1991年全国高考数学（理科 ）试题
考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分．
一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分． 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的
四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）
1．已知4
sin 5α=
，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．4
3- C ．43 D ．34
【答案】A
【解析】由题设3cos 5α=-，所以4
tan 3
α=-．
2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是
A ．)1(82+=x y
B ．)1(82+-=x y
C ．)1(82-=x y
D ．)1(82--=x y 【答案】D
【解析】抛物线开口向左，且112
p
=+，所以4p =．
3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 【答案】B
【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．
4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B
【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．
5．函数5sin(2)2
y x π
=+
的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4
5π
=x
【答案】A
【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2
x k k Z π
π=?-∈，显然1k =时2
π
-
=x ．
6．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点
S 在底面的射影O 在ABC ?内，那么O 是ABC ?的
A ．垂心
B ．重心
C ．外心
D ．内心 【答案】D
【解析】由题设可知点O 到ABC ?三边的距离相等，所以O 是ABC ?的内接圆的圆心．
7．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A
【解析】设公比为q ，则由题设可得222
24442225a a a q q
++?=，即2241()25a q q +=，则 41
()5a q q
+=，即355a a +=．
8．如果圆锥曲线的极坐标方程为16
53cos ρθ
=
-，那么它的焦点的极坐标为
A ．(0,0),(6,)π
B ．)0,3(),0,3(-
C ．)0,3(),0,0(
D ．)0,6(),0,0( 【答案】D
【解析】曲线是椭圆，当0θ=时得8,a c θπ+==时得2a c -=，∴26c =，故焦点的极坐标为)0,6(),0,0(．
9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有
A ．140种
B ．84种
C ．70种
D ．35种
【答案】C
【解析】直接法：1221
454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．
10．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C 【解析】A C y x B B =-
-，由于0AC <且0BC <，所以0,0A C
B B
->->，故D 正确．
11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A
【解析】由题意，乙?甲，丙?乙，但乙?丙，从而可得甲?丙，丙?甲．
12．)]2
1
1()511)(411)(311([lim +-
---∞
→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C
【解析】11112341
lim[(1)(1)(1)
(1)]lim[]345
2345
2
n n n n n n n →∞
→∞+----
=????
?
++ 2lim
22
n n
n →∞==+．
13．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上 是
A ．增函数且最小值为5-
B ．增函数且最大值为5-
C ．减函数且最小值为5-
D ．减函数且最大值为5- 【答案】B
【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=
(3)5f -=-．
14．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C
【解析】
圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．
15．设全集为R ，()sin ,()cos f x x g x x ==，{()0},{()0}M x f x N x g x =≠=≠，那 么集合{()()0}x f x g x =等于 A ．M N B ．M N C ．M N D ．M N
【答案】D
【解析】由题设{,},{,}2
M x x k k Z N xx k k Z π
ππ=≠∈=≠+
∈，则{()()0}x f x g x =，
M N =．
二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
16．11
arctan arctan 32
+的值是 ． 【答案】
4
π 【解析】由于1111
tan(arctan )tan(arctan )113232tan(arctan arctan )11111
321tan(arctan )tan(arctan )13232
++
+===-?-?，所以11arctan arctan 324
π
+=．
17．不等式16
2
2<-+x x 的解集是 ．
【答案】{21}x x -<< 【解析】222
2
06
16
6x x x x +-+-
18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45?，那么这个正三棱台的体积等于 ． 【答案】
3
14 【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点O ，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得
114
33
V ==．
19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4
x 的系数的等差中项．若实数1>a ，
那么a = ．
【答案】1 【解析】由题设可得2
3
4
,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ???，则4352
77
2C a C a ?=?+
347C a ?，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以1a =．
20．在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===， 那么这个球面的面积是 ． 【答案】2
3a π
【解析】因为球的直径等于以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线的长，从而2R =，
故球面的面积为2
243S a ππ==球面．
三．解答题：本大题共6小题；共60分． 21．（本小题满分8分）
求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．
【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．
22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++
22
2
(s i n c o s )
2s i n c o s
2c o
s x x x x x =+++ ——1分 1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分
2sin 2cos 22)4
x x x π
=++=+． ——5分
当sin(2)14
x π
+
=-时y 取得最小值2= ——6分
使y 取最小值的x 的集合为3{|,}8
N x x k k Z π
π==-∈． ——8分
【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．
2236(1)3(1)631112z z i i i
z i i
-++-++-==++++ ——2分
1i =-． ——4分
1i -的模r ==
因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值7
4
θπ=
． ——8分 23．（本小题满分10分）
已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =．求点B 到平面EFG 的距离．
【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．
如图，连结,,,,EG FG EF BD AC ，,EF BD 分别交AC 于,H O ．因为ABCD 是正方形，,E F 分别为AB 和AD 的中点，故//EF BD ，H 为AO 的中点．
BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面
ABCD 上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知//BD 平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离． ——4分
∵ BD AC ⊥，∴ EF HC ⊥．
∵GC ⊥平面ABCD ，∴EF GC ⊥， ∴EF ⊥平面HCG ．
∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，
HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分
作OK HG ⊥交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离． ——8分
∵ 正方形ABCD 的边长为4，2GC =，
∴ AC HO HC ==．
∴ 在Rt HCG ?中，HG =
．
由于Rt HKO ?和Rt HCG ?有一个锐角是公共的，故Rt HKO Rt HCG ??．
∴
11HO GC OK HG ?=
==
． 即点B 到平面EFG 的距离为
11
11
2． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．
【编者注】本题用“等积代换”，即B EFG G EFB V V --=亦可． 24．（本小题满分10分）
根据函数单调性的定义，证明函数3
()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． 【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分
则3322
2112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++ ——3分
∵12x x <，∴120x x -<． ——4分
当120x x <时，有22211221212()0x x x x x x x x ++=+->； ——6分 当120x x ≥时，有2211220x x x x ++>；
∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分
即21()()f x f x <．
所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分 证法二：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分
则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++． ——3分
∵12x x <，∴120x x -<． ——4分
∵12,x x 不同时为零，∴22120x x +>．
又 ∵22
22121212121()2
x x x x x x x x +>
+≥≥-，∴22
11220x x x x ++>， ∴ 22
21121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分
即21()()f x f x <．
所以，函数3
()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分 25．（本小题满分12分）
已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式23log 4log 12log a a a x x x -++
1
21(2)(2)
log log ()3
n n
n a a n x x a ---+->-．
【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．
利用对数换底公式，原不等式左端化为
231log 4log 12log (2)log n n a a a a x x x n x --++
+-
1
1(2)[124(2)]log log 3
n
n a a x x ---=-++
+-=
故原不等式可化为
21(2)1(2)log log ()33
n n
a a x x a ---->-． ① 当n 为奇数时，
1(2)03
n
-->，不等式①等价于2log log ()a a x x a >-． ② 因为1a >，②式等价于
?????->>->a x x a x x 22
00?????<-->>?0
02
a x x a x
x x x ?>?<< ——6分
0<
>=
所以，不等式②的解集为{|x x <
． ——8分 当n 为偶数时，
1(2)03
n
--<，不等式①等价于2log log ()a a x x a <-． ③ 因为1a >，③式等价于?????-<>->a x x a x x 22
00
?????>-->>?0
02a x x a x x
x x ?>???<
?? 或
x x ?>??>
?? ——10分
因为
，，a a
a a =>++<+-2
4241102411 ——12分
所以，不等式③的解集为{|x x >
． 综合得：当n
为奇数时，原不等式的解集是{x x <<
； 当n
为偶数时，原不等式的解集是{|x x >．
26．（本小题满分12分）
双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为5
3
的直线交双曲线于,P Q 两点．若,4OP OQ PQ ⊥=，求双曲线的方程．
【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．
解法一：设双曲线的方程为22
221x y a b
-=．
依题意知，点,P Q
的坐标满足方程组
)22
221(x y a b y x c c ?-=??
?
?=-=??
其中
将②式代入①式，整理得22222222(53)6(35)0b a x a cx a c b c -+-+=．③ ——3分
设方程③的两个根为12,x x ，若2
2
53b a =
，则
b a =
即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，
故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以2
2
530b a -≠．
根据根与系数的关系，有21222
2222
12226533553a c
x x b a a c a b x x b a ?+=-??-?+?=-?-
?
——6分
由于,P Q
在直线)y x c =
-
上，可记为1122()),())P x x c Q x x c --． 由OP OQ ⊥
12
1=-， 整理得212123()830c x x x x c +--=． ⑥ 将④，⑤式及2
2
2
c a b =+代入⑥式，并整理得4
22
4
3830a a b b +-=，
2222(3)(3)0a b a b +-=．
因为2230a b +≠，解得22
3b a =，
所以2c a ==． ——8分
由4PQ =，得2
222121()))]4x x x c x c -+--=． 整理得21212()4100x x x x +--=． ⑦
将④，⑤式及2
2
3b a =，2c a =代入⑦式，解得2
1a =． ——10分 将2
1a =代入2
2
3b a = 得2
3b =．
故所求双曲线方程为2
2
13
y x -=． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分
解方程③得1x =，2x = ④ ——6分
由于,P Q 在直线)y x c =
-上，可记为1122()),())P x x c Q x x c --．
由OP OQ ⊥，得1212))0x x x c x c --=． ⑤ 将④式及2
2
2
c a b =+代入⑤式并整理得4
22
4
3830a a b b +-=， 即2222
(3)(3)0a b a b +-=．
因2
2
30a b +≠，解得2
2
3b a =． ——8分
由4PQ =，得2
222121()))]4x x x c x c -+--=． 即221()10x x -=． ⑥
将④式代入⑥式并整理得22224
(53)160b a a b --=． ——10分 将2
2
3b a =代入上式，得2
1a =， 将2
1a =代入2
2
3b a =得2
3b =．
故所求双曲线方程为
2
21
3
y
x-=．——12分1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．
二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．
四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五、只给整数分数．
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x
题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4
全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14
集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A
详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1
2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <
2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ）