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2012启航考研数学公式大全

2012年考研数学公式大全
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导数公式:
导数公式:导数公导数公导数公式:式:式:

(tgx)′=
sec2x
(arcsin
x)′=
1
(ctgx)′=.csc
2
x
1.x
12
(secx)′=
sec
x
.tgx
(arccosx)′=.
1.x2
(cscx)′=.csc
x
.ctgx
1
(ax
)′=
ax
lna
(arctgx)′=
1+
x2


(logax)′=
x
ln
1
a
(arcctgx)′=.12

1+
x


基本积分表:
基本积分表:基本积基本积基本积分表:分表:分表:

∫tgxdx=.lncosx
.
ctgxdx
=lnsin
x
+C
.
dx
2
=∫sec
2
xdx
=tgx
+C
cos
x


+C
+C
.
sin
dx
2
x
=.
csc
2
xdx
=.ctgx
+C


∫sec
xdx
=lnsec
x
+tgx
+C
∫sec
x
.tgxdx

sec
x
+C
.
csc
xdx
=lncsc
x
.ctgx
dx
1
x
∫csc
x
.ctgxdx
=.csc
x
+C
.
a
=
a
arctg
a
+C
.
axdx
=ax
+C
x
.a

.
dxx+
2222=1
ln
+C
lna


x
.a
2a


x
+a


.
shxdx
=chx
+C
2

.
a2
dx
.x
=
21
a
ln
aa
.
+
xx
+C
∫chxdx
=shx
+C
dx
=arcsin
x
+C
.
dx
±+=axxln(2222)+
C
.



x
±a

a2
.x2
a
ππ


I∫2sin
xdx
.
2xdx
===nnnncosnn
.1I.2


00



2
22



22

x
+a
dx
=x


x
+a
+a
ln(x
+


x2
+a2)+C

.


2


2


2
x2
.a2
dx
=
2
x


x2
.a2
.a
2
ln


x
+


x2
.a2


+C

.


22


22

a
.x
dx
=x


a
.x
+a2
arcsin
x
+C

.


2


2
a


三角函数的有理式积分:
三角函数的有理式积分:三角函数的有理式三角函三角函积分:数的有理式积分:数的有理式积分:

sin
x=
1+
2uu2
, cosx
=
11
+
.
uu
22
, u
=tg
2
x
, dx
=
12
+
du
u2



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

一些初等函数:两个重要极限:
一些初等函数:一些初等函数:一些初等函数:一些初等函数:两个重两个重两个重两个重要极限:要极限:要极限:要极限:

ex.e
.x
lim
sin
x

1

双曲正弦
:shx
=
x→0

2
x
双曲余弦:chx
=ex
+
2
e
.x
lim(1+1
x)x
=e
=2.718281828459045...


x→h
x
.x


双曲正切:thx
=shx
=ex
.e
.x

chx
e
+e
arshx
=ln(x
+x2+1)
archx
=±ln(x
+x2
.1)


arthx
=12ln
11
.
+
xx


三角函数公式:
三角函数公式三角函三角函三角函数公式:数公式:数公式:

····诱导公诱导公诱导公诱导公式:式:式:式:
函数

A
sin
cos
tg
ctg

-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα


-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

····和差角和差角和差角和差角公式公式:公式:公式:····和差化和差化和差化和差化积公式:积公式:积公式:积公式:
sin(α±β
)=
sinα
cosβ±cosα
sinβ
sinα+
sin
β=2sin
α+β
cos
α.β
cos(α±β
)

cosα
cosβ
.
sinα
sinβ
22
tg(α±β
)

1
tg
.
α
tgα±tg
.tg
ββ
sinα.sin
β=2cos
α+
2
β
sin
α.
2
β


ctgα.ctgβ
.1
cosα+cosβ=2cos
α+β
cos
α.β


ctg(α±β
)

ctgβt
ctgα
cosα.cosβ=2sin
α+
2
β
sin
α.
2
β


22



····倍角公倍角公倍角公倍角公式式:式:式:
sin2α=2sinα
cosα
cos2α=2cos
2
α.1=1.2sin
2
α=cos
2
α.sin
2
α
sin3α=
3sinα.4sin



ctg
2α.1
cos3α=4cos
3α.3cosα
ctg2α=
2ctgα
tg3α=3tgα.tg3α
tg2α=
1.
2tg
tg
α

1.3tg2α


····半角公半角公半角公半角公式:式:式:式:
sinα
=t
1.cosα
cos
α
=±1+cosα


22
22


α
1.cosα
1.cosα
sinαα
1+cosα=1+cosα=sinαtg2

1+cosα=
sinα=
1+cosα
ctg
2

1.cosα
sinα
1.cosα


····正弦定正弦定正弦定正弦定理:理:理:理:
sinaA
=
sin
bB
=
sin
cC
=2R
·余弦定理:
····余弦定余弦定余弦定余弦定理:理:理:理:c2=a2
+b2
.2abcosC
····反三角反三角反三角反三角函数性质:函数性质:函数性质:函数性质:arcsin
x=
π2
.arccosx arctgx
=
π
2
.arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式————————莱布尼兹(莱布尼兹(莱布尼兹(莱布尼兹(LeibnizLLLeibnizeibnizeibniz)公式)公式)公式)公式::::

n


()
)

(uv)
¨
)((kknknnvCu=.
k
=0


=u(n
)v
+nu(n.1)v′+n(n
2.
!
1)u(n.2)v
e
′′+.+
n(n
.1).
k
(
!
n
.k
+1)u(n.k
)v
k
+.+uv()()n


中值定理与导数应用:
中值定理与导数应用:中值定理与导数应中值定中值定用:理与导数应用:理与导数应用:

拉格朗日中值定理:f
(b).f
(a)
=f
′(ξ)(b
.a)


柯西中值定理:
Ff
(
(
bb
)
)
.
.
Ff
(
(
aa
)
)
=
Ff

e
(
(ξξ)
)
当F(x)=
x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。


曲率:
曲率:曲率:曲率:曲率:

弧微分公式:ds

1+y′2
dx,其中y′=
tgα

平均曲率:K



Δα
.Δα
:从M点到M′点

,切线斜率的倾角变化量;Δs:MM
′弧长。

s)
M
K点的曲率:=
lim
0s)
→s)
Δα

ds

=
)(1
32y
y
′+
e
′′
.
K直线:=
0;
Ka半径为的圆:=.
1
a


定积分的近似计算:
定积分的近似计算:定积分的近似计算定积分定积分:的近似计算:的近似计算:


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


矩形法:∫
bf
(x)
~
b
.a
(y0
+y1
+.+yn.1)

n

a


梯形法:.
bf
(x)
≈b
.
na
[
21(y0
+yn
)+y1
+.+yn.1]


a


抛物线法:.
ba
f
(x)≈b
3
.
na
[(y0
+yn
)+2(y2
+y4
+.+yn.2)+4(y1
+y3
+.+yn.1)]


定积分应用相关公式:
定积分应用相关公式:定积分应用相关公定积分定积分式:应用相关公式:应用相关公式:

功:W

F
.s
水压力:F

p
.A
mm


引力:F

k
12
2,k为引力系数

r
函数的平均值:y
=
b
.
1
a ∫a(b) f
(x)dx


均方根:b.1a∫af2(t)dt(b)

空间解析几何和向量代数:
空间解析几何和向量代数:空间解析几何和向空间解空间解量代数:析几何和向量代数:析几何和向量代数:

空间2点的距离:d
=

=(x2
.x1)2
+(y2
.y1)2
+(z2
.z1)2

M1M
2
向量在轴上的投影:Pr
ju
AB
=


AB


.cos.,.是AB与u轴的夹角。

Pr
ju
(a
.
1

a
.
2)=Pr
ja
.
1
+Pr
ja
.
2


a
...b
.



a


.

b


cosθ=
axbx
+ayby
+azbz
,是一个数量,
ab
+ab
+ab


两向量之间的夹角:cosθ=
ax
2
+ayx
2
+
x
az
2
y
.
y
bx
2
z

bz
y
2
+bz
2


i
jk


c
.
=a
.
×b



aaa


,


c


=

a


.

