专题2 矩 阵
【三年高考】
1．【2016年高考江苏】已知矩阵12,02??=??-??A 矩阵B 的逆矩阵111=202-?
?-??????
B ，求矩阵AB . 【答案】51
401?
?????-??
【解析】
试题分析：先求逆矩阵的逆：11
4102?
?
??
=?
???????
B ，再根据矩阵运算求矩阵AB . 试题解析：解：设a b c d ??=????
B ，则1110120102a b c d -?
?-??????==????????????B B ， 即1110220122a c b d c
d ??--????=????????， 故1121022021
a c
b d
c
d ?-=???-=??
=??=?
，解得11401
2a b c d =???=??=??=??，所以114102??
??=????????
B . 因此，151
1214
4021010
2??
???
?????==??????-????-?????
?
AB .
【考点】逆矩阵，矩阵乘法
【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：
1
||||,(||0)||||d
b a b ad b
c c
d c a --????????=?==-≠??-????
????
，A A A A A A A a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh ++??????
=??????++??????
，
类似求矩阵特征值
及特征向量也是如此.
2．【2015江苏高考，21】已知R y x ∈,，向量???
???-=11α是矩阵?????
?=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-??
A =?
???
,另一个特征值为1．
【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 3．【2014江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -????==????-????，向量2a y ??
=??
??
，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值. 【答案】
72
． 【解析】由题意得22224y y xy y -+=+??+=-?，解得124x y ?
=-
???=?
.∴72x y +=.
4．【2013江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-??????，B ＝1 20 6??
??
??
，求矩阵A －1
B . 【答案】 1 20 3--??
?
???
．
5．【2012江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵1
13 44=11 22??
-??????-????
－A ，求矩阵A
的特征值．
【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．
【解析】解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.
因为1
1
3 4411 22-??-??=????-????
A ，
所以()
1
1 2 32 1--??
==????
A A
， 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝
2 3
2 1
λλ----＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 6．【2011江苏，理21B 】选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵1121??=?
???A ，向量12β??=????
．求向量α，使得2
αβ=A 【答案】???
???-=21α． 【解析】解：??????????
??=121112112
A =??????3423,设?
?
????=y x α，由βα=2
A 得,??????=????????????213423y x ，从而
???=+=+234123y x y x ，解得2,1=-=y x ，所以?
?
?
???-=21α.
【2017年高考命题预测】
纵观近几年江苏高考试题，对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，矩阵变换，矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考查利用基本概念、基础知识求解矩阵，高考对这部分要求不是太高，会进行矩阵的乘法运算，会利用矩阵运算进行平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵的特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进行矩阵的乘方运算．备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中在附加题部分.预测2017年矩阵仍是考试的重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.
【2017年高考考点定位】
高考对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，考查矩阵变换，考查矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵的运算．
【考点1】矩阵的运算与矩阵变换 【备考知识梳理】 1．乘法规则
(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵??
??
??
b 11b 21的乘法法则： [a 11 a 12]????
??
b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]．
(2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????
x 0y 0的乘法规则：
??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝????
??
a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：
??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝????
??a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l
＝A
k ＋l
，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *
)．
2．常见的平面变换
(1)恒等变换：因为??
????1
00
1??????
x y ＝??????x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵????
??1 00
1表示恒等变换．
(2)反射变换：因为??????－1 0 0 1??????x y ＝??????－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵????
??
－1 0 0 1表示关于y 轴
的反射变换；类似地，??????1 00 －1，??????0， 11 0，????
??
0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射
变换．
(3)伸缩变换：因为??
????1 00 k ??????x y ＝????
??
x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵??????1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵????
??s
00
1可以用来表示水
平伸缩变换．
(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是??
??
??
cos α －sin αsin α cos α.
(5)切变变换：??
????1
s 0 1??????x y ＝??????x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是????
??1 0t
1.
(6)投影变换：??
????1
00
0??????x y ＝??????x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵????
??1 00
0表示
的是x 轴上的投影变换．类似地，??
??
??0
00
1表示的是y 轴上的投影变换．
【规律方法技巧】
1．待定系数法在平面变换中的应用
通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．
2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．
5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．
6．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．
7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． 8．注意两个易错点：
（1）二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ?/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )． （2）易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换． 【考点针对训练】
1．求使等式??
????
2
43
5＝??????2 00 1M ????
??1 00 －1成立的矩阵M . 【答案】????
??
1 －23 －5.
