解三角形专题（高考题）练习【附答案】
1、在ABC ?中，已知内角3
A π
=
，边23BC =.设内角B x =,面积为y .
(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→
→
?=BC AB f )(θ，
（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；
3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2
1222ac b c a =-+ （1）求B C
A 2cos 2
sin 2
++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()
2sin ,3m B =-，
2cos 2,2cos 12B n B ?
?=- ??
?，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，5cos 5A =
，10
cos 10
B =. （Ⅰ）求角
C ； （Ⅱ）设2AB =，求ABC ?的面积.
7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =
，
(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++= 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.
8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1
1tan ,tan 2
3
A B ==，且最长
Ａ
Ｂ Ｃ
120°
θ
边的边长为l.求：
（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.
10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且
.2
7
2cos 2sin 42
=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ?=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+
3
π
)的值. 12、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。
⑴求角A 的大小； ⑵当22sin sin(2)6
y B B π
=++取最大值时，求角B 的大小
13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=?=? （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 14、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
c o s c o s B C b
a c
=-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134
，，求△ABC 的面积. 15、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知
222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
16、（2009浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos
25
A =， 3A
B A
C ?=
．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
17、6.（2009北京理）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π
=，4
cos ,35
A b ==。 （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ?的面积.
18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
，求B. 19、（2009安徽卷理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=1
3
.
（I ）求sinA 的值 ， (II)设AC=6，求?ABC 的面积.
20、（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6
A π
=
，
(13)2c b +=．
（1）求C ； （2）若13CB CA ?=+
，求a ,b ，c ．
21、（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ； （2）若33ABC S ?=+,求,a c . 21世纪教育网 22、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4
2sin(π
-A 的值。
23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sinC=23sinB ，则A=
（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）
ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =
，3
cos 5
ADC ∠=，求AD 25．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C= -1
4
。 （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC ，求b 及c 的长。
26、（2010年高考广东卷理科16）
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=12
5
,求sin α．
27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）
设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)若12,27AB AC a ==
，求,b c （其中b c <）。
答案：
1. 解：（1）ABC ?的内角和A B C π++=
3A π
=
203B π
∴<<
sin 4sin sin BC
AC B x
A == 12sin 43sin sin()23y A
B A
C A x x π∴=?=- 2(0)3x π
<<
（2）y =
231
43sin sin(
)43sin (cos sin )322x x x x x π-=+
2
6sin cos 23sin x x x =+723sin(2)3,(2)
6666x x ππππ=-+-<-<
当
26
2x π
π
-
=
即
3x π
=
时，y 取得最大值33 ………………………14分
2、解：（1）由正弦定理有：
)60sin(|
|120sin 1sin ||0
0θθ-==AB BC ；
∴θsin 120sin 1
||0
=BC ，
00120sin )60sin(||θ-=AB ； ∴→
→?=BC
AB f )(θ21)60sin(sin 340?-?=
θθθ
θθsin )sin 21cos 23
(32-=
)30(61)62s i n (31π
θπθ<<-+= （2）由
6562630π
πθππθ<
+
)62sin(21≤+<πθ；∴)
(θf ]61
,0(∈ 3、解：(1) 由余弦定理：conB=1
4
sin
2
2A B
++cos2B= -14
（2）由
.415sin ,41cos ==
B B 得 ∵b=2，
a 2
+c 2
=12ac+4≥2ac,得ac ≤38
,S △ABC=12acsinB ≤315(a=c 时取等号)
故S △ABC 的最大值为315
4、(1)解：m ∥n ? 2sinB(2cos2B
2－1)＝－3cos2B ?2sinBcosB ＝－3cos2B ? tan2B ＝－ 3
……4分
∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴锐角B ＝π
3 ……2分
(2)由tan2B ＝－ 3 ? B ＝π3或5π
6
①当B ＝π
3时，已知b ＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3
4ac ≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3
……1分
②当B ＝5π
6时，已知b ＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3) ……1分
∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝1
4ac ≤2－ 3 ∴△ABC 的面积最大值为2－ 3
……1分
注：没有指明等号成立条件的不扣分.
5、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，
,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则
因此
.
