理论的另一分支是插值算法，Chen 等[34]基于Caratheodory-Fejer(CF)插值理论，考虑当系统输入输出数据与有关先验信息一致时，构造了基于时域数据鲁棒辨识的插值算法；Zhou 等[350]
利用AAK 定理，在小扰动情况下，得到了不确定性系统的线性分式变换(Linear Fractional Transformation----LFT)形式的系统传递函数集合。 三、闭环系统的鲁棒辨识
与统计辨识类似，在许多实际问题中，系统辨识不一定都能在开环状态下进行，尤其对于鲁棒辨识，由于其理论及算法是基于待辨识系统满足稳定性条件下建立的，因此，当待辨识系统为开环不稳定时，有必要在闭环状态下对不确定性系统进行鲁棒辨识。目前较普遍的作法是利用互质因子分解，将闭环系统转化为等价的开环稳定系统的辨识问题[36,37,38,39]。Makila 等[40]指出，对于被控对象G ，如果控制器C A D ∈()使得闭环系统的传递函数H G CG =+)也属于，那么由A D ()H 的辨识模型H '可间接得到G 的逼近模型G H CH ''('=?1)，并且当H '以范数逼近于H ∞H 时，G '在间隙拓扑(Gap Topology)中也一致收敛于G ，但是其误差上界的推导及描述形式较复杂。另外，V.d. Hof 等[41]进一步指出辨识与控制的理想结合应当是一种闭环迭代策略，只有真正解决了闭环系统辨识与控制的关系，才能使鲁棒辨识技术从理论走向实际应用。
8.1.4 模型验证
模型验证(Model Validation)是控制系统分析与建模过程中非常重要的一步，其作用早在经典的建模理论中就已得到了广泛的认识[42]。由于模型根据其使用目的的不同而具有不同的形式，因此在模型验证中也存在着许多种方法。当系统模型的使用目的是为鲁棒控制器设计服务时，其模型是由系统名义模型及体现系统不确定性的集合构成；而面向鲁棒控制的模型验证问题的本质就是确认该集合中是否存在一些元素满足系统一定的输入输出数据。
鲁棒辨识的模型验证问题最早由Smith 等[43]基于系统频域输入输出数据，
对系统不确定性为LFT 形式的情形进行了研究，并将其转化为一个μ分析问题。随后Chen 等[33,44]分别利用CF 和NP 插值理论研究了基于时域和频域数据的LFT 不确定性模型验证问题，并且指出当模型不确定性为非结构时，这类模型验证问题可转化为一类线性矩阵不等式(LMI)问题；而当模型不确定性具有结构特征时，则模型验证问题是一类双线性矩阵不等式(BMI)问题，并且是NP-hard 问题[45]，不存在充分必要条件，而只能通过递推算法得到判断模型是否无效的必要条件。另外，文献[46]利用混合数据插值理论，研究了基于时域/频域混合数据的非结构不确定性模型验证问题，并且指出当系统的频率响应数据满足正切NP 边界插值条件时，这类混合数据的模型验证问题可分解为两个相互独立的LMI 问题。
对于模型不确定性为其他形式的情形，Poolla 等[47]以及Zhou 等[48]研究了不确定性为加性和乘性时的模型验证问题，并基于系统时域输入输出数据，将其转化为一个凸函数的最小化问题。随后Dullerud [49]和Rangan [50]等基于同样结构形式的不确定性模型，在时域内分别研究了连续系统及采样数据不确定性(Sample-data Uncertainty)的模型验证问题，并且也得到了可将其转化为一类凸可行性问题进行求解的结论。这类模型验证问题解的一个重要特征是最后都可简化为具有LMI 形式的凸规划问题，并通过现有成熟的算法和软件得以实现。
8.2 Hardy 空间和算子范数[72,73]
8.2.1 Hardy 空间
Hardy 空间简称为空间，空间的实变理论是70年代以来调和分析中最富有成果的领域之一。
p H p H
127
复平面单位上的空间理论作为单复变函数论的部分内容，在本世纪初开始研究，至三十年代基本形成，在九十年代初引入到控制理论的研究中。本节仅给出空间的一些最基本的理论。
p H p H 令S 是一个开集，是定义在S 上的复变函数
C ?)(s f C S s f →:)(
(8-2-1)
若函数在区域S 内每一点都有导数，则称为S 内的解析函数。不难推出两解析函数之和、差、积仍为解析函数，若分母不为零，其商也是解析函数。事实上如果在S 域内解析，则在S 域有任意阶导数。因此又有解析函数在S 域内有n 级数展开；相反，如果函数在S 域内可以展成n 级数，则是解析的。
)(s f )(s f )(s f )(s f )(s f )(s f 一个矩阵函数在S 域内解析，如果它的每一个元素在S 域均为解析的。
[定理8.2.1（最大模理论）] 设S 是复平面上的一个域（单连通的非空开集），f 是S 中的解析函数。设定f 不等于常数，那么)(?f 的最大值不是在S 中的内部点取得。
这个定理的一个简单应用是当S 等于开右半平面，对于?中的)(?f 有
)(sup )
(0
Re s f f S >∞
=?
(8-2-2)
8.2.2 几个常用函数空间
其次，我们考虑几个常用的复矩阵函数空间
)(2jR L 空间：或是由所有定义在上的复矩阵函数F 所组成的(H)空间，满足积分
是有限的，即
)(2jR L 2L jR )(?F ∞<∫
∞
∞
?ωωωd j F j F Trace )]()([*
(8-2-3)
该(H)空间的内积定义为
ωωωπ
d j F j F Trac
e G F )]()(*[21
,∫
∞
∞
?>=
<
(8-2-4)
对于，内积的诱导范数定义为：
2,L G F ∈><=F F F
,2
(8-2-5)
例如，没有极点在虚轴上的严格真实有理函数形成的一个子空间，记为或。
)(2jR L )(2jR RL 2RL 2H 空间：空间是(jR)的闭子空间，其元素为在(开右半平面)上解析的矩阵函数，相
应的范数定义为
2H 2L 0)Re(>s })]()([21{sup *022
∫
∞
∞
?>++=ωωσωσπ
σd j F j F Trace F
(8-2-6)
同样可以将22
F
范数表示成
ωωωπ
d j F j F Trac
e F
∫
∞
∞
?=
)]()/([21*22
(8-2-7)
我们完全可以利用上式计算的范数。
2H
空间：是在中的一个正交补，即中在左半平面解析的函数组成的闭子空间。所有
严格真有理函数矩阵，其极点位于开右半平面，组成的实有理子空间，记为，同样，如果G 是
⊥2H ⊥
2H 2H 2L 2L ⊥2H ⊥
2RH
128
一个严格真，稳定的实有理传递函数矩阵，则，。
2H G ∈⊥
∈2~H G 定义正交投影
),0[),(:22∞?→?∞?∞+L L P
(8-2-8)
即，对任何函数，均有，而为
),()(2∞?∞∈L t f )()(t f P t g +=)(t g =)(t g ???0
)
(t f
(8-2-9)
00<≥t t
在本书里，也表示从到的投影。类似地，是从到（或到）的投影。 +P )(2jR L 2H ?P ),(2∞?∞L ]0,(2?∞L )(2jR L +
2H
有了以上定义，空间和空间的关系可表示为图8-2-1。
2L 2H 2
2)
,0[H
L ?????←????→
?∞逆拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 P +↑↑+
P )
(),(22jR L L ?????←????→
?∞?∞逆拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 ↓ ↓
?P ?P L
⊥
?????←????→??∞22]0,(H 逆拉普拉斯变换
拉普拉斯变换图8-2-1 函数空间之间的关系
在鲁棒控制和鲁棒辨识理论中，常用到的函数空间还有以下几种。
空间：或简记为是一个在jR 域内有界的矩阵函数组成的空间，其范数定义为
)(jR L ∞)(jR L ∞∞L )]([sup ωσωj F ess F
R
∈∞
=
(8-2-10)
的有理子空间记为或，是由所有在虚轴上没有极点的真有理传递函数矩阵组成的函
数空间。 ∞L )(jR RL ∞∞RL 空间：由所有在复平面的开右半平面解析并有界的函数组成的的闭子空间。范数定义为
∞H ∞L ∞H
)]([sup )]([sup 0
)Re(ωσσωj F s F F
R
s ∈>∞
==
(8-2-11)
空间，由所有在复平面开左半平面解析并有界的函数组成的的闭子空间。范数定义为
?∞H ∞L ?∞H )]([sup )]([sup 0
)Re(ωσσωj F s F F
R
s ∈<∞
==
(8-2-12)
传递函数，则认为是反稳定的或反因果的。
?∞∈H s G )()(s G
8.2.3 系统的范数及其计算
129
本小节我们研究系统的范数及其计算问题，尤其是系统的的计算问题，因为它在本书以后章节的研究中扮演着十分重要的角色。本节所给出的定理在许多关于鲁棒控制的文献中均能找到，故不在给出其证明过程。下面我们首先研究和范数的计算问题。 ∞H 2L 2H
令，则的范数定义为：
2)(L s G ∈)(s G 2L ∫
∞
∞
?=
ωωωπ
d j G j G Trac
e G
)}()({21*2
(8-2-13)
虽然，的范数有限的充分必要条件是是严格真的，即)(s G 2L )(s G 0)(=∞G ，有定理 [定理 8.2.2] 考虑传递函数矩阵
??
