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Jensen's Inequality for g-Convex Function under g-Expectation

Jensen's Inequality for g-Convex Function under g-Expectation
Jensen's Inequality for g-Convex Function under g-Expectation

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1

推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证:

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法 ●教学目标:1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质,熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点:综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点:综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程: 一、复习引入: 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤? 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课: 1、综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是:例1、已知a,b,c是不全相等的正数,求证: . 分析:观察题目,不等式左边含有“a2+b2”的形式,我们可以创设运用基本不等式:a2+b2≥2ab;还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”,右边有三正数a,b,c的“积”,我们可以创设运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生,完成证明) 解:∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4,得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数,所以以上三式不能全取“=”号,从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论,①,②,③三式相加得:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 点评:(1)综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想,浮想联翩,思潮如涌。 (2)在利用综合法进行不等式证明时,要善于直接运用或创设条件运用基本不等式,其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练:已知a,b,c是不全相等的正数,求证:例2、已知且,求证:分析:观察要证明的结论,左边是个因式的乘积,右边是2的次方,再结合,发现如果能将左边转化为的乘积,问题就能得到解决。 2、分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是:②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,这只需要证明命题B1为真,从而有……这只需要证明命题B2为真,从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故B必真。 例3.求证:分析:观察结构特点,可以利用分析法。 点评:①分析法的思维特点是:执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,常用分析法. ③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

几个范数不等式的证明

设X为一n维赋范空间,其范数定义为, 1≤p<∞,证明以下命题: 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1; 3. ||x||q≤||x||p≤,p|≤||x||2||y||2,令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|),y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式,令α=2,β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1,所以只考虑p>1的情况

从上图可以看出f(x)在x=0时为1,先上升,在x=1达到最大值2p-1,然后下降,但始终≥1。所以有,即,令x=b/a,有a p+b p≤(a+b)p,同理,使用归纳法可 证明:|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (pp)可以证明。 据说可以根据赫尔德不等式证明,但实在想不到方法证。如果你能想到,不妨发封邮件给我:james05y@https://www.doczj.com/doc/8c5637444.html, 参考文献 1. 邢家省, 郭秀兰, 崔玉英. 几个幂次不等式的应用[J]. 河南科学, 2008, 26(11):1306-1309. 2. 柯西—施瓦茨不等式. https://www.doczj.com/doc/8c5637444.html,/view/979424.htm. 3. Jensen不等式. https://www.doczj.com/doc/8c5637444.html,/view/1427148.htm.

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜:比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧::1;与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立,探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 [知识梳理] 1. 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理:如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰,当且仅当a = b = c 时,等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—,当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时,等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数,则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数,贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时,约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设 a B 为平面上的两个向量,则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ;

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明(1) 目标: (,0)2 a b a b +≥的证明过程,并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程: 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计) ,那么a 并非物体的实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢? 把两次称得的物体的质量“平均”一下,以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为12,l l ,物体实际质量为M ,据力学原理有1221,l M l a l M l b == ,有2,M ab M == ,0a b >时,2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般,判断两数的大小可采用“比较法”: 02a b +-=≥ 2 a b +≤(当且仅当a b =时取等号) 说明:当0a =或0b =时,以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥(称之“基本不等式” )当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释: 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数,证明:1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意:基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明: 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=,求证:123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1,2,3

不等式的证明分析法与综合法习题

2.3不等式的证明(2)——分析法与综合法习题 知能目标锁定 1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式; 2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法; 重点难点透视 1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点. 方法指导 1. 分析法 ⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”. ⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ????? 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆. ⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法 ⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件 B B B B A n ????? 21(结论),后一步是前一步的必要条件. ⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式. 一.夯实双基 1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b A.= B. < C.> D.不能确定 2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是( ) A.0 lg >b a B.a b a b ->- C. a a a a ++< +211 D. 1 1++< a b a b

3.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,那么 c b a 111+ + 有最小值( ) A.6 B.9 C.4 D.3 4.设2 6,37,2-=-== c b a ,那么a,b,c 的大小关系是( ) c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>. 5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A. 2 y x + B. y x xy +2 C.xy D. )11(21y x + 二.循序厚积 6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m y x ≥+ 41恒成立的实数m 的取值范 围是________; 7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________; 9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b a n b a m b a -= - = >>,,0若,则m 与n 的大小关系是______. 三、提升能力 11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证:(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12.设x>0,y>0,求证: 2 2 y x y x +≤ + 13.已知a,b + ∈R ,且a+b=1,求证:2 25)1()1(2 2 ≥ + ++ b b a a .

