2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学试题及答案详解（理工类）
本试题卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分，考试用时120分钟。 *祝考试顺利* 注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A （或B ）后的方框涂黑。
2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域
内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．
1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
1z
i
的点是 A ． E B. F C. G D. H
2．设合集A ＝{(x ，y)| 24
x ＋216y ＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝3x
}，
则B A 的子集的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10 ，A ＝60度，则cosB ＝
A.
Ｃ．－
3 Ｄ．3
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上
的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．
512 B ．12 C ．7
12
D ．34
5．已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC ＝0．若存在实数m 使得AB +AC ＝m AM
成
立，则m ＝
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495在第II 营区，从496到600在第III 营区．三个营区被抽中的人数依次为
A ．26，16，8
B ．25，17，8
C ．25，16，9
D ．24，17，9 注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。
７．如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则n n s ∞
→lim ＝
A ．22r π
B ．2
83
r π C ．2
4r π D ．6r π
８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．54
9．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取 值范围是
A ．[1,1-+
B ． [1-+
C ． ]3,221[-
D ．[1
10．记实数12,,x x …,n x 中的最大数为max ｛12,,x x …,n x ｝， 最小数为min ｛12,,x x …,n x ｝．已知△ABC 的三边边长为,,a b c （a b c ≤≤）， 定义它的倾斜度为
L ＝max ｛
,,a b c b c a ｝?min ｛,,a b c b c a
｝，则“L ＝1” 是“△ABC 为等边三角形“的
A ．必要而不充分的条件
B ．充分而不必要的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11
．在20()x 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
12．已知Z ＝y x -2，式中变量x ，y 满足约束条件??
?
??≤≥+≤21x y x x
y ，则Z 的最大值＝_________；
13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。则球的半径是 cm ． 14．某射手射击所得环数的分布列如下：
的值为 ．
15．设0,0a b >>，则
2ab
a b
+为,a b 的调和平均数。如图，C 为线段AB 上的点，AC ＝a ，CB ＝b ,Ｏ为AB 的中点，以ＡＢ为直径作半圆。过点C 做AB 的垂线交半圆于Ｄ，连结
OD ，AD ，BD 。过点Ｃ做OD 的垂线，垂足为E 。则图中线段OD 的长度为,a b 的算术
平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝cos （
3
x π
+）cos （
3
x π
-），g （x ）＝
12sin2x -1
4
. （1）求函数f （x ）的最小正周期；
（2）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合。 17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
35
k
x +（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f （x ）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f （x ）达到最小，并求最小值。 18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，
OC ⊥OB ．∠AOB ＝120,且OA ＝OB ＝OC ＝1．
（1）设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算
AB
AQ
的值； （2）求二面角O －AC －B 的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（1）求曲线C 的方程；（2）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA ·FB ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（13分）数列{n a }满足：1a ＝
21，n
n a a -++1)
1(31＝1
1)1(2+-+n n a a ，n a 1+n a ＜0．数列{n b }满足：n b ＝21+n a －2
n a )1(≥n ．（1）求数列{n a }、{n b }
的通项公式；（2）求证：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列． 21．（本小题满分14分） 已知函数)(x f ＝ax ＋
c x
b
+)0(>a 的图像在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝x －1．（1）用a 表示出b ，c ；（2）若)(x f ≥x ln 在[1，＋∞)上恒成
立，求a 的取值范围；（3）证明：11123+++…＋>n 1ln(1)(1)2(1)
n
n n n ++≥+．
2010高考——湖北数学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．
1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
1z
i
+的点是 A ． E B. F C. G D. H 解：由z ＝3＋i ?
1z i +＝
i i
i i i i -=-=-+=++22
242)1)(3(13， 所以选D ．
注：考查了两个知识点，一个是复数在复平面的表示，及复数的简单运算，我们知道，复数
的除法只需要分母乘以其共轭即可得到答案，属于简单题。
2．设合集A ＝{(x ，y)| 24
x ＋216y ＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝3x
}，
则B A 的子集的个数是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解：选A ．
注：考查数形结合的思想，即椭圆与指数函数的交点问题，及子集的有关性质，属于简单题
3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10 ，A ＝60度，则cosB ＝
A.