????=0)(C B A s G
(8-2-14)
并且A 是稳定的，则有
)()(*0*22
C CL trace B L B trace G
c ==
(8-2-15)
其中和是可控和可测的Gramians 阵，并满足
0L c L 0**=++BB A L AL c c (8-2-16)
0*00*=++C C A L L A
同样，对和范数的计算有以下定理 ∞L ∞H
[定理8.2.3] 令0>γ，和
∞∈??
?
???=RL D C B A s G )(
(8-2-17)
如果γ<∞
G ，当且仅当γσ<)(D 和H 没有在虚轴上的特征值。
其中
(8-2-18) ??
????+?+?+=????**1*
1**
1*1)()(C D BR A C D DR I C B BR C
D BR A H D D I R *2?=γ
考虑严格真传递函数阵和它对应的状态空间实现(8-2-17)，令)(s G 0>γ，定义式(8-2-17)所对应的
Hamilton 矩阵为
n n T T T A C
C BB A H 222×?????????=γ (8-2-19)
[定理2.5.4] 若系统(8-2-17)的矩阵A 稳定，则使γ<∞
G
的充要条件是式(8-2-19)的矩阵H 没有虚
轴上的特征值。
严格真有理传递函数阵的范数与矩阵不等式的关系由下面的定理给出。 ∞H [定理2.5.5] 对于系统(8-2-17)，若矩阵A 稳定，则使γ<∞
G 的充要条件是存在实对称矩阵，
满足如下矩阵不等式：
0>P
130
0)()(1<+++++?C C D C PB R D C PB PA P A T T T T
(8-2-20)
显然利用Schur 补引理，很容易将上式化为一个LMI 问题
0
?
????++++R C
D P B D C PB C C PA P A T T T T T
(8-2-21)
8.3 Nehari 问题和插值逼近问题
在许多数学问题和工程问题中，经常引出这样的问题，在某一给定的集合中，寻找一个函数，可以尽可能好地逼近某已知的函数。当然，在数学问题中，我们需要一个严格地数量判据来衡量“尽可能地好”。例如传统的最小二乘就是一个优良的判据，它要求误差函数的范数尽可能地小。在本节中，我们使用的范数是Hilbert 空间中的范数。其好处是可以利用(H)空间的优良几何性质，使得问题更容易求解。 鲁棒控制理论中的模型匹配问题就是求到空间的距离极小问题，这一问题在数学上叫Nehari 问题，即
∞∈L R ∞H {
}
∞∞
∞∈?=H X X
R H R dist :inf ),(
(8-3-1)
用工程术语来说，问题归结为求解稳定传递函数矩阵，在范数意义下，逼近一个已知不稳定系统的传递函数矩阵X ∞L R 。如果使用范数代替范数，问题化为一个函数最小二乘拟合，比较容易求解。为了获得在范数意义下的最佳逼近，我们必须首先讨论Hankel 算子和相关的正交投影算子、乘算子。 2L ∞L ∞L
8.3.1 正交投影算子和乘算子
在Hilbert 空间时域函数空间可以表示成两个子空间的直和，即
),(2+∞?∞L 22222),0[]0,(),(H H L L L ⊕=+∞⊕?∞=+∞?∞+
(8-3-2)
因此，函数有唯一分解
),()(2+∞?∞∈L t f )()()(21t f t f t f +=
(8-3-3)
其中，。
+
=?∞∈221]0,()(H L t f 222),0[)(H L t f =+∞∈映射 是由到的正交投影。定义投影算子为：
)()(1t f t f →),(2+∞?∞L ]0,(2?∞L )()(:222t f t f P H L P =→++ (8-3-4) )()(:122t f t f P H L P =→?+
?
(8-3-5)
可以证明，投影算子的范数等于1。
令是传递函数矩阵，则乘算子定义为：
∞∈L S G )(q n ×22:L L M G →;
(8-3-6)
Gf f M G =其中是维矢量函数，每一分量均属于空间，则上式可以更精确地写为
f q 2L p
q G L L M 22:→
(8-3-7)
同样也很容易证明的伴随算子，是的简写。 G M ~*
G G M M =~
G )(S G T ?8.3.2 Hankel 算子
131
令复数域中的是一个矩阵函数，相应的Hankel 算子定义为映射
∞∈L S G )()(S G 22:H H G →Γ+
(8-3-8)
利用投影算子和乘算子，又有对于，，即+
∈2
H f )()(Gf P f M P G Gf ++==Γ+
+=Γ2H M P G Gf ，其中的+2H M G 表示乘算子限制在空间上。图8-3-1可表示Hankel 算子，投影算子和乘算子之间的关系。
G M +
2H 在时域中，令是的双边拉普拉斯变换，则时域内的Hankel 算子定义为： )(t g )(S G
L G M
+
2H 2
图8-3-1 Hankel 算子，投影算子和乘算子之间的关系
),0[]0,(:22∞→?∞ΓL L g
(8-3-9)
)(f g P gf ?=Γ+，对于
],0{2∞∈L f 于是有：
??
???<≥?=Γ∫∞
?0
00
)()())((0
t t d f t g t f g τ
ττ (8-3-10)
又因为介于时域的空间的同构性，我们有
2L G g Γ=Γ
(8-3-11)
这样使得我们可以交互地在时域和频域中描述Hankel 算子。
设，其状态空间实现为
∞∈RH S G )(Bu Ax x
+=& (8-3-12)
Cx y =
A 是稳定的，，则作用在输入u 上的Hankel 算子可写为：
0)(=?∞x )*()(u g P t u g +=Γ
∫∞
??≥=0
)(0)(t d Bu Ce t A 对于τ
ττ (8-3-13)
该表达式可解释为，基于过去的输入，)(t u 0≤t ，系统将来的输出为：
0,)()(≥Γ=t t u t y g
(8-3-14)
在状态空间描述中，Hankel 算子可以特别地表示从过去的输入到初始状态和从初始状态到将来的输出
两种映射分量的分解。这两种映射算子分别称为可控算子和可观算子，分别定义为：
c Ψo Ψ∫∞
??=Ψ→?∞Ψ0
2)(,]0,(:τττd Bu e u C L A c n c (8-3-15)
132
0],0,(:0
002≥=Ψ?∞→Ψt x Ce x L C At n o
很容易证明：
c o g ΨΨ=Γ
(8-3-16)
如果所有的数据都是实数，则
(8-3-17)
n
c R
L →?∞Ψ]0,(:2]
,0(:2?∞→ΨL R n o
，的伴随算子也很容易从其定义中求得，令，，，
则有
c Ψo Ψ]0,()(2?∞∈L t u n C x ∈0),0[)(2∞∈L t y ∫∞??=>Ψ<0
0**0*
)(,τττd x e B u C x u A n c ]0,(0**2,?∞?>= ] 0,(0*2,?∞>Ψ= ∫∞ ∞=>Ψ<0 * *0 ),0[0)(,*2dt t y C e x y x t A L c n C t A dt t y C e x >=<∫ ∞ **0)(, n o C y x >Ψ=<*0, 其中表示在Hilbert 空间上的内积，于是我们得到 x ><*,*0, ,]0,(:0*0*2** ≤=Ψ?∞→Ψ?ττx e B x L C A c n c (8-3-18) ∫∞ =Ψ→∞Ψ0 ** 2*)()(,]0,0(:* dt t y C e t y C L t A o n o 同理，我们得到Hankel 算子的伴随算子 g Γ]0,(),0[:)(22****?∞→∞ΨΨ=ΨΨ=ΓL L o c c o g (8-3-19) ∫∞ ?≤=Γ0 *)(**0,)(* ττdt t y C e B y t A g 令和分别是系统的格兰姆（Gramians ）矩阵，即 c L o L ∫∞ =0 ** dt e BB e L t A At c (8-3-20) ∫∞ =0 ** dt Ce C e L At t A o 于是对于所有的我们有 n C x ∈000*x L x c c c =ΨΨ (8-3-21) 00*x L x o o o =ΨΨ 不加证明地给出以下定理： [定理8.3.1] 算子(或)和矩阵有同样的非常特征值，特别地有 g g ΓΓ*G G ΓΓ* o c L L )(o c g L L ρ=Γ (8-3-22) 同样Hankel 范数是Hankel 算子的诱导-2范数 133 ?? ? ???????∈≠Γ=Γ222,0:sup H u u u u g g 并且 (8-3-23) 8.3.3 AAK 理论和Nehari 问题及其解 首先研究Hankel 矩阵，我们知道，任何一个线性算子均可以用矩阵来表示，Hankel 矩阵的优点就是 Hankel 算子的矩阵表述： ????? ???????==????????∞ →00;lim 32321 L L L L L L L L L L n n n n g n g n g g g g g g g g g H H H (8-3-24) 则Hankel 范数可由Hankel 矩阵计算得出： )(g g H σ=Γ (8-3-25) 我们重新描述Nehari 问题为：给定，找到一个，以致于∞∈L f ∞∈H g ∞ ?g f 最小。 { } ∞∞ ∈?H g g f :inf (8-3-26) AAK 理论是求解Nehari 问题的最有效方法。 [定理8.3.2 AAK （Adamyan ，Arov ，Krein ）理论] 极小化距离 { } f H g g f Γ=∈?∞∞ :inf (8-3-27) 其最优解为 v v f f Γ? =Ψ (8-3-28) 式中v 是的矢量。一般地说，接近的f Γ∞∈L f g 不止一个。但该定理说明，从已知的非因果系统到最接近的因果系统的距离等于Hankel 算子范数，换句话说，Hankel 算子范数是非因果性的一种度量。 Nehari 问题的求解步骤： 1o 求解Hankel 矩阵的最大奇异值f Γσ和对应的左右奇异向量u 和v ； 2o 利用向量u 和v 形成函数和u v ； ∑∑?=∞ =??== 1 1 ,n R k k k k k z v v z u u 3o 最优解为 v u f σ ?