【解析】设M ＝??
??
??m n p
q ，
则??????2 43 5＝??????2 00 1M ??????1 00 －1＝????
??2m －2n p －q ， 则????? 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，
??????
m ＝1，
n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，
即M ＝????
??
1 －23 －5.
2，已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝??
??
??1
20
1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ??????x 0y 0＝????
??
x 0y 0，求点P 的坐标．
【答案】（1）?
??
??
a ＝1，
b ＝－1.；（2）(1,0)．
【考点2】矩阵的特征值与特征向量 【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵
(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质
性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的． 性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1
＝B －1A －1
. (4)定理：二阶矩阵A ＝??
??
??a b c
d 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.
2．逆矩阵与二元一次方程组
(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)?
??
??
ax ＋by ＝e ，
cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A ＝??
??
??a
b c
d 可逆，
那么该方程组有唯一解??????x y ＝??
????a b c d －1????
??
e f .
(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组???
??
ax ＋by ＝0，
cx ＋dy ＝0.
其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的行列式????
??a b c
d ＝0.
3．特征值和特征向量
设矩阵A ＝??
??
??a
b c
d ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ
是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质
设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n
α＝t 1λn
1ξ1＋
t 2λn 2ξ2.
【规律方法技巧】 1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法： 设A 是一个二阶可逆矩阵????
??
a
b c
d ，AB ＝BA ＝E 2； (2)公式法：
|A |＝??
??
??
a b c
d ＝ad －bc ，有A －1
＝
?????
???d |A | －b |A |－c |A | a |A |，
当且仅当|A |≠0；
(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1
＝B －1A －1
. 2．求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵M ＝??
????
a b c
d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，
属于λ的特征向量a ＝??????x y 满足M ??????
x y ＝λ????
??
x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：
①解f (λ)＝????
??
λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；
②解???
??
λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0
?(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．
3．注意3个易错点：
（1）并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：
矩阵A ＝??
??
??a b c d 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1
＝
?????
???d |A | －b |A |－c |A | a |A |.
（2）不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝??
????
a
b c
d 有特征值λ的充分必要条件是方程????
??
λ－a －b －c λ－d
＝0有解．
（3）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． 【考点针对训练】
1．已知矩阵A ＝??
??
?? 2
1－1
3将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.
(1)求直线l ′的方程；
(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1
；若不可逆，请说明理由．
【答案】（1）l ′的方程为4x ＋y －7＝0；（2）A
－1
＝?????
???37 －1717 27. 【解析】(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，
设它在矩阵A ＝??
??
??
2 1－1 3对应的变换作用下变为Q (x ，y )． ∵?????? 2 1－1
3??????x 0y 0＝????
??x y ， ∴?
??
??
x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即?????
x 0＝3x －y
7y 0
＝x ＋2y
7
，
又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴
3x －y 7＋x ＋2y
7
－1＝0， 即直线l ′的方程为4x ＋y －7＝0.
(2)∵??
??
?? 2 1－1
3≠0，∴矩阵A 可逆．
设A －1
＝??
????
a b c
d ，∴AA －1
＝????
??1 00
1，
∴?????
2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，
解之得???????
a ＝3
7
，
b ＝－1
7
，c ＝1
7
，d ＝27，
∴A
－1
＝?????
???37 －1717 27. 2．已知矩阵M ＝??????4 －32 －1，向量α＝????
??
75.
(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3
α.
【答案】（1）特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝??????11，特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝??????
32.；
（2）????
??
4933.
【解析】(1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝????
??λ－4 3－2 λ＋1＝λ2
－3λ＋2，
令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.
当λ1＝1时，解方程组???
?
?
－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，
得一个非零解???
??
x ＝1，y ＝1.
因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝????
??
11；
当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝????
??
32.
(2)设α＝m α1＋n α2，得?
??
??
m ＋3n ＝7，
m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.
所以M 3
α＝M 3
(α1＋2α2)＝M 3
α1＋2M 3
α2＝λ3
1
α1＋2λ32
α2＝??????11＋2×23??????32＝????
??4933.
【两年模拟详解析】
1．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知矩阵 10120206A B -????
==????
????，，求矩阵1.A B - 【答案】1
1203A B ---??=????
【解析】由逆矩阵公式得1
10102A --??
??=????
，再利用矩阵运算得11203A B ---??=????
2．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy
中，设点()1,2A -在矩阵1001M -??
=??
??
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转
90得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '，
依题意，由10110122--??????
