北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5：数列
一、选择题
1 ．（2013届北京西城区一模理科）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
2 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有
n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n n
a a a a a +->??
?<≤??，
则下列结论中错误．．
的是 （ ）
A ．若34a =,则m 可以取3个不同的值 B
．若m =则数列{}n a 是周期为3的数列
C ．T ?∈*
N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列
D ．Q m ?∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列 【答案】 D ．
3 ．（2013届东城区一模理科）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的
前10项和等于 （ ）
A ．130
B ．120
C ．55
D ．50
【答案】C
4 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知数列{}n a 中,54+-=n a n ,等比数列{}n b 的公比q 满
足()21≥-=-n a a q n n ,且21a b =,则=+++n b b b 21 （ ）
A ．n
41- B ．14-n
C ．341n
-
D ．3
14-n
【答案】
B ．
5 ．（2013届房山区一模理科数学）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S =
（ ）
A ．55
B ．81
C ．90
D ．100
【答案】D
6 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且134a a ?=,48a =,
则1a q +的值为 （ ）
A ．3
B ．2
C ．3或2-
D ．3或3-
【答案】
D ．
7 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =
（ ）
A ．1
2
n -
B ．21n
- C ．13n -
D ．1(31)2n
-
【答案】
C ．
8 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足
条件11a >,9910010a a ->,
991001
01
a a -<-.给出下列结论:
① 01q <<; ② 9910110a a ?->;
③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是 （ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【答案】
B ．
9 ．（2013届北京丰台区一模理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则
3
1
S a （ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 二、填空题
10．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）在等差数列{a n }中,a l =-2013,其前n 项和为S n ,若
10
121210
S S -=2,则2013S 的值等于___________. 【答案】2013-
11．（2013届北京西城区一模理科）设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，
则k =______．
【答案】5；
12．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列{}n a 中,如果对任意的*n ∈N ,都有
21
1n n n n
a a a a λ+++-=(λ为常数),则称数列{}n a 为
比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题:
①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,,则该数列不是比等差数列; ②若数列{}n a 满足1
2
3-?=n n a ,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差0=λ;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ . 【答案】 ①②
13．（2013届北京西城区一模理科）记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为
12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为
max{,,}min{,a b c a t b c a b =?,}b c
c a
．
（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______． 【答案】1
，． 14．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与
闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4
重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f . 【答案】
27,25,23,21； 22
-n j
（这里j 为]2,1[n 中的所有奇数） 15．（2013届东城区一模理科）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形
形状，其中每一行比上一行增加两项，若n n a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第
8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）
2 4
（14
题
【答案】89
a 第45行的第77列
16．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在等比数列{}n a 中,32420a a a -=,则
3a =______,{}n b 为等差数列,且33b a =,则数列{}n b 的前5项和等于_______.
【答案】2,10
17．（2013北京东城高三二模数学理科）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若
23=a ,245S S =,则1a 的值为___,4S 的值为___.
【答案】
12 ,15
2
; 18．（2013北京西城高三二模数学理科）在等差数列{}n a 中,25a =,1412a a +=,则n a =______;设
*2
1
()1
n n b n a =
∈-N ,则数列{}n b 的前n 项和n S =______. 【答案】 21n +,
4(1)
n
n +;
19．（2013届门头沟区一模理科）在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++ 等
于 ． 【答案】
(5)
2
n n - 20．（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列{21}
n
-的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数,其所有可能的k 个数的乘
积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++ .例如当1n =时,1{
1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =?,213137S =++?=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.
【答案】63,(1)
2
21n n +-
三、解答题
21．（2013届房山区一模理科数学）对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x
的小数部分，用记号x 表示．例如81
1.20.2 1.20.877
=-==,,.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：
1a a =，11
00
0n n n
n a a a a +?≠?
=??=?,
,
其中123n = ,,,. （Ⅰ）若2=a ，求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）当4
1
>
a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （Ⅲ）若a 是有理数，设q
p
a =
（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．
【答案】
（Ⅰ）11a =
=
，211
11a a =
=== ……….2分
若1k a
，则1111k k a a +??
?===?????
