分形与混沌
分形几何的基本思想
分形的思想
多少世纪以来，人们总是用欧几里得几 多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆……）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对象。
象的新的对象。分形就是这样一种对象。
分形的思想初见于公元分形的思想初见于公元分形的思想初见于公元187518751875至至19251925年数学年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃罗于德勃罗于197519751975年创造的，曼德勃罗在该领域
年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现。有着广泛的发现。
从严格意义上讲，分形是这样一种对象， 从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种是随机分形。计算机和计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。
艺术图案或细微的景观。
可能有人感到，只有欧几里得几何的正可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而上述新的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域然的观点。分形是一个新的数学领域------有时有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛
应用。应用。
分形几何
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
让我们来看下面的一个例子。下图是 让我们来看下面的一个例子。下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自 如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在
这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。
个更长的阶段的曲线图极为相似。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
分形图形生成手法主要有五类： 1）实数相空间上的非线性映射、非线性微分方程求解、保守系统准则斑图（quasi-regular-patterns ） 2）复域上各式广义的朱丽亚集和芒德勃罗集‘等势面着色’方法，球面、双曲面对称图形的动力学生成。 3）迭代函数系统、分形插值和小波变换方法。 4）林德梅叶形式语言方法。 5）扩散置限凝聚模型、元胞自动机模型和自组织临界性方法。 科赫曲线 构造过程： ①设0E 是单位长线段； ②1E 是0E 除去中间1/3的线段，而代之以底边在被除去的线段上的等边三角形的另外两条边所得到的图形，它含四个线段。 ③对1E 中的四条线段重复上述操作，一直进行下去 Fractal 中最重要的概念就是dimension ，不同于常规的一维、二维、三维。大都是分数维。叫做分形维数（fractal dimension ）：如果把曲线（或曲面或立体）等分为N 个小的自相似的线段（小曲面，小立体），每一段长度为s ，则曲线的自相似维数D 为.)/1log()(log s N D 通常是大于拓扑维数而小于欧几里得维数的非整数维。 1.拓扑维数（topology dimension ） 一个集合X 的拓扑T 就是由X 的一些子集组合而成的集合，而这些子集的有限交合无限并还是属于T 。 拓扑学是近代发展以来的研究连续性和连通性的一个数学分支，它也叫橡皮几何学。拓扑学研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的解析几何不同。通常的解析几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化，也有可能在拓扑空间里是等价的。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。 比如在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但在不破裂或折叠时，它们“相交”始终不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。一般说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就是拓扑变换。就存在拓扑等价。球面不能拓扑成环面，所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变成一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。 对于任何一个海岸线，经过某些形变总可以变为圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数
