7.3简单线性规划
一、明确复习目标
1.理解二元一次不等式表示平面区域
2.了解线性规划的意义,并会简单的应用
二．建构知识网络
1. 二元一次不等式表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则 (1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；
(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；
(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值.
2. 线性规划:
(1)满足线性约束条件Ax +By +C ＞0（或＜0）的解（x,y ）叫可行解; 所有可行解组成的集合叫可行域；
(2)在数学或实际中,常需要求出满足不等式组的解中,使目标函数z=ax+by 取得最大值或最小值的解(x,y),(叫最优解),这里约束条件和目标函数都是x,y 的一次式,所以我们把这类问题叫线性规划.
3.解线性规划问题, 找出约束条件和目标函数是关键,必须认真分析题目,理清头绪,量多时可以列成表格,找出所有约束条件, 列出不等式组,再结合图形求出最优解.
4.若实际问题要求最优解必为整数,而我们利用图解法得到的解不是整数解,应作适当的调整,方法是以“与线性目标函数的直线的距离”,在直线附近找出与此直线距离最近的点.
三、双基题目练练手
1.(2006天津)设变量x 、y 满足约束条件??
?
??-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小
值为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
2. (2006广东) 在约束条件????
???≤+≤+≥≥4
200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，
目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是
A ]15,6[
B ]15,7[
C ]8,6[
D ]8,7[
3. (2006湖北9)已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部
和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m= （ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 4
4. 不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积等于__________；
5.某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克 甲、乙产品每千克可获利润分别为12d d 、元. 月初一次
性购进本月用原料A 、B 各12c c 、千克. 要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大. 在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为__________;
6.（2006北京）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤??
≥??≥?
，点O 为坐标原点，那么||
PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.
7．(2005江西)设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2??
?
??≤->-+≤-- .
8.不等式组210210123x y x y x ?-+>?
++≥??<-≤?表示的平面区域的面积等于________。
简答:1-3． BDA ;
2．由24x y s
y x +=??
+=?
得交点为: (2,0),(4,24),(0,),(0,4)A B s s C s C '--，
（1） 当43<≤s 时可行域是四边形O ABC ，此时，87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△O AC ′，8max =z . 4． 8; 5．121122,,0,0
a x a y c
b x b y
c x y +≤??
+≤??≥??≥?; 6
7．23; 8．12
四、经典例题做一做
【例1】设x,y 满足约束条件??
?
??≥≤+-≤-1255334x y x y x 分别求：(1)z=6x+10y ，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y ，
(x,y 均为整数)的最大值，最小值。
解：（1）先作出可行域，如图所示中ABC ?的区域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1,
5
22)
作出直线L 0：6x+10y=0，再将直线L 0平移
当L 0的平行线过B 点时，可使z=6x+10y 达到最小值 当L 0的平行线过A 点时，可使z=6x+10y 达到最大值 所以z min =16;z max =50
（2）同上，作出直线L 0：2x-y=0，再将直线L 0平移， 当L 0的平行线过C 点时，可使z=2x-y 达到最小值 当L 0的平行线过A 点时，可使z=2x-y 达到最大值 所以z min =5
12
-
16;z max =8 （3）同上，作出直线L 0：2x-y=0，再将直线L 0平移， 当L 0的平行线过C 点时，可使z=2x-y 达到最小值5
12-
当L 0的平行线过A 点时，可使z=2x-y 达到最大值8
但由于
5
22
不是整数，而最优解（x,y ）中，x,y 必须都是整数 所以可行域内的点C(1,5
22
)不是最优解
当L 0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z=2x-y 达到最小值 所以z min =-2
. 几个结论：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。(如：上题第一小题中z=6x+10y 的最大值可以在线段AC 上任一点取到)
（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y 轴上的截距或其相反数。
3、线性规划的实际应用 【例2】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去应该
在同一天下午4至9点到达C 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h
（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；
（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元）， 那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围
解：（1）依题意得v =
y 50
，w =x
300，4≤v ≤20，30≤w ≤100 ∴3≤x ≤10，25≤y ≤225
①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在
9至14个小时之间，
即9≤x +y ≤14 ② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图
中阴影部分（包括边界）
（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ）， ∴3x +2y =131－p
设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为
－2
3
的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小 此时，v =125，w =30，p 的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义
【例3】某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和
(表中单位:百元)
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有
30x +20y ≤300，5x +10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x 、y 均为整数
由图知直线y =－43x +8
1
P 过M （4，9）时，纵截距最大这
时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
【例4】某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的
成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解
解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么
9
106683604,7,x y x y x x N y y N
+≤???+?≥?
