一次函数图象的平移变换问题的探究
所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：
（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ）
（2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ）
（3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）
（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.
下面我们来探索直线的平移问题.
【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=3
2x －2的关系. 【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3
个函数的图象（如图1），观察这3个函数的图象：从位置上看，它们是3
条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一自变量
的取值（不妨取x=0即直线与y 轴的交点），可以看出直线1l 在直线l 的上方2个单位处，直线2l 在直线l 的下方2个单位处，因此，一次函数1l ：y=32x+2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=3
2x 的图象沿y 轴向上平移2个单位得到的；一次函数2l ：y=32x －2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=3
2x 的图象沿y 轴向下平移2个单位得到的.
【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.
【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．
分析：观察图像发现直线OA 是正比例函数的图象，可设直线OA 的解析式为
y=kx ，又点A （2，4）在函数图像上，所以4=2 k 即 k=2，又一次函数的图像是由直线OA 向上平移1个单位得到，故这个一次函数的解析式为y=2x+1. 【引例2】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32（x+3），2l ：y=3
2（x －3）的关系. 【探究】观察引例1与引例2中的3个函数的解析式，经过变形我们可以发现他们是完全相同的，因而，画出3个函数的图象仍然是图1的情况.从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一因变量的取值
（不妨取y=0，即直线与x 轴的交点），可以看出直线1l 在直线l 的左方3个单位处，直线2l 在直线l 的右方3
个单位处，因此，一次函数1l ：y=
32（x+3）的图象可以看作是由正比例函数l ：y=3
2x 的图象沿x 轴向左平移3个单位得到的；一次函数2l ：y=32（x －3）的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿x 轴向右平移3个单位得到的.
【拓广】：一般地由正比例函数y=kx 的图象沿x 轴向左平移m （m>0）
个单位，得到的一次函数解析式为y=k （x+m ）=kx+km ；沿x 轴向右平移m
（m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k （x －m ）=kx －km ；
综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y 值的变化，直
线左右平移时影响x 值的变化.
【应用】：（08年武汉市）⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标
是 ，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式
2l
x
是 ；
⑵直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是 ；
⑶如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 沿射线OC
方向平移
分析：⑴点（0，1）向下平移2个单位，横坐标不变，纵坐标减去2，故为（0，－1）.
根据上面拓广的规律直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式应为21y x =+－2，即21y x =-；
⑵直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式应为y=2(x-2)+1即23y x =-；
⑶解法1：点C 为直线y x =上在第一象限内一点，
OC=C （3，3），将直线AB 沿射线OC 方
向平移相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，根据拓广规律，解析式变为y=2(x-3)+1+3即y =；
解法2：点C 为直线y x =上在第一象限内一点，
OC=C （3，3），将直线AB 沿射线OC 方向
平移3个单位，再向上平移3个单位，从而点A （0，1）平移到（3，4），设平移后的直线的解析式为y=2x+b ，则有4=6+b 所以b=-2，所以所求直线的解析式为y=2x-2.
赏析一道函数图象探究题
函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的丰富的有价值的信息.为考查同学们获取和应用图象信息的能力,函数图象探究题便成了近年来各地中考的新亮点,解答这类题的关键是从图象中获取信息,,正确地进行“形”和“数”的转换.现就08年中考有关一次函数图象探究题精选一例,浅析如下,供同学们鉴赏：
例(2008江苏南京)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．
为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；
（2）请解释图中点B 的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
分析 (1)图中折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系,从折线中可以看出,当x =0,即两车即将出发时,y =900(km ),这说明甲、乙两地之间的距离为900km ；
(2)当x =4,即慢车行驶4小时, y =0(km ),这说明两车之间的距离为0,即两车相遇;
(3)两车相遇后继续行驶,快车至乙地停止行驶(折线上为点C),慢车继续向甲地行驶,直至x =12,即慢车行驶了12小时到达甲地(折线上为点D).点D 的纵坐标为900(km ),这说明慢车12小时行驶的路程为900km ,从而可求得慢车的速度,再由两车4小时相遇,即4小时共走了900km ,则快车速度可求.
(4) 求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，关键是要确定B 、C 两点的坐标,由图象可知,点B 的坐标为(4,0),点C 的横坐标为快车到达乙地的时间,由快车行驶路程÷快车行驶速度可得,而纵坐标则为此时两车之间的距离,可由慢车行驶时间×慢车行驶速度求得,再用待定系数法可求得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式.
