2013年全国中考数学试题分类解析汇编
专题23：二次函数的应用（实际问题）
一、选择题
1. （2012四川资阳3分）如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式
2ax +bx+c<0的解集是【 】
A ．1 B ．x>5 C ．x<1-且x>5 D ．1 【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出 2ax +bx+c<0的解集： 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（－1，0）。 由图象可知：2ax +bx+c<0的解集即是y ＜0的解集， ∴x＜－1或x ＞5。故选D 。 二、填空题 1. （2012浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21 (4)312 y x =--+，由此可知铅球推出的距离是 ▲ m 。 【答案】10。 【考点】二次函数的应用。 【分析】在函数式21 (4)312 y x =- -+中，令0y =，得 21 (4)3012 x - -+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m 。 2. （2012湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x ﹣1.5x 2 ，该型号飞机着陆后滑行 ▲ m 才能停下来． 【答案】600。 【考点】二次函数的应用。1028458 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。 ∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。 ∴() 2060s 6004 1.5-==?-最大值 ，即飞机着陆后滑行600米才能停止。 3. （2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx ．小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 ▲ 秒． 【答案】36。 【考点】二次函数的应用 【分析】设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ， ∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同， ∴A，B 关于对称轴对称。 则从A 到B 需要16秒，从A 到D 需要8秒。 ∴从O 到D 需要10+8=18秒。∴从O 到C 需要2×18=36秒。 三、解答题 1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y 1（吨）与月份x （1≤x≤6，且x 取整数）之间满足的函数关系如下表： 7至12月，该企业自身处理的污水量y 2（吨）与月份x （7≤x≤12，且x 取整数）之间满足二次函数关系式为y 2=ax 2 +c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费 用：z 1（元）与月份x 之间满足函数关系式：11 z x 2= ，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x 之间满足函数关系式：2231 z = x x 412 -；7至12月，污水厂处理每吨污 水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元． （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W （元）最多，并求出这个最多费用； （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a ﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值． （参考数据： ≈15.2， ≈20.5， ≈28.4） 【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值， 则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关系：1k y x =。 将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000， ∴112000 y x = （1≤x≤6，且x 取整数）。 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y 2=ax 2 +c 得： 49a+c=10049144a+c=10144???，解得：a=1 c=10000?? ? 。 ∴y 2=x 2 +10000（7≤x≤12，且x 取整数）。 （2）当1≤x≤6，且x 取整数时： ()2111212000 11200031W=y z +12000y z = x+12000 x x x 2x 412???? ?-??-?- ? ????? =﹣1000x 2 +10000x ﹣3000=﹣1000（x ﹣5）2 +2200。 ∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W 最大=22000（元）。 当7≤x≤12时，且x 取整数时： W=2×（12000﹣y 1）+1.5y 2=2×（12000﹣x 2 ﹣10000）+1.5（x 2 +10000） =﹣ 12 x 2 +1900。 ∵a=﹣ 1 2 ＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W 随x 的增大而减小， ∴当x=7时，W 最大=18975.5（元）。 ∵22000＞18975.5， ∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。 （3）由题意得：12000（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000， 设t=a%，整理得：10t 2 +17t ﹣13=0，解得： 1≈0.57，t 2≈﹣2.27（舍去）。 ∴a≈57。 答：a 整数值是57。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。 【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。 （2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。 （3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，进而求出即可。 2. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。 【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴ 1 a 60 =- ∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= 1 60 - (x－6)2+2.6 （2）当h=2.6时，y= 1 60 - (x－6)2+2.6 ∵当x=9时，y= 1 60 - (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。 ∵当y=0时，即 1 60 - (18－x)2+2.6=0，解得x=18，∴球会过界。 （3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得 2h a 36 -=。 x=9时，y=2h 36 - (9－6)2+h 23h 4 + =＞2.43 ① x=18时，y=2h 36 - (18－6)2+h=h 3 8-≤0 ② 由① ②解得h≥8 3 。 ∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥8 3 。 【考点】二次函数的性质和应用。 【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。 （2）利用h=2.6，当x=9时，y= 1 60 (9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0 时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论。 （3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y ＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。 3. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 4. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系得部分数据如下表： （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点； （2）选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，求出相应的函数解析式； （3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？ ②当t 分别为t 1，t 2（t 1＜t 2）时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较11s t 与22 s t 的大小，并解释比较结果的实际意义． 【答案】解：（1）描点图所示： （2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at 2 ＋bt ＋c ， ∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。 又由点（0.2，2.8），（1，10）可得： 0.04a+0.2b=2.8a+b=10???，解得：a=5 b=15 -?? ?。 经检验，其余各点均在s=－5t 2 +15t 上。 ∴二次函数的解析式为：2s 5t 15t =-+。 （3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ∵2 2 345 s 5t 15t=5t 24??=-+--+ ??? ，∴当t=32时，滑行距离最大，为454。 因此，刹车后汽车行驶了 45 4 米才停止。 ②∵2s 5t 15t =-+，∴22111222s 5t 15t s 5t 15t =-+=-+，。 ∴22111222121122 s 5t 15t s 5t 15t ==5t 15==5t 15t t t t -+-+-+-+ ，。 ∵t 1＜t 2，∴ ()()12 122112 s s =5t 155t 15=5t t 0t t >--+--+-。∴1212s s t t >。 其实际意义是刹车后到t 2时间内的平均速到t 1时间内的度小于刹车后平均 速度。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。 【分析】（1）描点作图即可。 （2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解 析式。 （3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。 （4）求出 11s t 与22 s t ，用差值法比较大小。 5. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L 型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L 型服装开展降价促销活动，每件降价x 元（x 为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差） 【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x ）（20＋3x ）=－3x 2 ＋40x+400 ∴当b 402 x===62a 33 - --时，函数Z 取得最大值。 ∵x 为正整数，且22 766633 <--， ∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72 ＋ 40·7+400=533。 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为 533元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值，找出x 最接近最值点的整数值即可。 6. （2012江苏无锡8分）如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A ．B ．C ．D 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E 、F 在AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x （cm ）． （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V ； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S 最大，试问x 应取何值？ 【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长，， ∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 ∴V=a 3 =（3 cm 3 ）； （2）设包装盒的底面边长为acm ，高为hcm ，则， ) h 12x = =-， ∴S=4ah+a 2 = )) ()2 2 212x 6x 96x=6x 8238-+ =-+--+。 ∵0＜x ＜12，∴当x=8时，S 取得最大值384cm 2 。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长 ， ，再利用AB=24cm ，求出x 即可得出这个包装盒的体积V 。 （2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。 7. （2012江苏盐城12分） 知识迁移： 当0a >且0x > 时，因为2 ≥0, 所以a x x -≥0,从而 a x x + ≥当 x =).记函数(0,0)a y x a x x =+>>, 由上述结论可知：当x =,该函数 有最小值为 直接应用：已知函数1(0)y x x =>与函数21 (0)y x x = >, 则当x =_________时,12y y +取得最小值 为_________. 变形应用：已知函数11(1)y x x =+>-与函数22(1)4(1)y x x =++>-,求 2 1 y y 的最小值,并指出取得该 最小值时相应的x 的值. 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元； 二是燃油费,每 千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的 路程为x 千米, 求当x 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．． 最低？最低是多少元？ 【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果： ∵函数(0,0)a y x a x x =+ >>,由上述结论可知： 当x =,该函数 有最小值为 ∴函数1(0)y x x =>与函数21 (0)y x x = >，则 当1x ==时，12y y + 取得最小值为2=。 变形运用：先得出 2 1 y y 的表达式，然后将1x +看做一个整体，再运用所给结论即可。 实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为y 元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所 给的结论即可得出答案。 8. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； (3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c ， ∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2 ＋2x ＋3。 （2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P 。 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小。 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： 3k+b=0b=3???，解得：k=1 b=3-?? ? 。 ∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3。 当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)。 （3）存在。点M 的坐标为(1，(1，(1，1)，(1，0)。