?
≤∈??≤∈? z =252x +160y ，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l 0：252x +160y =0，把直线l 使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小观察图形，y =t
经过点（2，5）时，满足上述要求
此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
解题回顾:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f （x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
五．提炼总结以为师
1.二元一次不等式表示的区域,线性规划等; 2解线性规划问题的步骤：
(1)设:先设变量，列出约束条件和目标函数； （2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（4）求：通过解方程组求出最优解； （5）答：作出答案。
同步练习 7.3简单线性规划
【选择题】
1. 下列命题中正确的是
A.点（0，0）在区域x +y ≥0内
B.点（0，0）在区域x +y +1<0内
C.点（1，0）在区域y >2x 内 D .点（0，1）在区域x －y +1>0内
2.(2006安徽)如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥??
+≥??++≤?
，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3-
3.（2006浙江）在平面直角坐标系中，不等式组??
?
??≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积
是 ( )
A.24
B.4
C.22
D.2
【填空题】
4.设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域的面积是_________
5.（2006重庆）已知变量x ，y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。 6．(2005湖北)某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.
简答.提示：1-3.ABB ； 4. 18
； 5. 1a >； 6. 500
【解答题】
7.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： （1）12--a b 的值域；
（2）（a －1）2+（b －2）2
的值域； （3）a +b －3的值域 解：由题意知
f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0?b ＞0，a +b +1＜0，a +b +2＞
如图所示 A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）
又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（4
1
，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）
8画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域 直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0 在△ABC 内取一点P （1，1），
分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5 得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0 因此所求区域的不等式组为
x +2y －1≥0，x －y +2≥0，2x +y －5≤0
作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =2
3
x ，观察图形可知：当直线y =
23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－2
1
t 最小此时t 最大，t max =3×3－2×（－1）=11；
当直线y =23
x －
2
1
t 经过点B （－1，1）时，纵截距－2
1
t 最大，
此时t 有最小值为
t min = 3×（－1）－2×1=－5 因此，函数z =3x
－2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0，2x +y －5≤0下的最大值为11，最小值为－5
9某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克）， 所需费用为S =05x +04y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8，4x +7y ≥10，x ≥0，y ≥0，
由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25
S 最小，即S 最小
故每盒盒饭为面食1513百克，米食15
14
百克时既科学又费用最少
10配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg 今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1，y ≥1，3x +5y ≤20，5x +4y ≤25
上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法
【探索题】要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
每张钢板的面积为：第一种1m 2，第二种2 m 2，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小？
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则有：
????
??
?∈≥≥≥+≥+≥+N
y x y x y x y x y x ,,0,027315212，y x z 2+=， 作出可行域，得1l 与3l 的交点为A （2
15,29），
当直线y x z 2+=过点A 时z 最小，但A 不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使z 最小，且
20726824min =?+=?+=z ，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7
张，能满足要求.
◆思维点拔:在可行域内找整点最优解的方法是：（1）打网格，描整点，平移直线，找出整点最优解；（2）分析法：由于在A 点5.19=z .，而比19.5大的最小整数为20，在约束条件下考虑202=+y x 的整数解，可将2
10x
y -=代入约束条件，得64≤≤x ，又x 为偶数，故4=x 或6.
3
332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新.