解：由正弦定理：
?=B
b
A a sin sin 33sin sin 1060
sin 150
=?=B B 36cos -=?B ，或36
cos =B ． ∵b ＝10＜a ＝15，∴B ＜A 3
6
cos =?B ，所以选D ．
注：考查三角函数的简单运算，利用正弦定理得出sin B 的值，然后得出cos B 的值，这里
需要判断值的正负，利用大边对大角，即可得出答案，属于简单题。
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是
A ．
512 B ．12 C ．7
12 D ．34
解：21)(=A P ，65
)(=B P ?事件A ，B 中至少有一件发生的概率＝1－A P (·)B ＝1
－)
211(-·)651(-＝712
，选C ．
注：考查独立事件的运算，我们知道两种独立事件的概率等
于各自的概率加上两种同时发生的概率，或者用全概率减去都不发生得概率即可得出答案，属于简单题。
5．已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC
＝0．若存在
实数m 使得AB +AC ＝m AM
成立，则m ＝
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解：由MA ＋MB ＋MC
＝0?点M 是△ABC 的重心；
由向量的平行四边形合成法则：AB ＋AC
＝；
由△ABC 的重心性质：=
AM 32＝32·
（21·AD ）＝3
1
·AD ? m ＝3，所以选B ． 注：考查向量的运算，我们从条件中可以得到m 点为三角形的重心，根据重心的坐标公式，
我们即可得到答案，属于中等题。
6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495在第II 营区，从496到600在第III 营区．三个营区被抽中的人数依次为
A ．26，16，8
B ．25，17，8
C ．25，16，9
D ．24，17，9 解：由600名学生中抽取一个容量为50的样本?抽取“比例”＝
12
1
60050=； ∵随机抽得的号码为003，得系统抽样规则为：312+k （0=k ，１，２，…）； 所以：
第I 营区（从001到300）抽取的号码为：００３，０１５，…，２９１，共２５人； 第II 营区（从301到495）抽取的号码为：３０３，３１５，…，４９５，共１７人； 第III 营区抽取的人数为：５０－２５－１７＝８人．故选Ｂ．
注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。
７．如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则n n s ∞
→lim ＝
A ．22r π
B ．2
83
r π C ．2
4r π D ．6r π
解：圆的面积构成以：21a r π=为首项，
以4
3
30cos 0
2==q 为公比的等比数列，则n
n s ∞→lim ＝4
312-r π＝2
4r π，所以选Ｃ．
注：考查极限的性质及运算，从第一个圆的半径开始推第二个圆的半径，然后得到圆的面积是成等比数列的，所以根据等比数列的求和公式即可得到答案。
８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A ．152
B ．126
C ．90
D ．54
解：不同安排方案的种数Ｎ＝4
42
5A C －3
3A －3
31
32A C －3
32
42A C ＝ 240－6－36－72＝126，所以选B ．
注：考查排列组合的实际运用，此题算的上是原题，在09年广东省
高考第七题中出现，只是稍微的改了一个条件，运用分类思想即可得出答案，从此题中我们可以看到，真题在高考复习中不可替代的作用。
9．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取 值范围是
A ．[1,1-+
B ． [1-+
C ． ]3,221[-
D ．[1
解：直线b x y +=与曲线243x x y --=
有公共点?函数b x y +=与函数243x x y --=
的图象有公共点．如图，选C ．
注：考查数形结合的思想，一条线和一个半圆相交的关系，此种类型的题目我们在平时练习中见过很多次，注意曲线二是半圆，并非整圆，很多学生在求上限时，很容易出错，做此类题时，避免用代数方法，属于中等题
10．记实数12,,x x …,n x 中的最大数为max ｛12,,x x …,n x ｝，
最小数为min ｛12,,x x …,n x ｝．已知△ABC 的三边边长为,,a b c （a b c ≤≤）， 定义它的倾斜度为
L ＝max ｛
,,a b c b c a ｝?min ｛,,a b c
b c a
｝，则“L ＝1” 是“△ABC 为等边三角形“的
A ．必要而不充分的条件
B ．充分而不必要的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
解：由c b a ≤≤?b a max{
，c b ，a c }＝a c ，min{b a ，c b ，a c }＝b a ，或c b ； ①化简条件“L ＝1”： a c ?b a ＝1bc a =?2，或a c ?c
b ab
c =?2
；
②化简条件“△ABC 为等边三角形c b a ==?；
所以①②，②?①，故选A ．
注：属于选择题中最难的一题，很多学生具有畏难情绪，看到如此专业的数学符号就不敢下笔，其实我们很容易排除两个答案，因为等边三角形三边相等我们就可以推出倾斜度为1，从而可以得到必要性，证明是否充分，我们可以直接从条件a b c ≤≤入手，考查不等式及充要条件的基本知识，此题属于偏难题
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11
．在20()x 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
解：1+r T ＝r r
r y x C )3(41
20220-r ?＝0，4，8，12，16，20，共6项；
注：考查二项式定理的第1r +
此题为简单题。
12．已知Z ＝y x -2，式中变量x ，y 满足约束条件??
