差分方程及高等数学在经济学中的应用
前面我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型，但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以数列形式变化的，如银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等。通常称这类变量为离散型变量。对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型。求解这类模型就可以得到离散型变量的变化规律。本章将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型——差分方程。
用数学方法解决实际问题,首先要构建该问题的数学模型,即找出该问题的函数关系。然后再用数学方法结合经济意义进行求解，解释经济意义，以期对经济运行进行分析干预。本章我们还将通过介绍几种常用的经济函数的建立及求解，以期引导学生掌握分析解决具体经济问题的思想方法。
§1 差分方程及其在经济学中的应用
本节主要介绍差分方程的概念、性质及求解。重点掌握一阶差分方程的求解。 一、差分的概念与性质
一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用dy dt
来刻画的；对离散型的变量y ，
我们常取在规定的时间区间上的差商y t
??来刻画变量y 的变化率。如果选择1t ?=，则
(1)()y y t y t ?=+- (1)
可以近似表示变量y 的变化率。由此我们给出差分的定义。
定义1 设函数()t y y t =. 称改变量1t t y y +-为函数t y 的差分，也称为函数t y 的一阶差分，记为t y ?，即1t t t y y y +?=-，或()(1)()y t y t y t ?=+-. 根据定义可知，差分满足以下性质：
（1）()t t Cy C y ?=?（C 为任意常数）； （2）()t t t t y z y z ?±=?±?； （3）11()t t t t t t t t t t y z z y y z z y y z ++??=?+?=?+? ； （4）1111
(
)t t t t t t t t t
t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++?-??-??==?? (0).t z ≠ 证明 在此，我们只证明性质（3），其余的请读者自证。
111111()t t t t t t t t t t t t t t y z y z y z y z y z y z y z ++++++??=-=-+-1t t t t z y y z +=?+?.
推论 ()t t t t ay bz a y b z ?±=?±?（,a b 为任意常数）
注：差分具有类似导数的运算性质。其中，（2）、（3）可推广到任意有限个函数的情形。 一阶差分的差分2
t y ?称为二阶差分，即
2121121()()()2t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y y y ++++++?=??=?-?=---=-+.
类似地可定义三阶差分、四阶差分、……
32()t t y y ?=??，43()t t y y ?=??，….
一般地，函数t y 的1n -阶差分的差分称为n 阶差分，记为n
t y ?，即
1
1
10
(1)n
n n n i i
t t t n t n i i y y y C y --++-=?=?
-?
=-∑ (2)
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。 例1 设2t y t =，求t y ?，2t y ?，3
t y ?. 解 2
2
2
()(1)2 1.t y t t t t ?=?=+-=+
222()(21)[2(1)1](21) 2.
t y t t t t
?=?=?+=++-+
=
3
2
()220.t t y y ?=??=-=
注：()0C ?=（C 为常数）。 例2 设(0),t y t t α
=≠求t y ?.
解 ()(1)t y t t t α
α
α
?=?=+-
特别地，当n α
=（n 为正整数）时， 1
n
i n i
t n
i y C x -=?=∑， 阶数降了一阶. 推论 若,m n 为正整数()f t 为t 的n 次多项式，则()n
f t ?为常数，且 ()0m
f t ?= ()m n >. 例3 求2
3t
t y t =?的差分。 解 由差分的运算性质，有
()222(3)3(1)(3)t t t t y t t t ?=??=?++?
22
3(21)(1)233(263).t t t t t t t =+++??=++ 二、差分方程的概念
与常微分方程的定义类似，下面我们给出差分方程的定义。 定义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方程。
差分方程的一般形式：
()
2,,,,,0n
t t t t F t y y y y ???=L 或 ()12,,,,,,0t t t t t n G t y y y y y +++=L .
差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.
差分方程的不同形式可以互相转化. 例如，二阶差分方程2123t t t t y y y ++--=可化为223t
t t y y ?-=. 又如，对于差分方程3
2
0t t y y ?+?=. 由0
(1)n
n
i
i
t n
t n i
i y C y
+-=?=
-∑，得
2212t t t t y y y y ++?=-+，3
32133t t t t t y y y y y +++?=-+-， 代入原方程，得 ()()321213320t t t t t t t y y y y y y y +++++-+-+-+=
， 因此原方程可化为 32120t t t y y y +++-+=.
定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.
例如，对于差分方程12t t y y +-=，将2t y t =代入该方程，有
()12122t t y y t t
+-=+-=，
故2t y t =是该方程的解. 易见对任意常数C ，2t y t C =+都是差分方程12t t y y +-=的解.
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解.
在实际应用中，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程.
线性差分方程的一般形式为
()()
()()11
11,t n t n n t n t
y a t y a t y a t y f t ++
--+++++
=L (3) 其特点是1,,,t n t n t y y y ++-L 都是一次的. 例4 试确定下列差分方程的阶：
(1) 3240t t t y y y +---+=； (2) 51537t t y y +++=.
解 (1) 由于方程中未知函数下标的最大差为7，由阶的定义，此方程的阶为7. (2) 由于方程中未知函数下标的最大差为4，由阶的定义，此方程的阶为4. 例5 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，进一步指出是否为线性方程.
(1) 33t t t y y a -?=+； (2) 21234t t t y y y ++-+=.
解 (1) 将原方程变形为13t t y a +-=，因其只含有自变量的一个函数值，所以这个方程不是差分方程. (2) 由定义知，这个方程是差分方程，且是线性差分方程.