(5) 慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车行驶的时间是4.5h ．代入线段BC 所表示函数关系式,可以求得此时慢车与第一列快车之间的距离, 而这也正是两列快车之间的距离,再由快车行驶速度,则可求得两列快车发车的间隔时间,从而问题可解.
解：（1）900；
（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，
所以慢车的速度为90075(km /h)12
=； 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4
=，所以快车的速度为150km/h ． （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150
=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)?=，所以点C 的坐标为(6450)，．
设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得
044506.k b k b =+??=+?， 解得225900.k b =??=-?
， 所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．
自变量x 的取值范围是46x ≤≤．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ．把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．
点评 本例确实是一道难得的函数图象探究题,从列意布局,信息读取,图象理解,问题解决,环环相扣,步步紧逼,既给了同学们解决问题的方法,又给了同学们广阔的思维空间和探索空间,既考查了同学们获取图象信息的能力,又考查了同学们探究学习的过程,还充分渗透了运动变化的观点.可以看得出命题者的构思巧妙,匠心独运.不得不令人耳目一新,拍案叫绝.
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.
对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上
函数专题：对数函数图象及其性质（1） 学习目标： 1．知道对数函数的定义 2．能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质 3．会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点：对数函数的图象、性质及其应用 学习过程： 一、复习引入： 1、指对数互化关系： 2、 )10(≠>=a a a y x 且 的图象和性质 3、我们曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的 函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞? 二、新课学习： 1．对数函数的定义： 一般地，形如y=a log x （a ＞0且a ≠1）的函数叫对数函数。 练习：判断以下函数是对数函数的为（D ） 2A log (32)y x =-、(1)B log x y x -=、2 13 C log y x =、 D ln y x =、 2．对数函数的图象研究： 画出下列函数的图象2()log f x x =， 12 ()log f x x =图像略
3．对数函数的性质： 分析说明： 根据定义知，指数函数和对数函数互为反函数，所以定义域值域互换可得；图像关于y=x 直线对称，所以对数函数的性质及图像就一目了然了。 三、知识应用： 例1：求下列函数的定义域： （1）2 log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）y = 练习：（1）5log (1)y x =- （2）21log y x = 例2. 比较下列各组数中的两个值大小 （1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7 （3）log 5.1, log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1） 32(4)log 5, log 5 解析技巧： 对数比较大小的步骤：1.与0比其乐无穷满足口诀“同步为正，不同步为负” 2.与1比其乐融融 满足口诀“每个对数换为a log a 比较” 3.同底比~ 应用公式“换底公式①、②” 四、思考： 2 (1)a x ax -+函数f(x)=log 的定义域为R ，求的取值范围？2
函数图像平移公式 设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有： 1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=- 2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+ 3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=- 4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+ 这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减” 说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。 例一、 抛物线3422---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线 的解析式。 解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422 ---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y 即371622---=x x y 例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。 解：所求抛物线可以看成是将抛物线322 +-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y 即862+-=x x y 例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式 解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的 图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质 高中数学-对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）. 在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象; (1) y log 2 x (2)y log! x 2 (3)y log3x(4)y log i x 3 ■0 5 -? 图象特征函数性质 a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x） 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点（1 , 1） 1 1 自左向右看，图象逐渐上升自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象 纵坐标都大于0 x 1, log a x 00 x 1, log a x 0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象 纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 -- 底数a是如何影响函数log a x 的. 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大
第二部分：对数函数图像及性质应用 例1 ?如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是 t , t +2, t +4(t 1). 2 ⑴设 ABC 的面积为S 。求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性; 解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ， 则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S 上是减函数，且 1一次函数图象的平移规律
一次函数图象平移的探究 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线 y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移， 是指函数图象的上下平移，而非左右平移． 以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？ 【探究一】函数图像的上下平移 我们先从一些具体的函数关系开始. 问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1． 问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)
对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现： 将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？) 我们再来探究一般情况. 问题3 已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式． 简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m． 问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式． 答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到： 直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m， 直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m， 这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律． 这个规律可以简记为：函数值：上加下减 以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
高中函数图象变换 一、基本函数作图（草图画法）： 1、一次函数： 2、二次函数： 3、反比例函数： 4、指数函数： 5、对数函数： 6、幂函数： 7、正弦函数：
二、图像变换： ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