31
cos =B …………6分 （II ）解：由2cos ,2==?B a BC BA 可得，
,,0)(,
12,cos 2,
6,3
1
cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又
所以a ＝c ＝ 6
6、（Ⅰ）解：由
5cos 5A =，10cos 10B =，得02A B π??∈ ?
??、，，所以23
sin sin .510A B =
=， …… 3分
因为
2
cos cos[()]cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=
…6分
且0C π<< 故
.
4C π
=
………… 7分
（Ⅱ）解： 根据正弦定理得
sin 6
sin sin sin 10AB AC AB B AC C B C ?=?==， ………….. 10分
所以ABC ?的面积为16
sin .
2
5AB AC A ??= 7、解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22
=--A A ……2分
即01cos cos 22
=-+A A
1c o s 21
c o s -==
∴A A 或 ………………4分
1cos ,-=?A ABC A 的内角是 舍去 3π
=∴A ………………6分
（2）a c b 3=+ 由正弦定理，
23
sin 3sin sin =
=+A C B (8)
分
π
32
=+C B 23)32s i n (s i n =-+∴B B π ………………10分
23
)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴
πB B B 即
8、解：由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin
有
23
sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=
==-C C C C C 或所以 ……6分
由
3,23sin ,,13,4π==
<==C C a c c a 则所以只能有， ……8分
由余弦定理
31,034cos 22
222===+-?-+=b b b b C ab b a c 或解得有 当
.3sin 21
,133sin 2
1
,3=?=
==?=
=C ab S b C ab S b 时当时
9、解：（I ）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）11
tan tan 231111tan tan 123A B A B +
+=-=-
=---?
∵0C π<<， ∴
34C π
=
……………………5分
（II ）∵0 ，最长边长为c ……………………7分 由 1tan 3B = ，解得10 sin 10B = ……………………9分 由sin sin b c B C = ，∴ 10 1sin 5 10sin 52 2c B b C ? ?= == ………………12分 10、解：(1) ∵A+B+C=180° 由 27 2cos 2cos 4272cos 2sin 422 =-=-+C C C B A 得 …………1分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+? C C ………………3分 整理，得01cos 4cos 42 =+-C C …………4分 解 得： 21 cos = C ……5分 ∵?< （2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC ，即7=a2+b2－ab …………7分 ∴ ab b a 3)(72 -+= ………………8分 由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ab=6……10分 ∴ 23 323621sin 21=??== ?C ab S ABC …………12分 11、解：依题意， 113 sin 42sin 23,sin 222ABC S AB AC A A A = ?=??== ， 所以 3A π = 或 23A π = ；………………………………………………………………..（1分） (1)当 3A π = 时，BC=23,△ABC 是直角三角形，其外接圆半径为2， 面积为2 24ππ=；……………………………………………………………………. （3分） 当 23A π= 时，由余弦定理得22222cos 164828 3BC AB AC AB AC π =+-=++= ， BC=27,△ABC 外接圆半径为R=221 2sin 3BC A = ， 面积为283π ;……………………………………………………………………………….(5 分) （2）由（1）知 3A π = 或 23A π= ， 当 3A π = 时, △ABC 是直角三角形，∴ 6B π = , cos(2B+3π)=cos 21 32π=- ;………..7分 当23A π= 时,由正弦定理得，27221 ,sin sin 1432B B =∴= , cos(2B+3π)=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π =(1-2sin2B)cos 3π-2sinBcosBsin 3π = 22211215731(1)2142141427?-?-???=- (10分) 12、解：⑴由⊥m n ，得0= m n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --= 2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-= ,(0,)A B π∈，∴ 1sin 0,cos 2B A ≠= ，∴ 3A π= （6分） ⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin 666y B B B B B πππ =++=-++ 311sin 2cos 21sin(2)226B B B π =+ -=+- 由(1)得， 270,2,366662B B ππππππ << -<-<=∴2B -时， 即 3B π = 时，y 取最大值2 13、解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =?=? …………1分 B ac A bc B C BA AC AB cos cos =∴?=?又 B A A B cos sin cos sin =∴ …………3分 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B A …………5分 B A B A =∴<-<-ππ ABC ?∴为等腰三角形. …………7分 （II ）由（I ）知b a = 22cos 2 222c bc a c b bc A bc AC AB = -+?==?∴ …………10分 2=c 1=∴k …………12分 14、解：（I ）解法一：由正弦定理a A b B c C R s i n s i n s i n ===2得 a R A b R B cR C ===222s i n s i n s i n ，， 将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C B A C =-+=-+22得 即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++= 即20s i n c o s s i n ()A B B C ++= ∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵ s i n c o s A B ≠，∴， 012=- ∵B 为三角形的内角，∴ B = 2 3π. 解法二：由余弦定理得 c o s c o s B a c b a c C a b c a b =+-= +-22222222， 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c b a c =-++-+-=-+2222222 222 得× 整理得a c b a c 222 +-=- ∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=- 222221 2 ∵B 为三角形内角，∴ B = 2 3π （II ）将b a c B =+==1342 3，，π代入余弦定理b a c a c B 222 2=+-c o s 得 b a c a c a c B 22 22=+--()c o s ， ∴131621123 =--=a c a c ()，∴ ∴S a c B A B C △==123 43s i n . 