b


sinθ.例:线速度:v
.

w
.
×r
.
.

xyz


bbb

xyz


aaa

xyz


向量的混合积:[a..
b..
c
..]=
(a
.
×b).c
.



bbb


=

a
×b


.


c


cosα
,α为锐角时,

xyz


ccc

xyz


代表平行六面体的体积。


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

平面的方程:
1、点法式:A(x
.x0)+B(y
.y0)+C(z
.z0)=0,其中n
..={A,B,C},M
0(x0,y0,z0)
2、一般方程:Ax
+By
+Cz
+D
=0


3、截距世方程:
ax
+
by
+
cz
=1


平面外任意一点到该平面的距离:d
=
Ax0
+
A2
By
+
0
B
+
2
Cz
+C
0
+
2
D


.x
=x0
+mt
空间直线的方程:x
.x0
=y
.y0
=z
.z0
=t,其中s
.
={m,n,
p};参数方程:.
.
y
=y0
+nt
.

mn
p
.z
=z0
+pt


二次曲面:

222
1、椭球面:
ax
2

by
2
+
cz
2
=1


2、抛物面:
2
xp
2
+
2
yq
2
=z(,
p,q同号)

3、双曲面:

2
22
单叶双曲面


ax
2
+
by
2
.
cz
2
=1


222


双叶双曲面:
ax
2
.
by
2
+
cz
2
=(马鞍面)

1


多元函数微分法及应用
多元函数微分法及应用多元函数微分法及多元函多元函应用数微分法及应用数微分法及应用

全微分:dz=
.
.
xz
dx

.
.
yz
dy du

.
y
ux
dx

.
y
uy
dy

.
y
uz
dz


全微分的近似计算:Δz
~
dz

fx
(x,y)Δx

fy
(x,y)Δy
多元复合函数的求导法:

z

f
[u(t),v(t)] dz
=.z
..u
+.z
..v
 

dt
.u
.t
.v
.t
z

f
[u(x,y),v(x,y)] .
.
xz

 .
.
uz
.
.
y
ux

.
.
vz
.
.
y
vx
当u

u(x,y),v
=v(x,y)时,
du
=
.
y
ux
dx

.
y
uy
dy dv

.
.
xv
dx

.
.
yv
dy 

隐函数的求导公式:

dy
Fx
d
2
y
.Fx
.Fx
dy

隐函数F
(x,y)

0, dx
=.
Fy

dx2
=
.x
(.
Fy
)+
.y
(.
Fy
).
dx


隐函数F
(x,y,z)

0, .
.
xz
=.
FFxz
, .
.
yz
=.
FFzy



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


隐函数方程组:..
GF
(
(
xx
,
,
yy
,
,
uu
,
,
vv
)
)
=
=
00
J

.
y
(
(
Fu
,
,
Gv)
)




.
y
ux
=.1
J
.
.
y
(
(
Fx
,
,
Gv)
) .
vx
=.1
J
.
.
y
(
(
Fu
,
,
Gx)
)
.
y
uy
=.1
J
.
.
y
(
(
Fy
,
,
Gv)
) .
.yv
=.1
J
.
.
y
(
(
Fu,
,Gy)
)


微分法在几何上的应用:
微分法在几何上的应用:微分法在几何上的微分法微分法应用:在几何上的应用:在几何上的应用:

.x
=.(t)


F.Fy
G
u
y
y
G
v
y
y
uy
vy


空间曲线
.
..

yz
=
=ψω(
(
tt
)
)在点M
(x0,y0,z0)处的切线方程:
.
x

.
(tx
00)
=
ψ
y





Fu
Fv
Gu
Gv


.y

z
.z
′(t0)(0) ω′(t0)(0)

在点M处的法平面方程:.′(t0)(x
.x0)+ψ
′(t0)(y
.y0)+ω′(t0)(z
.z0)=0
.F
(x,y,z)
=0
.


FF


Fz
Fx


Fx
Fy
}

若空间曲线方程为:
.
..
G(x,y,z)=0,则切向量T
={
Gyy
Gzz


,


,

Gx
Gy

Gz
Gx




曲面F
(x,y,z)

0上一点M
(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:n
.
={Fx
(x0,y0,z0),Fy
(x0,y0,z0),Fz
(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程:Fx
(x0,y0,z0)(x
.x0)+Fy
(x0,y0,z0)(y
.y0)+Fz
(x0,y0,z0)(z
.z0)
=0
3、过此点的法线方程:x
.x0
=y
.y0
=z
.z0


Fx
(x0,y0,z0)
Fy
(x0,y0,z0)
Fz
(x0,y0,z0)


方向导数与梯度:
方向导数与梯度:方向导方向导方向导数与梯度:数与梯度:数与梯度:

函数z

f
(x,y)在一点p(x,y)沿任

一方向l的方向导数为:
.
y
fl

.
y
fx
cos.+
.
.
yf
sin.


其中.为x轴到方向l的转角。
函数z

f
(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf
(x,y)
=
.fi
.
+
.f
..j

.x
.y
它与方向导数的关系是:.
y
fl

grad
f
(x,y).e
..,其中e
.

cos..i
.

sin....
j,为l方向上的
单位向量。
Α
.
y
fl
是gradf
(x,y)在l上的投影。

多元函数的极值及其求法:
多元函数的极值及其求法:多元函数的极值及多元函多元函其求法:数的极值及其求法:数的极值及其求法:

设fx(x0,y0)=fy
(x0,y0)
=0,令:fxx
(x0,y0)=A, fxy
(x0,y0)=B, f
yy
(x0,y0)=C
..A

0,(x
,y
)为极大值

.
AC
.B2
>0时,.
00


.2
.A
>0,(x0,y0)为极小值

.
则:.
AC
.B
<0时, 无极值
.
2


.
AC
.B
=0时, 不确定
.





重积分及其应用:
重积分及其应用:重积分重积分重积分及其应用:及其应用:及其应用:


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


∫∫f
(x,y)dxdy

∫.
f
(r
cosθ,rsinθ
)rdrdθ


DDe


2


曲面z
=f
(x,y)的面积A
=∫.
D
1+..
.
.
xz
..
...
.
.
yz
...
dxdy



(x,y)dσ

(x,y)dσ


MM


平面薄片的重心:x

Mx
=
∫.
D
ρ
(x,y)dσ
, y
=
My
=
∫.
D
ρ
(x,y)dσ


DD


平面薄片的转动惯量:对于x轴Ix
=∫.
y2ρ
(x,y)dσ
, 对于y轴Iy
=∫.
x2
ρ
(x,y)dσ


DD


平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M
(0,0,a),(a
>0)的引力:F

{Fx
,F
,Fz
},其中:

Fx
=f
∫.
D
(x
ρ
2(
+
x,
yy
2)
+
xd
a
σ
2)
32
, Fy
=f
∫.
D
(x
ρ
2(
+
x,
yy
2)
+
yd
a
σ 2)32 , Fz
=.fa∫.
D
(x
ρ
2(
+(y) x,
yy
2)
+
xd
a
σ
2)
32


柱面坐标和球面坐标:
柱面坐标和球面坐标:柱面坐标和球面坐柱面坐柱面坐标:标和球面坐标:标和球面坐标:

.x

r
cosθ
柱面坐标:..

y
=
zr
=
sin
z
θ
, ∫∫.
f
(x,y,z)dxdydz

∫∫∫F
(r,θ,z)rdrdθdz,


.<
Ω

其中:F
(r,θ,z)
=f
(r
cosθ
,rsinθ
,z)
.x
=r
sin.
cosθ
球面坐标:.
.
y
=r
sin.
sinθ, dv

rd..rsin..dθ.
dr

r
2sin.drd.dθ


.


z
=r
cos.


r
(.