从前面的讨论中可以看到，关于差分方程及其解的概念与微分方程十分相似。事实上，微分与差分都是描述变量变化的状态，只是前者描述的是连续变化过程，后者描述的是离散变化过程. 在取单位时间为1，且单位时间间隔很小的情况下，
(1)()t dy dy
y f t f t dy t dt dt
?=+-≈=
?=
， 即差分方程可看做连续变化的一种近似. 因此，差分方程和微分方程无论在方程结构、解的结构还是在求
解方法上都有很多相似之处.
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为 1(),t t y Py f t +-= (4)
其中，P 为非零常数，()f t 为已知函数. 如果()0f t ≡，则方程变为
10.t t y Py +-= (5)
方程(5)称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(4)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.
1. 一阶常系数线性齐次差分方程的通解
一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设0y 已知，将0,1,2,t =L 分别代入方程1t t y Py +=中，得
10y Py =, 2210y Py P y ==, 3320y Py P y ==, L , 10t t t y Py P y -==. 即0t
t y P y =为方程(5)的解.
容易验证，对任意常数C ，t t y CP =都是方程(5)的解，故方程(5)的通解为
t
t y C P = . (6)
例6 求差分方程130t t y y +-=的通解.
解 利用公式(6)得，题设方程的通解为3t
t y C =.
2. 一阶常系数线性非齐次差分方程
定理1 设t y 为方程(5)的通解，*
t y 为方程(4)的一个特解，则*
t t t y y y =+为方程(4)的通解。
证明 由题设，有**
1()t t y Py f t +-=，及10t t y Py +-=，将这两式相加得
()()**1
1()t t t t y y P y y f t +++-+=,
即*
t t t y y y =+为方程(4)的通解.
下面我们对右端项()f t 的几种特殊形式给出求其特解*
t y 的方法，进而由定理1，结合（6）给出式(4)的通解的形式：
1）()f t A =（A 为非零常数）.
给定0y ，由**1t t y Py A +=+，可按如下迭代法求得特解*
t y ：
*10y Py A =+, ()**2*2101y Py A P y A P =+=++, ()**3*23201y Py A P y A P P =+=+++,
L L
()
*2101t t t y P y A P P P -=+++++L
00,111,1t A A y P P P P y At P ???-+≠? ?=--????+=?
(7) 由式(6)得，方程(5)的通解为1t t y C P =（1C 为任意常数），于是，方程(4)的通解为
,11,1
t
A
CP P P C At P ?+≠?-?
?+=?
(8)
其中，C 为任意常数，且当1P ≠时，011A C y C P =-+-，当1P =时，01C y C =+.
例7 求差分方程132t t y y +-=-的通解.
解 由于3,2,P A ==-故原方程的通解为 31t
t y C =+.
2）()t
f t Ab =（,A b 为非零常数且1b ≠）.
当b P ≠时，设*t
t y kb =为方程(4)的特解，其中k 为待定系数. 将其代入方程(4)，得
1t t t kb Pkb Ab +-=，解得A k b P
=-.
于是，所求特解为*t t A y b b P
=-. 当b P ≠时，方程(4)的通解为 t t t A y CP b b P
=+
- (9) 当b P =时，设*
t
t y ktb =为方程(4)的特解，代入方程(4)，得A
k P
=，所以，当b P =时，方程(4)的通解为 1t t t y CP Atb -=+. (10)
例8 求差分方程113322t
t t y y +??-= ???在初始条件05y =时的特解. 解 这里13
,3,22
P A b ===，利用公式(9)，得所求通解为
31322t t
t y C ????=+ ? ?????
， 将初始条件05y =代入上式，得2C =.故所求题设方程的特解为
313222t t
t
y ????=+ ? ?????
. 3）()n
f t At =（A 为非零常数，n 为正整数）.
设方程(4)的特解为*
01()k
n
t n y t B B t B t =+++L
当1P ≠时，设*01n
t n y B B t B t =+++L 为方程(4)的特解，其中01,,,n B B B L 为待定系数. 将其代入
方程(4)，求出系数01,,,n B B B L ，就得到方程(4)的特解*
t y .
例9 求差分方程2
143t t y y t +-=的通解.
解 设题设方程的特解为*
2
012t y B B t B t =++，将*
t y 代入题设方程，得
()()2201212233233.B B B B B t B t t -+++-+-=
比较同次幂系数，得
059B =-，12
3
B =-，21B =-.
从而所求特解为*25293t y t t ??
=-++
???
. 而题设方程的通解为
*252493t
t
y t t C ??=-+++ ???
. 4）()()t
n f t A P t λ=(A 为非零常数，()n P t 是n 次多项式,
λ是常数)，则非齐次方程为
1()t t t n y py A P t λ+-=.
为了求出它的一个特解，分两步：第一步， 令 t
t t y z λ=，代入方程得
11()t t t t t n z p z A P t λλλ++-=，
它等价于1()t t n z pz AP t λ+-=. 第二步，用3）的方法。
总之，对这种情况，可以直接设其特解为01()t k
n
t n y t B B t B t λ=+++L ，其中当P λ≠时，取0k =，当P λ=时，取1k =.