=?
???????????
，得()1,2A '． 则()()2,2,1,2A B A B x y '''==--．
记旋转矩阵0110N -??
=????
，
则01211022x y --??????=??????-??????，即2122x y --????=????-????，解得1
4x y =-??=?
，
所以点B '的坐标为()1,4-．
3．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ????
-??
所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． （1）求a ，b 的值．
（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2
． 【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）?
?
?
?
??--=45112B
4．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转
2
π
角的旋转变换，
对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101??????
． （1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y ＝x 2
先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P '(-1,2).（2）y －x ＝y 2
.
【解析】(1)M 1＝0110-??????
， M 121??????＝12-??
????
．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝1110-??
??
??
， 设x y ??
????是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ??????, 则M 00x y ??????＝x y ??
????
,也就是000x y x x y -=??=? 即00y y x x y =-??=?
所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2
.
5．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2
＝1，矩阵A ＝1210??????
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2
＋y 2
＝2
6．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】已知变换T把平面上的点(34)
-
，，(5 0)
，分别变换成(21)
-
，，(1 2)
-，，试求变换T对应的矩阵M．
【答案】
113
520
211
520
??
--
??
=??
??
??
??M
【解析】设
a b
c d
??
=??
??
M，由题意，得
3521
4012
a b
c d
-
??????
=
??????
--
??????
，
∴
342
51
341
5 2.
a b
a
c d
c
-=
?
?=-
?
?
-=-
?
?=
?
，
，
，
解得
1
,
5
13
,
20
2
,
5
11
20
a
b
c
d
?
=-
?
?
?=-
?
?
?=
?
?
?=
?
. 即
113
520
211
520
??
--
??
=??
??
??
??
M．
7．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟】已知矩阵
12
14
A
??
=??
-??
，向量
5
3
a
??
=??
??
，计算5
A a.
【答案】
371 307??????
8．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵
1 12a A ??=????
对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.
【答案】4a b +=
【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +??????
=??????+??????
，得()20x ay x y b +++-=
即2022a b x y ++
-=，由条件得，21,222a b
+=-=-，解得04a b =??=?
，所以4a b +=
9．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知矩阵21m n ??=?
???M 的两个特征向量110α??=????，201α??
=??
??
，若12β??
=????
，求2
βM
.
【答案】42??????
【解析】设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，
则由111
222M M αλααλα=??=?可解得：120,2,1m n λλ====，
又1211022201βαα??????
==+=+????????????
，
所以2
222121122104(2)242012
M
M βααλαλα??????
=+=+=+=????????
??
??
.
10．【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知矩阵A ＝21a b ??
?
???
，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11????-??，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝32??
????
．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －1
．
【答案】2321??????，1
14
23142??
-
?????
?-????
【解析】由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11??
??-??
可得，
21a b ??????11????-??＝111??
-??-??
，即a －b ＝－1； 由矩阵A 属于特征值4的一个特征向量为α2＝32??
????，
可得21a b ???
???32??????＝342??
??
??
，即3a +2b ＝12， 解得23a b =??
=?.即A ＝2321??
????
， 所以A 逆矩阵A -1
是1
1423142??
-???
???-????
11．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知矩阵A ＝????
??
3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征
向量为α1＝??????11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝????
??
3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
【答案】A ＝?????? 3 3 2 4， A 的逆矩阵是
?????
??? 23 －1
2 －1
3 12．
12．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】已知矩阵21a M b ??
=????，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.
【答案】1,4-
【解析】由条件可知233115a b ??????
=??????-??????，所以233,315a b ?-=??-=?
，
则3,2a b ==． 矩阵的特征多项式为22
3
()(2)(1)(2)(3)342
1
f λλλλλλλ--=
=-----=----， 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．
13．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知1 0 4 31 2 4 1-????
=????-????B ，求矩阵B ． 【答案】 4 3.4 2-??
=??-??
B 【解析】设 , a b c d ??=????B 则1 0
1 2
2 2a b a c b d ????=????++????B ， 故4,4,
3,3,
4 3.24,4, 4 221, 2.
a a
b b a
c c b
d d =-=-????==-???
?=????+==-????
??+=-=-??解得故B 14．【泰州市2015届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （2，0），C （1，
2），矩阵011
02??
??=??-??M ，点A ，B ，C 在矩阵M 对应的变换作用下得到的点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''的面积． 【答案】1
【解析】因0000????=????????M ，2001????=????-????M ，21122??