=Ψ Nehari 问题和AAK 理论在不确定系统控制、建模和滤波器设计中起着十分重要的作用，其主要功能在于它能从一个非因果的系统中复现一个因果的和稳定的系统。本书将在第九、十二等章节中用此定理。 ∞H ∞H ∞H 134 8.3.4插值逼近理论 有理函数的插值理论具有十分丰富的内容，并且在许多领域中得以广泛的应用。插值算法在鲁棒控制和鲁棒辨识中都扮演着十分重要的角色，它是解决鲁棒控制中的模型匹配问题的最有效的方法之一。在鲁棒辨识中，它是根据观测数据构造系统模型的最基本方法。限于篇幅和本书的内容，在本节只能向读者介绍在不确定系统控制和建模中用到的Nevanlinna-Pick(N-P)插值问题和Carath éodory-Fejér(C-F)插值问题一些基本的概念和结论，希望了解有关这方面更多知识和进一步深入的学习的读者可参阅有关文献，以便能更准确地理解插值算法。 ∞H ∞H 令为开右半平面的点的集合，，为复平面上的点的集合。我们再进一步设是互不相同的。Nevanlinna-Pick 插值问题，或简单地说NP 问题，就是再空间中找一个函数G 满足以下两个条件： },,{1n a a L 0)Re(>s },,{1n b b L n a a L ,1∞H 1≤∞ G (8-3-29) n i b a G i i ,,1, )(L == (8-3-30) 后一个等式说明G 在点插值，或换句话说，G 的曲线过点。NP 问题的约束条件是非常重要的，即说明G 必须是稳定的、正则的，且满足式(8-3-29)的约束。如果这样的函数存在，就说NP 问题是可解的。 i a i b ),(i i b a ∞∈H G 事实上NP 问题不是对所有数据都是可解的。一个明显的可解必要条件是n i b i ,,1,1L =≤。这可由复变函数理论中的最大模定理得到。如果G 是属于，且满足，那么G 在点的幅值就等于∞H i i b a G =)(i a s =i b 。因此它在右半平面的最大幅值就大于等于i b 。但如果1≤∞ G 也成立，则1≤i b 。 8.3.4.1 Nudel’man 问题 问题的描述： 给定矩阵，令?+C C B ,,}1:{=∈=?z C z D ，找到一个，使得 )(z F 1 （有界性和解析性） 1) (,)(<∈∞ ×∞z f H z F n m (8-3-31) 2 （插值约束） +???=?∫ C dz B zI C z F j D 1)()(21π (8-3-32) 可解性条件： 定理8.3.3 Nudel’man 问题存在解的充分必要条件是如下Stein 方程 +????=?C C C C XB B X H H H (8-3-33) 存在一个正半定解X 。 Nudel’man 问题解的形式： Nudel’man 问题解的形式根据方程(8-3-33)中X 解的形式分为两种情况。 情况1） X >0，此时解是非唯一的，其解集利用LFT ，可用参数化公式表示为： 122211211))()()())(()()(()(?++=z G z Q z G z G z Q z G z F (8-3-34) 其中，Q (z)为自由参数，但满足1) (≤∞ z Q 135 ()[ T T T C C I B B zI C C z I z G z G z G z G +? ???+?????????+=?? ????1122211211)()()1()()()(] (8-3-35) 情况2） ，但0≥X n m X rank <=)(，这时Nudel’man 问题的解是唯一的。 8.3.4.2 Nevanlinna-Pick (NP)插值问题 问题的描述： 给定，令，NP 插值问题是找到一个F(z)，使得： k w D z k ∈1 （有界性和解析性） 1) (,)(<∈∞ ∞z f H z F (8-3-36) 2 （插值约束） (8-3-37) 1,,1,0,)(?==n k w z F k k L 可解性条件： 定理8.3.4 NP 插值问题是可解的，当且仅当 011≥???? ??? ???=j i j i z w w P (8-3-38) NP 插值问题解的形式： NP 插值问题解的形式根据方程（8-3-38）P 解的形式分为两种情况。 情况1） P>0，利用LFT ，其解集可用参数化公式表示为： 122211211))()()())(()()(()(?++=z g z q z g z g z q z g z f R w w P z z z z z z z z R z g z g z g z g n n n ??????????????????????? ?????????+=??????????1011010222112111111111111)()()()(M M L L (8-3-39) ? ???? ? ??????? ???????????????? ?????+=???????1110001110 010 11111111n n n n n n z w z z w z P z w z w z z I R M M L L 情况2） 当，并且0≥P n m P rank <=)(时，选择P 的首项主子矩阵，令q(z)=C ，再按照情况 1的方法求出问题的唯一解。 m P 求解NP 插值问题的古典方法： 令 1,,0, ,0?==n i w w i i L 1,,1,, ) 1)(())(1(,11,111,1,11,?=≥????= ????????n k k i w w z z w w z z w i k k k k i k k i k i k i k L (8-3-40) 插值函数存在，当且仅当10,≤k w 136 ) ()(1 ) (; ) ()()1()()()1()(01,1,z f z f z f z f z z w z z z f z z z z w z f n k k n k n k n k n k k n k n k n k n k =≤?+??+?= ∞ ?????????? (8-3-41) 8.3.4.3 正切N-P 问题： 正切N-P 问题的描述： 给定，令，正切N-P 问题是找一个F(z)，使得 k k v u ,D z k ∈ 1） F(z)是有界的和解析的，即 ()1,)(<∈∞∞z F H z F ； (8-3-42) 2） 满足插值约束条件， 。 (8-3-43) 1,,1,0,)(?==n k v u z F k k k L 正切N-P 问题的可解性条件： 定理8.3.5 正切N-P 问题是可解的，当且仅当 01≥???? ??? ???=j i j H i j H i z z u u v v P (8-3-44) 正切N-P 问题解的形式： 1） P>0，全部解可用LFT 参数化表示为： 1) (; ))()()())(()()(()(122211211≤++=∞ ?z Q z G z Q z G z G z Q z G z F (8-3-45) 2） ，这时可选择P 的首选主子矩阵，并令Q(z)=C ，按照1所示的 公式求出正切N-P 问题的唯一解。 n m P rank P <=≥)(, 0m P 8.3.4.4 C-F 问题 C-F 问题的描述： 给定，找到一个出，使得 1,,1,0,?=n k h k L )(z h 1） 在定义域内有界和解析 )(z h 1)(, )(<∈∞z h H z h (8-3-46) 2） 满足插值条件 )(z h 1,,1,0,)0(! 1) (?==n k h h k k k L (8-3-47) C-F 问题可解条件：C-F 问题是可解的，当且仅当 0≥?H H I H (8-3-48) 其中 ?? ????? ?? ???=??021 010 000h h h h h h H n n L M O M M L L C-F 问题解的形式： 情况1） ，此时解可以用LFT 参数化表示为 0>?H H I H )1(,) ()()())~)()(~)(∞∈++= H B f z p z f z zq z q z f z p z z h (8-3-49) 其中 137 T H n H H I z z z p ]100[)](1[)(11L L ???= T H n H H I z p z p z p z q ]100[))](()()([)(1110L L ???= 1,,1,0, )(0?==∑=?n k z h z p k i i k i k L )/1(~)(~),/1(~)(~11 z q z z q z p z z p n n ??== 情况2） 当，并且时，选择0≥?H H I H n m H H I rank H <=?)(H H I H ?的m ×m 阶首项 主子矩阵，其后算法同情况1的算法一样，并令f(z)=c ，可求得唯一解。 8.3.4.5 正切C-F 问题： 正切C-F 问题的描述： 给定，令，正切C-F 问题是找一个H(z)，使得 k k v u ,D z k ∈ 1） H(z)是有界的和解析的，即 ()1,)(<∈∞∞z H H z H ； (8-3-50) 2） 满足插值约束条件， ),()(1 n n k k k z z H z H Ο+=∑?= (8-3-51) T T n T H T T n T u u T v v ][][101 0??=L L ? ? ??? ???????=??02 1 01 000H H H H H H T n n H L M O M M L L 正切C-F 问题的可解性条件： 定理8.3.6 正切C-F 问题是可解的，当且仅当 0≥?u H u v H v T T T T (8-3-52) 正切C-F 问题解的形式： 构造作为特殊的Nudel’man 问题的插值函数求解，即首先构造Nudel’man 问题的数据， ????? ? ??? ???=00 0000000I I B L M M O M M L L ； ][][011011v v v C u u u C n n L L ?+??== (8-3-53) 此时，插值约束条件为： [011 1011) (21)(21v v dz u z z H j dz u z z H j n D n k D n k k n k L L ???=??=?=????? ?∫∑∫∑ππ] (8-3-54) 8.4 线性矩阵不等式[51] 20世纪70年代初，Willems 首先将线性二次型最优控制问题转化为线性矩阵不等式求解，并且建立 了线性矩阵不等式与矩阵RICCATI 方程之间的关系。