2015年河南省中招考试数学试题及答案解析
一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各数中最大的数是（ ）
π D.－8
【答案】：A
【解析】：根据有理数的定义，很容易得到最大的数是5，选A 。
2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）
【答案】
：B
【解析】：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，选B 。
3.据统计，2014年我国高新产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（ ）
A.4.0570×109
B. 0.40570×1010
C. 40.570×1011
D. 4.0570×1012
【答案】：D
【解析】： 科学记数法的表示形式为10n
a ?的形式，其中110a ≤＜，n 为整数。确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值＞1时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1时，n 是负数。 将40570亿用科学
记数法表示4.0570×1012
元，选D 。
4.如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=1250
，则∠4的度数为（ ）
A.550
B.600
C .700
D.750
【答案】：A
【解析】：本题考查了三线八角，因为∠1=∠2，所以a ∥b,又∠3=1250，∠3与∠4互补，则∠4的度数为550。选A 。
a b
c
C D
B A 正面
第2
题
5.不等式组
x50
3x1
+≥
?
?
-
?＞
的解集在数轴上表示为（）
GURUILIN
D C
B A
【答案】：C
【解析】：本题考查了不等式组的解集，有①得x≥-5，有②得x＜2，这里注意空心和实心；所以选C。
6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试，技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）
A.255分
B.84分
C.84.5分
D.86分
【答案】：D
【解析】：本题主要考察加权平均数的计算方法，（85×2+80×3+90×5）÷（2+3+5）=86分，所以选D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，交BC 于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
A.4
B.6
C.8
D.10
【答案】：C
【解析】：本题主要考察平行四边形和等腰三角形三线合一
定理。设BF与AG相交于O；有∠BAD的平分线AG和
AB=AE,得AG垂直平分BF于O，可得BO=3，可证△ABE
是等腰三角形，得AB=BE=5，也得AE=2AO,在Rt△AOB
中，得AO=4,所以AE=8.故选C.
8.在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O
1
,O
2
,O
3
…组成一条
平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
2
π
个单位长度，则2015秒时，点P的坐标是（）
第7题谷
A.（2014，0）
B.（2015，-1）
C.（2015，1）
D.（2015，0）
【答案】：B
【解析】：一个半圆的周长是πr=π，速度×时间=
2
π
×2015， 设点P 走了n 个半圆，则有2π×2015=n π，所以n=20152个2，即10071
2
个2，
1007个2时正好是上半圆弧，还有1
2
半圆弧，正好在下半圆弧的中点，
因此的P 在（2015，-1）处。
二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：（-3）0+3-1= 。
11.如图，直线y=kx 与双曲线y=
2
x
（x ＞0）交于点A （1，a ），则k= 【答案】：2
【解析】：本题考查了直线y=kx 与双曲线y=
2x 交点问题，点A 在双曲线y=2
x
上，1×a=2，则a=2，所以点A （1，2），又点A （1，2）在y=kx 上，所以k=2。填2。
12.已知点A(4，y 1y 2)，C(-2，y 3)都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是
【答案】：y 3 ＞y 1＞y 2 。
【解析】：本题考查了点在函数的图像上，代入求函数值比较大小的方法，
y 1=（4-2）2-1=3；y 2=）2-1=（4-2）2y 3=（-2-2）2-1=15； 所以y 3 ＞y 1＞y 2 。填：y 3 ＞y 1＞y 2 。
13.现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是
【答案】：
5
8
【解析】：本题考查了概率问题，
共有16种，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种， P （两次抽出的卡片所标数字不同）=1016=5
8
填
58
。 14.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=900，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA,交 AB 于
E ，以点O 为圆心，以OC 为半径作 CD 交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积是
【答案】
：
12
π
【解析】：本题考查了扇形的面积及直角三角形的性质，连接OE, 因为CE⊥OA，点C为OA
的中点，OA=2，所以OC=1，在Rt△OCE中，可证∠EOC=600，S扇形AOE=1
6
π×4=
2
3
π；S
△OCE=1
2
×1
；SAOE=
2
3
π
S扇形AOB=
1
4
π×4=π； S扇形COD=
1
4
π
×1=1
4
π；所以S阴影= S扇形AOB－S扇形COD－SAOE=π－
1
4
π－
2
3
π
12
π
填+
122
π
15.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3,点F是BC上不与点B,C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B/处，若△CDB/恰为等腰三角形，则DB/的长为 .