（练习课后习题5.（6）） 四、二阶常系数线性差分方程
二阶常系数线性差分方程的一般形式：
21()t t t y ay by f t ++++=, (11)
其中,a b 均为常数，且0b ≠，()f t 是已知函数。当()0f t ≡时，方程(11)变为 210t t t y ay by ++++=. (12)
方程(12)称为二阶常系数线性齐次差分方程。相应地，方程(11)称为二阶常系数线性非齐次差分方程。
仿照二阶线性微分方程解的结构定理，可写出关于二阶线性差分方程的解的结构定理。例如，我们有
定理2如果1()y y t =和2()y y t =都是方程（12）的解，则对任意常数12,,C C 1122()()C y t C y t +也是方程（12）的解．（证明略）
定理3 设t y 为方程(12)的通解，*t y 为方程(11)的一个特解，则*
t t t y y y =+为方程(11)的通解。（证明略）
1. 二阶常系数线性齐次差分方程的通解
与二阶常系数线性齐次微分方程的解法类似，考虑到方程(12)的系数均为常数，于是，只要找到一类函数，使得21,t t y y ++均为t y 的常数倍即可解决求方程(12)特解的问题。显然，指数函数t
λ符合这类函数的
特征。因此不妨设()*0t
t y λλ=≠为方程(12)的一个特解，代入该方程，得
212()0t t t t a b a b λλλλλλ++++=++=,
即
20a b λλ++=, (13)
称此方程为方程(12)或方程(11)的对应齐次的特征方程，称特征方程的解为特征根。仿照二阶常系数齐次线性微分方程，根据特征根的三种情况，分别给出方程(12)的通解。 1）特征方程有两个相异实特征根12,λλ，则通解的形式为
1122t t
t y C C λλ=+（12,C C 为任意常数）；
2）特征方程有二重根122
a
λλ==-
，则通解的形式为 ()122t
t a y C C t ??=+- ???
（12,C C 为任意常数）； 3）特征方程有两个共轭复特征根：1,2i λαβ=±，此时通解的形式为 ()()12t
t
t y C i C i αβαβ=++-（12,C C 为任意常数）. 为求得实数形式的通解，利用欧拉公式，记
()
c o s s i n i r i αβθθ±=±，
其中r =tan β
θα
=
，则 ()()(1)(2)12
cos sin ,cos sin t t t
t t t y r t i t y r t i t λθθλθθ==+==- 都是方程(12)的特解。由定理2，知：
()(1)(2)12t t y y +及()(1)(2)1
2t t y y i
- 也都是方程(12)的特解，即cos t
r t θ及sin t
r t θ都是方程(12)的特解。从而方程(12)的实数形式的通解为
()12cos sin t t y r C t C t θθ=+ （12,C C 为任意常数）.
例10 求差分方程21340t t t y y y ++--=的通解。
解 题设方程的特征方程为2
340λλ--=， 即 ()()410
λλ-+= 因而特征根为121,4λλ=-=，所以题设方程的通解为
()1214t
t
t y C C =-+ （12,C C 为任意常数）.
例11 求差分方程21440t t t y y y ++++=的通解。
解 题设方程的特征方程为2
440λλ++=， 即 ()2
20λ+=
因而特征根为122λλ==-，所以题设方程的通解为 ()()122t
t y C C t =+- （12,C C 为任意常数）. 例12 求差分方程21240t t t y y y ++-+=的通解。
解 题设方程的特征方程为2
240λλ-+=，
解之得一对共轭复根12,1λ=±
，即1,αβ==，
故有
2r ==
，tan βθα=
=3
πθ=. 于是，题设方程的通解为
122cos sin 33t t y C t C t ππ??
=+
??
? （12,C C 为任意常数）. 2. 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解
由定理3 ，这里只需讨论二阶常系数非齐次线性差分方程的一个特解*
t y 的方法。 仅考虑方程(11)中()f t 取某些特殊形式的函数时的情形。
1）()()m f t P t =（其中()m P t 是t 的m 次多项式），方程(11)具有形如*()k
t m y t R t =的特解，其中()m R t 为t 的m 次待定多项式。
当10a b ++≠时，取0k =. 设*01()m
t m m y R t B B t B t ==+++L ；
当10a b ++=，但2a ≠-时，取1k =. 设()
*01m
t m y t B B t B t =+++L ； 当10a b ++=，且2a =-时，取2k =. 设()
*201m
t m y t B B t B t =+++L .
根据以上情形，分别把所设特解*
t y 代入方程(11)，比较两端同次项的系数，确定系数01,,,m B B B L ，
即可得方程(11)的特解。
例13 求差分方程2134t t t y y y t +++-=的通解 解 对应的齐次差分方程的特征方程为
2340λλ+-=，解得121,4λλ==-.
于是，对应的齐次差分方程的通解为 ()124t
t y C C =+-,
而11340a b ++=+-=，但32a =≠-，故设()*
01t y t B B t =+，代入题设方程，得 ()()()()2
2
2
01010122313144B t B t B t B t B t B t t +++++++--=.
比较两边同次项的系数，得
101101570B B B =??+=?，解得01750
110
B B =-??
=?. 从而所求题设方程的通解为
()127145010t
t y t t C C ??=-+++- ?
??
. 2）()()t m f t P t C =时（其中()m P t 的意义同(1)，C 为常数），则方程(11)具有形如*()k t t m y t R t C =的特解，其中()m R t 的意义同(1).
当2
0C Ca b ++≠时，取0.k = 设()
*01()t m t t m m y R t C B B t B t C ==+++L ；
当2
0C Ca b ++=，但20C a +≠时，取 1.k = 设()
*01()t m t t m m y tR t C t B B t B t C ==+++L ； 当2
0C Ca b ++=，且20C a +=时，取 2.k = 设 ()
*2201().t m t t m m y t R t C t B B t B t C ==+++L
分别就上面各种情形，把所设特解*
t y 代入方程(11)，比较两端同次项的系数，确定系数01,,,m B B B L ，
即可得方程(11)的特解。
例14 求差分方程21232t t t t y y y ++++=?的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 2210λλ++=，解得12 1.λλ==- 则对应的齐次方程的通解为()()121.t
t y C C t =+-
又244190C Ca b ++=++=≠，设特解*02t t y B =，代入方程，得 21000222232,t t t t B B B ++++=?