所以1n a = ……………………………………3分 （Ⅱ）1a a a == ，14a > 所以114a << ，从而1
14a
<< ①当
112a <<，即112a
<<时，21111
1a a a a a ===-=
所以2
10a a +-=
解得：a =
（1,12a ??
= ???
，舍去） ……………….4分 ②当
1132a <≤ ，即123a ≤< 时，211112a a a a a
===-=， 所以2
210a a +-=
解得1,a =
（111,32a ??
=? ???
，舍去） ………………5分
① 当1143a <≤ 时，即134a
≤< 时，211113a a a a a ===-=
解得a =
（11,43a ??= ???
，舍去） ………………6分 综上，集合A =
{a =
1=
，a =}. ………………7分
（Ⅲ）结论成立. ……………………8分
由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n
n n q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质） 由111
p p a q q ==，可得q p <≤10； …………………………………9分 若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数） 则n
n n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 11n n n n n q a a p p β+=
==，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10 ………11分 若0=n p 则01=+n p ，
若q a a a a ,,,,321???均不为0，则这q 正整数(1,2,3,,)n p n q = 互不相同且都小于q ，
但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾.
故q a a a a ,,,,321???中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a .
从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，
所以对于大于q 的自然数n ，都有0=n a ……………………………………………13分
22．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)
设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) .
(I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++ ;
(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;
(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列” {}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218
n S S S S <++++< .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(I)当0k =,3b =,4p =-时,
1123()42()n n a a a a a +-=++ , ①
用1n +去代n 得,111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++ , ②
②—①得,113()2n n n a a a ++-=,13n n a a +=,
在①中令1n =得,11a =,则n a ≠0,∴13n n
a a +=, ∴数列{}n a 是以首项为1,公比为3的等比数列,∴123n a a a a ++++ =312
n - (II)当1k =,0b =,0p =时,112()2()n n n a a a a a +=++ , ③
用1n +去代n 得,11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ , ④
④—③得, 11(1)0n n n a na a +--+=, ⑤.
用1n +去代n 得,211(1)0n n na n a a ++-++=, ⑥
⑥—⑤得,2120n n n na na na ++-+=,即211n n n n a a a a +++-=-,.
∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =,915a =, ∴公差93293
a a d -==-,∴23n a n =- (III)由(II)知数列{}n a 是等差数列,∵212a a -=,∴12(1)n a a n =+-.
又{}n a 是“封闭数列”,得:对任意*,N m n ∈,必存在*N p ∈使
1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-,得12(1)a p m n =--+,故1a 是偶数,
又由已知,111111218
S <<,故1181211a <<.一方面,当1181211a <<时,1(1)n S n n a =+-0>,对任意*N n ∈,都有123111111112
n S S S S S ++++≥> . 另一方面,当12a =时,(1)n S n n =+,
1111n S n n =-+,则1231111111n S S S S n ++++=-+ , 取2n =,则1211121113318
S S +=-=>,不合题意. 当14a =时,(3)n S n n =+,
1111()33n S n n =-+,则 1231111111111()183123
n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<, 当16a ≥时,1(1)n S n n a =+-(3)n n >+,1111()33
n S n n <-+, 123111*********()18312318
n S S S S n n n ++++<-++<+++ , 又
1181211
a <<,∴14a =或16a =或18a =或110a =
23．（2013届北京海滨一模理科）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .
令B A x x x ?=-，B A y y y ?=-，若x ?+=3y ?,且||||0x y ???≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.
（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；
（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0n i i T x ==∑，求T 的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）因为x ?+=3(,y x y ???为非零整数） 故1,2x y ?=?=或2,1x x ?=?=，所以点0P 的相关点有8个………………2分
又因为22()()5x y ?+?=，即22
1010()()5x x y y -+-=
所以这些可能值对应的点在以0P
4分
（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合
则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=， 1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=
即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，
1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------
两式相加得
1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，
故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，
于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，
所以n 一定为偶数………………8分
（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --?=-?=-(1,2,3,...,)i n =，
依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，
因为0n i i T x
===∑012n x x x x ++++
112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++?++?+?+++?+?++?