分形与混沌 我今天和大家分享的话题是，分形与混沌。我在大概一、两个月前，突然发现和石总同时都对这个话题感兴趣，后来石总说，做一个沙龙吧。其实我挺诚惶诚恐的，因为这个话题太深了，我并不是那么专业，和用哲学忽悠大家不一样啊！但我还是认真准备了一下，来和大家分享，因为我觉得内容真的太有意思了，对我们认识世界，认识市场都有帮助。我希望以后我们群友聊到相关的话题能有更多默契，相互启发，相互推动。这也是石总所希望的。 言归正传，我现在开始今天的主题分享。说到今天分享的主题，跳入脑海的两个词组就是混沌物理和分形几何，接着有朋友很谨慎的问，是否有必要浪费流量和时间来看，以及让我评估一下能听懂的可能性。 我想这也是群主让我，而不是他自己，来做这个主题分享的初衷，如果我都能看懂和说明白，那大家都是毫无压力的。[呲牙]我们生活的这个世界简单而复杂，我们面对的市场似乎总有什么规律在眼前闪现，而当你伸出手时，却无法抓个确切。我们在经验中学习，在逻辑中预测，当我们回头看时，一切都那么清晰井然，而当我们向前看时，未来仿佛陷入迷雾。从中找到方法，绝对的方法论，从这个市场中追寻至高的道，这可能么？这不可能么？我们可以一起来看一看，透
过混沌与分形的世界，我们是否能看到一个Whole New World。一、分形——从分形龙开始看似深奥的理论通常有着非常简单的起点。如何构造一条分形龙，有下面几个简单的不行的步骤：1、拿出一根纸条；2、将它对折后展开，这是一根纸条变成了两个部分；3、每一部分还按照前面的方法对折，这时，它变成了四折；4、将每一折还是按第2条的方法对折后打开，你能想象这个图么？如果不能，请看图：你看，简单吧，让我们把这个对折的次数重复无限次，分型龙就现身了！ 最右下角一副即是。你看，多么简单的方法，我们得到了一条龙。这个方法是什么呢，不断的重复同一个简单的步骤。这个时候大家就会问了，分型龙有什么特别之处呢，他的特别之处在于，你有没有发现，他的每一个部分都和整体呈现出一种相似性，好像他在模仿自己一样。如果想象不出来也没有关系，下一副图就非常清楚了。将a缩小1/2成b的大小，再复制4份，按照c中箭头方向组合，结果得到d，和a 一模一样！很神奇吧！这就是分形，它在模仿自己。这种每一部分都具有“自相似性”类似性质的图形，就叫做分形。什么是自相似性呢，粗浅的定义是，一个图形的资深可以看成是由许多于自己相似的、大小不一的部分组成。还有一个很奇妙的分形图形是这样的1、将一段直线分成三等份；2、以三等分中间的一段为边做等边三角形，再把底边擦掉，得
·混沌与分形的哲学启示（转【发布:清石2004-06-04 11:45多彩总汇浏览/回复：2169/4】长久以来，我们就知道我们生活在一个非常复杂的世界里，从破碎的浪花到喧闹的生活，从千姿百态的云彩到变幻莫测的市场行情，凡此种种，都是客观世界特别丰富的现象。但是，科学对复杂性的认识极为缓慢。混沌学的问世，代表着探索复杂性的一场革命。由于它，人们在那些令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意料的规律性。分形理论则提供了一种发现秩序和结构的新方法。事物在空间和时间中的汇集方式，无不暗示着某种规律性，并都可以用数学来表述它们的特征。泥沈和分形不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。因此，探讨混沌学和分形理论的哲学启示是非常有意义的。 决定与非决定 决定论与非决定论，或者说必然性与偶然性的关系问题是科学和哲学长期争论不休的难题。决定论的思想自牛顿以来就根深蒂固。牛顿经典力学的建立，一方面推倒了天与地之间的壁垒，实现了自然科学的第一次大综合；另一方面它也建立了机械决定论的一统天下。拉普拉斯设计了一个全能智者，它能够格宇宙最庞大的物体的运动以及最微小的原子的运动都归并为一个单一的因式。其结果，自然成了一个僵死的、被动的世界，一切都按部就班，任何“自然发生”或“自动发展”都不见了。热力学通过涨落的发生而引入了一种新的决定论，即统计决定论。涨落是对系统平均值的偏离，它总是无法完全排除的。应该说，从决定性的牛顿力学发展到非决定性的统计力学，是一次重要的科学进步。特别是量子力学的创立和发展，一种新的统计规律为人们所认识，薛定谔波函数的统计解释，抛弃了传统的轨道概念，清楚地反映了微观粒子运动规律的统计性质。但是在混沌理论问世之前，物理学中确定论和概率论两套基本描述形成了各自为政的局面：单个事件服从决定性的牛顿定律x大量事件则服从统计性的大数定律。当波耳兹曼企图跨越这道鸭沟，从动力学“推导”出热力学过程的不可逆性时，受到来自泽梅罗、洛斯密脱等人的强烈反对：决定性助牛顿定律怎么会导出非决定性的分子运动论?玻马兹曼全力以赴地答辩以捍卫自己的理论，：但是按照当时公众可接受的标淮(主要是机械论)，他失败了。这表明，确定论和概率论、必然性和偶然性的对立是。难以克服的； 一、量子力学也不例外。爱因斯坦是量子论的创始人之一。对于物质的统计理论，特别是对涨落的理论，谁也没有爱因斯坦的贡献大，但他却坚决不相信有掷被子的上帝。爱国斯坦与以玻尔为代表的哥本哈根学派进行了一场长达40年之久的大论战。前者把统计的必要性归结于自由度和方程数目太多，不可能完全列举初始条件，模型中不能计入一切次要因素等外在的和技术上的原因；后者则强调统计规律性是复杂系统所特有的，决不能把它还原为力学规律。测不准关系指出，粒子的位置和速度的测量精度存在着一个限制。这说明偶然性的存在是事物本身所使然，决不是因为我们无知的结果。 混沌的奇特之处在于，它把表现的无序和内在的决定论机制巧妙地融为一体。所以钱学森指出，决定性和非决定性的矛盾直．到本世纪6d年代后兴起的混沌理论才得到解决①。1963年洛仑兹首先发现，只有区区三个因素的简单决定性系统也会产生随机性行为，这种随机性不是起因于任何外界因素，而是从决定性系统内部产生的。“混沌”就是这种内在的随机性的代名词。 “决定性的混沌”说明决定性和随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这大大丰富了我们对