20世纪80年代，控制问题的提出和研究，更加促进了线性矩阵不等式的研究和发展：第一是因为控制中的许多问题由于复杂性的增加，而不可能直接给出问题求解的解析表达式，但是却可以将问题转化为LMI 求解，从而可以利用现有的各种优化方法，特别是近年来发展起来的内点算法，求得问题的唯一最优解；第二是由于在工程实际问题中，对控制系统提出的性能指标要求可能是多方面的，利用传统的矩阵等式方程，求解系统控制问题只能得到满足某一方面性能指标的最优唯一解。但是，利用LMI 由于可以将对控制系统提出的多目标性能指标转化为对LMI 解集的 ∞H 138 多个凸约束，因此就可以很容易利用凸优化技术得到满足不同性能指标最优的各个解，即得到一个解集。所以，LMI 的求解在控制系统的分析、设计和系统辨识中扮演着一个重要的角色。 8.4.1 LMI 问题介绍 线性矩阵不等式具有如下的形式 0)(1 0>+=∑=m i i i F x F x F (8-4-1) 其中，为给定的对称矩阵，为变量。 n n T i i R F F ×∈=m R x ∈在(8-4-1)式中，为正定矩阵，即对于任何非零向量有，成立。具有(8-4-1)式形式的线性矩阵不等式称为严格LMI；当 )(x F n R u ∈0)(>u x F u T 0)(≥x F (8-4-2) 时，称为非严格LMI。 在控制理论的许多问题中，可以将式(8-4-1)和(8-4-2)中的变量写成i x x ，而x 可以是向量，也可以是矩阵，只要矩阵不等式线性依赖于变量x ，则矩阵不等式就称为LMI。 利用Schur 补可以将非线性不等式转换为LMI 形式，其方法是，对于具有如下形式的LMI 0)()()()(>??? ?? ?x R x S x S x Q T (8-4-3) 等价于 0)(>x R ， (8-4-4) 0)()()()(1>??x S x R x S x Q T 或者 0)(>x Q ， (8-4-5) 0)()()()(1>??x S x Q x S x R T 成立。其中，，，以及都是变量)()(x Q x Q T =)()(x R x R T =)(x S x 的函数。相反，非线性不等式(8-4-4) 和(8-4-5)式可以表示成(8-4-3)式形式的LMI。 对于二次矩阵不等式可以向LMI 转化：考虑二次矩阵不等式 01<+++?Q P B PBR PA P A T T 其中是给定的具有适当维数的矩阵，0,,,>==T T R R Q Q B A T P P =是变量，该二次矩阵不等式可以表述为如下形式的LMI： 0>????? ????R P B PB Q PA P A T T (8-4-6) [定义8.4.1 (LMI 可行解性问题—feasible problem)] 对于线性矩阵不等式(8-4-1)，如果存在使得其 成立，则称此LMI 可解，简称为FP 问题。 i x 8.4.2 可化为LMI 的问题 有关LMI 问题的标准形式有以下几种： (1) 凸规划可行性问题（LMIP） 139 给定LMI ，LMIP 问题是求解使得 0)(>x F feas x 0)(>feas x F (8-4-7) 成立，或者是确定该LMI 是否存在可行性解； 对于Lyapunov 稳定性问题，LMI 可行解可以描述为：给定，n n i R A ×∈l i ,,2,1L =，寻找正定矩阵 ，满足LMI 0>P l i PA P A P i T i ,,2,1,0,0L =<+> (8-4-8) 或者不存在这样的矩阵。 (2) 特征值问题（EVP） EVP 问题是在满足一定的LMI 约束条件下，求解矩阵的最大最小特征值，即 )(,0)(min >>?x B x A I to subject imize λλ (8-4-9) 其中，为对称矩阵，且是最优变量的)(),(x B x A x 函数。此外，EVP 还可以作为求线性函数最小值问 题的等价形式，即 0)(min >x F to subject x c imize T (8-4-10) 其中，为)(x F x 的函数。 (3) 广义特征值问题（GEVP） GEVP 问题是在满足一定的LMI 约束条件下，求解矩阵的最大最小广义特征值问题，即 )(,0)(,0)()(min >>>?x C x B x A x B to subject imize λλ (8-4-11) 其中，为对称矩阵，且是最优变量的)(),(),(x C x B x A x 函数。此外，GEVP 还有另外一种形式， ),(min >λλx A to subject imize (8-4-12) 其中，),(λx A 为当x 或者λ为固定值时，分别为x 或者λ的函数，并且满足单调性条件 ),(),(μλμλx A x A >?> (3-2-13) (4) 凸优化问题（CP） 对称是关于)(),(x B x A x 的仿射函数，凸优化问题可以描述为 (8-4-14) 0 )(,0)()(det log min 1 >>?x B x A to subject x A imize 当时，是的凸函数。凸优化问题可以转化为EVP 问题，因为0>A 1det log ?A A λ>)(det x A 可以表达为关于x 和λ的LMI。 8.4.3 LMI 中几个基本的矩阵变换公式 一 Schur 公式 1)给定矩阵，并且方阵可逆，则 )()()()(,,,r n r n r r n r n r r r R D R C R B R A ?×?×??××∈∈∈∈A (1) (8-4-15) ?? ? ????=???????? ????????B CA D B A D C B A I CA I r n r 1)(1 ) (00(2) (8-4-16) ?? ? ????=??????? ???????????B CA D C A I B A I D C B A r n r 1)(1) (00 140 (3) (8-4-17) ????? ??=???????????????????????????B CA D A I B A I D C B A I CA I r n r r n r 1)(1 )()(1 ) (00002) 给定矩阵，并且方阵)()()()(,,,r n r n r r n r n r r r R D R C R B R A ?×?×??××∈∈∈∈D 可逆，则 (1) (8-4-18) ??? ????=????????????? ?????D C C BD A D C B A I BD I r n r 001)(1)((2) (8-4-19) ????? ??=????????????????D B C BD A I C D I D C B A r n r 001)(1) ((3) (8-4-20) ?? ? ????=????????????????? ?? ????????D C BD A I C D I D C B A I BD I r n r r n r 0000 1)(1) ()(1)( 二 Schur 补引理 [定理8.4.1] 给定矩阵， )()()(,,r n r n r n r r r R R R S R Q ?×??××∈∈∈0 ??? ?R S S Q T (8-4-21) 当且仅当 (i) (8-4-22) 0,01 (ii) (8-4-23) 0, 01 T S SR Q 1?? 三 消元公式 [定理8.4.2] 给定G U V ,,，，具有行，存在n n R G ×∈V U ,n X 以致于 0)(<++T T T UXV UXV G (8-4-24) 当且仅当 0<⊥⊥GU U T (8-4-25) 0<⊥⊥GV V T (8-4-26) 其中为U 和V 的正交补，有。 ⊥⊥V U ,0,0==⊥⊥V V U U 对鲁棒控制的认识 姓名：_______________ 赵呈涛_______________ 学号：092030071 专业： 鲁棒控制（RobustControl ）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固 定控制器称为鲁棒控制器。 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SIS0）的在微小摄动下的不确 定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故 障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了 以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒 控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法，际环其设计目标是找到在实境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。 鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息和它的变化范围，一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有： 1）Kharitonov 区间理论； 2）H控制理论； 3）结构奇异值理论理论。 面就这三种理论做简单的介绍。 1 Kharitonov区间理论1.1参数不确定性系统的研究概况 对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black采用大回路增益的反馈控制技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性，由于采用大回路增益，所以设计的系 统常常不稳定；1932年,Nyquist给出了判断系统稳定性的频域判据，在控制系统设计时，用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode首次提出灵敏度函数的概念，对系统的参数不确定性进行定量的描述。在此基础上，Horowitz在1962年提出一种参数不灵敏系统的频域设计方法，此后，基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参数不确定性的主要工具。