15、分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)22 2a c b -=左 侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在 已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理 有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-= 化简并整理得：222 2()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22 2a c b -=,0b ≠。 所以2cos 2b c A =+…………………………………① 又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+= sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C = 由正弦定理得sin sin b B C c =，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。 16、解析：（I ）因为 25cos 25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= ， 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1 sin 2 2ABC S bc A ?∴== 21世纪教育网 （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得 2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴= 21世纪教育网 17、【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． （Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且 4 ,cos 3 5B A π = = ， ∴ 23 ,sin 35C A A π= -=， ∴ 231343sin sin cos sin 32210C A A A π+?? =-=+= ???. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3343 sin ,sin 510A C +== ， 又∵ ,3 3 B b π = =，∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴ sin 6 sin 5b A a B = =. ∴△ABC 的面积 1163433693sin 32251050S ab C ++= =???=. 18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三 角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3π 。 解：由 cos （A -C ）+cosB=3 2及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3 2， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3 2, sinAsinC=3 4. 又由2 b =a c 及正弦定理得21世纪教育网 2s i n s i n s i n , B A C = 故 23 s i n 4B = ， 3s i n 2B = 或 3 s i n 2B =- （舍去）， 于是 B=3π 或 B=23π . 又由 2 b a c =知a b ≤或c b ≤ 所以 B=3π 。 19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分 解：（Ⅰ）由 2C A π-= ，且C A B π+=-，∴42B A π=- ，∴ 2sin sin()(c os sin )42222B B B A π=-=-， ∴ 2 11 sin (1sin )23A B =-= ，又sin 0A >，∴3sin 3A = （Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC B A = ∴ 3 6sin 332 1sin 3 AC A BC B ?= = =，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 32261633333= ?+?= ∴ 116 sin 63232223ABC S AC BC C ?= ??=???= 20、解：（1）由(13)2c b += 得 13sin 22sin b B c C =+= 则有 55sin() sin cos cos sin 666sin sin C C C C C π ππ π- --= =1313cot 2 222C +=+ 得cot 1C = 即 4C π = . （2） 由13CB CA ?=+ 推出 cos 13ab C =+ ；而 4C π=, 即得2 132ab =+, A B C 则有 2 132(13)2sin sin ab c b a c A C ?=+??? +=???=?? 解得 2 132a b c ?=?? =+??=?? 21、解：(1) 因为 sin sin tan cos cos A B C A B += +，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B += +， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-， 得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3C π = ，所以. 23B A π+= 又因为 1sin()cos 2B A C -== ，则6B A π-=，或56B A π -=（舍去） 得 5,4 12A B π π= = (2) 162 sin 3328ABC S ac B ac ?+= ==+， 又sin sin a c A C = , 即 23 2 2a c = ，21世纪教育网 得22,2 3.a c == 22、【解析】（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，A BC C AB sin sin = ，于是 522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+= 2cos 2 22 于是 A A 2 cos 1sin -==55 ， 从而 53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 102 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 23、【解析】由sinC=23sinB 结合正弦定理得：23c b =，所以由于余弦定理得： 222cos 2b c a A bc +-==222(3)cos 2b c b bc A bc +-+==232c bc bc -= 2(23)323223b b b b b -?=?3 2，所以A=30°，选A 。 解答题专题复习---解三角形 一、考情分析 解三角形是每年高考的热点，大题主要考查以一个三角形或四边形为背景的利用正弦、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积问题，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合的解三角形问题。试题难度多为中等。 二、题型归类 类型一：三角形基本量的求解问题 【典例分析】（2017北京理数）在△ABC 中，A =60°，c = 3 7 a . （1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积． 【归类巩固】（2018北京理数）在△ABC中，a=7，b=8， 1 cos 7 B=-． （1）求∠A；（2）求AC边上的高． 类型二：已知一边一对角求范围问题 【典例分析】(2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2， a cos B＝(2c－b)cos A. (1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值． 【归类巩固】△ABC的内角,, A B C的对边分别为,, a b c，已知cos sin a b C c B =+. （1）求B；（2）若2 b=，求△ABC面积的最大值． 