(完整版)导数与不等式证明(绝对精华)

二轮专题 (十一) 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查:应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤,可设)()()(x g x f x h -=,只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可. 二级排查:知识积累 利用导数证明不等式,解题技巧总结如下: (1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式. (2)多用分析法思考. (3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. (4)常用方法还有隔离函数法,max min )()(x g x f ≥,放缩法(常与数列和基本不等式一起考查),换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. (5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查:易错易混 用导数证明数列时注意定义域.

【课堂探究】 一、作差(商)法 例1、证明下列不等式: ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= (1)若函数2)(=x x f 在处取得极小值0,求b a ,的值; (2)在(1)的条件下,求证:对任意的],[,221e e x x ∈,总有)()(21x g x f >.

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A >B ,先假设A ≤B ,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A ≤B 不成立,而肯定A >B 成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a 、b 、c 、d 均为正数,求证:下列三个不等式:①a +b <c +d ;②(a +b)(c +d)<ab +cd ;③(a +b)cd <ab(c +d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a 、b 、c 、d 都是正数,所以不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a )2·( c +d), ∵a +b >0,∴4c d <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <3 1ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd <34ab ,即a 2+b 2<-3 2ab ,显然矛盾.

泛函数与范数的定义

泛函数-正文 又称泛函,通常实(复)值函数概念的发展。通常的函数在R n或C n(n是自然数)中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义,对集合中每个元素取对应值(实数或复数)。通俗地说,泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设Ω为R n中的区域,Г1表示边界嬠Ω的片断, 表示一函数集合。考虑对应 ,式中F为具有2n+1个自变数的函数:为寻求J(u)的局部极值,在一定条件下取J(u)的加托变分 如果在u=u0达到局部极值,则u0适合欧拉方程δJ(u)=0。在应用中,常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数,使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中,变分方法有广泛应用。一般把问题化成Tx=0的形式,即对应于某泛函数φ的欧拉方程,其中φ定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:算子T称为梯度算子,φ称为T的场位。人们常遇到二阶微分系统,由此产生二次泛函数极值问题,是当代变分法常见的研究对象。 泛函数φ:S嶅X→R(X为拓扑空间)称为在x∈S处下半连续,如果对每个实数r<φx,有x的邻域U(x),使得r<φz,凬z∈U(x)∩S。称φ在x∈S处下半序列连续,如果对每个序列 。其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。 设φ是定义在线性集合S上的实(复)值泛函数。如果φ(x+y)=φ(x)+φ(y),φ称为加性的;如果φ(λx)=λφ(x),λ∈R(C)称为齐性的;如果同时有加性及齐性称为线性的。当φ