121(1)n n n x n x x =++?+-?++? ………………10分 因为有3i i x y ??=+，且i i x y ??，为非零整数，
所以当2i x ?=的个数越多，则T 的值越大，
而且在123,,,..,n x x x x ????这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大
而当i y ?取值为1或1-的次数最多时，i x ?取2的次数才能最多，T 的值才能最大.
当100n =时，令所有的i y ?都为1，i x ?都取2，
则1012(12100)10201T =++++= .
当100n >时，
若*2(50,)n k k k =>∈N ，
此时，i y ?可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ?可都取2，()S n 达到最大
此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .
若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ?=,其余的i y ?中有49k -个1-，49k +个1.
相应的，对于i x ?，有1n x ?=,其余的都为2，
则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+
当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ?=≤-?=-<≤
则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ?=≤-?=-<≤
则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+
2205100982
n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ?+-≤
且为偶数，且为奇数.………………13分
24．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)
设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每
行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次
“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1
(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数
之和均为非负整数,求整数．．a 的所有可能值;
(Ⅲ)对由m n ?个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ,
能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2
和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
【答案】(I)解:法1:
42123712371237210121012101
-?????→?????→----改变第列改变第行 法2:
24123712371237210121012101
--?????→?????→----改变第行改变第列 法3:
14123712371237210121012101
----?????→?????→--改变第列改变第列 (II) 每一列所有数之和分别为2,0,2-,0,每一行所有数之和分别为1-,1;
①如果首先操作第三列,则
22
22
1212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -,第二行之和为52a -,
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以 12a ≤或52a ≥ 当12
a ≤时,则接下来只能操作第一行, 22
2
21212a a a a a a a a ------
此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---
必有2220a -≥,解得0,1a =- 当52
a ≥时,则接下来操作第二行 22
22
1212a a a a a a a a ------ 此时第4列和为负,不符合题意
② 如果首先操作第一行
2
2221212a a a a a a a a
----- 则每一列之和分别为22a -,222a -,22a -,22a
当1a =时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉
当1a ≠时,22a -,22a -至少有一个为负数,
所以此时必须有2220a -≥,即11a -≤≤,所以0a =或1a =-
经检验,0a =或1a =-符合要求
综上:0,1a =-
(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第i 行第j 列的实数为ij c (1,2,,;1,2,,i m j n == ),各行的数字之和分别为12,,,m a a a ,各列的数字之和分别为12,,,n b b b ,12m A a a a =+++ ,12n B b b b =+++ ,数表中m n ?个实数之和为S ,则S A B ==.记
{}
112211221min 11(1,2,,)0|i i n in l i i n in i m K k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠ 或且{}
112211221min 11(1,2,,)0|j j m mj s j j m mj j n T t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠ 或且 {}min ,K T λ=.
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起A (和B )增大,从而也就使得S 增加,增加的幅度大于等于2λ,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中m n ?个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,S 就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立
25．（2013届北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ???为n （n=2,3,4,…,）阶
“期待数列”：
① 1230n a a a a ++++= ；
② 1231n a a a a ++++= .