)


∫∫. f (x,y,z)dxdydz =∫∫∫F (r,.,θ )r2sin.drd.dθ=∫(2) (π) dθ∫(π) d..
F
(r,.,θ
)r2sin.dr


Ω<
00
0


重心:x
=1
∫∫.
xρdv, y
=1
∫∫.
yρdv, z
=1
∫∫.
zρdv, 其中M
=x
=∫∫∫ρdv

M
<
M

<
M
Ω<
转动惯量:Ix
=∫∫∫(y2
+z2)ρdv

, Iy
=∫∫∫(x2
+z
2)ρdv, Iz
=∫∫∫(x2
+y2)ρdv


<
Ω<


曲线积分:
曲线积分:曲线积曲线积曲线积分:分:分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):

设f
(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
...
yx
=
=
ψ.(
(
tt
)
)
, (αf
t
≤β
),则:

22
.x
=t

.
Lf
(x,y)ds

f
[.(t),ψ
(t)]
.′(t)+ψ
′(t)dt (α<β
) 特殊情况:
.
.
y =.(t)α∫(β)

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):


设L的参数方程为..
.yx
=
=ψ.(
(
tt
)
)
,则:

.
P(x,y)dx

Q(x,y)dy
={P[.(t),ψ
(t)].′(t)+ Q[.(t),ψ (t)]ψ′(t)}dt∫(β)
L
α

两类曲线积分之间的关系:.
Pdx

Qdy
=∫(P
cosα+Q
cosβ
)ds,其中α和β分别为

LL


L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式:∫∫(
.
y
Qx
.
.
y
Py
)dxdy
=.
Pdx
+Qdy格林公式:∫∫(
.
y
Qx
.
.
y
Py
)dxdy
=.
Pdx
+Qdy


DL
DL


当P
=.y,Q
=x,即:
.
y
Qx
.
.
y
Py

2时,得到D的面积:A
=∫.
D
dxdy
=12.
L
xdy
.ydx


·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且
.Q=
.P
。注意奇点,如(0,0),应

.x
.y


减去对此奇点的积分,注意方向相反!

·二元函数的全微分求积:

.
y
Qx

.
y
Py
时,Pdx

Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
(,)


u(x,y)=∫(xy) P(x,y)dx
+Q(x,y)dy,通常设x0
=y0
=0。

(x0,y0)


曲面积分:
曲面积分:曲面积曲面积曲面积分:分:分:

对面积的曲面积分:∫.
f
(x,y,z)ds

∫.
f
[x,y,z(x,y)]
1+z2(x,y)+zy
2(x,y)dxdy

x


ΣD

xy


对坐标的曲面积分:∫∫P(x,y,z)dydz
+Q(x,y,z)dzdx
+R(x,y,z)dxdy,其中:

¨


∫∫R(x,y,z)dxdy

±∫.
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

¨
D

xy


∫∫P(x,y,z)dydz

±∫.
P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;

¨
D

yz


∫∫Q(x,y,z)dzdx

±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

¨
D

zx


两类曲面积分之间的关系:∫.
Pdydz
+Qdzdx
+Rdxdy
=∫∫(P
cosα+Q
cosβ+Rcosγ
)ds


Σ¨


高斯公式:
高斯公式:高斯公高斯公高斯公式:式:式:


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


∫∫∫(
.P
+
.Q
+
.R
)dv

∫∫Pdydz
+Qdzdx
+Rdxdy
=∫∫(P
cosα+Q
cos
β+R
cosγ
)ds


.x
.y
.z

ΩΣ¨


高斯公式的物理意义
——通量与散度:
散度:
divν.
=
.
y
Px

.
y
Qy

.

y
Rz
,即:单位体积内所产生的流体质量,若divν.

0,则为消失...
通量:∫.
A
.
.n..
ds

∫.
Ands
=∫∫(P
cosα+Q
cos
β+R
cosγ
)ds,


¨
Σ¨


因此,高斯公式又可写成:∫∫∫divAdv
=∫.
n

A
ds
Ω¨


斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式————————曲线积曲线积曲线积曲线积分与曲面积分与曲面积分与曲面积分与曲面积分的关系:分的关系:分的关系:分的关系:

∫∫(
.
y
Ry
.
.
y
Qz
)dydz

(
.
y
Pz
.
.
y
Rx
)dzdx

(
.
y
Qx
.
.
y
Py
)dxdy
=.
Pdx
+Qdy
+Rdz


Σ,


上式左端又可写成:∫.


¨


.
dydz
y
dzdx
y
dxdy
y
P
x
y
Q
y
y
R
z



∫.


¨


cosαcosβ
cosγ


..y
.x
.y
.z
PQR


空间曲线积分与路径无关的条件:
.
y
Ry

.
y
Qz
, .
y
Pz

.
y
Rx
, .
y
Qx

.
y
Py


i
jk


...

旋度:rotA



.x
.y
.z
PQR


向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量:.
Pdx

Qdy
+Rdz
=.
....

A.t
ds
Γ,


常数项级数:
常数项级数:常数项常数项常数项级数:级数:级数:

n


等比数列:1+q
+q2+.+qn.1
=11
.
.
qq
等差数列:1+2+3+.+n
=(n
+1)n


2
调和级数:1+1
+1
+.+1是发散的

23
n


级数审敛法:
级数审敛法:级数审级数审级数审敛法:敛法:敛法:


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

1、正项级数的审敛法
——根植审敛法(柯西判别法):

<1时,级数收敛

n

设:ρ=
lim
u
,则..
>1时,级数发散
n→∞n
.

ρ=1时,不确定
2、比值审敛法:

<1时,级数收敛
设:ρ=
lim
Un+1
,则..
>1时,级数发散

n→h


Un
.

ρ=1时,不确定
3、定义法:
sn

u1
+u2
+.+un
;limsn存在,则收敛;否则发散。

n→∞

交错级数u1
.u2
+u3
.u4
+.(或.u1
+u2
.u3
+.,un
>0)的审敛法
——莱布尼兹定理:

如果交错级数满足
...
.
nu

n

v
un+1
,那么级数收敛且其和s
f
u1,其余项rn的绝对值f
un+1。

rn

.limun

0


绝对收敛与条件收敛:
绝对收敛与条件收敛:绝对收敛与条件收绝对收绝对收敛:敛与条件收敛:敛与条件收敛:

(1)u1
+u2
+.+un
+.,其中un为任意实数;
(2)
u


+

u


+

u


+.+

un


+.

1


2


3


如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。

调和级数:Σ1发散,而Σ(.1)n

收敛;

nn


级数:¨
12
收敛;

n


1
p≤1时发散

p级数:¨
p

p
#
1时收敛

n


幂级数:
幂级数:幂级数幂级数幂级数:::

x


<1时,收敛于
1.
1
x

1+x
+x2+x3
+.+xn+.
x


≥1时,发散

对于级数(3)a0

a1x +a2x2
+.+anxn
+.,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
x



数轴上都收敛,则必存在R,使

x


>R时发散,其中R称为收敛半径。
x



R时不定


ρ≠0时,R

1


ρ


an+1

求收敛半径的方法:设lim


=ρ,其中an,an+1是(3)的系数,则

ρ=0时,R
=+∞

n→h


an


ρ
=+∞时,R
=0



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

函数展开成幂级数:
函数展开成幂级数:函数展开成幂级数函数展函数展:开成幂级数:开成幂级数:

(n)
函数展开成泰勒级数:f
(x)

f
(x0)(x
.x0)+f
e
′′(x0)(x
.x0)2
+.+f
(x0)(x
.x0)n
+.


f
(n+1)(ξ)
n+1
2!
n!
余项:Rn
=(x
.x0)
,
f
(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limRn
=0
(n
+1)!
n→∞

(n)
x0
=0时即为麦克劳林公式:f
(x)=f
(0)+f
′(0)x

f
e
′′(0)
x2
+.+f
(0)
xn
+.


2!
n!