????
=????
-????
M ，
即1
(00)(01)(2)2
A B C '''--，，，，，．
故1
212S A B ''=??=．
15．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知二阶矩阵M 有特征值1λ=-及对应的一个特
征向量112??
=????
e ，并且矩阵M 对应的变换将点()1,1变换成()0,3-．
（1）求矩阵M ；
（2）已知向量28??=????
α，求5M α的值． 【答案】（1）1141M -??
=??-??；（2）246480-??????
. 【解析】（1）设a b M c d ??=????，则1122a b c d -??????=??????-??????，故2122a b c d +=-??+=-?
. 1013a b c d ??????=??????-??????，故0
3a b c d +=??+=-?
. 联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故1141M -??
=??-??. （2）由（1）知 1141M -??=??-??
则矩阵M 的特征多项式为221
1
()(1)42341
f λλλλλλ-=
=--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3. 设矩阵M 的另一个特征向量是2x y ??=????
e ， 则2343x y
x M x y y -????==?
???-+
????e ，解得20x y +=,故212-??
=????
e .
由12m n =+αe e ，得2
4
m n m n -=??+=?，得3,1m n == .
∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55
551122112463()3(1)322480λλ--??????=+=?-+=????????????
e e .
拓展试题以及解析
1． 已知矩阵10120206A B -????==????
????
，，求矩阵1.A B - 【答案】1
101212.1060302A B --??
--??????==??????????
??
【入选理由】本题考查矩阵的乘法运算，考查二阶逆矩阵的求法，意在考查学生逻辑思维能力和运算求解能力.本题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考查知识基础，目的明确，是高考出题方向，故选此题.
2．已知矩阵a b A c d ??
=????
，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α??=????，属于特征值1的一个特征向
量为232α??
=??-??．求A 的逆矩阵．
【答案】
1
21321132A -??-??=????-????
【解析】由题意得11611a b c d ??????=????????????，33122a b c d ??????
=???????--??????
则 66323322a b c d a b c d +=??+=??-=??-=-? ， 解得3234
a c
b d =??=??=?
?=?，即3324A ??=????，所以1
2
1321132A -??-??=????-????. 【入选理由】本题考查矩阵的特征值与特征向量，本题通过特征值与特征向量概念求得矩阵A ，然后再求得逆矩阵，意在考查最基本的运算求解能力，意在考查学生逻辑思维能力.符合江苏高考对选做题的要求，故选此题.
3．变换1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ??=????
．求函数2
y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程． 【答案】
2y x y -=
【入选理由】本题考查矩阵的运算与平面变换之间的关系，考查用矩阵运算表示平面变换，意在考查学生分析问题与解决问题的能力，考查推理想象能力，考查运算求解能力，本题型考查知识基础，方法简单，是高考出题方向，故选此题.
2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题）
数学必修一知识点大全 一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算： 数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值； （2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。 如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为： ；
二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠； 零指数幂的底数0≠；实际问题有意义； 如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是： （2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是． 5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=． 6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是． 7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是． 9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是． 11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是． 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=， 其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是． 二.解答题 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
2013年江苏高考数学模拟试卷（六） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝ ． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该 长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小 值为 ． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End
考点18 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）将函数 的图象向右平移个单位得到函数的图象，则以函数与的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________________． 【★答案★】 【解析】 解：函数的图象向右平移个单位得到函数＝，如下图所示， 点坐标为，之间为一个周期： 所以，三角形的面积为： 故★答案★为： 2．（江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试）将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝_______． 【★答案★】 【解析】 将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2?+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=， 故★答案★为：．
3．（江苏省南通市2019届高考数学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，将函数的图象向右平移个 单位得到 的图象，则 的值为______ 【★答案★】 【解析】 由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象， 所以 ． 4．（江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试四）若将函数（）的图象向左平 移 个单位所得到的图象关于原点对称，则 __________． 【★答案★】. 【解析】分析：先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得． 详解：将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象对应的解析式为 由题意得函数为奇函数， ∴， ∴， 又， ∴ ． 点睛：关于三角函数的奇偶性有以下结论： ①函数y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数． ②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)． ③若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)． 5．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π? ? =+ ?? ?
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，
cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；
江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则
=d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值.