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ，
试证：（1）2
1≤k S ； （2）111.22n i i a i n =≤-∑
【答案】解：（Ⅰ）数列11,0,22
-为三阶期待数列…………………………………1分 数列3113,,,8888
--为四阶期待数列,………………..…..3分(其它答案酌情给分) （Ⅱ）设等差数列12321,,,,(1)k a a a a k +≥ 的公差为d ，
123210k a a a a +++++= ， ∴12(21)(21)0,2k k d k a +++
=所以10a kd +=， 即10k a +=， 2,k a d +∴= …………………………………4分
当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾， ………………………………………5分 当d>0时,据期待数列的条件①②得：
23211,2
k k k a a a ++++++= ∴(1)11,22(1)
k k kd d d k k -+==+即 由10k a +=得11110,(1)1
a k a k k k +?==-++即， ∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n k k k k k k k *=-+-=-∈≤++++………7分 当d<0时， 同理可得(1)11,22(1)
k k kd d d k k -+=-=-+即 由10k a +=得11110,(1)1
a k a k k k -?==++即，
∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n n k k k k k k *=--=-+∈≤++++……8分
（Ⅲ）（1）当k=n 时，显然102
n S =≤
成立；……………………9分 当k ∴12122k k k k n S a a a a a a ++=+++++++ 12121k k k n a a a a a a ++≤+++++++= , ∴1(1,2,3,,).2k S k n ≤= …………………………11分 311241(2)12341n i n n i a a a a a a a i n n -==++++++-∑ 32431212112341n n n n S S S S S S S S S S S n n --------=++++++- 311242233445(1)n n S S S S S S n n n -=++++++???- 311242233445(1)n S S S S S n n -≤ +++++???- 11111122233445(1)n n ??≤+++++ ????-?? 1111111111222334451n n ??=+-+-+-++-= ?-?? 11.22n - ………………14分 26．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）设3>m ,对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令k b 为 )(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值,称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列3,的创新数列为3,5,5,7.考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . (Ⅰ)若5m =,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ; (Ⅱ)是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明 理由; (Ⅲ)是否存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列{}n c 的个数;若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c 有6个, 3,5,1,2,4; 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1; (Ⅱ)存在数列{}n c 的创新数列为等比数列. 设数列{}n c 的创新数列为}{n e , 因为m e 为前m 个自然数中最大的一个,所以m e m =.若}{n e 为等比数列, 设公比为q ,因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ,所以1≥q 当1=q 时,}{n e 为常数列满足条件,即为数列m m m ,,, 当1>q 时,}{n e 为增数列,符合条件的数列只能是m ,,2,1 , 又m ,,2,1 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. (Ⅲ)存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列, 设数列{}n c 的创新数列为}{n e ,因为m e 为前m 个自然数中最大的一个, 所以m e m =.若}{n e 为等差数列,设公差为d , 因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ,所以0≥d .且*N d ∈ 当0=d 时,}{n e 为常数列满足条件,即为数列m m m ,,, (或写通项公式),,2,1(m n m e n ==), 此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列,共有11m m A --个数列; 当1=d 时,符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ,此时数列{}n c 是m ,,2,1 , 有1个; 当2≥d 时,)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m 02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾,所以此时}{n e 不存在. 综上满足条件的数列{}n c 的个数为111m m A --+个(或回答1)! 1(+-m 个). 27．（2013届东城区一模理科）设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)i n A a a a a = .其中 i a (1,2,,)i n = 称为数组A 的“元” ，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元” ，则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = 的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++ . （Ⅰ）若11(,)22A =- ，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值； （Ⅱ）若A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值； （Ⅲ）若数组),,(321a a a A =中的“元”满足2221231a a a ++=.设数组(1,2,3,,)m B m n = 含有四个“元”1234,,,m m m m b b b b ，且22221234m m m m b b b b m +++=，求A 与m B 的所有含有三个“元”的子数组的关系数(,)m C A B (1,2,3,,)m n = 的最大值. 【答案】解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2． （Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，可 以只计算(,))C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=， 得 a b ≤+≤ 当且仅当0c =，且a b == b a + 于是(,))C A S a b =+=． ②当0不是S 中的“元”时，计算(,))3 C A S a b c = ++的最大值， 由于1222=++c b a ， 所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++． 3)(3222=++≤c b a ， 当且仅当c b a ==时，等号成立． 即当33===c b a 时，c b a ++ (,))1C A S a b c =++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1． （Ⅲ）因为1234(,,,)m m m m m B b b b b =满足22221234m m m m b b b b m +++=． 由1234,,,m m m m b b b b 关系的对称性，只需考虑234(,,)m m m b b b 与123(,,)a a a 的关系数的情况． 当10m b = 时，有2221++=． 2222 2223412323222m m m b b b a a a m m m a a a +++++≤++ 22222212323422m m m a a a b b b m ++++=+ 11122 =+=． 