消去2t
，得000443B B B ++=，于是01.3
B = 得特解*
2.3t t y = 故所求方程的通解为
()()1221.
3t
t t y C C t =++-
五、差分方程在经济学中的应用
采用与微分方程完全类似的方法，可以建立经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用。 1）分期偿还贷款模型
国家对贫困大学生除了发放奖学金、特困不住外，还用贷款方式进行助困。另外，贷款购房、购汽车等也逐步进入了我们的生活。如何计算分期归还贷款的问题，是一个十分现实的问题。这个问题的一般
提法是：假设从银行贷款0P ，年利率是p ，这笔借款在m 年内按月等额归还，试问每月应偿还多少？
假设每月偿还a 元。
第一步计算第1个月应付的利息10.12
p y P =?
第二步计算第2个月应付的利息。
第1个月偿还a 元后，还需偿还的贷款是0001.12
p
P a P P a y -+?
=-+
故第2个月应付利息()
20111.121212
p p p y P a y y a ??=-+=+- ??? 类似地，可推导出第1n +个月应付利息：11,1212
n n
p p y y a +?
?=+
- ??
? 即 11.1212n n
p p
y y a +??-+=- ???
（*） 这是一个一阶非齐次线形差分方程。
（*）的通解是1.12n
n p y C a ??=++ ???
将1012p y P =?代入，得012.112
p
P a C p -=+ （*）的特解是1001211.121212112n n n p P a p p p y a P a a p -??- ???????=++=-++ ? ? ????????? ?+??
即 1
1
011.121212n n n p p p y P a a --??
?
?=++-+ ?
?
??
??
m 年的利息之和是
1212
m I y y y =+++ 1
1
12120111121121212n n m
m
n n p p p P ma a --==???
?=++-+ ?
?
??
?
?∑∑
12120
11111212121211111212m m
p p p P ma a p p ???
?+-+- ?
?????=?+-?????+-+- ? ?????
1212
001212111.1212m
m p p ma P P a p ??
????=-++-+-?? ?
???
??
????
上式中，12ma 是m 年还款总数，0P 是贷款数，则012ma P -等于m 年利息总数I ，这样一来， 12120121110.1212m m p p P a p ??
????+-+-=?? ? ?????????
解得 12011212.1112m
p p P a p ??+ ???=??+- ???
例15 某学生一年级贷款1000元，二年级贷款1000元，计划大学学习四年毕业后用两年时间偿还，设贷款年利率是7%，问平均每月要偿还多少元？
解 一年级贷款1000月，毕业时本利和是()4100010.071310.80+=元，二年级贷款1000元，毕业时本利和是()3100010.071225.04+=元，毕业时实际需归还：01310.801225.042535.84P =+=元，计划毕业后分两年
偿还， 2.m =
代入上面模型所得的公式中，得
122
122
0.070.072535.8411212113.540.071112a ???
???+ ???=≈??
+- ?
?? 即平均每月需偿还113.54元。
2）“筹措教育经费”模型
某家庭从现在开始，从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业并用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内要总共筹措多少资金？每月要在银行存入多少钱？ 假设投资的月利率为0.5%，为此，设第t 个月，投资帐户资金为t a 元，每月存入资金为b 元，于是20年后，关于t a 的差分方程模型为
1 1.00510
00t t a a +=- (1) 且12000,.a a x ==
解方程(1)，得其通解为：()()10001.005 1.0052000001 1.005
t t t a C C =-=+-,
其中A 为任意常数。因为 ()12012001.0052000000,200000,a C a C x =+==+= 从而有()120
20000020000090073.451.005x =-=.
从现在到20年内，t a 满足方程
1 1.005t t a a b +=+ (2) 且02400,90073.45.a a ==，
解方程(2)，得通解： ()()1.005 1.0052001 1.005
t t
t b a C C b =+=--
以及()
240
24001.00520090073.45,2000a C b a C b =-==-=，从而有194.95b =.
即要达到投资目标，20年内要筹措资金90073.45元，平均每月要投入194.95元。
1. 求下列函数的一阶和二阶差分
(1) 2
12y t =-；(2) 133t
t
y ??=+ ?
??
；(3) ()221y t t =-；(4) t e y t =； (5) (1)(2)(1)y t t t t n =---+L . 2.确定下列方程的阶：
(1) 23132t t t y t y y ++-+=；(2) 242t t t y y y --+-=. 3. 设,,t t t Y Z U 分别是下列差分方程的解：
111213(),(),().t t t t t t y ay f t y ay f t y ay f t ++++=+=+= 求证：t t t t X Y Z U =++是差分方程1123()()()t t y ay f t f t f t ++=++的解。 4. 证明下列各等式：
(1) 1()t t t t t t y z z y y z +??=?+? ； (2) 1
()t t t t t t t t y z y y z z z z +?-??=? (0).t z ≠
5. 求下列差分方程的通解：
(1) 10t t y y ++=；(2) 2126t t y y t +-=； (3) 1t t y y t +-=； (4) 12t t t y y ++=； (5) 1t t t y y e βα+-=（,αβ为非零常数）； (6) 132t t t y y t ++=?.
6. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：
(1) 10421,1t t y y y ++==；(2) 103,2t t y y y +-==；(3) 1020,3t t y y y ++==；(4) 10716,5t t y y y -=-+=. 7. 求下列二阶差分方程的通解及特解：
(1) 217394t t t y y y +++-= 01(6,3)y y ==； (2) 21220t t t y y y ++-+= 01(2,2)y y ==； (3) 21212t t t y y y +++-= 01(0,0)y y ==； (4) 2154t t t y y y t ++++=
01(0,0)y y ==. 8. 设某产品在时期t 的价格、总供给与总需求分别为,t t P S 与t D ，并设对于0,1,2,t =L ，有(1) 21t t S P =+；(2) 145t t D P -=-+；(3) t t S D =.