混沌学 "混沌"一词译自英文"chaos"，"chaos"一词来自希腊文" "，其原意是指先于一切事物而存在的广袤虚无的空间，后来罗马人把混沌解释为原始的混乱和不成形的物质，而宇宙的创造者就用这种物质创造出了秩序井然的宇宙。我国自古就有用"混沌"状态来描述万物伊始的宇宙。《老子》一书中所说"有物混成，先天地生。"就是一例。而《庄子》三十三篇中关于浑（混）沌的论述则更赋哲理，《庄子》内篇七未尾有这样一段话："南海之帝为倏。北海之帝为忽。中央之帝为浑沌，倏与忽时相迂於混沌之地，浑沌待之甚善。倏与忽谋报混沌之德，曰：人皆有七窍。以视听食息，此独无有，当试凿之。日凿一窍，七日而混沌死。"可见，《庄子》一书中的浑沌是一位君主的名字。此人无眼、无鼻、无口、无耳，但对南、北方君主很好，他们为了报答，试图帮助浑沌进行手术，开七孔于头部，一天一个手术，七天便使浑沌这位君主死掉了。倏忽是迅速灵敏的意思，混沌则表示无知愚昧。虽然上文的混沌也代表一种无序，但这与当代混沌科学是信息的起源恰恰相反。当代混沌的含义是指非平衡态的混沌，是无序中的有序，是"活"的无序，而庄子的混沌是平衡态的混沌，是"死"的无序。庄子的文章主要是通过自然现象来隐喻哲理，他认为为人处事不应一触即跳，有时不如伪装成一个闭目塞听的人。这是对人类行为具备混沌的必要性的最早哲学观点，另外《庄子》的文章也论及了混沌的重要性："万物云云，各复其根，各复其根而不知，浑浑沌沌，终身不知，若彼知之，乃是离之。"这段文字表达了这样一个观点：认为混沌是介乎可知（如确定论）与不可知（如概率论）之间的潜在的"万物云云"的根源。庄子为研究个人在政治生活中的策略而引入混沌的思想，可谓是一大贡献。 继相对论和量子论之后的混沌学对以牛顿经典力学为核心的经典科学世界图景进行了又一次深刻的变革如果一个系统的演变过程对初态非常敏感,人们就称它为混沌系统。研究混沌运动的一门新学科,叫作混沌学（英文：Chaos）。混沌学发现,出现混沌运动这种奇特现象,是由系统内部的非线性因素引起的。 美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹于1963年《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。 与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。 混沌学的另一个重要特点是，他致力于研究定型的变化，而非日常我们做熟悉的定量。这是由它的成立的目的——解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定的。它的基本观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。它是与哲学一样，适用面最广的科学。 混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究
一一一一一１１６数学学习与研究一２０１９ ４ 浅析分形与混沌及其相关性 浅析分形与混沌及其相关性?冯莉莉一盛铁军一(吉林师范大学数学学院?吉林一长春一１３００００) 一一?摘要?混沌与分形是２０世纪一个新兴的学科理论?分 形和混沌在很多自然学科和人文学科被普遍发现?非线性科学有了相当大的突破.本文主要介绍了分形与混沌的产生背景?以及分形与混沌的特征?分别对分形与混沌举出例子?对分形与混沌的相关性进行了简单介绍. ?关键词?混沌?分形?相关性一二 (一)分形的定义 分形的概念是美籍数学家Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ首先提出的.分形理论的数学基础是分形几何学?我们都知道线是一维的?面是二维的?立体图形是三维的?分形理论更加趋近复杂系统的描述(也就是分数维情况)?更加符合客观事物的多样性与复杂性.１９６７年?Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在论文中说道?海岸线是不规则的?并且具有极其复杂的变化?用一把直尺去测量海岸线的长度?只能用直线来得出近似值?当用更小的直尺去测量细小之处?并且这些地方也是曲线.１９７５年?他创立了分形几何学(ＦｒａｃｔａｌＧｅｏｍｅｔｒｙ).在此基础上?形成了研究分形性质及其应用的科学?称为分形理论.但到目前为止还没有明确的定义. (二)分形的特征 称集Ｆ是分形?则Ｆ具有下列性质: １.Ｆ具有精细的结构?也就是说有人以小比例的细节.２.Ｆ是不规则的?以至于不能用传统的几何语言来描述. ３.局部和整体的自相似性?可能是近似的或是统计的.４.维数一般是分数?并且大于它的拓扑维数. ５.分形虽然具有复杂的结构?但是以简单的方法定义?可能由迭代产生. (三)分形的例子 Ｋｏｃｈ曲线:１９０４年?瑞典数学家柯赫构造了 Ｋｏｃｈ曲线 几何图形.Ｋｏｃｈ曲线大于一维?具有无限的长度?但是又小于二维. Ｋｏｃｈ曲线的生成过程:三次Ｋｏｃｈ曲线的构造过程主要分为三步:第一步?画出一个初始图形 一条线段?第二 步?将这条线段的中间１ ３ 处向外折起?第三步? 按照第二步 的方法依次把各段线段中间的１ ３ 处向 外折起.其图构造过程如右图所示(迭代了５次的图形).这样无限的进行下去?最终即可构造出Ｋｏｃｈ曲线. 其实分形的例子还有很多?如三分康托基二康托尘二Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫等.自然界中也存在着分形的例子?例如?天空中的云朵二植物叶子的形状二岩石裂缝等.这些图形或者例子都存在着自相似性? 复杂的图形是由一个非常简单的方程通过初值选择反复迭代得到的结果. 二二 (一)混沌的定义 简单来说?在非线性科学中?混沌是一种确定的但不可预测的运动状态?因为这些运动状态都是相似的?比表面上 似乎可以确定它的运动状态及运动轨迹?又说它是不可预测的?是因为会受到外界条件的影响?造成了运动的不稳定性.混沌理论认为在混沌系统中?初始条件十分微小的变化?经过不断放大?对其未来状态会造成极其巨大的差别. 我们也可以用数学语言来定义混沌: 设Ｖ为一个集合?ｆ:Ｖ?Ｖ称为在Ｖ上是混沌的.如果(１)ｆ对初始条件的敏感依赖性.(２)ｆ是拓扑传递的. (３)周期点在Ｖ中是稠密的.(二)奇异吸引子 奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物?也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态.目前奇异吸引子仅仅是一个抽象数学概念?还没有完善的理论模型. (三)混沌的特征 １.对初值条件的敏感依赖性.２.极为有限的可预测性.３.混沌内部的有序性.(四)混沌的例子 天气问题:近半个世纪以来?研究者发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式?但是其行径却无法预料.如气象学家ＥｄｗａｒｄＬｏｒｅｎｚ发现简单的热对流现象能引起非常大的气象变化?产生了所谓的 蝴蝶效应 .６０年代?美国数学家ＳｔｅｐｈｅｎＳｍａｌｅ发现某些物体的行径经过一些规则性变化之后?并没有规律可循?呈现失序的混沌状态. 军事问题:马蹄铁上一个钉子是否会丢失?本是初始条件的十分微小的变化?但其 长期 效应却是一个国的存与亡.这就是军事中的所谓 蝴蝶效应 . 三二分形理论和混沌理论的联系 从总体上讲?二者在产生时并无关系?两者的关系先要从它们各自产生的背景来看?混沌的产生更多是从物理方面得来的?比如?自然界中的天气变化?分形更多是从数学中几何方面研究中总结出来的?例如?千变万化的分形图案. 混沌的主要特征初值敏感性(俗称 蝴蝶效应 )和奇异吸引子?简单来说句是确定性的非线性系统中出现的一种随机现象?随机性和确定性往往不能同时存在?混沌的奇妙之处在于把确定性和随机性给统一了.分形的核心是自相似?对很多表面无规则的复杂现象?特别是在时间和空间上存在无穷迭代非线性系统?具有很强的描述能力?这其中包含了混沌现象.分形的奇妙之处在于表面好似无规则二碎片状的东西?其实也是有规律的. 至于二者为什么紧密相关?因为它们研究的系统都是现实的非线性系统?它们有着共同的来源是动力系统?混沌吸引子就是分形?混沌是时间上的分形?分形是时间上的混沌.混沌主要讨论非线性动力系统的不稳定?发散的过程?但系统总是收敛一定的吸引子?这与分形的自相似性非常相像?可以说混沌系统与分形结构都具有自相似性.?参考文献? [１]周作领.符号动力系统[Ｍ].上海:上海科技教育出版社?１９９７. [２]谢和平?张永平?宋晓秋?等.分形几何:数学基础与应用[Ｍ].重庆:重庆大学出版社?１９９１.
心脏中的混沌现象 刘 芳 魏建西 综述 杨福生* 审 白求恩国际和平医院(050082) *清华大学电机系(100084) 摘要 近年来混沌和分形理论被广泛用于研究复杂的生命现象,本文简要介绍了混沌和分形理论的一般概念以及常用的非线性动力学方法,着重介绍了上述理论在心脏病学中的应用。 关键词 混沌 分形 心脏病 1 引言 混沌,是非线性行为的理论学说。混沌提供了一种了解很多生物现象的新工具[1,2],随着各种成功的非线性动力学概念和技术被用于人体生理过程中的非线性行为,使人们已能更好地理解复杂的心律失常、浦肯野氏纤维传导、房室传导类型等等[3,4]。讲到混沌就离不开分形,本文将就混沌与分形概念、两者在心脏病学中的应用,以及常用的非线性动力学方法进行综述。 2 一般概念 2.1 混沌理论 混沌定义为一个非周期似随机行为的确定系统。比较两个我们熟悉的行为——随机和周期。随机行为绝对不重复自己,它是内在特有的不可预测和非组织的。从生理上讲,遗传易位、受精、受体结合是基本随机的。周期行为是高度可预测的,它总是以一个有限的时间间隔重复自己如数学上的正弦波,妇女的月经也被定义为周期行为。混沌不同于周期和随机,但又具有两者的特点,虽然混沌行为看上去无组织像随机行为,但它实际上是可以确定的。目前的研究已经证实,麻疹流行、心脏行为模式、心肺相互作用、血细胞生成、脑电图等均是呈混沌的[4,5]。 混沌的特点如下: (1)混沌是确定性和随机性两者的结合。在牛顿物理学中,如果知道了方程(例如抛物线)和初始状态(例如X和K),就可以准确预测系统行为。不象牛顿物理学,混沌行为永不准确重复自己,没有可辨别的周期使它在规则的间隔返回。 (2)混沌系统表现为敏感地依赖初始状态。这句话的意思是非常小的初始状态的差别将导致巨大的结果差别。 (3)混沌行为被约束在比较窄的范围内。虽然表现为随机的,系统行为实际是有界限的,而非无界限的漫游。 (4)混沌行为有确定的形式。混沌行为不但是受约束的,而且有特定的行为模式[5]。2.2 分形 分形是以几何学的观点去观察一些看起来毫无规律的图形,如云团、海岸线、血管结构等。分形的突出特点是分数维和自相似。所谓分数维是指维数在日常所见的一维、二维、三维之间,其值不是一个整数。如一个正方形是二维,一本杂志是三维;但我们无法断定人体的血管组织其整个组织到底是处于一维、二维、还是三维空间,因为无法在长度、面积或体积上找到共有意义的表达,也即用整数维表达血管组织没有意义,因此整数维不能准确刻划出它的性质,但我们可用分数维(分形维,简称分维)的概念来定义这些形体。有 100