如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 7.3简单的线性规划 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.(2013北京,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 =λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为. 答案 3 2.(2013山东,14,4分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是. 答案 3.(2013安徽,12,5分)若非负变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为. 答案 4 考点二线性规划问题 4.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 答案 B 5.(2013天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 答案 A 6.(2013福建,6,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 答案 B 7.(2013陕西,7,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( ) A.-6 B.-2 C.0 D.2 答案 A 8.(2013四川,8,5分)若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16 答案 C 9.(2013湖北,9,5分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 答案 C 10.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为. 答案 3 11.(2013湖南,13,5分)若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为. 答案 6 12.(2013北京,12,5分)设D为不等式组表示的平面区域.区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为. 答案 13.(2013广东,13,5分)已知变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是. 答案 5 14.(2013浙江,15,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= . 答案 2
《简单的线性规划问题》教学设计 （人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节） 祁东二中谭雪峰 一、内容与内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法． 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力. 二、教学目标 一）、知识目标 1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.理解线性规划问题的图解法 3. 会用图解法求线性目标函数的最优解. 二）、能力目标 1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力. 2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.
3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想. 三)、情感目标 1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣. 2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神. 三、教学重点、难点 重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系. 四、学习者特征分析 1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组） 2. 初步学会分析简单的实际应用问题 3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难： 1.将实际问题抽象成线性规划问题； 2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？ 3.数形结合思想的深入理解. 五、教学与学法分析 本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等. 1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望； 2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
3.3.2 简单线性规划问题第二十九课时 教学目标 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念; 2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. 教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解. 课时安排 3课时 教学过程 导入新课 二元一次不等式a x+b y+c ＞0和a x+b y+c ＜0表示什么图形 答：表示直线a x+b y+c =0某一侧所有点组成的平面区域. 规律： ax+by+c ＞0（a ＞0）表示直线 ax+by+c=0的右侧区域， ax+by+c ＜0（a ＞0）表示直线ax+by+c=0的左侧区域 记忆口诀：a 正大＞右，a 负小＜左。 a 为负时可化为正。 推进新课 ［合作探究］ 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题. 例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么 解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可得二元一次不等式组： ?????????≥≥≤≤≤+. 0,0,124,164,82y x y x y x z=2x+3y 如何将上述不等式组表示成平面上的区域 ［教师精讲］见教材 有关概念 1、线性约束条件：不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件。 2、线性目标函数.t=2x+y 3、线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 4、可行解：满足线性约束条件的解（x,y) 5、可行域：由所有可行解组成的集合 6、最优解： ［知识拓展］再看下面的问题： 若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件?? ???≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最 大值和最小值. 解：做可行域ABC . 作直线l 0：2x+y=0上.平行移动直线l 0经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12, t min =2×1+3=3. 课堂小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.要根据线性约束条件画出可行域 2.设t=0，做出直线l 0. 3.平移直线l 0，从而找到最优解.
简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) 2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 3．不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 5.设变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 7.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91
C ．88 D ．75 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 9.已知实数x ，y 满足???? ? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0 x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤1 D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0 x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数 z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 11.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )
3.3.2简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的 资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛 的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一 种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数 学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际 问题的能力. 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概 念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次. 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的 意识以及解决实际问题的能力. 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数 学化、代数问题几何化. 课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基 本概念; 2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. 二、过程与方法 1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力; 2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用 “数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力; 2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
简单的线性规划教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
简单的线性规划【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0 +C Ax在平面直角坐标系中表示什么图形？ By + > 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? (1) （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。 当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
3.3.3简单的线性规划问题（3） 江苏省靖江高级中学肖世杰 教学目标： 1．掌握线性规划问题中整点问题的求解方法． 2．了解线性规划的思想方法在其他方面的应用． 3．通过问题解决，丰富和完善对线性规划问题这一数学模型及其思想方法的认识和理解，拓宽视野． 4．体会线性规划这一数学模型及其思想方法应用的广泛性、实用性，激发学习数学的兴趣． 教学重点： 线性规划的应用． 教学难点： 将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解． 教学过程： 这节课程我们继续研究线性规划问题在实际生活中的应用． 一、例题讲解 例1某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？ 解设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司花费成本z元，将题中数据整理成如下表格：
则约束条件为10,4631018008,04,,x y x y x y x y +≤???+?≥??≤≤??≤≤?∈??，Ｚ. 即1045300804,x y x y x y x y +≤??+≥?? ≤≤??≤≤?∈??，，，，Ｚ． 目标函数为y x z 504320+=． 作出可行域： 当直线z y x =+504320经过直线3054=+y x 与x 轴的交点（7.5，0）时，z 有最小值，由于（7.5，0）不是整点，故不是最优解． 由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 2560504320=+y x ，经过的整点是（8，0），它是最优解． 答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A 型卡车，所 花最低成本费25608320=?=z （元）；若只调配B 型卡车，则y 无允许值，即无法调配车辆． 例2 学校有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程．A 套选修课播40分 钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分，全学期20周，网络每周开播两次，每次均独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟，两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？ 分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析，特别注意求整体、可解性 和选择性． 解 设选择A 、B 两套课程分别为y x 、次，z 为学分，则 40, 40321400,20401000,,. x y x y x y x y +≤??+≤? ? +≥??∈?Ｎ图示： 目标函数y x z 45+=，
3.3.2简单的线性规划问题（3）一、教学目标（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法； （2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题． （3）利用线性规划求代数式的取值范围。 二、教学重点、难点 用画网格的方法求解整数线性规划问题． 三、教学流程（1）复习：练习1.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件: 则z =10x +10y 的最大值是:（ ） A. 80 B. 85 C. 90 D.95 （2）举例分析 例1、设,,x y z 满足约束条件组1320101 x y z y z x y ++=??+≥??≤≤??≤≤?，求264u x y z =++的最大值和最小值。解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥??≤≤??≤≤? ， 代入目标函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=， 作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ， 由图象知，当l 往0l 左上方移动时，u 随之增大， A x y O B 1 1 ?? ???≤≥+-≥-.x ,y x ,y x 11293222115
当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小， 所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-?+?+=， 当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-?+?+=， 所以，max 6u =，min 4u =． 例2、（1）已知1224a b a b ≤-≤??≤+≤? ，求42t a b =-的取值范围； （2）设2()f x ax bx =+，且1(1)2f ≤-≤，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围。 解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示， 作直线0l ：420a b -=， 作一组平行线l ：42a b t -=， 由图知l 由0l 向右下方平移时，t 随之增大，反之减小， ∴当l 经过A 点时t 取最小值，当l 经过C 点时t 取最大值， 由14a b a b -=??+=?和22 a b a b -=??+=?分别得31(,)22A ，(3,1)C ， ∴min 3142522 t =?-?=，max 432110t =?-?=，所以，[5,10]t ∈． （2）(1)f a b -=-，(1)f a b =+，(2)42f a b -=-，由（1）知，(2)[5,10]f -∈． （3）、练习：教材P91面第2题 思考题：已知ABC ?的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，求b a 的取值范围。 解：设b x a =，c y a =， 则121210,0 x y x y x y x x y <+≤??<+≤??<+??>>?，作出平面区域，由图知：21(,)33A ，31(,)22C ， ∴2332x <<，即2332 b a <<． 四、课堂小结： A b O B C D 2 4 4 20a b -= 1b a =- 4b a =-+ 2b a =-+ a
简单的线性规划教案一 【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？
教你如何做出最佳选择 ——简单的线性规划求最优解 在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。 求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大； （2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。 这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。 下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。 例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则