(I) 求证：由(1)、(2)、(3)能推出差分方程122t t P P ++=； (II) 已知0P 时，求上述方程的解。
9．某人最初在年利率是4%的银行内存入1000元，计划以后每年年终再连续加存100元。m 年后此
人账目有存款多少？试列出差分方程并计算。再用迭代法求出前四年此人账目中的存款额。
10．某房屋总价8万元，先付一半就可入住，另一半由银行以年利率4.8%贷款，五年付清，问平均每月需付多少元？共付利息多少元？
1. (1)42t --，4-；(2)212333t
t ???-? ???，414393t
t ??
?-? ???
；(3)2641t t ++，1210t +；
(4)
11t t e e t t +-+，21221t t t
e e e t t t
++-+++ ；(5)(1)(2)(2)t t t t n ---+L ，(1)(2)(3)t t t t n ---+L . 2. (1) 3阶；(2) 6阶. 3. (略)； 4. (略).
5. (1)()1t
t y C =-；(2) ()
22632t t y C t t =-++；(3) 21122t y C t t =-
+；(4) ()1123
t
t t y C =-+?；(5) 当e βα≠时，2
1t t y C e e ββ
αα
=+
-，当e βα=时，()12
t t y C te βα-=+； (6) ()2132255t t
t y C t ??=-+-+? ???
.
6. (1) 511626t
t y ??=-+ ?
??；(2) 23t y t =+；(3) 132t
t y ??=- ???
；(4) ()72t t y C =-+. 7. (1) 121731174,4222222t t
t t
t t y C C y ????????=++-=+
+- ? ? ? ?????
????
；
(2) 12cos sin ,2cos 444
t t
t t y C t C t y t πππ
??
=
+=
? ??
?；
(3) ()()124442,4233
t
t
t t y t C C y t =+-+=+--； (4) ()()()()1271711114,1410010100101275
t t t t
t t y t C C y t =-
++-+-=-++---. 8. (I) (略)；(II) ()022233t
t P P ??=--+ ??
?.
9．25003500 1.04m m y =-+?；第一年1000元，一年后1140元，两年后1285.60元，3年后1437.02元。 10．每月需付751.19元，共付利息5071.40元。
§2 经济学中常见的经济函数
经济学中，经济函数有许多，其中最常见的是利息、贴现、需求函数、供给函数、成本函数、利润函数、收入函数等。
一、 利息问题
利息是指借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的金额按一定比例计算出来的。利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式。
1. 单利与复利
设初始本金为p (元)，银行年利率为r .
1） 单利计算公式（每年分m 次付息，且每次的利息都不计入本金）
第一年末本利和为 ()11r s p m p p r m ??=+=+ ???
； 第二年末本利和为 ()()211
2r s p r m p p r m ??
=++=+
???
； …… ……
第n 年末本利和为 ()1n s p n r =+.
显然，年末的本利和与支付利息的次数m 无关。
2）复利计算公式 （每年分m 次付息，且每次支付的利息都计入本金） 第一年末本利和为
1111m
m r r r s p p m m m ??????=++=+ ? ? ?
??????L 144444442
44444443个
；
第二年末本利和为 22111m m
m
r r r s p p m m m ??????=+?+=+ ?
? ?
?
?????
； …… ……
第n 年末本利和为 1mn
n r s p m ??
=+ ???
.
利用二项展开式()
2
(1)112
m
m m m x mx x x -+=++++L ，有
11m
r r m ??+>+ ??
?， 因而 ()11mn
n
r p p r m ??+>+ ?
?
?
这就是说，一年计算m 次复利的本利和比一年计算一次复利的本利和要大，且复利计算次数愈多，
计算所得的本利和数额就愈大，那是否会无限增大呢，为此引入连续复利的概念。
3）连续复利公式 （按名义年利率r 不断计算复利）
第n 年末本利和为 l i m 1l i m 1m
m n
r n r
rn n m m r r s p p
pe m m ?→∞
→∞
??
??=+
=+= ? ??
?
??
.
式中的n 可视为连续变量。上述公式仅是一个理论公式，在实际应用中并不是用它，仅作为存期较长情况下的一种近似估计。 二、贴现
票据的持有人，为在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余金额的现金称为贴现。
钱存在银行可以获得利息，如果不考虑贬值因素，那么若干年后的本利和就高于本金。如果考虑贬值的因素，则在若干年后使用的未来值（相当于本利和）就有一个较低的现值。
例如，若银行年利率为
，则一年后的107元未来值的现值就是100元。
考虑更一般的问题：确定第n 年后价值为R 元的现值。假设在这n 年之间复利年利率r 不变，每年支付利息一次。
利用复利计算公式有()1n
R p r =+，得到第n 年后价值为R 元钱的现值为()
1n
R
p r =
+，式中R 表示第
n 年后到期的票据金额，r 表示贴现率，而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据，且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票据而得到的现金：()()1202111n n
R R R p R r r r =+++++++L ，式中0R 为已到期的票据金额，n
R 为n 年后到期的票据金额。
()
1
1n
r +称为贴现因子，它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值。
由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表。
例1 小孩出生后，父母拿出p 元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利计算，则初始投资应该是多少？
解 利用公式rn n s pe =，求p . 现有方程
0.082
100000pe ?=，
由此得到 1.610000020189.65p e -=≈.