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。 （2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点。 （3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC 、②MA＝MC 、②AC＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解： ∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。 ∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2 ＝10。 ①若MA ＝MC ，则MA 2 ＝MC 2 ，得：m 2 ＋4＝m 2 －6m ＋10，得：m ＝1。 ②若MA ＝AC ，则MA 2 ＝AC 2 ，得：m 2 ＋4＝10，得：m ③若MC ＝AC ，则MC 2 ＝AC 2 ，得：m 2 －6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6， 当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。 综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1，(1，(1，1)，(1，0)。 9. （2012福建莆田8分）如图，某种新型导弹从地面发射点Ｌ处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为211 y x x 186 = + (0x 10)≤≤．发射3 s 后，导弹到达A 点，此时位于与L 同一水平面的R 处雷达站测得AR 的距离是2 km ，再过3s 后，导弹到达B 点． (1)(4分)求发射点L 与雷达站R 之间的距离； (2)(4分)当导弹到达B 点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值． 【答案】解：(1)把x ＝3代入211 y x x 186 = +，得y ＝1，即AL ＝1。 在Rt△ARL 中，AR ＝2，∴ LR 。 (2)把x ＝3＋3＝6代入211 y x x 186 = +，得y ＝3，即BL ＝3 。 ∴tan∠BRL＝ BL LR 答：发射点L 与雷达站R ，雷达站测得的仰角的正切值 【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL 的长，在直角△ALR 中，利用勾股定理即可求得LR 的长。 （2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL 的长，在直角△BLR 中， 根据正切函数的定义即可求解。 10. （2012湖北武汉10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的 一部分ACB 和 矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16m ，AE ＝8m ，抛物线的顶点C 到ED 的 距离是11m ，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40h 内，水面与河底ED 的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数 关系21 h=(t 19)+8(0t 40)128 - -≤≤且当水面到顶点C 的距离不大于5m 时， 需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ 【答案】解：（1）设抛物线的为y=ax 2 +11，由题意得B （8，8），∴64a+11=8，解得3 a 64 =- 。 ∴抛物线的解析式y= 364 -x 2 +11。 （2）画出21 h=(t 19)+8(0t 40)128 - -≤≤的图象： 水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h≥6， 当h=6时，21 6=(t 19)+8128 - -，解得t 1=35，t 2=3。 ∴35－3=32（小时）。 答：需32小时禁止船只通行。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B 坐标代入即可求解。 （2）水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至多为6，把 6代入所给二次函数关系式，求得t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间。 11. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x ，依题意，得3000－10（x －10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x ； 当10＜x≤50时，y=x ，即y=－10x 2 +700x ； 当x ＞50时，y=（2600－2400）x=200x 。 ∴2 600x(0x 10x ) y 10x 700x(10x 50x )200x(x 50x )<>≤≤??=-+≤??? ，且整，且整，且整为数为数为数。 （3）由y=－10x 2 +700x 可知抛物线开口向下，当() 700 x 35210=- =?-时，利润 y 有最大值， 此时，销售单价为3000－10（x －10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为2750元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。 （2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。 12. （2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如图②，过点B作直线BE：y=1 3 x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣ 5 3 ），连接OE、BC，在x 轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标； （3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0）， ∴设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）。 ∵抛物线C1还经过D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=1 3 。 ∴抛物线C1：y=1 3 （x﹣3）（x+3），即y= 1 3 x2﹣3（﹣3≤x≤3）。 ∵抛物线C2还经过A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣1 9 ∴抛物线C2：y=﹣1 9 （x﹣3）（x+3），即y=﹣ 1 9 x2+1（﹣3≤x≤3）。 （2）∵直线BE ：y=1 3 x ﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO （tan∠CBO=tan∠EBO=13 ）。 ∵由E 点坐标可知：tan∠AOE≠13 ，即∠AOE≠∠CBO， ∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。 若以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，只需考虑两种情况： ①∠CBP 1=∠EBO，且OB ：BE=BP 1：BC ， 由已知和勾股定理，得OB=3， 1， 得：BP 1=95，OP 1=OB ﹣BP 1=65。∴P 1（6 5 ，0） ②∠P 2BC=∠EBO，且BC ：BP 2=OB ：BE ，即： ：BP 2=3，得：BP 2=509，OP 2=BP 2﹣OB=239。∴P 2（﹣23 9 ，0）． 综上所述，符合条件的P 点有：P 1（65，0）、P 2（﹣23 9，0）。 （3）如图，作直线l∥直线BE ，设直线l ：y=1 3 x+b 。 ①当直线l 与抛物线C 1只有一个交点时： 1 3x+b=13 x 2﹣3，即：x 2 ﹣x ﹣（3b+9）=0。 由△=（－1）2 ＋4（3b+9）=0。得37b=12 -。 此时，135 x=y=212 -，。 ∴该交点Q 2（135 212 - ，） 。 过点Q 2作Q 2F⊥BE 于点F ，则由BE ：y=1 3 x ﹣1可用相似得Q 2F 的斜率为－3， 设Q 2F ：y=－3x ＋m 。