不过，这种方法是基于无穷小分析的，在实际系统的设计中并不总是能收到良好效果。因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值，这在实际中往往也难以做到。于是，人们开始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性，出现了鲁棒辨识方法。此法给出的辨识结果不是一个确定值，而是参数空间中的一个域（如超矩形、凸多面体、椭球等）。相应地， 不确定系统的参数空间设计方法也得到广泛而深入的研究。1984年,Barmish将前苏联 学者Kharitonov的区间多项式鲁棒稳定性的著名结果一一四多项式定理。引入控制界，掀起了在参数空间中研究系统鲁棒性的热潮。 1.2关于区间多项式的几个重要定理 参数摄动通常表现为独立摄动、线性相关摄动和多线性相关摄动3种模式。判断在相应的参数摄动模式下系统鲁棒稳定性的主要定理分别是：四多项式定理、棱边定理和映射定理。 2结构奇异值理论（理论） 2. 1结构奇异值理论的产生和L定义 鲁棒优化的方法及应用 杨威 在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代，Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。 一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量，0f 为目标函数，12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于 特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。 这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划 一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁 棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈，如果不确定的集合是一个计算上易处 理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论： 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出，如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+≥∑，则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划 鲁棒控制设计报告 学院 专业 报告人 目录 1 绪论 (2) 1.1控制系统设计背景 (2) 1.2本文主要工作分配 (3) 2 一级倒立摆模型建立 (4) 2.1一级倒立摆的工作原理 (4) 2.2一级倒立摆的数学模型 (4) 3 H∞鲁棒控制器设计 (6) 3.1基于Riccati方程的H∞控制 (7) 3.2基于LMI的H∞控制 (7) 4 一级倒立摆系统的仿真 (9) 4.1一级倒立摆控制系统设计 (9) 4.2闭环控制系统仿真及分析 (10) 5 结论 (13) 1 绪论 1.1控制系统设计背景 一级倒立摆系统是一个典型非线性多变量不稳定系统，在研究火箭箭身的姿态稳定控制、机器人多自由度运动稳定设计、直升机飞行控制等多种领域中得到了广泛的应用，因此以倒立摆作为被控对象进行控制方法的研究具有重要的现实意义。为解决一级倒立摆系统的非线性、强耦合、多变量、自然不稳定问题，本文利用H∞鲁棒控制实现对一级倒立摆的控制。 Mg 图1.1 一级倒立摆系统结构图 本文采用的直线一级倒立摆的基本系统如图1.1所示，它是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的材质均匀的摆杆组成，它是一个不稳定的系统，当倒立摆出出现偏角θ后，如果不给小车施加控制力，倒立摆会倾倒。所以本文采用H∞鲁棒控制方法的目的是通过调节水平力F的大小控制小车的运动，使倒立摆处于竖立的垂直位置。控制指标为：倒立摆系统的从初始状态调节到小车停留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态。 1.2本文主要工作分配 第一章：对一级倒立摆系统的特点、结构以及控制要求进行阐述。 第二章：根据一级倒立摆的结构，利用机理建模法建立被控对象的精确数学模型，并在系统平衡点处进行线性化，得到系统简化的状态方程。 第三章：首先H∞鲁棒控制的基本原理，然后分别利用Riccati方程和LMI 方法设计H∞状态反馈控制器。 第四章：首先使用MATLAB计算基于Riccati方程的H∞状态反馈控制器和基于LMI的H∞状态反馈控制器，然后进行闭环控制系统的仿真并控制系统的性能分析。 第五章：对本次设计进行总结。 鲁棒控制理论中的H∞控制理论 （浙江大学宁波理工学院信息科学与工程分院自动化） 【摘要】首先简要的介绍了鲁棒控制中的H∞控制理论，并把其发展分为两个阶段，而后就上当已存在的H∞控制的主要成果进行了讨论和归纳，还指出了H∞控制理论尚未解决的问题。 【关键词】H∞控制理论；非线性系统；时滞；范数 1.概述 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。主要的鲁棒控制理论有：Kharitonov区间理论；H∞控制理论；结构奇异值理论u理论； 鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 2．H∞控制理论出现的背景及意义 1981年，加拿大著名学者Zames在其论文中引入了H∞范数作为目标函数进行优化设计，标志着H∞控制理论的诞生。Zames考虑了这样一个单入单出( SISO)系统的设计问题: 假设干扰信号属于某一有限能量的已知信号集，要求设计一个反馈控制器，使闭环系统稳定，且干扰对系统的影响最小。要解决这样的问题就必须在能够使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器使之相应的灵敏度函数的H∞范数最小。 虽然Zames 首先提出了H∞最优化问题，但是他没能给出行之有效的解法。 提高控制系统的鲁棒性与适应性 1、含义 鲁棒性:控制器参数变化而保持控制性能的性质。 适应性:控制器能适应不同控制对象的性质。 控制系统在其特性或参数发生摄动时仍可使品质指标保持不变的性能。鲁棒性是英文robustness一词的音译，也可意译为稳健性。鲁棒性原是统计学中的一个专门术语,70年代初开始在控制理论的研究中流行起来,用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。在实际问题中，系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。产生摄动的原因主要有两个方面，一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值（标称值），另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。因此，鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题，也是一切类型的控制系统的设计中所必需考虑的一个基本问题。对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统，所涉及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性和不变性原理有着密切的联系，内模原理的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用。 2、控制系统设计要求（指标） （1）、结构渐近稳定性 以渐近稳定为性能指标的一类鲁棒性。如果控制系统在其特性或参数的标称值处是渐近稳定的，并且对标称值的一个邻域内的每一种情况它也是渐近稳定的，则称此系统是结构渐近稳定的。结构渐近稳定的控制系统除了要满足一般控制系统设计的要求外，还必须满足另外一些附加的条件。这些条件称为结构渐近稳定性条件，可用代数的或几何的语言来表述，但都具有比较复杂的形式。结构渐近稳定性的一个常用的度量是稳定裕量，包括增益裕量和相角裕量，它们分别代表控制系统为渐近稳定的前提下其频率响应在增益和相角上所留有的储备。一个控制系统的稳定裕量越大，其特性或参数的允许摄动范围一般也越大，因此它的鲁棒性也越好。 （2）、结构无静差性 以准确地跟踪外部参考输入信号和完全消除扰动的影响为稳态性能指标的一类鲁棒性。如果控制系统在其特性或参数的标称值处是渐近稳定的且可实现无静差控制（又称输出调节，即系统输出对参考输入的稳态跟踪误差等于零），并且对标称值的一个邻域内的每一种情况它也是渐近稳定和可实现无静差控制的，那么称此控制系统是结构无静差的。使系统实现结构无静差的控制器通常称为鲁棒调节器。在采用其他形式的数学描述时，鲁棒调节器和结构无静差控制系统的这些条件的表述形式也不同。鲁棒调节器在结构上有两部分组成，一部分称为镇定补偿器，另一部分称为伺服补偿器。镇定补偿器的功能是使控制系统实现结构渐近稳定。伺服补偿器中包含有参考输入和扰动信号的一个共同的动力学模型，因此可实现对参考输入和扰动的无静差控制。对于呈阶跃变化的参考输入和扰动信号，它 鲁棒优化及相关问题的研究 鲁棒优化研究带不确定性的优化问题,是不确定优化的一个分支.在鲁棒优化中,主要关注由不可控参数引起的不确定性,且仅知道不 可控参数在某个不确定集中取值.由于对实际问题有效的建模和求解,鲁棒优化已发展成为处理不确定优化问题重要且十分普遍的工具.基于鲁棒性这个概念,本文围绕鲁棒优化探讨了无穷多目标优化、不确定向量优化和不确定互补问题中相关的一些重要课题.主要内容如下:1.基于对强鲁棒性、一致鲁棒性和严格鲁棒性的细致分析,通过设置调整变量建立了一种新的鲁棒性,称为松弛鲁棒性.其对应的松弛 鲁棒模型包含了相关文献中出现的具有松弛意义的大部分模型,例如偏离鲁棒模型、可靠鲁棒模型、软鲁棒模型以及随机方法中的期望值模型和风险规避模型.