一些函数展开成幂级数:
一些函数展开成幂级数:一些函数展开成幂一些函一些函级数:数展开成幂级数:数展开成幂级数:

(1+x)m=1+mx
+m(m
2!
.1)
x2+.+m(m
.1).
n!
(m
.n
+1)
xn
+. (.1<1)


sin
x
=x
.x
33!
+x
55!
..+(.1)n.1
(2
xn
2n
.
.11)!
+. (.∞<+∞)


欧拉公式:
欧拉公式:欧拉公欧拉公欧拉公式:式:式:

.eix
+e
.ix
.cosx
=

eix
=cosx
+isin
x 或
..
..
sin
x
=eix
.
2
e
.ix



2


三角级数:
三角级数:三角级三角级三角级数:数:数:

f
(t)=
A0

Σ(an
cosnx
+bn
sinnx)
n
1
)sin(0.ω+=+

=

=
atnAnn2n
1
其中,a0
=aA0,an
=An
sin.n,bn
=An
cos.n,ωt
=x。
正交性:1,sin
x,cosx,sin2x,cos2x.sinnx,cosnx.任意两个不同项的乘积在[.π

]
上的积分=0。

傅立叶级数:
傅立叶级数:傅立叶傅立叶傅立叶级数:级数:级数:

f
(x)=a
2
Σ∞
=
(an
cosnx
+bn
sinnx),周期
=2π

其中
.
.
.
.
ann=
+
n10ππ
1
.
.∫∫(π) f
(x)cosnxdx (n
=0,1,2.)



.b
=1
π
f
(x)sinnxdx (n
=1,2,3.)





1+
12
+12
+.=
π
21+12
+12
+12
+.=
π
2
(相加)

234
6 12
3
+12
5
+12
+.
=
8
π
21.
212
+
312
.
412
+.=
π
12
2
(相减)

246
24
正弦级数:an
=0,bn
=2 ∫(π) f
(x)s

innxdx n
=1,2,3. f
(x)=Σbn
sinnx是奇函数

π
0


余弦级数:bn
=0,an
=
π
2 ∫(π) ==xfnnxdxxf2()0,1,2()cos00.
a

an
cosnx是偶函数

周期为
2l的周期函数的傅立叶级数:


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


f
(x)=
a0
+Σ∞
(a
cos
nπx
+bn
sin
nπx),周期
=2l
2 n=1 nl l


.1
nπx


.an
=
l
∫(l) f
(x)cos
l
dx (n =0,1,2.)

其中
.
.
.
bn
=1∫(l) lf
(x)sin
nπx
dx (n
=1,2,3.)

.


l
.
.
ll


微分方程的相关概念:

一阶微分方程:y′=
f
(x,y) 或 P(x,y)dx

Q(x,y)dy
=0
可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dy
=f
(x)dx的形式,解法:

.
g(y)dy
=.
f
(x)dx 得:G(y)
=F
(x)+C称为隐式通解。
dy
y
齐次方程:一阶微分方程可以写成
dx
=f
(x,y)
=.(x,y),即写成
x
的函数,解法:

设u
=y,则dy
=u
+x
du
,u
+du
=.(u),∴dx

du
分离变量,积分后将y
代替u,

xdx
dx
dx
x
.(u).ux


即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:


dy

1、一阶线性微分方程:
dx

P(x)y
=Q(x)



当Q(x)
=0时,为齐次方程,y
=Ce
.∫P(x)dx


当Q(x)
|
0时,为非齐次方程,y

(∫Q(x)e∫P(x)dx
dx

C)e
.∫P(x)dx


2、贝努力方程:dy

P(x)y
=Q(x)yn
,(n
≠0,1)

dx


全微分方程:
如果P(x,y)dx+
Q(x,y)dy
=0中左端是某函数的全微分方程,即:


du(x,y)=P(x,y)dx
+Q(x,y)dy =0,其中:
.
y
ux

P(x,y)
.
.(,) uy

Q(x,y)


∴u(x,y)

C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:

d
22
y+
P(x)dy
+Q(x)y
=f
(x),
f
(x)≡0时为齐次

dx
dx


f
(x)|
0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)ye
′′+py′+
qy

0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:(Δ)r
2

pr
+q
=0,其中r2
,r的系数及常数项恰好是(*)式中y
e
′′,
y′,y的系数;
2、求出(Δ)式的两个根r1,r2


3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

的形式,
21
rr
(*)式的通解
两个不相等实根
0)4(
2
>.qp
r
xr
x
c
ec
ey
21
21+=
两个相等实根
0)4(
2=.qp
r
xc
x
ecy
)
1(
21+=
一对共轭复根
0)4(
2<.qp
2
4
2
2
21
pqp
irir.
==.=+=
βα
βαβα,

)sincos(
21
xcxcey
x
ββα+=

二阶常系数非齐次线性微分方程

y
e
′′+py′+
qy

f
(x),p,q为常数

f
(x)=eλx
Pm
(x)型,λ为常数;

f
(x)=eλx
[Pl
(x)cosωx
+Pn
(x)sinωx]型


概率公式整理


1.随机事件及其概率
A∪Ω=<
A∩Ω=
A
吸收律:
A∪.=
AA∩.=.


A.
(AB)

AA.
(A.
B)=
A


A.B
=AB
=A
.(AB)


反演律: A. B = AB AB = A ∪B ∪(n) Ai
= ∩(n) Ai ∩(n) Ai
= ∪(n) A

i
i=1i=1
i=1i=1


2.概率的定义及其计算
P(A)=1.P(A)

A
.
B
.P(B.A)
=P(B).P(A)
对任意两个事件
A,
B,有
P(B.A)
=P(B).P(AB)



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

加法公式:对任意两个事件
A,
B,有
P(A.
B)

P(A)+P(B).P(AB
)


P(A. B)f P(A)+
P(B)


n
n


P(∪(n) A)
ΣP(A)
ΣP(AA
)
ΣP(AAA)
(
1)nkjijiii..+++.=.(
211PAA.
An
)


i=1
i
=11≤i1≤i<
j≤n


3.条件概率
(P
B
)=A
(
)
)(
P
A
P
AB
乘法公式
)(P
AB=
((
)P
A
P
B
)A
(
(
)P
A
>0)
)(
21
nAP
A
A
.=((
)
21
P
AP
A
)(1
nP
AA
.
)121
.nAA
A
.
)(
(
121
.nAP
A
A
.
>0)
全概率公式
n
n
P
A(
)
Σ=
P
ABi
)(
)((
)
ii
P
A
BP
B
.=
Σ=i
1
1i=
Bayes公式
(P
Bk
)A

)(P
ABk=
n
kk
P
A
BP
B
))
((


P(A)


ΣP(Bi
)P(A
Bi
)


i=1


4.随机变量及其分布
分布函数计算
P(a<
X
≤b)

P(X
≤b).P(X
≤a)

F
(b).F
(a)


5.离散型随机变量
(1)
0–1分布
P(X
=k)
=pk
(1.p)1.k
,
k
=0,1

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


(2)二项分布
B(n,
p)

P
(
A
)=
p


P(X
=k)
=Cnk
pk
(1.p)n.k
,
k
=0,1,.,n


*
Possion定理
lim
npn
=λ>0
n→h


limCkpk
(1.p
)n.k
=e

λk



n→h
nnn
k!


k
=0,1,2,.


(3)
Poisson分布
P(λ)
P(X
=k)
=e

λk
,
k
=0,1,2,.

k!


6.连续型随机变量
(1)均匀分布
U
(a,b)
f
(x)=.
.
b
.
1
a
,
a
.
.



0,
其他


.0,
.
F
(x)

.
..
bx
.
.
aa
,


.


1


(2)指数分布
E(λ)
.λe
.λx
,
x
>0
f
(x)=
.
.
.
0,
其他



F
(x)
=
.
..
1.
0e
,
.λx
,
xx

<
00


(3)正态分布
N

,
σ
2)

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

(x.μ
)2


f
(x)=1
e
.