信息医学模式、全息医学模式与神极全息学初论 ——兼论中华神极全息音乐医学的创造和突破 中国北京·华夏意象文化艺术书院殷杰 摘要：首次公布学术成果，本文现在第一次提出全新的“信息医学模式”、“全息医学模式”，“音乐疗法全息医学模式”，。兼论“中华神极全息音乐医学”，这是研究、探索多年的中国型音乐疗法。西方经历几种医学模式，现在为生物-心理-社会医学模式，现代音乐疗法也是此模式，或归属心理疗法。“中华神极全息音乐医学、养生学”，由殷杰教授20世纪80年代开始探索而成，也开创新的医学模式、这是极有意义的创造，更有深广而现实的价值。医学模式即特定历史时期，人类的生命、健康和疾病的基本观点和思想，医学理论框架，并指导人们医学实践活动。信息时代，中国发展了全息生物学、全息医学、全息宇宙学、易学全息医学、神极全息音乐医学，使整体、局部关系，相互化生，其效应加倍放大。全息医学模式首要价值在于，总体上大大扩大了对生命的关注范围，将预防、保健、治疗、康复、益寿、优生、美容、减肥、开发智慧和功能，教育、远程教育、普及，医师、患者、护理……等方方面面园融一体。 中华神极全息音乐医学的创造与突破：1、信息、全息医学模式的创造，临床多种治疗模式突破。2、独特学科理论体系的构建，从而音乐疗法可以成为独立学科。3、直觉、潜能、功能以至特异功能探测方法突破。4、多系统疾病治疗突破。5、“信息对位”的治疗法则突破。6、治疗方法的转移和创造。7、个性化方案的创造。8、疗法的自由自在化创造9、养生法全程化、终生化突破。10、音乐拓展法的创造。全息音乐治疗学、养生学的突破，是信息、全息医学模式的作用，还依赖：多种形式文化艺术综合养生法、疗法，相互汲取、转移，神游气功与全息音乐治疗学互动、互启；再则理论的建树，思想、观念的更新，方才有新的创造。 神极全息音乐医学以中国传统文化与新兴科学为胚基，构建成一套有新的宇宙观、认识论、方法论理论体系。神极由《易经》“太极”衍生而成，神极全息学或可称易学全息学，超越一般全息整体与局部关系，发现并提出了复杂与简单的关系，特殊和一般的关系；既可以局部治疗整体，又可以整体，甚至宇宙治疗局部；全息即点，信息对位，点对点对位，便有疗效。神极全息学也沟通人体科学，潜能、特异功能启用，以信息、全息作理论新解。神极全息学和神极全息音乐医学，特别信息医学模式、全息医学模式，都是信息时代的产儿，都将直接地必然地对信息时代和当代科学、中西医学产生重大影响。 主题词：音乐疗法神极信息信息医学模式全息全息医学模式
非线性科学中的混沌 XXX 中南大学物理与电子学院，湖南长沙，410083 摘要：本文介绍了非线性科学中的混沌概念和混沌发展历史；论述了混沌在科学认识论中的重要地位；同时分析了混沌产生的基本原理及主要特征，指出混沌现象广泛存在于自然界中；最后综述了混沌在科学研究中的广泛应用，并展望了混沌理论未来的发展前景。 关键词：混沌；蝴蝶效应；非线性科学 The chaos theory in nonlinear science XXX School of physics and electronics,Central South University,Changsha 410083,China Abstract: The main conception and development of chaos are introduced in this paper; The important status of chaos in scientific epistemology is discussed.At the same time ,the basic principle of chaos and the main characteristics of chaos are analyzed.It is also pointed that the Chaos is a common phenomenon in the nature. In the end, the extensive application of chaos in scientific research is summarized and the prospect of chaos theory is discussed. Key words:chaos; Butterfly Effect; nonlinear science
实验四函数的迭代、混沌与分形 [实验目的] 1. 认识函数的迭代； 2. 了解混沌和分形. 迭代在数值计算中占有很重要的地位,了解和掌握它是很有必要的.本实验将讨论用Newton迭代求方程根的问题,以及迭代本身一些有趣的现象. §1 基本理论 1.1 迭代的概念 给定某个初值,反复作用以同一个函数的过程称为迭代.函数f(x)的迭代过程如下: x0,x1=f(x0),x2=f(x1),……..,x n=f(x n-1)….., 它生成了一个序列{x n}迭代序列. 许多由递推关系给出的数列,都是递推序列.例如数列. X0=1,x n=1+1/(1+x n-1) (n=1,2,…………..) 是由函数f(x)=1+1/(1+x)=(2+x)/(1+x)取初值为1所得的迭代序列. 1.2 迭代序列的收敛性 定理设函数f(x)满足: (1)对任意x∈(a,b),f(x)∈(a,b); (2)f(x)在(a,b)内可导,且存在常数L使得|f(x)'|=L<1, 则当初值x0∈(a,b)时,由f(x)生成的迭代序列收敛. 在迭代函数f(x)连续的条件下,如果迭代数列收敛,则它一定收敛于方程x=f(x)的根.该方程的根也称函数f(x)的不动点. 设x*为f(x)的不动点,f(x)'在x*的附近连续,若|f(x*)'|<1,则称不动点x*是稳定的;若f(x*)'=0,则称不动点x*是超稳定的.在超稳定点x*附近,迭代过程x n+1=f(x n)收敛到x*的速度是非常快的. 1.3 Newton迭代法 设函数g(x)具有一阶导数,且g(x)'≠0,则函数f(x)=x-g(x)/g(x)'的迭代称为Newton迭代,若函数f(x)存在不动点,则它一定是方程g(x)=0的根,故Newton迭代法可用来求方程g(x)=0的根. §2 实验内容与练习 2.1 迭代的收敛 对于函数迭代,最重要的问题是迭代序列的收敛性.一般说,迭代序列是否收敛取决于迭代函数与初值.