将Q 2（135212- ，）代入，可得17m=12-。∴Q 2F ：y=－3x 17 12-。 联立BE 和Q 2F ，解得125x=y=824--，。∴F（125 824 -- ，） 。 ∴Q 2到直线 BE ：y=13x ﹣1的距离Q 2F = ②当直线l 与抛物线C 2只有一个交点时：1 3x+b=﹣ 19 x 2+1，即：x 2 +3x+9b ﹣9=0。 由△=32 ＋4（9b －9）=0。得3b=4 。 此时，3 3x=y= 2 4-，。∴该交点Q 1（3324 - ，）。 同上方法可得Q 1到直线 BE ：y=1 x ﹣1 。 <- ， ∴符合条件的Q 点为Q 1（33 24- ，） 。 ∴△EBQ 的最大面积：max 1145S BE 228 =?==。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。 【分析】（1）已知A 、B 、C 、D 四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。 13. （2012四川达州8分） 问题背景 若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x ，面积为s ，则s 与x 的函数关系式为： ()21s x x x 02 >=-+，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 提出新问题 若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题 若设该矩形的一边长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为：()1y 2(x )x 0x >=+，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数()1y 2(x )x 0x >=+的最大（小）值. （1）实践操作：填写下表，并用描点法 画出函数()1y 2(x )x 0x >=+的图象： x ·· 14 13 12 1 2 3 4 · y （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x= 时，函数()1 y 2(x )x 0x >=+有最 值（填 “大”或“小”），是 . （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数()21s x x x 02 >=-+的最大值，请你尝试通过配方求函数()1y 2(x )x 0x >=+的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：当x 0> 时，2x =〕 【答案】解：（1）填表如下： x · 14 13 1 2 1 2 3 4 · y ··· 182 263 5 4 5 2 63 182 ··· （2）1，小，4。 （3）证明：∵22 2 y 22224????=+=-++?????? ， =时，y 的最小值是4，即x =1时，y 的最小值是4。 【考点】二次函数的最值，配方法的应用。 【分析】（1）分别把表中x 的值代入所得函数关系式求出y 的对应值填入表中，并画出函数图象即可。 （2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。 （3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。 14. （2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出 200件。如果每 件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售 价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元， （1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60－ 50＋x ）元， 总销量为：（200-10x ）件， 商品利润为：y=（60－50＋x ）（200－10x ）=－10x 2 ＋100x ＋2000。 ∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。 （2）∵y=－10x 2 ＋100x ＋2000=－10（x －5）2 +2250， ∴当x=5时，最大月利润y=2250。 答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 2250元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关 系式。 （2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当 综合性问题 一、选择题 1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P， 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x， 设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴=，即=， 整理，得：2x2=（﹣1）ax， 由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 2．（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发 2015 年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 1 x2 +1，点 C 的坐标为 (–4， 0)，平行4 四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t ，0)在 x 轴上 . (1)写出点 M 的坐标； (2)当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时 . ①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ②当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1： 2 时，求t 的值 . 11 x210 1 4 (1)M(0,2)(2)1AC:y= 2 x+1.PQ // MC.x t= 2 2.如图，已知在矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 3， P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端点 A、 D ），连结 PC，过点 P 作 PE⊥ PC 交 AB 于 E （1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 QC⊥ QE？若存在，求线段 AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （ 2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． A P D E B C （3 ）存在，理由如下： 如图 2 ，假设存在这样的点Q，使得 QC ⊥ QE. 由（ 1）得：△ PAE ∽ △ CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥ QE ，∠ D＝ 90°， ∴∠ AQE ＋∠ DQC ＝ 90 °,∠ DQC ＋∠ DCQ ＝ 90 °， ∴∠ AQE= ∠DCQ. 又∵∠ A=∠ D=90°， ∴△ QAE ∽ △ CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， ∴. ∵AP≠ AQ，∴ AP ＋ AQ ＝ 3.又∵AP≠ AQ，∴AP≠，即 P 不能是 AD 的中点，∴当P是 AD 的中点时，满足条件的Q点不存在， 综上所述，的取值范围7 ≤＜ 2；8 3.如图，已知抛物线y＝－1 x2＋ x＋ 4 交x 轴的正半轴于点 A ，交y 轴于点 B ．