即父母现在必须存储20189.65元，到孩20岁生日时才能增长到100000元。
经济学家把20189.65元称为按8%连续复利计算20年后到期的100000元的现值。计算现值的过程称为贴现。这个问题的另一种表达是“按8%连续复利计算，现在必须投资多少元才能在20年后结余100000元”，答案是20189.65元，这就是100000元的现值。
一般地，n 年后金额n s 的现值p ，可以通过公式rn
n p s e
-=求得。而计算现值rn
n p s e
-=可以理解成
从未来值返回到现值的指数衰退。 三、需求函数
需求函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系。
假定其它因素（如消费者的货币收入、偏好和相关产品的价格等）不变，则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格。此时，需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系
()d Q f P =，
其中，d Q 表示需求量，P 表示价格。需求函数的反函数1()d P f Q -=称为价格函数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。需求函数以列表方式给出时称为需求表，而需求函数的图像称为需求曲线。
一般地，商品的需求量随价格的下降而增加，随价格的上涨而减少，因此，需求函数是单调减少函数。 一般的经济理论，对于需求函数并不赋予确定的形式。最常见、最简单的需求函数是假定它为如下形式的线性需求函数：d Q aP b =+(0,0)a b <>. 四、供给函数
供给函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系。
假定生产技术水平、生产成本等其他因素不变，则决定某种商品供给量的因素就是这种商品的价格。此时，供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系：()s Q f P =
其中，s Q 表示供给量，P 表示价格。供给函数以列表方式给出时称为供给表，而供给函数的图像称为供给曲线。
一般地，商品的供给量随价格的上涨而增加，随价格的下降而减少，因此，供给函数是单调增加函数。
最简单的供给函数，仍为线性供给函数：s Q cP d =+(0,0)c d >>.
五、市场均衡
对一种商品而言，如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡。以线性需求函数和线性供给函数为例，令d s Q Q =，则aP b cP d +=+，0d b P P a c -=-@
这个价格0P 称为该商品的市场均衡价格。
市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标。当市场价格高于均衡价格时，将出现供过于求的现象，而当市场价格低于均衡价格时，将出现供不应求的现象。当市场均衡时，有
0d s Q Q Q =@， 称0Q 为市场均衡数量。
根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还可以是二次函数、多项式函数与指数函数等。但其基本规律是相同的，都可找到相应的市场均衡点()00,P Q . 六、成本函数（费用函数）
产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出，成本函数表示费用总额与产量（或销售量）之间的依赖关系，产品成本可分为固定成本和变动成本两部分。所谓固定成本，是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本，如设备、厂房折旧费、工人工资等；所谓变动成本，是指随产量变化而变化的那部分成本，如材料、电费、燃料等。
若产量（或销售量）为x ，固定成本为0C ，变动成本为()1C x ，则成本函数：()()01C x C C x =+ ()0x ≥, 当产量0x =时，对应的成本函数值()0C 就是产品的固定成本值0C ，()()C x C x x
= ()0x >，称为单位成
本函数或平均成本函数。
成本函数是单调增加函数，其图像称为成本曲线。
七、 收入函数与利润函数
销售某产品的收入R ，等于产品的单位价格P 乘以销售量x ，即R Px =，称其为收入函数。而销售利润L 等于收入R 减去成本C ，即L R C =-，称其为利润函数。
当0L R C =->时，生产者盈利； 当0L R C =-<时，生产者亏损；
当0L R C =-=时，生产者盈亏平衡。使()0L x =为点0x 称为盈亏平衡点（又称为保本点）。 一般地，利润并不总是随销售量的增加而增加，因此，如何确定生产规模以获取最大的利润对生产者来说是一个不断追求的目标。
§3 边际分析与弹性分析
在经济活动中，常常遇到边际分析和弹性分析问题。边际分析与弹性分析是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法，这种方法广泛应用于经济分析与经济管理当中。通过对经济问题的边际情况的认识和研究，便可寻求对经济活动的科学指导。
一、 边际分析
在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化。
设函数()y f x =可导，00()()
y f x x f x x x
?+?-=
??表示()f x 在()00,x x x +?或()00,x x x +?内的平均变化率（速度）。
根据导数的定义，导数0()f x '表示()f x 在点0x x =处的瞬时变化率，在经济学中，称其为()f x 在点0x x =处的边际函数值。
当函数的自变量x 在0x 处改变一个单位（即1x ?=）时，函数的增量为00()()f x x f x +?-，但当x 改变的“单位”很小时，或x 的“一个单位”与值相比很小时，则有近似式
000()()()f f x x f x f x '?=+?-≈
. 它表明：当自变量在0x 处产生一个单位的改变时，函数()f x 的改变量可近似地用0()f x '来表示。在经济学中，解释边际函数值的具体意义时，通常略去“近似”二字，显然，如果()f x 的图形的斜率0()f x '在0x 附近变化不是很快的话，这种近似是可以接受的。
例如，设函数2y x =，则2y x '=，2y x =在点10x =处的边际函数值为(10)20y '=，它表示当10x =时，
x 改变一个单位，y （近似）改变20个单位。
若将边际的概念具体于不同的经济函数，则成本函数()C x 、收入函数()R x 与利润函数()L x 关于生产水平x 的导数分别称为边际成本、边际收入与边际利润，它们分别表示在一定的生产水平下再多生产一件产品而产生的成本、多售出一件产品而产生的收入与利润。
用偏导数也可定义边际产量、边际成本、边际收益、边际利润等概念。
例如，在商业与经济中经常考虑的一个生产模型——科布—道格拉斯生产函数
1(,)
,0a a
p x y cx y c -=>且01a <<，
其中p 表示由x 个人力单位和y 个资本单位生产出的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。偏导数
p x ??和p
y
??分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。 例1 某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数0.4
0.6(,)240,p x y x y =其中p 是由x 个人力单位
和y 个资本单位生产出的产品数量。
（1）求边际生产力；
（2）计算在32x =和1024y =时的边际生产力。 解 （1）
0.60.60.60.62400.496p x y x y x --?=?=?，0.40.40.40.42400.6144p x y x y y
--?=?=?； （2）
()
0.60.632,102496321024768,
p x
-?=??=?()
0.40.432,102414432102436.p
y
-?=??=?