?
??≤≥+≤21x y x x y ，则Z 的最大值＝_________；
解：约束条件??
?
??≤≥+≤2
1x y x x
y 表示三角形区域，顶点为A （2，－1），B （2，2），C （21，21），
代入验证得：max Z ＝)(A Z ＝2·2－（－1）＝5；
注：考查线性规划的一般知识，只要大家能够把限制区域画出来，此题的答案就出来了，注意当y 取最小时，目标函数才是最大。
13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。则球的半径是 cm ．
解：设球的半径R ，则三个相同小球的体积和1V ＝3
4R π；
圆柱形容器内部的水的体积2V ＝2
8R π；所以有：3
4R π＋2
8R π＝R R 62
?π
?R ＝4．
注：考查基本的守恒，也就是所谓的体积守恒，此题考法新颖，但是内容陈旧，属于旧酒换新装的考法。
的值为 ． 解：由题设得：?
?
???+1301098103091087＝＋．＋．＋．＝＋．＋．
y x y x 4＝y ?．
注：关于分布列及期望的求法，我们只需要注意两点，第一所有概率之和为1，第二利用期望公式列出第二个方程联立求解即可。
15．设0,0a b >>，则
2ab
a b
+为,a b 的调和平均数。如图，C 为线段AB 上的点，AC ＝a ，CB ＝b ,Ｏ为AB 的中点，以ＡＢ为直径作半圆。过点C 做AB 的垂线交半圆于Ｄ，连结OD ，AD ，BD 。过点Ｃ做OD 的垂线，垂足为E 。则图中线段OD
的长度为,a b 的算术平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数．
解：∵ab BC AC CD =?=2
，∴线段CD 的长度是,a b 的几何平均数； ∵??
=??=AB DE ab DO DE CD 2
1
2
)(2b a DE ab +=，∴线段DE 的长度是,a b 的调和平均数．
注：此题考查难度不高，但是具有创新性，我们可以把任何一条线段都可以表示出来，然后只要知道几何平均数和调和平均数的概念，即可得到正确答案．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝cos （
3
x π
+）cos （
3
x π
-），g （x ）＝
12sin2x -1
4
. （1）求函数f （x ）的最小正周期；
（2）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合。 解：（1）
())
sin 2
3
cos 21)(sin 23cos 21()3cos()3cos(x x x x x x x f +-=-+=ππ，
4
12cos 2182cos 3382cos 1sin 43cos 4122-=--+=-=x x x x x
所以：)(x f 的最小正周期为ππ
=2
2 （II ）)4
2cos(222sin 212cos 21)()()(π+=-=
-=x x x x g x f x h ，当 4
2π
+
x =2πk )(Z k ∈时，)(x h 取得最大值
2
2
。)(x h 取得最大值时，对应的x 的集合为?
???