2 （ 1）求 A 、B 两点的坐标，并求直线（ 2）设 P（ x，y）（ x＞ 0）是直线为对角线作正方形 PEQF，若正方形（ 3）在（ 2）的条件下，记正方形 AB 的解析式； y＝ x 上的一点， Q 是 OP 的中点（ O 是原点），以PQ PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； PEQF 与△ OAB 公共部分的面积为S，求 S 关于 x 的函 数解析式，并探究S 的最大值． (1) 令 x=0, 得 y=4 即点 B 的坐标为 (0,4) 令y=0, 得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2 或 x=4 ∴点 A 的坐标为 (4,0) 直线 AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2) 由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 中考数学真题汇编:平移与旋转 一、选择题 1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 2.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 3.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（） A.（4，-3） B.（-4，3） C.（-3，4） D.（-3，-4） 【答案】B 4.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、， ，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则 点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】A 5.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 6.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 7.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出 发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从 转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或 等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 8.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置， 若四边形的面积为25，，则的长为（） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】D 9.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 10.如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分 三角形的面积为4.若，则等于（） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 11.如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0， ）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（） A. （1，0） B. （，） C. （1，） D. （-1，） 【答案】C 12.如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC 在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4 2020年广东各地区中考数学试题分类汇编——函数 1、（佛山）15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在 函数（）的图象上，则点E的坐标是（，）. 2、（肇庆）9．在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度， 再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3、（茂名）9．已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增 大而减少，则一次函数=-+的图象不经过（） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 4、（梅州）5．一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了 一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是 （） 5、（湛江）8．函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D． 6、（湛江）11．已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系 的图象大致是（） 1 y x =0 x> y x a a y x y a x a 1 2 y x = - x 2 x=2 x≠2 x≠-2 x> a h a O A B C E F D x y 第15题图 h h h h A ． B ． C ． D ． 7、（湛江）12． 如图2所示，已知等边三角形ABC 的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8、（梅州）10． 函数的自变量的取值范围是_____． 9、（梅州）12． 已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______． 10、（东莞）7．经过点A （1，2）的反比例函数解析式是_____ _____； 11、（佛山）22．某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54 吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨. (1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？ (2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总 费用最少，应选择哪种方案？ 12008 20082009 201020111 1-=x y x mx y =x k y = m k 图2 C A B ┅┅ 河北 周建杰 分类 （2008年南京市）27．（8分）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =， 射线PN 与 O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发， 点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？ 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2 334 y x =- +与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积 最大，最大面积是多少？ 答 以下是湖北孔小朋分类： 21．（2008福建福州）（本题满分13分） 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达 A B Q O P N M 点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ （2008年贵阳市）15．如图4，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1，B 的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位． 以下是江西康海芯的分类: 1.（2008年郴州市）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4， E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为 F ．FE 与DC 的延长线相交于点 G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ 10分 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 如图，平面直角坐标系中，⊙Ａ的圆心在Ｘ轴上，半径为１，直线Ｌ为y=2x-2，若⊙Ａ沿Ｘ轴向右运动，当⊙Ａ与Ｌ有公共点时，点Ａ移动的最大距离是（ ） A B （图4） 2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是() A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是 （ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ···· 份全国中考数学真题汇编 100份全国中考数学真题汇编 一、选择题 1；如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A 、C 、B ′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A. B. 8cm C. 163cm π D. 8 3 cm π 【答案】D 2. 