取实值时,加性得放松为次加性,其定义为:φ(x+y)≤φ(x)+φ(y);齐性得放松为正齐性,其定义为:?(λx)=λ?(x)(λ≥0);如果同时有次加性及齐性,则称φ具有次线性;如果对于λ∈(0,1),有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y),则称φ为凸的;如果当x≠y时上式中的≤必为<,则称φ为严格凸的。在一些问题中,容许凸泛函数φ取值+∞,但φ扝+∞,这时称φ为真凸的。此外,还有所谓凸集S上的拟凸泛函数φ:S嶅K→R(K为线性空间),使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx,φy},x,y∈S, t∈(0,1)。在赋范空间K中无界集S上定义的泛函数φ称为强制的,如果有函数с:(0,+∞)→R,с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖),凬z∈S。 线性泛函数是线性算子理论研究的对象之一,也是研究空间性质及结构的工具。例如,局部凸拓扑线性空间K有对偶空间K,K的元素就是定义在K上的连续线性泛函数。对K可赋予简单收敛拓扑或有界收敛拓扑。偶K、K间的关系对认识空间的性质和研究算子的性质都有基本意义。 相应于多重线性算子有多重线性泛函数。例如,设K1、K2是同一数域上的线性空间,定义在积空间K1×K2上的映射φ:K1×K2→R(或C)称为双线性泛函数,如果K2(K1)中元素固定时φ成为K1(K2)上的线性泛函数。当K1=K2=K,K1及K2中取等同的x∈K,则得φ(x,x),称为二次泛函数。对希尔伯特空间中线性算子谱理论的研究,双线性泛函数形式作为表示工具是方便的。二次泛函数在变分法中的应用更是为人熟知的。 拟赋范空间、局部凸拓扑线性空间、赋范空间等的表征主要在于分别在各空间上定义的次加性泛函数,即拟范数、半范数族、范数等。测度空间中的测度,即对应于某种集合的值也可理解为泛函数。对于给定函数的不定积分也可类似地看待。 范数 向量范数

2、综合法和分析法证明不等式

南化一中高三数学第一轮复习讲义55 第六章《不等式》 1 §6.2综合法和分析法证明不等式 【复习目标】 1. 熟悉证明不等式的综合法、分析法,并能应用其证明不等式; 2. 理解分析法的实质是“执果索因”;注意用分析法证明不等式的表述格式; 3. 对于较复杂的不等式,能综合使用各种方法给予证明。 【重点难点】 综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确,因此我们经常用分析法寻找解题的思路,再用综合法表述。分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。 【课前预习】 1. “a>1”是“11

第55课:§6.2综合法和分析法证明不等式 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 - - 2 例2 已知a>0,b>0,2c>a+b. 求证:c -ab c -2b>c B .b>c>a C .c>a>b D .a>c>b 2. 设0b>1,P=b a lg lg ,Q=)lg (lg 21 b a +,R=)2lg(b a + ( ) A .R0,y>0,证明:31 332122)()(y x y x +>+. 3. 已知a >0,b >0,且a 2+22 b =1,求证:a 21b +≤42 3. 4. 若x 、y 是正实数,x+y=1,求证:(1+x 1)(1+y 1 )≥9.

内积与范数

范数:用于度量“量”大小的概念 1. 引言 实数的绝对值:a 是数轴上的点a 到原点0的距离; 复数的模:a bi +=()b a ,到原点()0,0的距 离; 还有其他刻画复数大小的方法(准则):如 1)b a +; 2){}max , a b 2. 向量的范数:p-范数 1 1n p p k p k x x =??= ??? ∑ (1) 示例: 1211234515,2345,5x x x x ∞ ???=+-+++= ?-? ?? ?=?==? ?? = ??? ??? 3. 矩阵(算子)的范数 1 max max x x Ax A Ax x ≠=== (2) 矩阵的谱半径:设M 是n 阶矩阵,称

()()()(){}12max , , , n M M M M ρλλλ= (3) 为该矩阵的谱半径。 记 ()1212,, ,T T n T n A ββ αααβ?? ? ?== ? ? ??? , 那么, {} {}()121 111 12111 12 max ,, ,max max ,,, n k n p p x k T A A Ax A A A A αααβββρ∞=?=?? =?=??=?? (3) 4. 矩阵的条件数:用于刻画矩阵“病态”程度的概念 ()1 cond A A A -=? 5.利用范数定义点之间的距离 (),,,n n x R y R d x y y x ∈∈?=- 向量的内积、范数及n 维空间距离的度量 令 P 是一数域, P n 是 P 上的向量空间,如果函数 ()?x y P P P n n ,:?→有如下性质: 1、共轭对称性:?∈x y P n ,,()()??y x x y ,,=; 2、非负性:?∈x P n ,()?x x ,≥0,()?x x x ,=?=00;