??∈-
=Z k k x x ,8|π
π． 注：常见的三角函数题目，需要利用两角和差的公式来进行化简，第二问考查的是辅角
公式的化简。此题为容易题，一般基础的学生都能得分。
17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
35
k
x +（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f （x ）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f （x ）达到最小，并求最小值。 解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C （x ）=5
3+x k
，再由C （0）=8，得k=40，因此C （x ）=
5
340
+x 。而建造费用为C 1（x ）=6x ，最后得隔热层建造 费用与20年的能源消耗费用之和为f （x ）=20C （x ）+ C 1（x ）=20?5340+x +6x=5
3800
+x +6x
（0≤x ≤10）。 （Ⅱ）f ’（x ）=6－
2)53(2400+x ，令f ’（x ）=0，即2
)53(2400
+x =6，解得x=5，x=－325（舍
去）。
当0
5
15800
+=70。
当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元。
注：考查应用型的函数题，第一问写出函数表达式比较简单，第二问考查的是导数的知识，较为容易。
18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ．∠AOB ＝120,且OA ＝OB ＝OC ＝1．
（1）设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算
AB
AQ
的值；
（2）求二面角O －AC －B 的平面角的余弦值． 解：（1）在平面OAB 内作ON ⊥OA 交AB 于N ，连接NC ， 又OA ⊥OC ，故OA ⊥平面ONC ? OA ⊥NC ．取AN 的中点Q ?PQ ∥NC ?PQ ⊥OA ．
在等腰三角形AOB 中，∠AOB ＝120度，∠OAB ＝∠OBA ＝30 度．在Rt ΔAON 中，∠OBA ＝30度?ON ＝
AQ AN =2
1
．
在ΔONB 中，∠ONB ＝120度－30度＝30度＝∠NBO ?NB ＝ON ＝AQ ?AB
AQ
＝3． （2）由AC ⊥NP ?∠OPN 是二面角O －AC －B 的平面角． 在Rt ΔPON 中，ON ＝
33，PN ＝6
30? 5
15cos =
∠OPN ． 注：空间立体几何，比较常见，也不难，主要是利用三垂线定理来做辅助线，一般第一问确定Q 点，第二问就非常好求，属于简单题。
19．（本小题满分12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（1）求曲线C 的方程；（2）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（I ）设点),(y x P 是曲线C 上任意一点，那么点P 满
足：)0(1)1(2
2>=-+-x x y x
化简得)0(42
>=x x y
（II ）设过点M （)0,m （)0>m 的直线l 与曲线C 的交点为A ),(11y x ，),(22y x B 设l 的方程为m ty x +=，由
??=+=x
y m
ty x 42
得0442=--m ty y ，0)(162>+=?m t ，于是??
?-=?=+m y y t
y y 442
121① 又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=，
01)()1)(1(021********<+++-=+--?
又4
2y x =于是不等式②等价于
01]2)[(4
116)(01)44(4421221212212
221212221<+-+-+?<++-+?y y y y y y y y y y y y y y ③
把①式代入不等式③有2
2416t m m <+-④
对任意实数t ，42
t 的最小值是0，所以不等式④对于一切t 成立等价于0162
<+-m m ， 即223-223+ m
由此可知，存在正数m ，对于过点M （m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有
0
注：考查圆锥曲线的问题，第一问求曲线方程，只需要利用抛物线的第二定义即可求出，第二问也是直线和圆锥曲线的联立求解，属于常见题型，算法也不难，属于中等题。
20．（13分）数列{n a }满足：1a ＝
21，n n a a -++1)1(31＝1
1)
1(2+-+n n a a ，n a 1+n a ＜0．数列{n b }满足：n b ＝21+n a －2
n a )1(≥n ．
（1）求数列{n a }、{n b }的通项公式；（2）求证：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列． 解：（1）由
n n a a -++1)1(31＝1
1)1(2+-+n n a a ?)1(321+-n a ＝)1(22n a -?12
1
-+n a ＝32)1(2-n a ． ∵04312
1≠-
=-a ，∴12-n a ＝)1(21-a 1)32(-n ?12
-n a ＝4
3-·1)32(-n ?
2
n
a ＝143-·1)32(-n ，又n a 1+n a ＜0，1a ＝21＞0?11
)3
2(431)1(---?-=n n n a ．
n b ＝21+n a －2
n a ＝[143-
·n )32(]－[143-·1)32(-n ]＝43·[1)32(-n －n
)3
2(]?