这个统一的模型表明:对不确定性的处理方式 取决于决策者对不确定性掌握的信息、对这些信息的态度以及可用的数学方法.另外,提出了鲁棒性测度并研究了它的一些基本性质,如平移同变性、单调性、正齐次性和凸性.2.在基于分量比较的序结构上,对无穷多目标优化问题引入了Pareto有效性和Geoffrion真有效性,并借此表明了无穷多目标优化与不确定/鲁棒优化的密切关系.针对 一般的不确定优化问题,利用推广的ε-约束方法得到了 Pareto鲁棒解的生成方法.通过一族锥刻画了Geoffrion真有效性,并揭示了Pareto有效性与Geoffrion真有效性的本质区别:Pareto有效性需要对其它的成员补偿都有界,而Geoffrion真有效性要求对其它的成员补偿一致有界.最后,将Geoffrion真有效性应用到鲁棒对应上,得到 了不确定型选择理论中著名的Hurwicz准则.3.遵循鲁棒标量优化中的研究方法,对不确定向量优化问题,首先建立了硬性意义下的鲁棒对应模型.然后,出于对这个鲁棒模型一个缺点的修正,利用Pareto 有效性的思想将其松弛,得到了紧性意义下的鲁棒对应模型.不同于文献中大量使用的集方法,这两个鲁棒模型属于鲁棒多目标/向量优化研究中的向量方法.与基于集方法得到的鲁棒模型进行了深刻地比较,展示出它们特殊的地位以及向量方法更大的潜力.4.对带模糊参数的互补问题,利用可能性理论中的可能性测度和必要性测度去除模糊,提出了两类确定性的模型,分别称为可能性满意模型和必要性满意模型.从不同的角度进行了分析,得到了它们的解具有的一些重要特征.随后,比较了几种受不同类型的不确定性影响的互补问题及相应的处理方法,包括对模糊映射的模糊互补问题、对不确定集的鲁棒互补问题和对随机不确定性的随机互补问题.最后,将这两类模型应用到模糊优化、模糊博弈和带模糊互补约束的数学规划问题上. 基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究 投资组合通常是指个人或机构所拥有的由股票、债券及衍生金融工具等多种有价证券构成的一个投资集合。传统上投资组合模型数学规划的经典范例是在输入参数准确可知并且等于某些标称值的假设条件下建立模型,并利用已有的数学规划方法求解模型得出最优解。然而,这些方法并没有考虑数据的不确定性对建模质量和可行性的影响,本文采用鲁棒优化方法构建投资组合模型解决投资组合模型容易受输入参数影响的问题。本文一方面试图将鲁棒优化方法在不同投资组合模型中的应用建立一个系统的框架,另一方面弥补了国内目前仅对部分投资组合鲁棒优化模型进行研究,而忽略了交易成本和现实约束对鲁棒优化投资组合模型的影响,丰富了鲁棒优化投资组合模型的应用范围,同时针对其衍生(含交易成本和现实约束)鲁棒优化模型得到以下结论：(1)鲁棒优化投资组合模型相比于传统的投资组合模型(相对应的模型进行比较,即如：鲁棒均值-CVaR投资组合(RCVaR)模型相比于均值-条件风险价值(CVaR)投资组合(MCVaR)模型)更能获得 稳定的回报,投资绩效更高。 (2)交易成本的引入。对于将交易成本引入投资组合优化模型后鲁棒优化模型进行分析,这类投资组合优化模型是可解的、有效的、具有鲁棒性的,其投资组合收益、投资组合风险和投资组合绩效表现均优于将交易成本直接引入投资组合优化模型,表明引入交易成本后鲁棒优化模型仍是有效的。同时在基于交易成本的鲁棒优化模型中引入现实约束,则会进一步提升投资组合收益、组合风险和投资组合绩效方面的表现。(3)现实约束的引入。 对于不含交易成本的鲁棒优化模型引入现实约束后得出：第一,分散化程度对投资组合影响。在投资组合各项资产权重充分分散之前,随着投资组合分散程度的增加,投资组合收益降低,投资组合风险减小,这与资本市场实际情况相同；在投资组合各项资产权重充分分散之后,随着投资组合分散程度的增加,投资组 合收益同样减小,但是投资组合风险增加。第二,流动性水平对投资组合影响。当投资组合管理者对资产组合的最低流动性水平要求越高时,投资组合的风险越大、投资组合的收益增加、投资组合的绩效降低,反之亦然,这与现实证券市场中的投资决策完全一致。 第三,资产上下界约束对投资组合影响。从投资组合收益与绩效角度而言, 鲁棒控制综述 课程目标 1.了解鲁棒控制研究的基本问题 2.掌握鲁棒控制的基础知识和基本概念 3.明确鲁棒控制问题及其形式化描述 4.掌握几种鲁棒稳定性分析与设计方法 5.掌握状态空间H∞控制理论 6.了解鲁棒控制系统的μ分析与μ综合方法 7.初步了解非线性系统鲁棒控制方法 8.掌握时滞系统的鲁棒控制稳定性分析 控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统。 大部分的控制系统是基于反馈原理来进行设计的 反馈控制已经广泛地应用于工业控制、航空航天和经济管理等各个领域。 不确定性 在实际控制问题中，不确定性是普遍存在的 所描述的控制对象的模型化误差 可能来自外界扰动 因此，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影响。 控制系统设计的任务 对于给定的控制对象和传感器，寻找一个控制器，使反馈控制系统能够在实际工作环境中按预期目标运行 ●实际控制对象就是具体的装置、设备或生产过程 ●通过各种建模方法，可以建立实际控制对象的模型 ●针对控制对象的模型，应用控制理论提供的设计方法设计出控制器，对实际控制对 象实施控制 ●控制系统的控制效果在很大程度上取决于实际控制对象模型的准确性 ●在控制系统设计中采用的模型与实际控制对象存在着一定的差异，即存在着模型不 确定性 ●控制系统的运行也受到周围环境和有关条件的制约 ●例如，在图1-1中，传感器噪声ｎ和外部扰动ｄ分别来自控制系统本身和控制系统 所处的环境，它们往往是一类未知的扰动信号 ●这种扰动不确定性对控制系统的运动将产生的影响 控制系统设计中需要考虑的不确定性 （1）来自控制对象的模型化误差； （2）来自控制系统本身和外部的扰动信号 ●需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论 ●这就是鲁棒控制所要研究的课题 1.1.2 控制系统设计的基本要求 在控制系统设计中，往往把图1-1所示的反馈控制系统更一般化，考虑如图1-3所示的单位反馈控制系统，其中P是控制对象，C是控制器。 [论文笔记]集成方法提高神经网络的对抗鲁棒性 集成方法提高神经网络的对抗鲁棒性一、多个弱防御的集成不能形成强防御1.攻击者2.防御策略3.对抗样本生成方法4.干扰大小的度量5.实验6.结论二、简单集成神经网络1.攻击方法2.集成模型3.计算梯度4.实验5.结论三、 ensemble of specialists1.利用FGSM 方法得到模型的混淆矩阵：2.伪代码如下：3.实验考虑三种模型4.实验结果四、随机自集成1.思想2.taget攻击与untarget攻击3.网络设计4.伪代码如下：5.理论分析6.结论五、集成对抗训练1.前言 2.对抗训练 3.集成对抗训练六、对抗训练贝叶斯神经网络(adv-BNN)1.前言2.PGD攻击3.BNN4.adv-BNN 一、多个弱防御的集成不能形成强防御 1.攻击者 假设攻击者知道模型的各种信息，包括模型架构、参数、以及模型的防御策略（白盒攻击）。 考虑两种白盒攻击者： （1）静态 不知道模型的防御策略，因此静态攻击者可以利用现有的方法生成对抗样本，但不针对特定的防御策略。 （2）动态 知道模型的防御策略，可以自适应地制定攻击方法，比静态攻击者更强大。 2.防御策略 （1）feature squeezing 包括两个检测组件：reducing the color depth to fewer bits 和spatially smoothing the pixels with a median filter （2）specialist-1 ensemble method 根据对抗混淆矩阵将数据集分成K+1个子集，形成由K+1个分类器组成的一个集成分类器 （3）多个检测器集成 包括Gong、Metzen、Feinman三个人提出的对抗样本检测器； 3.对抗样本生成方法 利用优化方法生成对抗样本，最小化如下损失函数： loss(x′)=∣∣x′?x∣∣22+cJ(Fθ(x′),y)loss(x#x27;)=||x #x27;-x||_{2}^{2}+cJ(F_{theta}(x#x27;),y)loss(x′)=∣∣x′? x∣∣22?+cJ(Fθ?(x′),y) 其中c为超参数，该方法也称为CW攻击方法。 4.干扰大小的度量 用下式度量对抗样本与干净样本之间差异： d(x?,x)=∑i(x?x)2d(x^{*},x)=sqrt{sum_i(x^{*}-x)^{2}}d(x? ,x)=i∑?(x?x)2? 其中样本点都被归一化[0,1]之间。 5.1 攻击 feature squeezing 结论：feature squeezing 不是一种有效的防御方法。首先单独 附件：3-1-1 各项资产减值准备计提方法3-1-1-1 访谈记录 3-1-2-1 问卷调查反馈意见 1、公司是否按规定计提各项准备金（包括但不限于应收账款坏账准备、其他应收款坏账准备、存货跌价准备、固定资产减值准备、无形资产减值准备等）。资产减值准备的计提、冲销和转回所履行的审批程序，列示计提方法和比例变更情况，是否不存在利用资产减值准备调节利润的情形？ 2、本年度全额计提坏账准备，或集体坏账准备的比例较大的（计提比例一般不超过40%及以上的），说明计提的比例以及理由？ 3、以前年度已全额计提坏账准备，或计提坏账准备的比例较大的，但在本年度又全额或部分收回的，或通过重组等其他方式收回的，说明其原因、原估计计提比例的理由、以及原估计计提比例的合理性？ 4、对某些金额较大的应收款项不计提，或计提比例较低（一般为5%或低于5%）时，请说明理由？ 5、请说明本年度实际冲销的应收款项及其理由，对实际冲销的关联交易产生的应收款项是否已单独披露？ 6、公司是否存在以应收债券融资或出售应收债权？ 7、说明存货跌价准备的核算方法，是否按规定提取存货跌价准备。存货是否已分项列示期末余额？存货跌价准备是否已分项列示计提的存货跌价准备金额及其增减变动情况？是否已披露各类存货可变现净值的确定方法？ 8、公司除应收账款外的金融资产和长期股权投资减值准备的的计提情况？ 9、固定资产减值准备计提情况？ 