如何理解这些边际生产力？假设所花费的资本总数固定为1024，则如果人力的总数由32改变一个单位，那么，产量将会改变768个单位。假设人力的总数固定为32， 则如果花费的资本总数由1024改变一个单位，那么，产量将会改变36个单位。
科布—道格拉斯生产函数与递减报酬是一致的。即，如果固定一个输入（人力或资本）而另一个无限增加，则产量最终将以一个递减率增加。借助这些函数可以证明，如果某个最大生产量是可能的，那么，为了这个可以达到的最大输出，更多的花费（人力或资本）将是不可避免的。 二、弹性分析
1. 概念
在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率，经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况，为此引入下面的定义。
定义 设函数()y f x =可导，函数的相对改变量 ()()()y f x x f x y f x ?+?-=
与自变量的相对改变量
x x
?之比y y
x x ??，称为函数()f x 在x 与x x +?两点间的弹性（或相对变化率）。而
极限0lim
x y y
x x
?→??称为函数()f x 在点x 处的弹性（或相对变化率），记为
00()lim lim x x E Ey y y y x x f x y Ex Ex x x x y y
?→?→??'===?=??.
注：函数()f x 在点x 处的弹性Ey Ex
反映随x 的变化()f x 变化幅度的大小，即()f x 对x 变化反应的强烈程
度或灵敏度。数值上，
()E
f x Ex
表示在点x 处，当x 发生1%的改变时，函数()f x 近似地改变
()%E
f x Ex
，在应用问题中解释弹性的具体意义时，通常略去“近似”二字。 设需求函数()d Q f P =，这里P 表示产品的价格。于是，可具体定义该产品在价格为P 时的需求弹性
为：
00()()
()lim
lim ()d d d d P P d d Q Q Q P Q P f P P P P P P P Q Q f P ηη?→?→''??===?=?=?
??， 当P ?很小时，有 ()()()d f P P Q P f P f P P η'?=?≈??，即d d Q P Q P
η??≈?
故需求弹性η近似地表示：价格为P 时，价格变动1%，需求量将变化%η. （1）若1η<，称()d Q P 为非弹性需求（或低弹性）； （2）若1η>，称()d Q P 为弹性需求（或高弹性）； （3）若1η=，称()d Q P 为单位弹性需求。
注：一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格的上涨而减少（当0P ?>时，0d Q ?<），故需求弹性一般是负值，它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度（敏感度）。
例2 设某种商品的需求量d Q 与价格P 的关系为11600.4P
d Q =??
???
（1）求需求弹性()P η；
（2）当商品的价格10P =（元）时，再上涨1%，求该商品需求量的变化情况。
解 （1）需求弹性为
()11116001600ln
4()44()2ln 2 1.39.111600160044P P
d
P
P
d
Q P P P P P P P Q η'??
????
??
? ???'???
???=?
=?=?=-≈-???? ?
?
??
??
需求弹性为负，说明商品价格P 上涨时，商品需求量d Q 将减少。 （2） 当商品价格10P =（元）时，
(10) 1.391013.9η≈-?=-，
这表示价格10P =（元）时，价格上涨1%，商品的需求量将减少13.9%。若价格降低1%，商品的需求量将增加13.9%.
2. 偏弹性分析
与一元经济函数的导数类似，多元经济函数的偏导数也有其经济意义。 设某产品的需求量(,)d d Q Q P y =，其中P 为该产品的价格，y 为消费者收入。
记需求量d Q 对于价格P 、消费者收入y 的偏改变量分别为
(,)(,)P d d d Q Q P P y Q P y ?=+?-和(,)(,)y d d d Q Q P y y Q P y ?=+?-.
易见，
P d
Q P
??表示d Q 在价格由P 变到P P +?时的平均变化率。而0lim d P d P Q Q P P ?→??=??
表示当价格为P 、消费者收入为y 时，d Q 对于P 的变化率，称 0
lim lim d d d d P P P d d
Q Q Q P Q P E P P
P Q P Q ?→?→???==?=????.
为需求d Q 对价格P 的偏弹性。 同理，
y d
Q y ??表示d Q 在收入由y 变到y y +?时的平均变化率。而0lim y d d P Q
Q y
y ?→??=??
表示当价格为P 、消费者收入为y 时，d Q 对于y 的变化率，称 00lim
lim d d d d y y y d d
Q Q Q y Q y
E y y y Q y Q ?→?→???==?=?
??? 为需求d Q 对收入y 的偏弹性。
3. 用需求弹性分析总收益的变化
总收益R 是商品价格P 与销售量d Q 的乘积，即()d R PQ P f P ==?，
由()()()()()1()()1()P R P f P Pf P f P f P f P f P η??
'''=+=+=+ ??