即10m b = ，且1a = ，2a = ，3a = 122334m m m a b a b a b ++ 当10m b ≠时，222234m m m b b b m ++<， 得122334m m m a b a b a b ++ 所以(,)m C A B (1,2,3,,)m n = ． 28．（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列{}n a ,11a =,2n n a a =,410n a -=,411n a +=(*)n ∈N . (Ⅰ)求4a ,7a ; (Ⅱ)是否存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=; (Ⅲ)设3122310101010 n n a a a a S =+++++ ,问S 是否为有理数,说明理由. 【答案】(共13分)解:(Ⅰ)4211a a a ===; 74210a a ?-==. (Ⅱ)假设存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=. 则存在无数个正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=. 设T 为其中最小的正整数. 若T 为奇数,设21T t =-(*t ∈N ), 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====. 与已知411n a +=矛盾. 若T 为偶数,设2T t =(*t ∈N ),则22n T n n a a a +==,而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=. 而t T <,与T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=. (Ⅲ)若S 为有理数,即S 为无限循环小数, 则存在正整数0N ,T ,对任意的*n ∈N ,且0n N ≥,有n T n a a +=. 与(Ⅱ)同理,设T 为其中最小的正整数. 若T 为奇数,设21T t =-(*t ∈N ), 当041n N +≥时,有41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====.与已知411n a +=矛盾. 若T 为偶数,设2T t =(*t ∈N ), 当0n N ≥时,有22n T n n a a a +==,而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=. 而t T <,与T 为其中最小的正整数矛盾. 故S 不是有理数 29．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的任意一个全排列,定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑,其中111x x =. (Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值; (Ⅱ)求()S τ的最大值; (Ⅲ)求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练 【答案】解:(Ⅰ)1011()|23|7654321012857k k k S x x τ+==-=+++++++++=∑ (Ⅱ)数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下: 20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3 其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=,所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=,此时0()131S τ=, 所以()S τ的最大值为131 (Ⅲ)由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数,而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数,所以使 ()S τ取最大值的排列中,必须保证数1,2,3,4互不相邻,数7,8,9,10也互不相邻;而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面,又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =,并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○ 其中2,3,4任意填入3个□中,有6种不同的填法;7,8,9,10任意填入4个圆圈○中,共有24种不同的填法;5填入4个△之一中,有4种不同的填法;6填入4个△中,且当与5在同一个△时,既可以在5之前又可在5之后,共有5种不同的填法,所以当11x =时,使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880???=,由轮换性知,使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800 30．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知{}n a 为等差数列,且 8,152=-=a a . (I)求数列{}n a 的前n 项和; (II)求数列{}n n a ?2的前n 项和. 【答案】解:(I)设等差数列{}n a 的公差为d , 因为8,152=-=a a , 所以???=+-=+8 4,111d a d a 解得3,41=-=d a , 所以()73134-=-+-=n n a n , 因此???≥-=+-=-=3 ,73,2,1,7373n n n n n a n 记数列{} n a 的前n 项和为n S , 当1=n 时,411==a S , 当2=n 时,5212=+=a a S , 当3≥n 时,n n a a a S S ++++= 432 ()()()737437335-++-?+-?+=n =()()[]102 11232732252+-=-+-+n n n n , 又当2=n 时满足此式, 综上,?????≥+-==2,102112 3,1,42n n n n S n (II)记数列{} n n a 2的前n 项和为n T . 则n n n a a a a T 222233221++++= , n n n n n a a a a a T 11342312222222+-+++++= , 所以() n n n n a d a T 132122222+-++++=- . 由(I)可知,73,3,41-==-=n a d a n , 所以() ()()111 2103202732 121438++-?---=?----?+-=-n n n n n n T , 故()1210320+?-+=n n n T 31．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点 专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 专题01 直线运动 【2018高考真题】 1．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能（） A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷） 【答案】 B 2．如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题 【答案】 C 【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为：,总时间为：,故C正确,A、B、D错误；故选C。 【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3．（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是（） A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大 【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷） 【答案】 BD 点睛：本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题 4．（多选）地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷） 为2∶1,选项C正确；加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0；第次提升过 程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0；两次做功相同,选项D错误。 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2020年高考试题分类汇编（集合） 考法1交集 1.（2020·上海卷）已知集合{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，求A B = . 2.（2020·浙江卷）已知集合{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，则P Q = A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 3.