简单的线性规划 一、本章节的地位及作用 1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性． 2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力． 二、教学目标 1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答． 2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力． 3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新． 三、教学重点与难点 1．教学重点：建立线性规划模型 2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答． 解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化． 四、教学方法与手段 1．教学方法 为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质． 2．教学手段 新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况． 3．学生课前准备 坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔 五、教学过程设计 教学流程图
§3.3.2简单的线性规划(教案) ---一节校际公开课的设计，实施，反思 【教学目标】 1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，培养学生数形结合水平，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际问题中抽象出简单的线性规划问题的过程，学会用数学语言去表达实际问题，通过经历图解法解决问题的过程掌握图解法；3．情态与价值：通过对现实中优化问题的解决，让学生体会数学知识在解决资源分配，生产安排，人力布局等方面的强大作用．培养学生的理性精神。 【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解； 【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 【教学流程】 【教学过程】 一.复习引入： 1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）代点确定，通常代如下几点(0,0),(1,0),(0,1) ２.二元一次不等式组表示的几何意义是什么？ 二.问题情景：
例 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐４t 硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 三 建立模型 解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，设利润为Ｚ,于是满足以下条件： 41018156600x y x y x y +≤??+≤??≥? ?≥? (1) Z=x+0.5y (2) 四 分析Z 随x 和y 的变化是如何变化：把(２)式等价变形为y=-2x+2Z,联系前面学过的一次函数：y=kx+b 可知，b=2Z,又因为一次函数的图象是直线如下图 从图中分析可知：当直线与y 轴交点越向上时，b 的值越大，越向下是时，b 的值越小．取z=0,ｚ=1,ｚ=2等等可得到一系列平行直线
简单的线性规划 x+y+1≥0 1、由不等式组 x-y+1≥0所表示的平面区域的面积是（ ） x ≤0 A 、2 B 、1 C 、2 1 D 、4 2x+y ≤40 x+2y ≤50 2、若变量x ，y 满足 x ≥0 ，则z=3x+2y 的最大值是（ ） y ≥0 A 、90 B 、80 C 、70 D 、40 3、点P （x ，y ）在直线4x+3y=0上，且x ，y 满足-14≤x-y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ ） A 、[0，5] B 、[0，10] C 、[5，10] D 、[5，15] 2x-y+2≥0 4、如果点P 在平面区域 x-2y+1≤0上，点Q 在曲线x 2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小 x+y-2≤0 值为（ ） A 、5-1 B 、54 -1 C 、22-1 D 、2-1 x+y-3≤0 5、若线性目标函数z=x+y 在线性约束条件 2x-y ≤0 下取得最大值时的最优解只有一个， y ≤a 则实数a 的取值范围是__________。 x-y+1≤0 6、实数x ，y 满足 x ＞0 。 y ≤2 ⑴若z=x y ，求z 的最大值和最小值，并求在的取值范围。 ⑵若z=x 2+y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围 x+y-3≥0 7、已知实数x ，y 满足 x-y+1≥0 x ≤2 ⑴z=2x+y ，求z 的最大值和最小值；⑵若z=x 2+y 2，求z 的最大值和最小值； ⑶若z=x y ，求z 的最大值和最小值。 x-y+2≥0 8、已知 x+y-4≥0，求 2x-y-5≤0 ⑴z=x+2y-4的最大值；⑵z=x 2+y 2-10y+25的最小值； ⑶z=11++x y 的范围。
普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版] §3.3.3 第9课时 简单的线性规划问题（3） 教学目标 （1）能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题； （2）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力． 教学重点、难点 培养学生从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题． 教学过程 一．问题情境 1．情境： 前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题．在现实生活中，我们还会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？ 二．数学运用 1．例题： 例1．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？ 分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意： 解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 米，利润为S 百万元， 则约束条件为2314290 x y x y x y +≤??+≤??≥??≥?，目标函数为32S x y =+． 作出可行域（如图）， 将目标函数变形为322S y x =-+，它表示斜率为32-，在y 轴上截距为2 S 的直线，平移直
线322S y x =- +，当它经过直线与29x y +=和2314x y +=的交点135(,)42时，2 S 最大，也即S 最大．此时，1353214.7542 S =?+?=． 因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5米，利润最大为1475万元． 说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数 据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解． （2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形 区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点． 例2．某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低． 解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元， 则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N ?+≤??+?≥??≤≤??≤≤??∈?，即*1045300804,x y x y x y x y N ?+≤?+≥??≤≤??≤≤??∈?， 目标函数为320504z x y =+． 作出可行域（图略，见课本第83页图3-3-11）， 当直线320504z x y =+经过直线4530x y +=与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．但(7.5,0)不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是3205042560x y +=，经过的整点是(8,0)，它是最优解． 因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低． 2．练习：课本第84页 练习 第4题． 三．回顾小结： 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解。