2012年长春市高中毕业生第四次调研测试（理数）
试卷及参考答案及评分细则
整理 朱老师：150********
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条
形码区域内.
2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，
只有一项．．．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设集合A={x ∈N ?|x ?1|<0} , 集合A={x ∈R|x 2+x ?6≤0},则A ∩B 为 A.{x|-3≤x ≤2} B. {0，1，2，3} C. {1，2，3} D. {1，2} 2. 设复数
1+i
（1?i ）
2
的共轭复数为 A ．?12+12
i B. ?1
2
?1
2i
C. 12
?1
2
i
D. 12+1
2
i
3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是 A.y =log 2|x| B. 3y x x =+
C. 3x y =
D. y =x ?3
4. 等差数列}{n a 的公差为3，若842,,a a a 成等比数列，则4a = A. 8 B. 10 C. 12
5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的
值是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6. 二项式(x ?1x
)9
的展开式中x 3的系数为
A. -84
B. 84
C. -28
D. 28
开始0k =0S =100
7. 函数()sin()(0,,)2
f x A x x R π
ωφωφ=+><∈的部分图象如图，则
A. ()4sin()8
4
f x x π
π
=-+
B. ()4sin(
)84
f x x π
π
=- C. ()4sin()84
f x x π
π
=-- D. ()4sin(
)84
f x x π
π
=+ 8. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲不排在乙之后的概率为 A. 1
12
B. 1
6
C. 1
4
D. 1
2
9. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F 1垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若?AB F 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取
值范围是
A.(1,+∞)
B.(1, 3)
C.(1,2)
D. (1,1+ 2)
10. 在ABC ?中，120BAC ∠=
，2AB = ，1AC = ，点P 满足BP BC
λ= (01)λ≤≤，则BC AP BP ?-2
的取值范围是 A. 1[,3]4 B. 1
[,5]2
C. 15[2,]4-
D. 13
[,5]4
11. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体
的内切球的体积为
A.
π3
4
B. π)32(4-
C. π
27
34 D. π98
12、若函数f x = x + 2- 2(a>0),
没有零点，则a 的取值范围是
A 、(0,1)
B 、(0,1)∪( 2,+∞)
C 、(0,1)∪(2,+∞)
D 、(0, 2)∪(2,+∞)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答. 二、 填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13、若函数f(x)= cosx ,(0≤x <π
2)
2, (π2≤x ≤2)
,则∫f x dx =20
. 14、为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间（h ），画出右边频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[)5.1,5.0内的人数约为______.
15、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水
平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠= ，30BDC ∠= ，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为 60，则塔的高度AB =__________米.
16、圆x 2+y 2=8内有一点P(-1,2),AB 为过点P 但不与x 垂直
的弦，O 为坐标原点，则OA
?_OB 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17、（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足2222(1)S a a =+，且11a =.
⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 设n
S b n n 13
2+=
，求数列{}n b 的最小值项. 18、（本小题满分12分）
某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理
（1）、对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列及数学期望。 （2）、根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++) 19、（本小题满分12分）
如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC=∠A 1AC =60° ,平面A A 1CC 1⊥平面ABCD 。
（1）、证明：BD ⊥A A 1； （2）、求二面角D —A A 1—C 的余弦值； （3）、在直线CC 1是否存在点P,使得BP ∥平面D A 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说
明理由。
20（本小题满分12分）
已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的右焦点为
F 2(1,0),点A （1，3
2）在椭圆上。
（1）、求椭圆的方程；
⑵点M （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=b 2 上，点M 在第一
象限，过点M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P 、Q
两点，问|F 2P |+ F 2Q +|PQ |是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数f(x)=sinx
2+cosx ?bx (b ∈R ) (1)、是否存在实数b ，使得f(x)在(0,
2π
3
)上为增函数；在(2π
3，π)上为减函数，如果存在求出b 的值，如果不是，请说明理由. （2）、如果当x ≥0，都有f(x)≤0恒成立，求b 的取值范围。
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 12. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，内角C 为钝角，点,E H 分别是边AB 上的点，点,K M 分别是边,AC BC 上的
点，且AH AC =，EB BC =，AE AK =，BH BM =. ⑴求证：,,,E H M K 四点共圆；
⑵若KE EH =，3CE =，求线段KM 的长.
13. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线C 的极坐标方程为θθ
ρ2sin cos 4=，直线l 的参数方程为?
??+==ααsin 1cos t y t x (t 为
参数，0απ<≤).
⑴化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；
⑵若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.
14. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
A
D C
B
A
第19题图
A 1
B 1
C 1
D
1
已知函数()2f x x a a =-+.
（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）、在⑴的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围．
2012年长春市高中毕业生第四次调研测试
数学(理科)参考答案及评分细则
1. D *{|911}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A x N x =∈-<<=，{|32}B x x =-≤≤，
∴{1,2}A B = . 故选D.
2. B
211(1)111(1)22222
i i i i i i
i i i i +++?-====-+---?，其共轭复数为11
22i --. 3. B 四个函数中只有函数3y x x =+既是奇函数又是增函数. 故选B. 4. C 令首项为a ，根据条件有2(9)(3)(21)3a a a a +=+?+?=，433312a =+?=.