信号与系统论文 题目：信号与系统在生物医学中的应用 学号：121417010133 班级：生医121班 姓名：张小鲜
信号与系统在生物医学中的应用 摘要 随着计算机技术和现代信息技术的飞速发展，信号与系统在实际生活中的应用越来越广泛，本文在信号与系统中占有重要分量的数字信号处理技术为例，讨论其在生物医学中的应用，从而阐述信号与系统在生物医学中的应用。数字信号处理（Digital Signal Processing DSP)是利用计算机或专用处理芯片，以数值计算的方法对信号进行采集、分析、变换和识别等加工处理，从而达到提取信息和便于应用的目的。 数字信号处理技术一诞生就显示了强大的生命力，展现了极为广阔的应用前景。接下来主要讨论数字信号处理技术中小波分析、人工神经网络、维格纳分布在生物医学工程中的应用，并对数字信号处理技术在生物医学工程中的应用前景进行了展望。 关键词：生物医学；信号与系统；数字信号处理；小波分析；人工神经网络；维格纳分布 1 引言 自20世纪60年代以来，随着计算机和信息学科学的飞速发展，大量的模拟信息被转化为数字信息来处理。于是就逐步产生了一门近代新兴学科———数字信号处理(DigitalSignalProcessing，简称DSP)技术。经过几十年的发展，数字信号处理技术现已形成了一门以快速傅里叶变换和数字滤波器为核心，以逻辑电路为基础，以大规模集成电路为手段，利用软硬件来实现各种模拟信号的数字处理，其中包括信号检测、信号变换、信号的调制和解调、信号的运算、信号的传输和信号的交换等各种功能作用的独立的学科体系。而生物医学工程就是应用物理学和工程学的技术去解决生物系统中所存在的问题，特别是人类疾病的诊断、治疗和预防的科学。它包括工程学、医学和生命科学中的许多学科。本文主要讨论数字信号处理技术中小波分析、人工神经网络、维格纳分布在生物医学工程中的应用。 1.1生物医学信号特性
分形几何----数学中绘画师 “谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家惠勒（1） 一、分形几何的起源 数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。 进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了： 1.自然界中的曲线 自然界中存在的曲线，我们用现行的一些词汇无法描绘它的具体形态，我们称之为“不可名状”——这是自然界曲线存在的一个共性。通过进一步研究我们发现，这些曲线的局部和全局有着同样的复杂性。也就是说无论我们将局部如何放大，它总是会出现与曲线整体相似的复杂性，我们称其为“统计自相似”。 2.“病态曲线” 随着数学和自然学科的发展，我们有意无意中创造或发现了一些“奇怪”的曲线，说它奇怪是因为这些曲线最大的特点就是“几何自相似”，局部不断重复整体的特性。例如“柯赫雪花”“康托尔集”“皮亚诺曲线”
“魔鬼阶梯”“谢尔宾斯基三角”“门杰海绵”等。 3．病态函数 一些函数也存在着上面“自相似”的规律。比如十年间的棉花价格波动曲线和一年间棉花价格波动曲线存在的曲线相似。 面对这些现实中存在的问题，我们需要一种新的几何方法来代替欧式几何来解决这些新的难题。 美国数学家B·Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。 此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何（2）。 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。 法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法
人体中的分形和混沌 《走近混沌》补充篇-人体中的分形和混沌 分形在生物形态中普遍存在，这是人所共知的事实，本系列在第三章‘大自然中的分形’中也列举了不少动植物中存在分形图案的例子。 生命科学中，人们在对人体器官的研究中发现，自相似性、分形、混沌的影子几乎无所不在：人体的肺部细胞形成盘枝错节、复杂的受力网络；人脑的表面、小肠结构、血管伸展、神经元分布等等，都有明显的分形特征，见图（1）。有人认为，生物体中每个单元的形态结构、遗传特性等等，都在不同程度上，可看作是生物整体的缩影。比如，人耳的形状，非常类似母体胚胎中卷曲的婴儿。从分形的角度来看，这些都是在生物体中自相似性的表现。