综合法和分析法证明不等式

1 / 2 §6.2综合法和分析法证明不等式 【复习目标】 1. 熟悉证明不等式的综合法、分析法,并能应用其证明不等式; 2. 理解分析法的实质是“执果索因”;注意用分析法证明不等式的表述格式; 3. 对于较复杂的不等式,能综合使用各种方法给予证明。 【重点难点】 综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确,因此我们经常用分析法寻找解题的思路,再用综合法表述。分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。 【课前预习】 1. “a>1”是“110,b>0,2c>a+b. 求证:c -ab c -2b>c B .b>c>a C .c>a>b D .a>c>b 2. 设0b>1,P=b a lg lg ,Q=)lg (lg 21b a +,R=)2 lg(b a + ( ) A .R

范数的定义

3.3 范数 3.3.1 向量范数 在一维空间中,实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。 范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式,只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量,采用不同的范数定义,可得到不同的范数值。 若X是数域K上的线性空间,泛函║·║: X->R 满足: 1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0 <=> x=0; 2. 正齐次性:║cx║=│c│║x║; 3. 次可加性(三角不等式):║x+y║≤║x║+║y║ 。 那么║·║称为X上的一个范数。 常用范数 这里以C^n空间为例,R^n空间类似。 最常用的范数就是p-范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T,那么 ║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p} 可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的,这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。 当p取1,2,∞的时候分别是以下几种最简单的情形: 1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 ∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 其中2-范数就是通常意义下的距离。 矩阵范数 一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。

绝对值不等式的证明及练习

绝对值不等式的证明 知识与技能: 1. 理解绝对值的三角不等式, 2.应用绝对值的三角不等式. 过程方法与能力: 培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;提高分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观: 让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律,得出结论,培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。 教学重点:理解绝对值的三角不等式 应用绝对值的三角不等式. 教学难点:应用绝对值的三角不等式. 教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)b a b a +≥+ (2)b a b a +≤- (3)b a b a ?=? (4))0(≠=b b a b a 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数,a 和a 哪个大? 显然a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立(即在0≥a 时,等号成立。在0

含有绝对值的不等式的证明中,常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。 定理(绝对值三角形不等式) 如果,a b 是实数,则a b a b a b -±+≤≤ 注:当a b 、为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件. 定理推广: 1212≤n n a a a a a a ++++++ . 当且仅当都12n a a a ,,,非正或都非负时取等号. 探究:利用不等式的图形解不等式 1. 111<--+x x ; 2..12≤+y x 3.利用绝对值的几何意义,解决问题:要使不等式34-+-x x

基本不等式的证明

课题:基本不等式及其应用 一、教学目的 (1)认知:使学生掌握基本不等式a 2+b 2≥2ab(a 、b ∈R ,当且仅当a=b 时取“=”号)和 ab b a ≥+2 (a 、b ∈R +,当且仅当a=b 时取“=”号),并能应用它们证明一些不等式. (2)情感:通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生运用综合法进行推理的能力. 二、教学重难点 重点:两个基本不等式的掌握; 难点:基本不等式的应用。 三、教材、学生分析 教材分析:两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种 方法,基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。 学生分析:学生在上新课之前都预习了本节内容,对上课内容有一定的理解。所以根据这一 情况多补充了一些内容,增加了课堂容量。 四、教学过程 (一)引入新课 客观世界中,有些不等式关系是永远成立的。例如,在周长相等时,圆的面积比正方形的面积大,正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明,常常会归结为一些基本不等式。今天, 我们学习两个最常用的基本不等式。

(二)推导公式 1.奠基 如果a、b∈R,那么有(a-b)2≥0 ① 把①左边展开,得 a2-2ab+b2≥0, ∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1,也就是基本不等式1,对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢? 学生回答:a=b,因为a=b a2+b2=2ab 充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 以公式①为基础,运用不等式的性质推导公式②,这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础,用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索. 2.探索 公式②反映了两个实数平方和的性质,下面我们研究两个以上的实数的平方和,探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R,依次对其中的两个运用公式②,有 a2+b2≥2ab;

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