5. D 01234522222263100+++++=< ，
012345622222226364127100++++++=+=>.
∴当151k k =+=+时，63100S =<；当161k k =+=+时，127100S =>. 即该程序输出的7k =. 故选D.
6. A 9921991()(1)r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-，令9233r r -=?=，从而3x 的系数为
33
9(1)
84C -=-
. 故选A.
7. A 通过观察图像可知函数图像过(2,0)-和(2,4)-两个固定点，由(2,0)-
可知：
84x x ππ
ω?+=+；由(2,4)-可知：4A =-.
从而()4sin(
)84f x
x ππ=-+.
8. D 24441
2
A p A ==. 故选D.
9. D 由于2ABF ?是以2F 为顶点的等腰三角形，所以2ABF ?为锐角三角形的充要条
件是12Rt AF F ?的锐角2
21452b AF F c a
∠
，即2222,210ac c a e e >---<，解得11e <<1e >，所以11e <<+故选D. 10. D 在中，根据余弦定理得
BC ===根据正弦定理得
1sin cos
sin sin sin AC BC B B B A B =?=?=?= 从而有
22()()BP AP BC BC AB BC BC λλ-?=-+?
2
211372(77()
24λλλ=--=-+. 又01λ≤≤，所以2BP AP BC -? 的取值范围是13
[,5]4
. 故选D.
11. C 此几何体是底面边长为2
为12. 令内切球的半径为r ，则1123r r ?=
?=
343V π== 故选C.
12. C 函数()f x 的定义域为[，作出函数[y x =∈和
]),[(2a a x x y -∈-=的图像，前者是圆22x y a +=的上半圆，后者是一条
折线段，观察图像很容易发现：当01a <<时，()0f x <在[上恒成立；当
2a >时，()0f x >在[上恒成立；当12a ≤≤时，()0f x =在[上总有实数根. 故选C.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 5π- 14. 960 15. 16. [8,2]-
简答与提示: 13.
2
2
222
00
2
2
()cos 2sin |2|sin
sin 02(2)22
f x dx xdx dx x x π
π
πππ
π
=+=+=-+-?
??
145ππ=+-=-.
14. 1500(0.820.46)0.5960?+?=(人). 15. 在BCD ?中，根据正弦定理得，
30
sin sin 30sin sin(1801530)
CD BC CDB CBD =?∠=??=∠?-?-?
在Rt ABC ?中，tan tan60AB BC ACB =?∠=?=. 16. 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(2+=-x k y .
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由22
2(1)
8y k x x y -=+??+=?
可以得 2
221222114
47,144k k k y y k k k x x +++-=
+-+=.
从而有22121222
4474411k k k k OA OB x x y y k k +--++?=+=+++ =?6 k 2+8 k
1+ k 2
设f(k) =?6 k 2+8 k
1+ k ,利用判别式法求值域得 82OA OB -? ≤≤.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.
【试题解析】解：⑴由2
2222S a a =+，可得2
11112()()()a a d a d a d ++=+++. 又11a =，可得1d =. 数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n ∴=.
(4分)
⑵根据⑴得(1)2n n n S +=
，213(1)1313
1n n S n n b n n n n +++=
==++. 由于函数
13
()(0)f x x x x
=+>
在
上单调递减，在)+∞上单调递增，
而34<，且132288(3)33312f =+==，132987(4)44412
f =+==， 所以当4n =时，n b 取得最小值，且最小值为2933144
+=. 即数列{}n b 的最小值项是433
4
b =. (12分) 18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容.
【试题解析】解：⑴根据条件ξ的取值为2，3，4，而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有
2
1422091
(2)190C p C ξ===，116142
20
84(3)190C C p C ξ===，2622015
(4)190
C p C ξ===. 所以ξ的分布列为
(6分)
数学期望918415()234 2.6190190190
E ξ=?
+?+?=. (8分)
所以2
2
20(41222) 5.4875 5.024(42)(212)(42)(212)
K ??-?=
≈>+?+?+?+. 又2( 5.024)0.025p K =≥，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的
前提下可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系. (12分) 19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识.
【试题解析】⑴证明：由条件知四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，而平面
⊥11CC AA 平面ABCD ，平面11AACC 平面
ABCD AC =， 所以BD ⊥平面11AACC ，又1AA ?平面11AACC ，因此1AA
BD ⊥. (3分) ⑵因为60ABC ∠= ，ABCD 是菱形，所以1AC AB AA ==，而1
60A AC ∠=
，所以1A AC ?是正三角形. 令BD AC O = ，连结1AO ，则1,,BD AC OA 两两互相垂直.如图所示，分别以1,,BD AC OA 所在的直线为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
(D ，
(0,1,0)A -
，1A
，1,0)DA =-
，1DA =
， 平面11AACC 的法向量为(1,0,0)n =
. 设(,,)m x y z =
是平面1DAA 的法向量，则
100000m DA y y x z m DA ???=-==??
????+=?=?+=???