如图2，AB 切⊙O 于点B ，OA =23，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧 ⌒BC 的弧长为（ ）． A ．3 3π B ．32π C ．π D ．32π 图2 【答案】A 3. （2011山东德州7,3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称 为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面 B′ A′ C B A （第11题图） 图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为1a ，2a ，3a ， 4a ，则下列关系中正确的是 （A ）4a >2a >1a （B ）4a >3a >2a （C ）1a >2a >3a （D ）2a >3a >4a 【答案】B 4. （2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1 3 圆周的一 个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A ．6cm B ．35cm C ．8cm D ．53cm 【答案】B 5. （2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ） A.5π B. 4π C.3π D.2π 【答案】C 6. （2011山东烟台，12,4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线 FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ， 56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4， l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ） （第9题） 剪 2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1.（2020年浙江杭州） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. （第24题） 2.（2020年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、 D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． B C 第25题 3.（2020年浙江嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－1 2 x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值． 4.（2020年浙江金华）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：Array（1）C的坐标为▲； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。 年中考数学真题汇编:整式(31题) 一、选择题 1. (四川内江)下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题：①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是（）。 A. B. C. D. 【答案】C 6.下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 8.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】C 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【答案】D 13.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是（）。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(－xy2）3=－x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①（a+b）2=a2+b2，②（2a2）2=-4a4，③a5÷a3=a2， ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是（） A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.（a3）2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（） A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b 【答案】B 二、填空题（共6题；共6分） 21.计算：________. 2020年中考数学试题分类汇编之十一 四边形 一、选择题 1．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 2．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A 3.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 4.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5==， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ． 2019年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第2章 实数 一、选择题 1. （2018，1，3分）如在实数0，－3，3 2 - ，｜－2｜中，最小的是（ ）. A ．3 2- B ． － 3 C ．0 D ．｜－2｜ 【答案】B 2. （2018市，1，3分）四个数－5，－0.1，１ ２，３中为 无理数的是( ). A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 【答案】D 3. （2018滨州，1，3分）在实数π、13 、 2、sin30°,无理 数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 4. （2018，2，3分）(－2)2 的算术平方根是（ ）. A ． 2 B ． ±2 C ．－2 D ． 2 【答案】A 5. （2018，8,3分）已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 (A)0>m (B)0 【答案】D · 10. （20181，3）如计算：-1-2= A.-1 B.1 C.-3 D.3 【答案】C 11. （2018滨州，10，3分）在快速计算法中,法国的“小 九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72.那么在计算6×7时,左、右手伸出 的 手 指 数 应 该 分 别 为 ( ) A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,3 【答案】A 12. （2018，10，3分）计算()221222 -+---1 （-） =（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 【答案】A 13. （2018，6，3分）定义一种运算☆，其规则为a☆b=1a ＋ 1 b ，根据这个规则、计算2☆3的值是 全国各地2018年中考数学真题汇编（含答案） 实数与代数式(选择+填空28题) 一、选择题 1. (2018山东潍坊)( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.(2018四川内江)已知：，则的值是（） A. B. C. 3 D. -3 【答案】C 3.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是（） A. B. C. D. 