【答案】：16或
【解析】：本题分两种情况：（1）若DB/=DC,是等腰三角形，则DB/=16；（2）若DB/= CB/，过B/作M N⊥CD于M,交AB于N，则CM=DM=8=BN,又AE=3，则BE=13，所以EN=5,由翻折可知EB/=13,在Rt△EB、N中，可求NB/=12,所以B、M=4,在Rt△EB、N中，
填
N M
C
B
A
E
F F
B
A C O
第14题第15题
B
A
E
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.（8分）先化简，再求值
22
a 2a
b b 112a-2b
b a -+??
÷- ???
，其中
，
解：原式=()()2
a-b a-b
2a-b ab
÷ …………………………………………4分
=
a-b ab 2a-b ? =ab
2
…………………………………………………………6分
当
，
时，原式
=
)5-1=2
2
=2…………………8分
17.（8分）如图，AB ，是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A,B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC=PB,D 是AC 的中点，连接PC,PO 。
(1)求证：△CDP ≌△POB.
证明：（1）∵D 是AC 的中点，且PC=PB, ∴DP ∥AB,DP=
1
2
AB, ∴∠CPD=∠PBO, ∵OB=1
2
AB, ∴DP=OB,
在△CDP 与△POB 中.
PC PD CPD PBO DP OB =??
∠=∠??=?
∴△CDP ≌△POB. …………………………………………5分 (2)填空：
①若AB=4，则四边形AOPD 的最大面积为 .
②连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.
解：①4；………………………………………………………………7分 当四边形AOBD 是正方形时，即OP ⊥OB 时，面积最大=2×2=4. ②600
. …………………………………………………………………9分
由（1）DP∥AB,DP=1
2 AB,
∴四边形DPBO是平行四边形，
又△CDP≌△POB,且∠PBA=600.
∴△CDP和△POB都是等边三角形,
∴PB=PD,
∴四边形BPDO是菱形.
18. （9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
调查结果扇形统计图
其它
报纸
电视
手机上网
电脑上网
根据以上信息解答下列问题
（1）这次接受调查的市民总数是
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是
（3）请补全条形统计图.
（4）若该市民约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
解：（l）1000: …………………………………………………………………………2分
提示：400÷40%=1000
（2）3600×15%=540. ………………………………………………………………4分
（3）（1000×10%=100.正确补全条形统计图）：…………………………………6分补全条形统计图如图所示。
（4）
80×（26%+40%）=52.8（万人）：
所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约为52.8万人。……………………………………………………………………………9分
19.（9分）已知关于x 的一元二次方程（x-3）（x-2）=m . （1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值和方程的另一根.
（1）证明：原方程可化为x 2
-5x+6-m =0………………………………1分
∴△=（-5）2
-4×（6-m ）25-24+4m =1+4m ………………………3分
∵m ≥0, ∴1+4m ＞0,
∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根…………………4分 (2)把x=1代入原方程，得m =2，∴m=±2， ………………6分 把m =2代入原方程得x 2
-5x+4=0，解得x=1或x=4
∴m=±2，方程的另一根是4. ………………………………9分
20.（9分）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 处的仰角是480，若坡角∠FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin480≈0.74，con480≈0.67，tan480≈1.11，≈1.73）
解：延长BD 交AE 于点G,过点D 作DH ⊥AE 于H ， 由题意得，∠DAE=∠BGH=300,DA=6,∴GD=DA=6, ∴GH=AH=DA ·cos300=6
…………………………2分 设BC=x 米，在Rt △GBC 中，
GC=
x
tan tan 30
BC BGC ==∠……………4分 在Rt △ABC 中，AC=0
x
tan tan 48BC BAC =∠………………………………………6分
∵GC-AC=GA,
x
tan 48
…………………………………………8分
∴x ≈13.即大树的高约为13米。………………………………………………9分
21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两张优惠卡：①金卡每张600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡每张150元/张，每次凭卡另收费10元.暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数.设游泳x 次时，所需总费用为y 元.