10、公司无形资产减值准备的情况？ 附件：3-1-3 各项资产减值准备实际计提、冲销与转回明细 3-1-3-1 2015年1-11月各项资产减值准备实际计提、冲销与转回明细 单位：元 第一章概述 §1.1 不确定系统和鲁棒控制(Uncertain System and Robust Control) 1.1.1 名义系统和实际系统（nominal system） 控制系统设计过程中，常常要先获得被控制对象的数学模型。在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多因素：比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中，不考虑高阶模态的影响，等等。这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂，于是要经过降阶处理，有时还要把非线性环节进行线性化处理，时变参数进行定常化处理，最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似，因此称这样的数学模型为“名义系统”，而称真实的物理系统为“实际系统”，而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。 1.1.2不确定性和摄动（Uncertainty and Perturbation） 如立足于名义系统，可认为名义系统经摄动后，变成实际系统，这时模型误差可视为对名义系统的摄动。如果立足于实际系统，那么可视实际系统由两部分组成：即已知的模型和未知的模型（模型误差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不确切地知道，比如只知道某种形式的界限（如：范数或模界限等），则称这部分模型为实际模型的不确定部分，也说实际系统中存在着不确定性，称含有不确定部分的系统为不确定系统。模型不确定性包括：参数、结构及干扰不确定性等。 1.1.3 不确定系统的控制 经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型（可能是常规的，也可能是统计的）。以往，由于对一般的控制系统要求不太高，所以系统中普遍存在的不确定性问题往往被忽略。事实上，对许多要求不高的系统，在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求，而对一些精度和可靠性要求较高的系统，也只是在名义系统基础上进行分析和设计，然后考虑模型的误差，用仿真的方法来检验实际系统的性能（如稳定性、暂态性能等）。例如早期导弹控制系统设计时就是这样：首先按名义模型设计一个控制系统，然后反复调整设计参数，这样的结果是浪费了大量的人力物力；一种导弹从设计到定型要反复计算数百条弹道，对大小回路控制器参数要进行数十次调整，还要经过反复试射，这类参数的调整往往没有一个理论可以遵循，而依据设计者的经验。 鲁棒优化的方法及应用 威 在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代，Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。 一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量，0f 为目标函数，12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于 特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。 这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划 一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁 棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈，如果不确定的集合是一个计算上易处 理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论： 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出，如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+ ≥∑，则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划 考虑一个不确定的凸二次约束问题 第七章 PID 控制与鲁棒控制 7.1 引言 一、PID 控制概述 目前，基于PID 控制而发展起来的各类控制策略不下几十种，如经典的Ziegler-Nichols 算法和它的精调算法、预测PID 算法、最优PID 算法、控制PID 算法、增益裕量/相位裕量PID 设计、极点配置PID 算法、鲁棒PID 等。本节主要介绍PID 控制器的基本工作原理及几个典型设计方法。 1、三种控制规律 P 控制: p K G = ()∞↑?e K p ↓↓，但稳定性； I 控制: s T G i 1 = ； D 控制: ，s T G d =； 2、PID 的控制作用 （1） PD 控制: ()()() dt t du T K t u K t u d p p 112+= ()() ()s K K s T K s U s U G D p d p +=+== 112 PD 有助于增加系统的稳定性. PD 增加了一个零点D p K K z -=,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. （2） PI 控制: ()()()dt t u T K t u K t u t i p p ?+ =0 1 12 ()s K K s T K s G I p i p +=???? ??+=11 PI 提高了系统按稳态误差划分的型. （3）PID 控制 ()()()dt t du T K dt t u T K u K t u d p t i p p 10 112++ =? ()s K d K K s G D I p ++ = 7.2 PID 控制器及其参数的调整 一、PID 控制概述 1、PID 控制器的工作原理 下图为它的控制结构框图，典型PID 为滞后－超前校正装置。 由图可见，PID 控制器是通加对误差信号e(t)进行比例、积分和微分运算，其结果的加权，得到控制器的输出u(t)，该值就是控制对象的控制值。PID 控制器的数学描述为： 工作汇报 （1）优化设计和鲁棒性分析 优化设计的过程就是确定优化目标、设计参数和约束条件，通过迭代算法确定最优的设计参数，得到最优的性能。 查阅这方面的论文，主要有两种方法。一种是目标函数与设计参数之间有解析式关系的，比如《Application of optimal and robust designmethods to a MEMS accelerometer》这篇论文，优化目标是加速度计的最小测量加速度、满量程加速度以及谐振频率，设计参数是梁、质量块、梳齿以及间隙的尺寸参数。文章中就给出了优化目标和设计参数的解析式： 通过这些解析式，以及一些约束条件就可以构建优化设计的数学模型： 最后通过优化算法程序（这篇用的是遗传算法）得到最优解。 第二种也是大部分文献，都没有给出优化目标和设计参数之间的解析式。比如《Optimal and Robust Design of a MEMS GyroscopeBased on Sensitivity Analysis and Worst-caseTolerance》，优化目标是陀螺仪的敏感性（让敏感电容C最大）。这篇文章没有目标函数的解析式。它是通过有限元仿真软件和优化软件连接在一起计算，应该是用仿真结果代替解析式计算结果，具体的我没明白。 鲁棒性分析的方法主要是考虑设计参数的制造误差（一般是±0.5um），将±0.5um分别带入设计参数，让优化目标最小化的同时，标准差也最小化。 优化设计还看到一篇文献，《Optimization of Sensing Stators in CapacitiveMEMS Operating at Resonance》提出了两种新颖的结构，然后比较它们和传统结构的性能，以及它们的优点。这篇论文没有参数优化。 （2）动态特性分析 动态特性分析方面看了两篇文献。《Nonlinear Dynamic Study of a Bistable MEMS:Model and Experiment》讲了加速度双稳态开关中，切换稳定性与激励时间和激励幅值的关系。当激励时间长时，开关稳定切换，时间短时，可能切换失败。以及激励幅值超过门限很多时，也会使质量块振荡返回初始状态而切换失败。文章分析了原因，确定的最短激励时长。 第二篇文献《Shock-Resistibility of MEMSBased Inertial Microswitch underReverse Directional Ultra-High gAcceleration for IoT Applications》，本文研究了在反向高g值冲击下，惯性开关的冲击稳定性。在实际应用中，惯性开关不可避免的受到高或极高的反向冲击。高g值（几百到几千）的反向加速度冲击下，支 动态鲁棒进化优化方法研究 现实生活中的许多优化问题,往往受到生产工况、运行环境等动态因素的影响,形成动态优化问题。解决该类问题的常用方法是跟踪最优解方法。 它在探测到优化问题发生改变时,重新触发寻优过程,从而快速、准确地找到适应于新优化模型的最优解。跟踪最优解方法虽然可以相对有效的解决动态优化问题,但是,当动态优化问题具有复杂的目标函数或较大的搜索空间时,耗时的进化求解过程,往往使在有限时间内获得问题的最优解存在困难。 另外,某些实际动态优化问题中,当动态因素发生变化时,就去执行寻优获得的新最优解,往往需要调整众多相关人员或资源,导致较大的最优解切换成本。基于此,本论文给出了一种解决动态优化问题的动态鲁棒优化方法。 其核心思想是面向连续变化环境下的动态优化问题,找到用户可以接受的一组基于时间的鲁棒最优解序列。当环境发生变化时,根据用户可接受程度,直接采用相邻前一环境下的鲁棒解作为当前环境下的较优解,而不是重新寻找新环境下的最优解。 