n b ＝
41·1
)3
2(-n ． （2）用反证法证明。
假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t （r 按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为4 1 ，公比为 32 的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2 b s =b r + b t 成立。 ∴2·41（32）s-1=41（32）r-1+41（3 2 ）t-1， 两边同乘3t-121-r ，化简得3t-r +2t-r =2·2s-r 3t-s 。 由于r 注：考查数列的通项求解，需要利用构造新数列来求通项，计算量不大，但是需要知道数列之间的关系，容易出错，第二问证明也就是利用数列性质来证明，较简单。 21．（本小题满分14分） 已知函数)(x f ＝ax ＋ c x b +)0(>a 的图像在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝x －1．（1）用a 表示出b ，c ；（2）若)(x f ≥x ln 在[1，＋∞)上恒成 立，求a 的取值范围；（3）证明：11123+ ++…＋>n 1ln(1)(1)2(1) n n n n ++≥+． 解：（Ⅰ）f ’（x ）=a － 2x b ，则有{1)1('0)1(=-=++=b a f c b a f ，解得{a c a b 211-=-= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=ax + x a 1 -+1－2a 。 令g （x ）= f （x ）-㏑x= ax +x a 1 -+1－2a-㏑x ，x ∈[1，+∞]， 则g （1）=0，g ’（x ）= a －21x a -－x 1=22 )1(x a x ax ---=2 )1)(1(x a a x x a --- 1）当0 -1﹥1。 若1 a -1，则g ’（x ）<0，g （x ）是减函数，所以g （x ） x,故f （x ）≧㏑x 在[1，+∞）上不恒成立。 2）当a ≥ 21时， ,11≤-a a 若1>x ，则g ’（x ）>0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x ≥ 故当x ≧1时，f(x)≥lnx.综上所述，所求a 的取值范围是,2 1 ???+∞）。 3.当a ≥ 21时，有f(x)≥lnx(x 1≥)，令a=21,有f(x)= 21(x-x 1)≥lnx,令x=k k 1+，有ln k k 1+ ?+=??????+-+11111211121k k k k k k 即 ln(k+1)-lnk< n k k k ....3,2,1,11121=?? ? ??++ 上述n 个不等式依次相加得到结果，即得到 11123+ ++……n 1>(1)(1)2(1) n In n n n ++≥+ 注：函数导数的联合考查，第一问两个方程联立即可得出结果，第二问需要求导转化函数方 程，考查一元二次方程的相关知识，容易得到范围，第三问需要把对数函数进行变形，把一个对数函数转化成n 个对数函数的相加减，然后裂开进行求和即可得到结果。 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次 击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） 2020高考数学模拟试题 （理科） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}． 故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12 ++=i z ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1) i z i i i i i i i i -= +=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i - 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++， 则应抽取的女学生人数为2 200805 ?=， 故答案为：80． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________． 答案：模拟演示： 解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15． 5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽 到标有数字3的卡片的概率为__________． 解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =?=， 两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =?=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为21 63 m p n = ==． 故答案为：1 3 ． 6．若抛物线2 10y x =的焦点到双曲线22 2116 x y a - =的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________． 解：抛物线2 10y x =的焦点为5 (,0)2，双曲线22 2116x y a - =的一条渐近线方程为4y x a =±， 5 42? =，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：5 3 7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________． 解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x … 时()f x a =， (0)0f a ∴==， 0x ∴… 时，()f x =， ∴(4)(4)2f f -=-==-． 故答案为：2-． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-， 1352S =-，且55b a =，77b a =，则 4 2 T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =- 1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =- 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--?? 专题一数学客观题的解题方法与技巧 专题一I 选择题的解法 高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字—准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 选择题具有题小、量大、基础、快捷、灵活的特点,是高考中的重点题型.在高考试卷中数量最大,占分比例高.全国卷的选择题占60分.因此,正确的解好选择题已成为高考中夺取高分的必要条件. 选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了,但知识覆盖面广,要求解题熟练、准确、灵活、快捷.应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判断.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解答过程.在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速的选择巧法,以便快速智取. 选择题的巧解说到底就是要充分利用选项提供的信息,发挥选项的作用.能力稍差的学生解选择题仅仅顾及题干,然后像解答题那样解下去,选项只取了核对的作用.本来像选择题这样的小题应当“小题小作”,但却做成了解答题.至少做成了填空题.这样就“小题大作”了,导致后面的解答题没有充裕的时间思考,这是不划算的. 由于选择题结构特殊,不要求反映过程,再加上解答方式没有固定的模式,灵活多变,具有极大的灵活性.选择题的解题思想,渊源于选择题与常规题的联系与区别,它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹;而另一方面,选择题在结构上具有自己的特点,即至少有一个答案是正确的或合适的.因此,可充分利用题目提供的信息,排除迷惑支的干扰,正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支;选择题中的错误支具有双重性,既有干扰的一面,也有可利用的一面.只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用,从而从反面提供信息,迅速做出判断. 1．选择题的解题策略 解题的基本策略是：充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解. 一般地,解答选择题的策略是： ①熟练掌握各种基本题型的一般解法; ②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧; 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 第七单元 三角函数 考点一 三角函数求值 1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3 ,则cos (α-β)= . 【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z ),则sin α=sin β=13 ,∴|cosα|= 2√23,cos α=-cos β,∴cos (α-β)=-cos 2α+sin 2 α=-79 . 【答案】-79 2.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34 ,则cos 2 α+2sin2α=( ). A .6425 B .4825 C .1 D .1625 【解析】cos 2 α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×3 41+(34) 2=64 25. 