【答案】C 4.下列无理数中，与最接近的是（） A. B. C. D. 【答案】C 5.四个数0，1，，中，无理数的是（） A. B.1 C. D.0 【答案】A 6.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 7.估计的值在（） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 8.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【答案】B 9.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（） A. B. C. D. 【答案】A 10.某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)，现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚 图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)，若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( ) A. 16张 B. 18张 C. 20张 D. 21张 【答案】D 11.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 12.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到……，第n 次移动到，则△的面积是（） A.504 B. C. D. 【答案】A 13.将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 2019-2020年中考数学试题分类汇编 统计 一．选择题 1.（2015安徽）某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 根据上表中的信息判断，下列结论中错误．．的是 A ．该班一共有40名同学 B ．该班学生这次考试成绩的众数是45分 C ．该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D ．该班学生这次考试成绩的平均数是45分 2.（2015广东） 3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】B. 【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为4，选B 。 3.（孝感）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为 20 18 17 10 15 10，，，，，．对于这组数据，下列说法错误．．的是 A ．平均数是15 B ．众数是10 C ．中位数是17 D ．方差是 3 44 4.（湖南常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定 亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为2 141.7S 甲＝ ，2 433.3S 乙＝，则产量稳定，适合推广的品种为： A 、甲、乙均可 B 、甲 C 、乙 D 、无法确定 【解答与分析】这是数据统计与分析中的方差意义的理解，平均数相同时，方差越小越稳定： 答案为B 5.（衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ C ）． A ．50元，30元 B ．50元，40元 C ．50元，50元 D ．55元，50元 6. ）（2015?益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动 2010届中考数学真题分类汇编专题--- 动态综合型问题 （二）填空题 1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ． 【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、1、55-、55+ 2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点， 以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连 结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若 3=BM BG ，则BK ﹦ ▲ . 【答案】31, 3 5 3．（2010江西）如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为 ． A O D B F K E (第16题G M C P y x y x 2 y O · （14题） 【答案】6 4．（2010 四川成都）如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么 经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小． 【答案】3 5．（2010 四川成都）如图，ABC ?内接于⊙O ，90,B AB BC ∠==，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则 BQ QR 的值为_______________． 有理数 一、单选题 1．【湖南省娄底市2019年中考数学试题】2019的相反数是（） A. B. 2019 C. -2019 D. 【答案】C 2．【山东省德州市2019年中考数学试题】3的相反数是（） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】C 分析：根据相反数的定义，即可解答． 详解：3的相反数是﹣3．故选C． 点睛：本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 3．【山东省淄博市2019年中考数学试题】计算的结果是（） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 【答案】A 【解析】分析：先计算绝对值，再计算减法即可得． 详解：=﹣=0，故选：A． 点睛：本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则． 4．【山东省潍坊市2019年中考数学试题】( ) A. B. C. D. 【答案】B 分析：根据绝对值的性质解答即可． 详解：|1-|=．故选B． 点睛：此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 5．【江西省2019年中等学校招生考试数学试题】﹣2的绝对值是 A. B. C. D. 【答案】B 6．【浙江省金华市2019年中考数学试题】在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（） A. 0 B. 1 C. D. ﹣1 【答案】D 分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可． 详解：∵-1＜-＜0＜1，∴最小的数是-1，故选D． 点睛：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 7．【浙江省金华市2019年中考数学试题】在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（） A. 0 B. 1 C. D. ﹣1 【答案】D 8．【江苏省连云港市2019年中考数学试题】地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（） A. 1.5×108 B. 1.5×107 C. 1.5×109 D. 1.5×106 【答案】A 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 详解：150 000 000=1.5×108，故选：A． 点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9．【江苏省盐城市2019年中考数学试题】盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】A 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2018中考数学试题分类汇编 压轴题(全)
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