2
.∞<+h
2πσ


F
(x)

21
πσ
∫.
x

e
.(t
2
.
σ
μ
2)2dt


*
N
(0,1)
—标准正态分布
2


.(x)=1
e
.x
2
.∞<+h



2


Φ(x)

21
π
∫.∞
.ext
2dt
.∞<+h
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量
(
X
,Y
)的分布函数
xy

F
(x,y)=.
∫.∞
f
(u,v)dvdu


.∞

边缘分布函数与边缘密度函数


F(
)
=Xx

∫.∞
+∞
.∞
xf
(u,v)dvdu


+∞
fX
(x)

∫.∞
f
(x,v)dv
F(y)
=Y∫.∞
+∞
.∞
yf
(u,v)dudv


+∞
fY
(y)

∫.∞
f
(u,
y)du


8.连续型二维随机变量
(1)区域
G上的均匀分布,
U
(
G
)
f
(x,y)
=..
.
1
A
,(x,
y)∈G
.0,
其他




(2)二维正态分布
f
(x,
y)

2πσ
σ
11.ρ
2
×e
.
2(1.
1
ρ
2)....
(x
σ.
1
μ
21)2
.2ρ
(x.μσ
11)(
σ
y
2
.μ2)+(
y
σ.μ
222)2
...



12


.∞<+∞,.∞<
y
<+∞


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


9.二维随机变量的条件分布
f
(x,
y)

fX
(x)fY
X
(yx)
fX
(x)
>0

fY
(y)fX
Y
(xy)
fY
(y)>0


fX
(x)

∫∫+∞
.∞
+∞
.∞
=xydyf(,)fX
Y
(xy)f
(y)dy


Y


fY
(y)

∫∫+∞
.∞
+∞
.∞
=xydxf(,)fY
X
(yx)fX
(x)dx


fX
Y
(xy)

ff
(
Yx
(
,
yy
)
)

fY
X(
fyY
x
(
)
yf
)
X
(x)


Y

fY
X
(yx)

ff
(
Xx
(
,
xy
)
)

fX
Y(
fxXy
(
)
xf
)
(y)


10.随机变量的数字特征
数学期望
+∞
E(X
)
=Σxk
pk


k=1


+∞
E(X
)=
∫.∞
xf
(x)dx


随机变量函数的数学期望
X的
k阶原点矩


E(Xk
)


X的
k阶绝对原点矩
E(|
X
|k
)


X的
k阶中心矩
E((X
.E(X
))k
)


X的方差
E((X
.E(X
))2)
=D(X
)



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


X
,Y的
k+l阶混合原点矩


E(X
kYl
)


X
,Y的
k+l阶混合中心矩

k

E((X
.E(X
))
(Y
.E(Y
))l)


X
,Y的二阶混合原点矩
E(XY
)


X
,Y的二阶混合中心矩
X
,Y的协方差
E((X
.E(X
))(
Y
.E(Y
)))


X
,Y的相关系数
.(X
.E(X
))(
Y
.E(Y))
.

Ea
D(X
)
D(Y
)
..

ρ
XY
.(.)




X的方差
D
(X
)=
E
((X-E(X))2)


D(X)
=E(X
2).E2(X
)


协方差

cov(
X
,Y)

E((X
.E(X
))(Y
.E(Y
)))


=E(XY).E(X
)E(Y)


=±1(D(X±Y
).D(X
).D(Y
))

2


相关系数


ρ=
cov(
X
,Y
)
XYD(X
)
D(Y
)


线性代数部分

梳理:条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:突出各部分内容间的联系。
充实提高:围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷

的方法。
大家要有这样的思想准备:发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

知道的。但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。

基本运算



A+
B
=B
+A


②(A+
B)+C
=A
+(B
+C)
③c(A+B)=cA
+cB
(c+
d
)A
=cA
+dA
④c(dA)=(cd)A



cA=
0.c

0或
A=
0。
T

T

(A
)=A
(A
±B)T

AT
±BT
T

(cA)=c(AT)。
(AB)T
=BT
AT
τ(n(n
.1).21
)=Cn
2=n(n
2
.1)


D

a21A21
+a22
A22
+.+a2nA2n


AT

转置值不变


=

A


A.1

逆值变


=1


A


cA

cn

A


α,β1+β2,γ


=α,β1,γ


+α,β2,γ
A=(α1,α2,α3
),3阶矩阵
B=
(β1,β2,β3

A+B




A





B


A

B
=(α1
+β1,α
2
+β2,α3
+β3

A

B


=α1
+β1,α
2
+β2,α3
+β3
A*


A
0


=

=

AB


0B


.B
E(i,j()c
)=
1

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

有关乘法的基本运算


Cij

ai1b1j
+ai
2b2j
+.+ain
bnj


线性性质(A1+A2
)B
=A1B
+A2B


A(B1
+B2
)=AB
1
+AB
2


(cA
)B=c(AB
)=A(cB)


结合律(AB
)C=A(BC)


(AB)T

BT
AT


AB




AB


Ak
Al
=Ak
+l


k
kl


(A)l
=A
(AB)k
=AkBk
不一定成立!


AE=A

EA=A


A(kE)=kA
,(kE
)A=
kA


AB=E
.BA

E


与数的乘法的不同之处

(AB)k
=AkBk
不一定成立!

无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵
A的每个多项式可以因式分解,例如

2

A.2A
.3E
=(A
.3E)(
A
+E)


无消去律(矩阵和矩阵相乘)

AB=
0时./
A=
0或
B=
0

A
|
0和
AB=
0./B

0

A
|
0时
AB=AC
./B

C
(无左消去律)

特别的设
A可逆,则
A有消去律。
左消去律:
AB=AC
.B

C

右消去律:
BA=CA
.B

C


如果
A列满秩,则
A有左消去律,即



AB

0.B

0

AB=AC
.B

C
可逆矩阵的性质


i)当
A可逆时,

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


AT也可逆,且(AT
).1=(A.1
)T

Ak也可逆,且(Ak
).1=(A.1
)k


c
|
0,
cA也可逆,(cA).1

1A.1。


c
ii)
A,
B是两个
n阶可逆矩阵
.
AB也可逆,且(AB).1=
B.1A.1。
推论:设
A,
B是两个
n阶矩阵,则
AB=E
.BA

E
命题:初等矩阵都可逆,且

.1

(E(i, j ))=E(i, j)

(E(i()c )).1=E...(.) i..(.) 1
c
.
..

...



.1

(E(i,
j()c))=E(i,
j(.c))


命题:准对角矩阵


A11
0
0
0
0
A22
0
0

A
=

00
.0
0
00
Akk


可逆
.每个
Aii都可逆,记
A.1



A11
.1000
0
A22
.10
0


00
.0
0
00
Akk
.1


伴随矩阵的基本性质:
AAAA==
**A
E

A可逆时,
EA
AA=
*

A
AA
*
1=.

,(求逆矩阵的伴随矩阵法)
且得:()().==..1*
1
AA
AA
伴随矩阵的其他性质

1*.=
nAA
,
1*.=
A
AA
()a
a

.
=.A
1
*()...AA
111
=.



A
A
②()()
,**
TT
AA=
③()
**
1AccA
n=
,



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


④(AB)* =
B
* A*,

k

⑤(A
)*=(A*)k



.a
.b.

An.2 A

⑥(A*)*=


n=
2时,(A*)*= AA*=
.
.cd

..
.(.) ∟


关于矩阵右上肩记号:
T,
k,
.1,*

i)任何两个的次序可交换,
如(AT
)*=(A*)T


.1.1

(A*)=(A
)* 等


ii)(AB)T=
BT
AT
,(AB).1 =B.1 A.1 ,

(AB)* =B
* A*

kk

但(AB)k
=BA
不一定成立!