【答案】A 3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 . 【解析】由3sin x=1+cos2x ,得3sin x=2-2sin 2 x ,所以2sin 2 x+3sin x-2=0,解得sin x=12 或sin x=-2(舍去), 所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6 . 【答案】π6或5π6 考点二 三角函数的图象与性质 4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x + 2π 3 ),则下面结论正确的是( ). A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度,得到曲线 C 2 B .把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度,得到曲线C 2 C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度,得到曲线C 2 D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度,得到曲线C 2 【解析】因为C 2:y=sin (2x + 2π 3 )=sin (2x +π2+π6)=cos (2x +π6 ),所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原 来的12 ,纵坐标不变,再向左平移π12 个单位长度,即得到曲线C 2. 【答案】D 5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos (x +π3 ),则下列结论错误的是( ). A .f (x )的一个周期为-2π B .y=f (x )的图象关于直线x=8π3 对称 C .f (x+π)的一个零点为x=π6 D .f (x )在(π2 ,π)上单调递减 【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z ),故A 正确; 由x+π3 =k π(k ∈Z ),得x=k π-π3 (k ∈Z ),当k=3时,x=8π3 ,故B 正确; f (x+π)=-cos (x +π3),则当x=π 6时,f (x+π)=0,故C 正确; 高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ） 125 27 . 12536.12554.12581.D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于 （ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[2，+∞） 解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ log (2)a y ax =-在[0，1]上是减函数。 ∴a>1，且2-a>0，∴1 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 高考数学选择经典试题集锦（二） 1、已知()1()()f x x a x b =---，并且,m n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是 A. m a b n <<< B. a m n b <<< C. a m b n <<< D. m a n b <<< 2、已知{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S 、n T ，若223n n S n T n +=+，则109a b 的值为 A. 116 B. 2 C. 22 13 D. 无法确定 3、已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ??=,I 为PC 上一点，且()(0) AC AP BI BA AC AP λλ=++>，则 BI BA BA ?的值为 A. 1 B. 2 C. 1 D. 4、 已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数， ()0,()()()(),()()x g x f x g x f x g x f x a g x ''≠? B. W N < C. W N = D.无法确定 高考数学答题中的一些特殊技巧选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。 选择题应做到准确而且快速，应“多一点想的，少一点算的”，“不算就不会算错”因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。 一、按部就班的解题方法。 二、解题技巧。 选择题只管结果，不管中间过程，因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程，但简化毕竟是简化，数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学，没有充分的依据，所有的条件反射都是错误的，只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证，答案才可确定，“做题不可以凭印象来，凡‘差不多就是’的都是错误的，无十足把握的都是错误的”。 选择题毕竟是简单的甚至可以口算的，思路也是简单的，如果没思路、做不下去或觉得复杂，或者发现做的时候需要大 量计算的时候，可以明确的告诉自己，你的方向错了，可以换一种思路了。 1.直接法 当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时，可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做，确定答案之后，从选项里找即可。 2.筛选法（排除法） 去伪存真，筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。 3.特殊值法 根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，或将比例数看成具体数带人，总之，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。 4.验证法（代入法） 将各选项逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。 5.图象法 可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。 6.试探法 2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．6 B. 5 C．4 D．3 1.B 解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B. 2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 2．B 解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B. 3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为( ) 图M1-1 A．1 B. 2 C. 3 D．2 3．C 解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四 棱锥最长的棱，SA ＝SC 2＋AC 2＝SC 2＋AB 2＋BC 2＝ 3.故选C. 图D188 4．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2 4．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是 1，倾斜角为π 4 . 5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5] ＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4. 6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( ) 图M1-2 学校________________ 班级____________ 姓名_______________ 座位号___________ 高考数学必刷题 数学试卷（理科） 一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应 的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 . 2 ．如果sin α=α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________. 6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = . 7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组. 8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3 米后，拱桥内水面的宽度为 _________米． 9．已知圆的方程是1)1(2 2 =-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ． 10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271 >∈=--n n a a n n n N ，则当n a 取得最小值时n 的值是 ． 11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分2018年高三数学模拟试题理科
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