2011年江苏省高考数学试卷
2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________．
11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。 圆锥的体积公式：V 圆锥 1 3 Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是________▲________. 4.已知一组数据4.7,4.8, 5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =2 32x x -- 的定义域是 ▲ . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ . 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ . 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ . (第10题)
2005年高考数学江苏卷试题及答案 源头学子小屋 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的 1.设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{ }3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(32 1R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ） A ．32log 2 -=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．x y -=32 log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 4.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ） A ． 43 B ．23 C ．4 3 3 D ．3 5.ABC ?中，3 π =A ，BC=3，则ABC ?的周长为 （ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6.抛物线2 4x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ． 16 17 B ．1615 C ．87 D ．0 7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A ．484.0,4.9 B ．016.0,4.9 C ．04.0,5.9 D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α?m ，α?n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α?l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则
1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B
2019·江苏卷(数学) 1.A1[2019·江苏卷]已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= . 1.{1,6}[解析] 由题易知A∩B={1,6}. 2.L4[2019·江苏卷]已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是. 2.2[解析] (a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i.因为该复数的实部为0,所以a=2. 3.L1[2019·江苏卷]图1-1是一个算法流程图,则输出的S的值为. 图1-1 3.5[解析] 由图可得,x=1,S=0+=;x=2,S=+1=;x=3,S=+=3;x=4,S=3+2=5,退出循环,输出的S的值为5. 4.B1[2019·江苏卷]函数y=-的定义域是. 4.[-1,7][解析] 由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7]. 5.I2[2019·江苏卷]已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是. 5.[解析] 这组数据的平均数为=8,所以方差为=. 6.K2[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 6.[解析] 3名男同学记为A,B,C,2名女同学记为D,E. 基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个,其中至少有1名女同学的基本事件有7个,故所求概率为. 7.H6[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程 是. 7.y=±x [解析] 将(3,4)代入双曲线方程可得b=,所以该双曲线的渐近线方程是y=±x. 8.D2[2019·江苏卷]已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.
江苏省清江中学 2015届高三数学备课组工作计划 一、背景分析 学校层面，2008年到2014年我校高考数学一直是全市第二的好成绩，2014年的全市第二的含金量更高了，一是二本达线人数大幅提升，二是缩小了与第一的差距，拉大了与第三的差距，三是文科张堃同学一150分在强手如林的选手中夺得淮安市第一名。这给我们2015届的数学教学工作提出了更高的要求，也激发我们一年更比一年好的斗志。 学生层面，本届学生理科班共十个班，文科十个班，艺术班一个，经过高一高二的扎实教学，学生的学习习惯，知识储备都有了一定的积累，基本符合高三一轮的入门标准。但其中还有相当部分学生存在以下一些问题，学习数学的积极性不高，对数学学习的投入程度不够，解题的规范性不到位，基础知识掌握的不牢固。 教师层面，理科数学老师有韩怀兵、黄宝球两位老师，文科有嵇丽亚、卢闯两位老师是从上届高三留下来的，其余七位老师都是从高二升到高三的数学老师，有一位老师是第一次带高三。结构合理，由中青年组成的团队思想接近，易于沟通，团队意识强，既有利于团队间的协作，也有利于教师自身的成长。同时张阳、何军两位备课组长善于统筹安排、善于凝聚人心，有利于发扬高三数学组团队意识，能充分发挥每一位数学老师的个体优势，带领大家有针对性地制订复习策略，有信心、有决心脚踏实地、细致入微的做好本届高三的数学复习工作。 二、指导思想 根据高考的实际和我校的实际情况，清江中学的数学高考复习的指导思想确定为： 以考试说明、课程标准、教学大纲为指导，以近几年高考的命题风格为导向，以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材，全面实施高三数学复习。
高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-<
∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的 周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
2020江苏高考数学模拟考试 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3 y x π ω=+ (0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ． 2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ． 3．已知平面向量(1,1)a =-r ，(2,1)b x =-r ，且a b ⊥r r ，则实数x = ▲ ． 4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题： （1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α 相交 （2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直 线与平面β也不垂直 （4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂 直于平面β 真命题．．． 的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离 心率为 ▲ ． 8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则 19 a c +的最小值是 ▲ ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 10．若动点(,)P m n 在不等式组24 00 x y x y +≤?? ≥??≥? 表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取 值范围是 ▲ ． 11．在ABC ?中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足22 1sin cos 2 AP AB AC θθ=?+?u u u r u u u r u u u r ()R θ∈， 则()PA PB PC +?u u u r u u u r u u u r 的最小值是 ▲ ． 12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的 一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25 ()32 f x ax x a =--+ 在区间 （第5题）