线性表示


0 →α

,.,α

12 s


α
→α

,.,α

i
12 s


β→α1,α
2,.,α
s
.
x1α1 +
x2α2 +.+xsα
s

有解
.
(α1,α2,.,αs
)x

有解(x
=x
., )(Ts)

1,x
Ax=β有解,即
β可用
A的列向量组表示
AB
=C
=(r1, r2,., rs),A
=(α1,α2,.,αn
),

r1, r2,., rs→α1,α2,.,αn

β1, β2,., βt
→α1,α
2,.,αs

则存在矩阵
C,使得(β1, β2,., βt
)=(α1,α
2,.,α
s
)C
线性表示关系有传递性当
β1, β2,., βt
→α1,α
2,.,α
s
q
r1, r2,.,rp


β1, β2,., βt
q
r1, r2,., rp

等价关系:如果
α1,α2,.,αs

β1, β2,., βt
互相可表示


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


α

,.,α
→β

,.,β

12
s
←12
t


记作α1,α2,.,αs
.β1,β2,.,βt


线性相关
s=1,单个向量
α,xα=
0
α相关.α

0
s=
2,α1,α
2
相关
.对应分量成比例
α1,α2
相关
.
a1:b1

a2:b2
=.
=an
:bn


①向量个数s=维数n,则n1,α,α.线性相(无)关()0≠=1.nαα.
A
=(α1,α2,.,αn
),
Ax=
0有非零解.


A


0


如果
s
>n
,则α1,α2,.,αs
一定相关
Ax=
0的方程个数
n<未知数个数
s


②如果α1,α2,.,α
s
无关,则它的每一个部分组都无关
③如果α1,α2,.,α
s
无关,而α1,α2,.,αs

相关,则
β
→α1,α
2,.,αs
证明:设
c1,.,cs
,c
不全为
0,使得
c1α1
+.+csα
s
+cβ=0


则其中
c
|
0,否则
c1,.,cs
不全为
0,
c1α1
+.+csα
s
=0,与条件
α1,.,αs
无关矛

盾。于是
β=.c1α1
...cs
αs



cc


④当
β
→α1,.,α
s
时,表示方式唯一
.α1

s
无关
(表示方式不唯一
.α1

s
相关)


⑤若
β1,.,βt
→α1,.,αs
,并且
t
>s
,则
β1,.,βt
一定线性相关。
证明:记A
=(α1,.,αs
),B
=(β1,.,βt
),


敦笃励志、精勤求学、果毅力行

、水滴石穿

则存在
s
×t
矩阵
C,使得
B=AC



Cx=
0有
s个方程,
t个未知数,
s,有非零解
η,
Cη=
0。

则Bη=
AC
η=
0,即η也是
Bx=
0的非零解,从而
β1,., βt
线性相关。

各性质的逆否形式

①如果α1,α
2,.,α
s
无关,则
s
≤n

②如果α1,α
2,.,α
s
有相关的部分组,则它自己一定也相关。
③如果α1 .α
s
无关,而
β→/α1,.,αs
,则α1,.,αs
β
无关。
⑤如果
β1 .βt
→α1 .α
s

β1 .βt
无关,则
t
≤s

推论:若两个无关向量组
α1 .αs

β1 .βt
等价,则
s=t


极大无关组
一个线性无关部分组()
I,若#()
I等于秩α1,α2,α4,α6 →()
I
,()
I就一定是极大无关组


①α1,α
2,.,α
s
无关

(α1,α2,.,αs)=
s
②β
→α1,α
2,.,α
s

(α1,α2,.,αs
, β)=γ
(α1,.,α
s

另一种说法:取
α1,α
2,.,αs
的一个极大无关组()
I
()
I也是α1,α
2,.,αs
, β
的极大无关组
.()
I
, β相关。
证明:β
→α1,.,αs
.β→()I
.()
I
, β
相关。



(α1,.,αs
), β
→α1 .α

(α1,.,α
s
, β)=
..γ
(α1,.,αs
)+1, β
/ α1 s

→,.,α



β可用α1,.,α
s
唯一表示.γ
(α1,.,αs, β)=γ
(α1,.,α
s
)=s
④β1,., βt
→α1,.,α
s

(α1,.,αs
, β1,., βt
)=γ
(α1,.,α
s


(β1,., βt
)≤γ
(α1,.,α
s


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


⑤α1,.,α
s
.β1,., βt

(α1,.,αs
)=γ
(α1 .α
s
, β1 .βt
)=γ
(β1,., βt

矩阵的秩的简单性质

0 ≤r()
A
f
min {m,nb
r()
A

0.A

0
A行满秩:r()
A=
m
A列满秩:r()
A=
n


n阶矩阵
A满秩:r()
A=
n
A满秩
.
A的行(列)向量组线性无关
.


A


|
0
.
A可逆
.
Ax=
0 只有零解,
Ax=β唯一解。


矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩


T

①r(A)=
r()
A



c
|
0时,r(cA)=
r()
A
③r(At
B)f
()+
rB

rA
()
④r(AB
)f
min {r()()
A
, rB
b



A可逆时,r(AB)=()
rB
弱化条件:如果
A列满秩,则γ(AB
()


)=γ
B
证:下面证
ABx=
0与
Bx=
0同解。
η是
ABx=
0的解.
ABη=
0


.
Bη=
0 .η

Bx=
0的解


B可逆时,r(AB)=r()
A


⑥若
AB=
0()+rB
≤n

A的列数,
B的行数)
,则rA
()



A列满秩时r(AB)=r()
B

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


B行满秩时r(AB)=
r()
A
⑧r(AB)+n
≥()+
rB


rA
()


解的性质



1.
Ax=
0的解的性质。
如果η1,η2,.,ηe
是一组解,则它们的任意线性组合
c1η1

c

2
+.
+ceη
e
一定也
是解。


i
,Aηi
=0
.A(c1η1

c2η2
+.+ceηe
)=0


2.Ax=
β(β
|
0)
①如果ξ1,ξ2,.,ξe

Ax=β的一组解,则
c1ξ1

c2ξ2
+.+ceξe
也是
Ax=β的解
.
c1+
c2
+.+ce
=1
c1ξ1

c2ξ2
+.+ceξe

Ax=
0的解
.
c1+
c2
+.+ce
=0
Aξi

β
..i
A(c1ξ1

c2ξ2
+.+ceξe
)=c1
Aξ1
+c2
Aξ2
+.+ce
Aξe
=(c1+c2
+.+ce

特别的:当ξ1,ξ2

Ax=β的两个解时,
ξ1
.ξ2

Ax=
0的解

②如果
ξ0

Ax=β的解,则
n维向量ξ也是
Ax=β的解
.ξ.ξ0是
Ax=
0的解。
解的情况判别
方程:
Ax=β,即
x1α1

x2α2
+.+xnαn

有解

→α1,α2,.,α
n
.γ(A
|β)=γ()
A
.γ(α1,α2,.,αn

)=
γ
(α1,α2,.,α
n

无解.γ(A
|β)>γ()
A
唯一解.γ(A|β)=γ()
A
=n
无穷多解.γ(A|β)=γ()
A
方程个数
m:
γ(A
|
β)f
m,γ()
A
f
m



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

①当γ()
A=
m
时,γ(A|β)=
m
,有解
②当
mA<
n
,不会是唯一解
对于齐次线性方程组
Ax=
0,
只有零解.γ()
A=
n(即
A列满秩)

(有非零解.γ()
A<
n


特征值特征向量
λ是
A的特征值
.λ是
A的特征多项式
xE.A
的根。
两种特殊情形:

(1)
A是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。
A=
a
..
1
0
λ
2
*
λ
.
*

.

a

0 0 λ
3
.