?，知：
（1）若1η<，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。0R '>，R 递增。即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。
（2）若1η>，需求变动的幅度大与价格变动的幅度。0R '<，R 递减。即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。
（3）若1η=，需求变动的幅度等于价格变动的幅度。0R '=，R 取得最大值。 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化。
例3 录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为：12020d Q P =- 其中d Q 是当每盒租金是P 元时每天出租录像带的数量。求解下列各题： （1）求当2P =元和4P =元时的弹性，并说明其经济意义； （2）求()1P η=时P 的值，并说明其经济意义； （3）求总收益最大时的价格P . 解 （1）首先求出需求弹性 20()120206d d Q P
P P P Q P P
η'--=?=?=
--. 当2P =元，有 21(2)62
2
η-==--.
1
(2)12
η=
<，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1。价格的小幅度增加所引起出租数量减少的百分比小于价格改变量的百分比。
当4P =元，有 4(4)264
η-==--.
(4)21η=>，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1。价格的小幅度增加
所引起出租数量减少的百分比大于价格改变量的百分比。 （2）令()1P η=，即
136P
P P
-=?=- 因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1。 （3）总收益是 2()12020d R P PQ P P ==-
令()120400R P P '=-=，解得驻点3P =.
又()400R P ''=-<，所以3P =为()R P 的极大值点，也是最大值点。即当每盒租金是3元时，总收益最大。
注：在上例中得到，使()1P η=的值与使总收益最大的P 值是相同的。这一事实总是成立的。
§4 在其它经济问题中的应用
一、经济学中的最值问题
在经济问题中，经常会遇到最优化问题，即讨论实际问题的最大值和最小值问题。这时，首先应分析应用问题中各量之间的关系，根据题意适当选择自变量和因变量并定出其取值范围（即建立目标函数），然后，按求函数的最大（小）值得方法进行计算，在再结合实际意义确定实际问题的最大（小）值。
1. 无条件最值问题
例1 设1q 为商品A 的需求量，2q 为商品B 的需求量，12,p p 分别为商品,A B 的价格，其需求函数分别为1122121624,20410q p p q p p =-+=+-，总成本函数为1232C q q =+，试问价格12,p p 取何值时可使利润最大。
解 按题意，总收益函数为：()()1122112212162420410R p q p q p p p p p p =+=-+++- 于是，总利润函数（目标函数）为 ()()()11221
21
12
2
3
232L R C p q p q q q p q p q
=-=+-+
=
-+- ()()()()11221231624220410p p p p p p =--++-+- 于是，问题归结为求总利润函数的最大值点。解方程组
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程 姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程 一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：具体求解的偏微分方程如下： 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；
4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-differencemethods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下： 11k k k k t t x x h τ ++-=?? -=?(2-2) 2.1古典显格式 2.1.1古典显格式的推导 由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)( )()(())i i k i k k k u u x t u x t t t o t t t ?=+-+-?(2-3) 当1k t t +=时有 21,112,(,)(,)( )()(())(,)()() i k i k i k k k k k i k i k u u x t u x t t t o t t t u u x t o t ττ+++?=+-+-??=+?+?(2-4) 得到对时间的一阶偏导数 1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t u o t ττ+-?+?(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得 223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u u u x t u x t x x x x o x x x x ??=+-+-+-??(2-6) 当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 22 22 =??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ?? ?Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),(),(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ? 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为
),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22 ? 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读 书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 dy P ( x)dx P ( x) dx Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程解法：令 dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1） 代入得到dx —u y1 n，有 du(1 n) y n dy ， du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx 求解特征方程： 2pq 0三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根： 1 ,2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2)两个相等实根：12 通解： y c1c2 x e x (3)一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 当i不是特征值时，令 欢迎下载2
第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解：B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解：C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解：B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解：由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---?
For personal use only in study and research; not for commercial use 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题 第六章 For personal use only in study and research; not for commercial use 一、选择题 1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C e y x +=2 ； B. 2 x Ce y =； For personal use only in study and research; not for commercial use C. 2 C x y e =； D. x Ce y =. 2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解； C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解. 3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解， 21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ） A. 32211y y C y C ++； B. 3212211)(y C C y C y C +-+； C. 3212211)1(y C C y C y C ---+； D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x += +'是 （ ） A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程； C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程. 二、填空题 1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 . 2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.
有限差分法求解偏微 分方程
有限差分法求解偏微分方程 摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的 理论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及操作可行性。 关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法 Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference is derived in the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility of the method. Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference Method
1 引言 机械系统设计常常需要从力学观点进行结构设计以及结构分析，而这些分析的前提就是建立工程问题的数学模型。通过对机械系统应用自然的基本定律和原理得到带有相关边界条件和初始条件的微分积分方程，这些微分积分方程构成了系统的数学模型。 求解这些数学模型的方法大致分为解析法和数值法两种，而解析法的局限性众所周知，当系统的边界条件和受载情况复杂一点，往往求不出问题的解析解或近似解。另一方面，计算机技术的发展使得计算更精确、更迅速。因此，对于绝大多数工程问题，研究其数值解法更具有实用价值。对于微分方程而言，主要分为差分法和积分法两种，本论文主要讨论差分法。 2 有限差分法理论基础 2.1 有限差分法的基本思想 当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。将原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。有限差分法求解偏微分方程的步骤主要有以下几步： 区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格，这些离散点称作网格的节点；
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为) ()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。 具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为 y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线 性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。 对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可 得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。 具体例子可参照书本P16—P17的例题。
170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 用差分法解椭圆型偏微分方程 -（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0 第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。 用差分法解椭圆型偏微分方程 -(Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0 第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。 i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。 毕业论文 题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0802 学生王丹丹 学号20080901045 指导教师王宣欣 二〇一二年五月二十五日 摘要 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。 第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系 数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。 第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。 关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例 ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程
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