图（1）：人体大脑和肺泡结构呈现分形 图（1a）可看作人脑的分形模型。在十九世纪，医学科学家就已经认识到，脑进化的螺旋形式和在自然界中发现的螺旋十分相似。被誉为“美国神经病学泰斗”的CharlesKrasner Mills（1845-1931）对大脑和神经的功能进行了大量研究。如果查尔斯还活着，他或许会感到欣慰，因为如今的医学界，正用自然界广泛存在的、他所模糊意识到的分形模型，来研究和描述大脑及神经系统【1】。 俗话说，大脑的皱纹越多人越聪明，这句话也许还缺乏医学实验研究的明确证据，但可以从分形几何的角度给出一点诠释。科学家们对人脑表面进行研究，发现从人脑表面皱纹的分形结构模型出发，估算出的分形维数大约是2.73—2.78 之间。从欧几里德几何的观点来看，任何平面或曲面的维数都是2。但是我们从分形几何的角度来说，大脑表面皱褶越多，分形维数就越高，就越是逼近于我们所处的3维空间的维数。医学界认为，这是进化过程中某种优化机制起作用的结果。因为分形维数越高，表明在同样有限的空间内，大脑能占有更大的表面积，就有可能具备更为复杂的思考能力。
实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分
数学文化/第3卷第1期 56 （一） 引子 2009年的春天，新的一期《美国数学会会刊》（Notices of the American Mathematical Society ）刊登的一篇题为“鸟与青蛙”的文章吸引了全世界许许多多的读者。这是生在英国、年逾八旬的美国普林斯顿高等研究院教授戴森 （ Freeman Dyson, 1923- ）应美国数学会之邀所作的上年度“爱因斯坦讲座”的讲演稿。这位在学术界备受尊敬的理论物理学家和数学家形象地描绘了近代自然科学发展四百年来从十七世纪的英国人培根 （Francis Bacon, 1561-1626）和法 国人笛卡儿 （Rene Descartes, 1596-1650）到二十世纪的匈牙利人冯?诺依曼 （John von Neumann, 1903-1957） 和中国人杨振宁 （1922- ） 等典型的两类学术巨匠：大鸟般的俯瞰大地者与巨蛙式的深入探究者。 戴森在文章中描述了与那些“鸟”和“蛙”融为一体的几大学科，并不吝笔墨地用了近两页的篇幅来讨论混沌研究的发展。 戴森：“在混沌领域里，我仅知一条有严格证明的定理，是由李天岩和詹姆斯?约克在1975年发表的一篇短文‘周期三意味着混沌’中证明的。” （In the field of chaos I know only one rigorous theorem, proved by Tien-Yien Li and Jim Yorke in 1975 and published in a short paper with the title, “Period Three Implies Chaos.”）正如约克后来在寄给同一杂志的“读者来信”中第一句所述，他和李天岩“欣喜地”读到戴森接下来的评语： “李-约克论文是数学文献中不朽的珍品之一。” （The Li-Yorke paper is one of the immortal gems in the literature of mathematics.） 为什么在演讲稿中甚至对大数学家冯 ? 诺依曼都颇有微辞的戴森对李天 “自然界的大书是以数学符号写的。” —— 伽利略 自然的奥秘：混沌与分形 丁玖 谨以此文纪念混沌之祖庞加莱逝世一百周年
注册|登录 ?构建全球华人科学博客圈 ?返回首页 ?RSS订阅 ?帮助 tianrong1945的个人博客分享https://www.doczj.com/doc/8b3901448.html,/u/tianrong1945 ?博客首页 ?动态 ?记录 ?博文 ?相册 ?主题 ?分享 ?好友 ?留言板 ?个人资料 ?首页 ?新闻 ?博客 ?群组 ?人才 ?会议 ?论文 ?科普 ?小白鼠 ?帮助 ?我的博客 博文 《走近混沌》-13-奇异吸引子精选 已有133 次阅读2012-9-11 05:51|个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦|关键词:混沌，吸引子，奇异
吸引子 第十三章﹕奇异吸引子 现在回到王二的问题：什么叫吸引子？或者说，什么叫‘动力系统’的吸引子？ 那我们首先得弄清楚‘系统’这个概念。 什么是‘系统’呢? 简单地说, 系统是一种数学模型。是一种用以描述自然界及社会中各类事件的, 由一些变量及数个方程构成的一种数学模型。世界上的事物尽管千变万化, 繁杂纷纭, 但在数学家们的眼中, 在一定的条件下, 都不外乎是由几个变量和这些变量之间的关系组成的‘系统’。在这些‘系统’模型中, 变量的数目或多或少, 服从的规律可简可繁, 变量的性质也许是确定的, 也许是随机的, 每个系统又可能包含另外的‘子系统’。 由‘系统’性质之不同，又有了诸如‘决定性的系统’ 、‘随机系统’、‘封闭系统’、‘开放系统’ 、‘线性系统’、‘非线性系统’、‘稳定系统’、‘简单系统’、‘复杂系统’等等一类的名词。 例如: 地球环绕太阳的运动, 可近似为一个简单的二体系统；密闭罐中的化学反应, 可当成趋于稳定状态的封闭系统；每一个生物体，都是一个自适应的开放系统；人类社会，股票市场，则可作为复杂的、随机性系统的例子。 无论是何种系统，大多数的情形下，我们感兴趣的是系统对时间的变化，称其为‘动力系统’研究。