. 令1x =
，则 1.y z ==-
即(11)m =-
.
设二面角C AA D --1的平面角为θ，则θ是锐角，并
且
cos cos ,5m n m n m n θ?====? 因此二面角C AA D --1
的余弦值为
(8分) ⑶设这样的点P 存在，且1C P C C λ=
，
而1(0,1,0),2,3)
C C ，所
以(0,13)P λ+，
又B ，
所以()BP λ=+
，1DC = 设(,,)k x y z = 是平面11
DAC 的法向量，则
11
0200000k DC y y x z k DA ??=+==??????+=?==??? . 令1z =，则1x =-，即(1,0,1)k =-.要使BP ∥平面11C DA
当且仅当
0(1)(0(1)10k BP λ?=?-?+?++=
，所以1λ=-.这说明题目要求
的点P 存在，实际上，延长1C C 到点P ，使得CP =1C C 即得到所求的点P .
(12分)
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识.
【试题解析】解：⑴由右焦点为2(1,0)F ，可知1c =.设左焦点为1F ，则1(1,0)F -，
又点3
(1,)2
A 在椭圆上，
则1224a AF AF =+=，
2,a b ∴===22
143
x y +
=； (4分) ⑵设11(,)P x y ，22(,)Q x y 则22
11143
x y +=1(2)x ≤， 22222
21211111(1)(1)3(1)(4)44
x PF x y x x =-+=-+-=-，
21111
(4)222
PF x x ∴=-=-.
连结OM ，OP ，由相切条件知：
2222222
211111133(1)344
x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=，显然10x >，
11
2
PM x ∴=.
1122222x x PF PM ∴+=-+=.同理2222222
x x
QF QM +=-+=.
22224F P F Q PQ ∴++=+=
为定值. (12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容.
【试题解析】解：⑴存在0b =，使得结论成立. 对函数求导得，2
2cos 1
()(2cos )x f x b x +'=-+.
若，使在2(0,)3π上递增，在2
(,)3
ππ上递减，则，
∴，这时，当时，，递增； 当时，递减. (5分)⑵令
22
cos 2(12)cos 14()0(2cos )b x b x b f x x -+-+-'==+，
bx x x x f -+=
cos 2sin )(R b ∈?)(x f 0)32(='πf 0=b 2
)
cos 2(cos 21)(x x
x f ++=')32,0(π∈x 0)(>'x f )(x f ),3
2
(ππ∈x 0)(<'x f )(x f
得 2cos 2(12)cos 140b x b x b -+-+-=.
24[(12)(14)]4(13)b b b b ?=-+-=-.
若1
3
b ≥，即0?≤，则0()f x '≤对0x ?≥恒成立，这时在上递减，
∴(0)0()f f x =≤，符合题意.
若，则当0x ≥时，，
，不可能恒小于等于0.
若，则，不合题意.
若，则，，∴，使.时，，这时递增，，不
合题意.
综上可得实数b 的取值范围是1[,)3
+∞.
(12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.
【试题解析】解：⑴连结CH ，则因为AC AH =，AK AE =，所以四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C ，H ，E ，K 四点共圆，同理C ，E ，H ，M 四点也共圆，从而四点E ，H ，M ，K 在由三点C ，E ，H 所确定的圆上，因此这四点共圆； (5分) ⑵连结EM ，则由⑴得E ，H ，M ，C ，K 五点共圆，因为四边形CEHM 为等腰梯形，EM HC =，所以MKE CEH ∠=∠.由KE EH =可得KME ECH ∠=∠，所以三角形MKE 和三角形CEH 全等，所以3KM EC ==为所求. (10分) 23. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.
【试题解析】解：⑴对于曲线C ：θθ
ρ2sin cos 4=
，可化为4cos sin sin ρθρθρθ
=. 把互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代入，得4x
y y
=，即24y x =为所求.
（可验证原点(0,0)也在曲线上） (5分) ⑵根据条件直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为1x y +=.
由241
y x x y ?=?+=?，消去x 并整理得2440y y +-=. )(x f [)+∞,00b <[0,)bx -∈+∞?
?
????-∈+33,33cos 2sin x x bx x
x
x f -+=
cos 2sin )(0=b ??
????-∈+=33,33cos 2sin )(x x x f 310<
31)0(>-=
'b
f 01)(<--='b f π),0(0π∈?x 0)(0='x f ),0(0x x ∈0)(>'x f )(x f 0)0()(=>f x f
令11(,)A x y ，22(,)B x y 则 12124,4y y y y +=-=-.
所以8AB ===. (10分) 24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.
【试题解析】解：⑴由条件知(2)2(2)6(3)236232
f a a f a a a ?
?-=?--+=?
=?-+=??
?-?≤≤，解得1a =. (5分)
⑵由⑴得()211f x x =-+，所以()()f n m f n --≤等价于
()()21121121212m f n f n n n n n +-=-++++=++-+≥.
若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，当且仅当(21212)min m n n ++-+≥. 而2121(21)(21)2n n n n ++-+--=≥，当11
22
n -
≤≤时取等号. 因此实数m 的取值范围是[4,)+∞. (10分)