（1）分别写出选择银卡，普通票消费时，y 与x 的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出A,B,C 的坐标。
（3）请根据函数图像，直接写出选择那种消费方式更合算.
解：（1）银卡：y=10x+150，……………………………………………………1分
普通票：y=210x ， ……………………………………………………2分 （2）把x=0代入y=10x+150中，得y=150，∴A （0，150）……………………3分
由题意y=20x
y=10x+150???,解得x=15，y=300,∴B （15，300）……………………4分
把y=600代入y=10x+150，得x=45，∴C （45，600）……………………5分 (3)当0＜x ＜15时，选择购买普通票更合算；（若写0≤x ＜15不扣分） 当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x ＜45时，选择购买银卡更合算；
当x=45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比购买普通票合算； 当x ＞45时，选择购买金卡更合算；………………………………………10分
22.（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=900，BC=2AB=8,点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，连DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现 ①当α=00时，
AE BD = ；②当α=1800时，AE
BD
= . （2）拓展探究
试判断：当00≤α≤3600时，AE
BD
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
(3)解决问题
当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
谷瑞林制图
备用图
图2
图1
D
B
C
C
B
C
B
A
解：（
1…………………………………………1分 2分
提示：①当α=00
时，在Rt △ABC 中，
BC=2AB=8,∴AB=4；
又点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB,
∴
AE CE CA BD CD CB ===
②当α=1800
时，∴CE ∥AB,
∴
∵BC=8;CD=4
；∴BD=8+4=12 ∴
12AE BD ==2
（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分）…………………………
3分
D E
B
在图1中，∵点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB, ∴
CE CD CA CB
=,∠EDC=∠B=900
; 如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，
∴
CE CD
CA CB
=仍然成立。…………………………………………………………4分 又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE ∽△BCD ，∴AE AC
BD BC
=………………………6分 在Rt △ABC 中，
∴
AE AC BD BC =
∴AE BD
的大小不变。………………………8分 （3）
………………………10分 提示：如图4，当△EDC 在BC 上方，
且A 、D 、E 三点共线时，四边形ABCD 是矩形， ∴
如图5，当△EDC 在BC 下方，且A 、D 、E 三点共线时，△ADC 是直角三角形， 由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6,
根据
2AE BD =,得
BD=5
23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.
(1)直接写出抛物线的解析式.
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
图4
B
E
B
C
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.
理由：设P （x ，- x +88） 则PF=8-(21- x +88)=2
1x 8
…………………………………………………4分
过P 作PM ⊥y 轴于点M ，
则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2
+2
216--x +88???? ????
???
=4211x +x +4642=2
21x +28??
???
∴PD=2
1
x 8
+2, …………………………………………6分 ∴PD-PF=2
1x 8
+2-2
1x 8
=2,
∴猜想正确. …………………………………………7分 (3)“好点”共有11个。……………………………………9分 当点P 运动时，DE 大小不变，
∴PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小。 ∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,
∴PE+PD=PE+PF+2,
当P 、E
此时点将x=-4∴P （且△
∴△（-4，设P （x 则PN=△ PDE 的面积S=12×4×（213- x x+282-）=21-x -3x+44=()2
1-x+6+134
，
由-8≤x ≤0，知4≤S ≤13，
所以S 的整数值有10个，由图像可知，当S=12时，对应的“好点”有2个， 所以“好点”共有11个。