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2} 4.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{3,}A x x x Z =<∈，{1,}A x x x Z =>∈，则A B = A ．? B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知集合{(,),,}A x y x y N y x *=∈≥， {(,)8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 8.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设集合2{40}A x x =-≤，{20}B x x a =+≤，且 {21}A B x x =-≤≤，则a = A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 考法2并集 1.（2020·海南卷）设集合{13}A x x =≤≤，{24}B x x =<<，则A B = 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}. 2017年高考试题分类汇编之数列 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（ ）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知， 则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a 2017年高考试题分类汇编（集合） 考点1 数集 考法1 交集 1.（2017·北京卷·理科1）若集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，则 A B = A. {}21x x -<<- B. {}23x x -<< C. {}11x x -<< D. {}13x x << 2.（2017·全国卷Ⅱ·理科2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若 {}1A B =，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.（2017·全国卷Ⅲ·理科2）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.（2017·山东卷·理科1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(2,1)- D ．[2,1)- 5.（2017·山东卷·文科1）设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N = A.()1,1- B.()1,2- C.()0,2 D.()1,2 6.（2017·江苏卷）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =，则实数a 的值为______. 考法2 并集 1.（2017·全国卷Ⅱ·文科2）设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则A B = A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（2017·浙江卷1）已知集合{}11P x x =-<<,{}02Q x x =<<，那么P Q = A. (1,2)- B. (0,1) C.(1,0)- D. (1,2) 考法3 补集 2008年高考数学试题分类汇编 数列 一． 选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的 和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D 2017年全国高考英语试题分类汇编（共23份） 目录 2017全国高考汇编之定语从句 (2) 2017全国高考汇编之动词+动词短语 (13) 2017全国高考汇编之动词时态与语态 (30) 2017全国高考汇编之非谓语动词 (47) 2017全国高考汇编改错 (68) 2017全国高考汇编之交际用语 (82) 2017全国高考汇编之介词+连词 (96) 2017全国高考汇编之名词性从句 (112) 2017全国高考汇编之完型填空 (187) 2017全国高考汇编之形容词+副词 (330) 2017全国高考汇编之虚拟语气+情态动词 (341) 2017全国高考汇编阅读之广告应用类 (355) 2017全国高考汇编阅读之广告应用类 (375) 2017全国高考汇编阅读之科普知识类 (409) 2017全国高考汇编阅读之人物传记类 (456) 2017全国高考汇编阅读之社会生活类 (471) 2017全国高考汇编阅读之文化教育类 (552) 2017全国高考汇编阅读新题型 (658) 2017全国高考汇编阅读之新闻报告类 (712) 2017全国高考汇编之代词+名词+冠词 (740) 2017全国高考汇编之状语从句 (761) 2017全国高考汇编之定语从句 The exact year Angela and her family spent together in China was 2008. A. When B. where C. why D. which 【考点】考察定语从句 【答案】D 【举一反三】Between the two parts of the concert is an interval, _______ the audience can buy ice-cream. A. when B. where C. that D. which 【答案】A 二I borrow the book Sherlock Holmes from the library last week, ______ my classmates recommended to me.. A.who B. which C. when D. Where 【考点】考察定语从句 【答案】B 【举一反三】The Science Museum, we visited during a recent trip to Britain, is one of London’s tourist attractions. D 单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1 －a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n ，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n － 1，求数列{a n }的前n 项和S n . 17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32 ＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得 －2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ. (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1. 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明???? ??a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32 . 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ???a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以???? ??a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n 2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12 . (2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1 . 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3 n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1.2015高考数学分类汇编数列
历年高考数学试题分类汇编
2018年高考数学试题分类汇编-向量
2018年高考数学试题分类汇编数列
2018-2020三年高考数学分类汇编
2019-2020高考数学试题分类汇编
【高考真题】2016---2018三年高考试题分类汇编
2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列
最新高考数学分类理科汇编
2020年高考试题分类汇编(集合)
2015-2019全国卷高考数学分类汇编——集合
2019年高考真题分类汇编(全)
2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)
2017年高考试题分类汇编(集合)
2008年高考数学试题分类汇编(数列)
2020年高考数学试题分类汇编 平面向量
2017年全国高考英语试题分类汇编(共23份) (1)
2014高考数学真题分类汇编- 数列
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