λ.x
1 *.*.
xE.A
=0 x
λ.2 ..=(x

)(1 .x
λ
)(2 .x
λ
)3
0 0 x
λ.3

(2)r()
A=
1时:
A的特征值为0,0,.,0,tr
()
A
特征值的性质
命题:
n阶矩阵
A的特征值
λ的重数v
n.r(λE
.A)
命题:设
A的特征值为
λ
1,λ
2,.,λ
n
,则



λ

2.λ
n=
A


②λ
1 +λ
2 +.+λ
n=tr
()
A
命题:设η是
A的特征向量,特征值为
λ,即
Aη=λη
,则
①对于
A的每个多项式f
()
A,f
()Aη=f
()
x
η
②当
A可逆时,
A.1η=1 η

A*η=| A
| η
λλ
命题:设
A的特征值为
λ
1,λ
2,.,λ
n
,则


①f
()
A的特征值为f

1 ), f

2 ),., f

n




A可逆时,A.1 的特征值为
1,1,.,1
λλ
λ

12 n



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


A*的特征值为
|
λ
A
|,|
λ
A
|,.,|
λ
A
|

12 n



AT的特征值也是
λ
1,λ
2,.,λ
n
特征值的应用
①求行列式
| A
|=

λ
1,λ
2,.,λ
n
②判别可逆性
λ是A的特征值EAAE0 λλ..=..不可逆
A
.λE
可逆
.λ不是
A的特征值。
当f
(A=
0 时,如果f
()c|
0 ,则
A.cE
可逆



λ是
A的特征值,则f
()
λ是f
()A的特征值.
f
()λ=
0 。

f
()c
|
0.
c
不是
A的特征值
.
AcE可逆。
n
nnnn阶矩阵的相似关系

AU=UA
时,
B=A
,而
AU
≠UA
时,
B
≠A

相似关系有
i)对称性:
A
~ B
.
B
~ A
U.1AU
=B
,则A

UBU
.1ii)有传递性:
A
~B

B
~C
,则
A
~ C
U.1AU
=B
,V.1BV
=C
,则

(UV).1A(UV
)=V
.1U
.1 AUV
=V
.1 BV
=C
命题当
A
~B
时,
A和
B有许多相同的性质



A=


B


②γ()=γ
B
A
()



A,
B的特征多项式相同,从而特征值完全一致。
A与
B的特征向量的关系:η是
A的属于
λ的特征向量.
U.1η

B的属于
λ的特征向量。

=λη
.B(U
.1η)=
λ(U
.1η)

..


U
.1 Aη=λU
.1η.U
.1 AUU
.1η
=λ(U
.1η)


正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性

f
(x1, x2,., xn
)变为g(y1, y2,., yn
),则它们同时正定或同时不正定


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


A~.B
,则
A,
B同时正定,同时不正定。

例如
B
=CTAC
。如果
A正定,则对每个
x
|
0

xTBx

xTCT
ACx
=(Cx)T
ACx
#
0


C可逆,
x
|
0,∴Cx|
0!)
我们给出关于正定的以下性质


A正定
.
A~
.E


.存在实可逆矩阵
C,
A
=CTC



.
A的正惯性指数=
n。
.
A的特征值全大于
0。
.
A的每个顺序主子式全大于
0。


判断
A正定的三种方法:

①顺序主子式法。
②特征值法。
③定义法。
基本概念
对称矩阵
AT=A


反对称矩阵
AT=.A。

简单阶梯形矩阵:台角位置的元素都为
1,台角正上方的元素都为
0。
如果
A是一个
n阶矩阵,
A是阶梯形矩阵
.
A是上三角矩阵,反之不一定
矩阵消元法:(解的情况)

①写出增广矩阵(A
β),用初等行变换化(A
β)为阶梯形矩阵(Bγ)。
②用(Bγ)判别解的情况。

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


i)如果(Bγ)最下面的非零行为(0,.,0 d),则无解,否则有解。
ii)如果有解,记
γ是(Bγ)的非零行数,则
γ=
n时唯一解。


γ<
n时无穷多解。
iii)唯一解求解的方法(初等变换法)
去掉(Bγ)的零行,得(B0


γ
0 ),它是n×(n

c)矩阵,
B0是
n阶梯形矩阵,从而是上三角
矩阵。


bn
n
|
0 .bn.1n.1 |
0 .
.bii
都不为
0。






(A


β
)..→(Br)..q
(Eη)
η就是解。

a11a12 .
na1
一个
n阶行列式
a
.
21 a
.
22
.
.
na
.
2 的值:
na
1 na
2 .
nn
a


①是
n!项的代数和
②每一项是
n个元素的乘积,它们共有
n!项
a1ja2 j
.anj
其中
j1j2 .
jn
是1,2,., n
的一个全
12 n


排列。


12 .
n


a1 j1.anj
n
前面乘的应为(.1)τ(jj
j

τ(j1 j2 .
jn
)的逆序数

Σ(.1)τ(j
j
.jnaa211221)
j
j
.anj
n


j1 j2.
jn


τ(n(n
.1).21 )=Cn
2=n(n
2
.1)


代数余子式
Mij为
aij的余子式。

i+j

Aij

(.1)
M
ij


定理:一个行列式的值
D等于它的某一行(列),各元素与各自代数余子式乘积之和。
D

a21A21 +a22 A22 +.+a2 nA2 n


一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为
0。

范德蒙行列式


敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


1


1
.
1
aa
.
a

11
n


=Π(aj
.ai
)
Cn
2


i

乘法相关
AB的(i,
j)位元素是
A的第
i行和
B的第
j列对应元素乘积之和。


Cij

ai1b1j
+ai2b2j
+.+ain
bnj


乘积矩阵的列向量与行向量

(1)设
m
×n
矩阵A
=(α1,α2,.,αn
),
n维列向量β=(b1,b2,.,bn
)T
,则
Aβ=
b1α1
+b2α
2
+.+bnαn


矩阵乘法应用于方程组
方程组的矩阵形式


Ax=β,(β=b1,b2,.,b)(Tm)

方程组的向量形式


x1α1

x2α
2
+.+xnαn



(2)设
AB=C

AB
=(Aβ1,Aβ2,.,
Aβs

ri

Aβi
=b1iα1
+b2iα2
+.+bni
αn


AB的第
i个列向量是
A的列向量组的线性组合,组合系数是
B的第
i个列向量的各分
量。
AB的第
i个行向量是
B的行向量组的线性组合,组合系数是
A的第
i个行向量的各分
量。
矩阵分解
当矩阵
C的每个列向量都是
A的列向量的线性组合时,可把
C分解为
A与一个矩阵
B
的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

.λ1000
.

.∞
(α1,α
2,.,αn
).
a
0
λ200
..
.

=(λ1α1,λ2α2,.,λnαn
)

00
.
0

a


a



000
λn



对角矩阵从右侧乘一矩阵
A,即用对角线上的元素依次乘
A的各列向量
对角矩阵从左侧乘一矩阵
A,即用对角线上的元素依次乘
A的各行向量
于是
AE=A

EA=A


A(kE)=kA
,(kE
)A=kA



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的
k次方幂只须把每个对角线上元素作
k次方幂


对一个
n阶矩阵
A,规定tr
()
A为
A的对角线上元素之和称为
A的迹数。

于是(αβ
T
)k
=(β
Tα)k

.1αβ
T
=[tr
(αβ
T
)]k
.1αβ
T
α
T
α=tr
(αα
T)


其他形式方阵的高次幂也有规律

.101∝
例如:
A=
.
a
020.

.∞


101

.∟


初等矩阵及其在乘法中的作用

(1)E(i,j):交换
E的第
i,
j两行或交换
E的第
i,
j两列
(2)E(i(c)):用数c(|
0)乘
E的第
i行或第
i列
(3)E(i,
j(c)):把
E的第
j行的
c倍加到第
i行上,或把
E的第
i列的
c倍加到第
j列上。
初等矩阵从左(右)侧乘一个矩阵
A等同于对
A作一次相当的初等行(列)变换
乘法的分块法则
一般法则:在计算两个矩阵
A和
B的乘积时,可以先把
A和
B用纵横线分割成若干小矩阵来进
行,要求
A的纵向分割与
B的横向分割一致。


.
.
.
.


两种常用的情况

(1)
A,B都分成
4块
A=
...
AA11
AA12
..


B=
...
BB11
BB12
..∝

21
22
.∏
21
22



其中
Ai1
的列数和
B1j的行数相等,
Ai
2
的列数和
B2
j的行数相关。


.A11
B11
+A12
B21
A11
B12
+A12
B22

.

AB=
.

A21
A11
+A22
B21
A21
B12
+A22
B22
..