这是理所当然的，谁会去管那种固定不变的系统呢？研究系统对时间变化的一个有效而直观的方法就是利用系统的‘相空间’，一个系统中的所有独立变量构成的空间叫做系统的‘相空间’。相空间中的一个点，确定了系统的一个‘状态’，对应于一组给定的独立变量值。研究状态点随着时间在相空间中的‘运动’情形，则可看出系统对时间的变化趋势，以观察混沌理论中最感兴趣的‘动力系统的长期行为’。 状态点在相空间中运动，最后趋向的极限图形，就叫做该系统的‘吸引子’。 换句通俗的话说，吸引子就是一个系统的‘最后归属’。 举几个简单例子，更易于说明问题。一个被踢出去的足球，在空中飞了一段距离之后，掉到地上，又在草地上滚了一会儿，然后静止停在地上，如果没有其它情况发生，静止不动就是它的最后归属。因此，这段足球运动的吸引子，是它的相空间中的一个固定点。 人造卫星离开地面被发射出去之后，最后进入预定的轨道，绕着地球作二维周期运动，它和地球近似构成的二体系统的吸引子，便是一个椭圆。
《走近混沌》补充篇-人体中的分形和混沌 分形在生物形态中普遍存在，这是人所共知的事实，本系列在第三章?大自然中的分形‘中也列举了不少动植物中存在分形图案的例子。 生命科学中，人们在对人体器官的研究中发现，自相似性、分形、混沌的影子几乎无所不在：人体的肺部细胞形成盘枝错节、复杂的受力网络；人脑的表面、小肠结构、血管伸展、神经元分布等等，都有明显的分形特征，见图（1）。有人认为，生物体中每个单元的形态结构、遗传特性等等，都在不同程度上，可看作是生物整体的缩影。比如，人耳的形状，非常类似母体胚胎中卷曲的婴儿。从分形的角度来看，这些都是在生物体中自相似性的表现。 图（1）：人体大脑和肺泡结构呈现分形 图（1a）可看作人脑的分形模型。在十九世纪，医学科学家就已经认识到，脑进化的螺旋形式和在自然界中发现的螺旋十分相似。被誉为―美国神经病学泰斗‖的CharlesKrasner Mills（1845-1931）对大脑和神经的功能进行了大量研究。如果查尔斯还活着，他或许会感到欣慰，因为如今的医学界，正用自然界广泛存在的、他所模糊意识到的分形模型，来研究和描述大脑及神经系统【1】。 俗话说，大脑的皱纹越多人越聪明，这句话也许还缺乏医学实验研究的明确证据，但可以从分形几何的角度给出一点诠释。科学家们对人脑表面进行研究，发现从人脑表面皱纹的分形结构模型出发，估算出的分形维数大约是2.73—2.78之间。从欧几里德几何的观点来看，任何平面或曲面的维数都是2。但是我们从
分形几何的角度来说，大脑表面皱褶越多，分形维数就越高，就越是逼近于我们所处的3维空间的维数。医学界认为，这是进化过程中某种优化机制起作用的结果。因为分形维数越高，表明在同样有限的空间内，大脑能占有更大的表面积，就有可能具备更为复杂的思考能力。 因此，大脑的分形模型，使得可能用最优化的观点，来解释大脑的功能，诸如信息传输、存储容量、和对外界刺激的敏感性等等。 对肺部器官的研究也有类似的结果。上世纪70年代，当曼德勃罗研究分形混沌之初，他就提出人体的?肺‘具有分形结构。后来，美国医学科学家SergeyV. Buldyrev等【2】的大量研究工作证实了这点。 你可能不知道，我们肺部具有的表面积差不多相当于整个网球场的大小（750平方英尺）。如何能将如此巨大的面积，塞进看起来小小的肺中，这也是分形几何的功劳。人体的肺气管道，是一种结构复杂、形状极不规则的导气管网，见图（1b）。从气管尖端开始反复分岔，再分岔，形成一种典型的树形分叉结构。分形的分岔与折迭，增加了分形维数，随之增加了这些管道吸收空气的表面积。当然，因为表面积增大，曲面凹凸程度增加，又会反过来阻碍空气的流通。最后，两者兼顾，互相平衡而得出一个大约最佳的分形维数。根据测量，肺泡的分形维数非常接近3，等于2.97【4】。 与肺气管道比较，人体的血管似乎是一种更为复杂细致、遍及全身的分形网络。要做到与所有细胞直接相连，微血管必须细到只能允许单个血细胞通过。而大动脉呢，又得具有快速流过大量3维血流的功能。从大到小，由简而繁，这似乎又是分形结构的长处。虽然人体的全身上下都布满血管，血流量的总体积却只占人体体积的5%左右，因为每个细胞都需要直接供血，血液循环系统总体的表面积将会很大。与上述的大脑及肺泡的情况类似，如此大的面积，却必须挤进一个很有限的体积中。想要对此构造一个合理的数学模型，非分形莫属。并且，可以料想，此分形的维数也应该接近3。果不出其所料，经实验测定，人体动脉的分形维数大约为2.7。相信这个维数也是在人体进化及器官生长过程中最佳选择的结果。 除了上述列举出的人体器官之外，还有神经系统的神经元、双螺旋结构的DNA、弯弯曲曲的蛋白质分子链、泌尿系统、肝脏胆管等等，它们的形态也都遵从分形规律。 中医的经络、穴位之说，历史悠久，颇带神秘色彩。根据这个理论，人体的耳、鼻、舌、手、足等各个部分，都是人体的缩影。如果人体的器官和功能失调，会在这些部分反映出来，由此，便可诊治疾病。姑且不论此说正确与否，但