这可以有效降低新环境下优化问题的寻优代价,满足生产实际中有限资源调配的需求。面向动态单目标优化问题,已有动态鲁棒优化方法中给出生存时间和平均适应度两种鲁棒性指标。 在此基础上,构建了兼顾上述两种鲁棒性能指标的两阶段多目标进化优化模型,采用基于非支配排序的遗传算法,获得问题的鲁棒最优解序列。第一阶段多目标进化优化方法用于获得每个动态环境下,兼顾上述两方面性能的所有Pareto 解;第二阶段中的进化个体由第一阶段获得的Pareto解依环境变化时刻动态组合而成,考虑解序列的平均生存时间和平均适应度,采用多目标进化优化方法获 得实际可实施的动态鲁棒最优解集,并将其应用于解决改进的移动峰问题。 面向动态多目标优化问题,首次给出了时间尺度上的多目标鲁棒性概念,定 义了基于时间的鲁棒Pareto最优解,给出了时间鲁棒性和性能鲁棒性两个性能 度量指标。鲁棒Pareto最优解应兼顾这两方面性能,由此构建了动态鲁棒多目标优化模型。 进而,采用基于分解的多目标进化算法,求解其鲁棒Pareto最优解集。进一步,在求解动态鲁棒多目标优化问题时,兼顾个体的性能鲁棒性和时间鲁棒性,构建了动态鲁棒多目标约束优化模型。 考虑到个体的鲁棒性评价中,需要同时考量Pareto解在当前和未来相邻动 态环境下的适应值。为有效估计未来相邻环境下某一个体的适应值,建立了基于已评价历史信息的适应值时间序列,并采用移动平均预测、自回归预测和最近邻域预测,通过加权方式构成集成预测模型。 决策者从Pareto解集中找到最符合他们需求的解是多目标优化的最终目的。为提高进化效率,在每个动态环境下,没有必要获得全部Pareto最优解,仅需要 把寻优过程集中在决策者感兴趣的区域。 于是,将决策者的偏好信息融入到搜索过程中,引导种群趋向于决策者感兴 趣的区域;另外,在鲁棒性能评价中,将决策者的偏好信息转化为目标稳定性阈值,用于指导鲁棒个体选择。在上述偏好信息的共同作用下,采用基于分解的动态鲁棒多目标进化优化方法,获得满足决策者偏好的鲁棒最优解集。 采用传统的跟踪最优解法或动态鲁棒优化方法,在解决环境变化复杂的动态多目标优化问题时,都存在一定局限。为此,根据搜集的动态环境历史信息构建环境变化序列,用于预测未来环境变化程度。 鲁棒控制及其发展概述 摘要 本文首先介绍了鲁棒控制理论的发展过程；接下来主要介绍了研究鲁棒多变量控制过程中两种常用的分析方法：方法以及分析方法；最后给出了鲁棒控制理论的应用及其控制方法，不仅仅用在工业控制中，它被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。并且指出了目前鲁棒控制尚未解决的问题以及研究的热点问题。 关键词：鲁棒控制；鲁棒多变量控制；鲁棒控制；分析方法 一、引言 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。控制系统的鲁棒性研究是现代控制理论研究中一个非常活跃的领域,鲁棒控制问题最早出现在上个世纪人们对于微分方程的研究中。 最早给出鲁棒控制问题的解的是Black在1927年给出的关于真空开关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管特信各大范围波动。之后，Nyquist频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode的经典之著[1]中关于鲁棒控制设计的基础。20世纪60年代之前这段时间可称为经典灵敏度设计时 期。此间问题多集中于SISO系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。 20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO进行了初步的推广[2]，灵敏度设计问题包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计。 20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期，此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。 二、正文 1. 鲁棒控制理论 方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的范数作为性能指标，旨在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定并使相应的范数指标极小化的输出反馈控制问题。 鲁棒控制理论是在空间(即Hardy 空间)通过某些性能指标 的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间，其范数定义为： （1） 即矩阵函数在开右半平面的最大奇异值的上界。范数的物理意义是指系统获得的最大能量增益[3]。 鲁棒控制理论的实质是为MIMO（多输入多输出）且具有模型 对鲁棒控制的认识 赵呈涛 专业: 学号: 092030071 姓名: 鲁棒控制（ RobustControl ）方面的研究始于 20 世纪 50 年代。在过去的 20 年 中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统 在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同 定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称 该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的 品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固 定控制器称为鲁棒控制器。 定性，具有代表性的是 Zames 提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故 障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了 以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。 控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法， 际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制 器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。 鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息 和它的变 化范围 , 一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒 控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析 及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系 统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满 足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有： 1) Kharitonov 区间理论； 2） H 控制理论； 3）结构奇异值理论 理论。 面就这三种理论做简单的介绍。 1 Kharitonov 区间理论 1.1 参数不确定性系统的研究概况 对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black 采用大回路增益的反馈控制 技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性， 由于采用大回路增益 , 所以设计的系 统常常不稳定；1932年,Nyquist 给出了判断系统稳定性的频域判据,在控制系统设计时, 用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode 首次提出灵敏度函数的概念, 对系统的参数不确定性进行定量的描述。 在此基础上 ,Horowitz 在1962年提出一种参数 不灵敏系统的频域设计方法， 此后, 基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参 数不确定性的主要工具。不过 , 这种方法是基于无穷小分析的 , 在实际系统的设计中并 不总是能收到良好效果。因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外 灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值 , 这在实际中往往也难以做到。于是 , 人们开 始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性 , 出现了鲁棒辨识方法。 此法给出的辨识结果 不是一个确定值 , 而是参数空间中的一个域 （如超矩形、凸多面体、椭球等 ）。相应地 , 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（ SISO ）的在微小摄动下的不确 现代鲁棒 其设计目标是找到在实对鲁棒控制的认识
鲁棒优化的方法及应用
鲁棒控制系统设计
鲁棒控制
提高控制系统的鲁棒性与适应性
鲁棒优化及相关问题的研究
基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究
鲁棒控制综述
算 法 的 鲁 棒 性
稳健性调查分析
鲁棒控制讲义-第1-2章
鲁棒优化的方法与应用
第七章 PID控制与鲁棒控制
优化设计和鲁棒性分析方法综述
动态鲁棒进化优化方法研究
鲁棒控制及其发展概述
对鲁棒控制的认识
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