(2)准对角矩阵
.
A00
.

a
11



a
0
A22
0

.∞
a


..

a



00
Akk




敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


.
A
0
.0
..
B
0
.
0
..AB
0
.
0
.

11
11
11
11


....a



a
0
A
.
0
.a
0
B
.
0
.a
0
AB
.
0



a
.
22
.
.a
..
22
..
.=a
22
22
.

.a
a


..
.∞
..

.a
.

00
.
A
00
.
B
00
AB


kk
.∏
kk
.∏
kk
kk



矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程(都需求
A是方阵,且


A
|
0)
()
=B
II
xA=B


I
Ax()


(I)的解法:
(AB)..→行(Ex)


(II)的解法,先化为
AT
xT
=BT

T
T


T

(A


B
)→(Ex
)。
通过逆求解:
Ax=B

x=A.1B
可逆矩阵及其逆矩阵
定义:设
A是
n阶矩阵,如果存在
n阶矩阵
H,使得
AH=E
,且
HA=E
,则称
A是可逆矩
阵,称
H是
A的逆矩阵,证作A.1


定理:n阶矩阵A可逆.0≠A
求A.1
的方程(初等变换法)



(AE)..q
(EA.1
)

伴随矩阵

.AA
.
A
.

11
21
n1

.∞
A*=
.
a
A12
A22
.
An2
.


(Aij
)T


.
...

a


.∞


AA
.
A

.(.) 1n
2n
nn



线性表示
β可以用α1,α
2,.,αs
线性表示,即
β可以表示为
α1,α
2,.,α
s
的线性组合,

也就是存在
c1,c2,.,cs
使得
c1α1

c2α2
+.+csαs




敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水

滴石穿

记号:
β
→α1,α
2,.,α
s


线性相关性
线性相关:存在向量
αi
可用其它向量
α1,.,αi.1,αi
+1,.,αs
线性表示。
线性无关:每个向量
αi
都不能用其它向量线性表示
定义:如果存在不全为
0的
c1,c2,.,cs
,使得
c1α1 +
c2α
2 +.+csαs
=0 则称
α1,α2,.,α
s
线性相关,否则称
α1,α2,.,αs
线性无关。

即:α1,α
2,.,α
s
线性相(无)关
.
x1α1 +.+xsα
s
=0 有(无)非零解

.
(α1,α2,.,αs
)x

0 有(无)非零解

极大无关组和秩
定义:α1,α
2,.,α
s
的一个部分组()
I称为它的一个极大无关组,如果满足:


i)()
I线性无关。
ii)()
I再扩大就相关。
()
I
←α1,α2,.,αs
().α1 .αs
%
I

→II
()


定义:规定
α1,α
2,.,α
s
的秩γ
(α1,α2,.,αs
)=#()
I

如果α1,α
2,.,α
s
每个元素都是零向量,则规定其秩为
0。
0 ≤γ
(α1,.,α
s
)f
min {n, sb


有相同线性关系的向量组
定义:两个向量若有相同个数的向量:
α1,α2,.,α
s
, β1, β2,., βs
,并且向量方程
x1,α1 +
x2α2 +.+xsαs
=0 与
x1β1 +
x2 β2 +.+xs
βs
=0 同解,则称它们有相同的线性关
系。

①对应的部分组有一致的相关性。
α1,α2,α4 的对应部分组
β1, β2, β4 ,

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

若α1,α
2,α4
相关,有不全为
0的
c1,c2,c4
使得
c1α1

c2α2
+c4α4
=0,
即(c1,c2,0,c4,0,.,0)是
x1α1

x2α2
+.+xsα
s
=0的解,
从而也是
x1β1

x2
β2
+.+xs
βs
=0的解,则有


c1β1

c2β2
+c4β4
=0,
β1,β2,β3
也相关。


②极大无关组相对应,从而秩相等。
③有一致的内在线表示关系。
设:A
=(α1,α
2,.,α
s
),B
=(β1,β2,.,βs
),则
x1α1

x2α
2
+.+xsαs
=0

Ax=
0,
x1β1

x2β2
+.+xs
βs
=0

Bx=
0。
α1,α
2,.,α
s

β1,β2,.,βs
有相同的线性关系即
Ax=
0与
Bx=
0同解。

反之,当
Ax=
0与
Bx=
0同解时,
A和
B的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩
定理:矩阵
A的行向量组的秩
=列向量组的秩
规定r()A=
行(列)向量组的秩。

r()
A的计算:用初等变换化
A为阶梯形矩阵
B,则
B的非零行数即r()
A。

命题:r()
A=A的非零子式阶数的最大值。


方程组的表达形式


.a11
x1

a12
x2
+.+a1nxn
=b1


1.
..
a21
x1
+a22
x2
+.+a2nxn
=b2.
.

.
.ax
+ax
+.+ax
=b


m11
m22
mn
n
m



敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿


2.
Ax=β
η是解
.
Aη=β
3.
x

1α1

x2α
2
+.+xnα
n

有解

→α1,α2,.,αn
基础解系和通解


1
1111.
Ax=
0有非零解时的基础解系
η1,η2,.,ηe

Ax=
0的基础解系的条件:
①每个ηi
都是
Ax=
0的解
②η1,η2,.,ηe
线性无关

Ax=
0的每个解η
→η1,η2,.,ηe
③/l
=n
.γ()A
通解

①如果η1,η2,.,ηe

Ax=
0的一个基础解系,则
Ax=
0的通解为
c1η1

c2η2
+.+ceηe

ci任意
②如果ξ0
是Ax=
β(β
|
0)的一个解,η1,η2,.,ηe

Ax=
0的基础解系,则
Ax=β的通解

ξ0+
c1η1
+c2η2
+.+ceηe

ci任意

特征向量与特征值

定义:如果η|
0,并且
Aη与η线性相关,则称η是
A的一个特征向量。此时,有数
λ,使

Aη=λη
,称
λ为η的特征值。


A是数量矩阵
λE,则对每个
n维列向量η,
Aη=λη
,于是,任何非零列向量都是
λE的
特征向量,特征值都是
λ。

①特征值有限特征向量无穷多

Aη=λη
,A(cη)=cAη=cλη
=λ(cη)
Aη1
=λη1
.
.
A(c
η+
c
η
)=cAη+cAη
=λ(c
η+c
η)

Aη2
=λη2
.

1122
1122
1122


②每个特征向量有唯一特征值,而有许多特征向量有相同的特征值。

敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

③计算时先求特征值,后求特征向量。
特征向量与特征值计算


Aη=λη
,η≠0
.
(λE
.A)η
=0,η≠0
.η是(λE.A)x

0的非零解


命题:①
λ是
A的特征值.


λ
E
.A



0

②η是属于
λ的特征向量
.η是(λ
E.A)x

0的非零解
称多项式



A的特征多项式。

xE.A


λ是
A的特征值
.λ是
A的特征多项式


的根。

xE.A


λ的重数:
λ作为


xE.A
的根的重数。


n阶矩阵
A的特征值有
n个:
λ
1,λ
2,.,λ
n
,可能其中有的不是实数,有的是多重的。
计算步骤:

①求出特征多项式


xE.A


②求
的根,得特征值。

xE.A


③对每个特征值
λi
,求(λiE
.A)x

0的非零解,得属于
λi
的特征向量。
n
nnnn阶矩阵的相似关系

A,
B是两个
n阶矩阵。如果存在
n阶可逆矩阵U,使得U.1AU
=B
,则称
A与
B相似,
记作
A
~B



n
nnnn阶矩阵的对角化
基本定理
A可对角化
.
A有
n个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵U
=(η1,η2,.,ηn
),则
.λ10 00 ∝
.1
.
a
0 λ200
..

U
AU
=a
00 .
0 ∞
a


..

a



000 λn




敦笃励志、精勤求学、果毅力行、水滴石穿

.λ1000
.

.∞
.
A(η1,η2,.,ηn
)=
U.
a
0
λ200
..
.∞

(λ1η1,λ2η2,.,λnηn )

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