类型三：以平面几何为载体的解三角形问题 此类问题的本质还是考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角度问题. 【典例分析】如图，在△ABC 中，3 B π ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1 cos 7 ADC ∠= ． （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.． 【归类巩固】如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值； （2）若cos sin BAD CBA ∠=∠=，求BC 的值． 三、专题总结 专题21 解三角形（知识梳理） 一、知识点 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ?的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式：①A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，C R c sin 2?=； ②R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin =； ③C B A c b a sin :sin :sin ::=； ④C c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++； 2、三角形面积定理：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21?=?=?= ?； r c b a S ABC )(2 121++=?=?高底； (其中r 为ABC ?的内切圆的半径) 3、余弦定理：A bc c b a cos 22 22?-+=?bc a c b A 2cos 2 22-+=； B ac c a b cos 22 22?-+=?ac b c a B 2cos 2 22-+=； C ab b a c cos 22 22?-+=?ab c b a C 2cos 2 22-+=； 4、射影定理：B c C b a cos cos ?+?=，A c C a b cos cos ?+?=，A b B a c cos cos ?+?= 5、设a 、b 、c 是ABC ?的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ； ②若222c b a >+，则 90 (I)求 (II)若,求. 2．（2013四川）在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3．（2013山东）设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4．（2013湖北）在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5．（2013新课标）△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6．（2013新课标1）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7．（2013江西）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C (I)求 (II)若,求. 【答案】 4．（2013年高考四川卷（理））在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =- 必修5解三角形数列综合测试题 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．已知锐角ABC ?的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 75 2. 在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．108 3. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 3952a a a ?=，21a =，则1a =（ ） A ． 1 2 B ．2 C D ．2 4. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为（ ） A . 158或5 B . 5 或1631 C .3116 D .15 8 5. 已知数列{}n a 的前n 项和2 9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 6. 在各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） A ． B ．7 C ． 6 D ． 7. 在ABC ?中，60A =，且最大边长和最小边长是方程2 7110x x -+=的两个根，则第三边的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = ( ) A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 9. 在ABC ?中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且 30=A ，a =4b =，那么满 足条件的ABC ?（ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 10. 已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．50 B ．45 C ．40 D ．35 11. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10302,14S S ==，则40S =（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 12. 在?ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（ ） A ．（0， 6 π ] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3 π ，π） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知c b a ,,分别是ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边，若 B C A b a 2,3,1=+==则=C sin . 14. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 5359a a =，则95 S S = ． 15. 已知ABC ? 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为_______________. 16.下表给出一个“直角三角形数阵” 41 4 1,21 解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab 解三角形及其数列专练 1．(2016·吉林)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，3sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1. (1)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积； (2)求 b－2c acos（ π 3 ＋C） 的值． 解析(1)因为m·n＝2cos2A－3sin2A＝cos2A－3sin2A＋1＝2cos(2A＋ π 3 )＋1＝－1，所以cos(2A＋ π 3 )＝－1.又 π 3 <2A＋ π 3 <2π＋ π 3 ，所以2A＋ π 3 ＝π，A＝ π 3 .由12＝4＋b2－2×2×b×cos π 3 ，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为 1 2 ×2×4×sin π 3 ＝2 3. (2) b－2c acos（ π 3 ＋C） ＝ sinB－2sinC sinAcos（ π 3 ＋C） ＝ sin（A＋C）－2sinC 3 2 cos（ π 3 ＋C） ＝ 3 2 cosC－ 3 2 sinC 3 2 cos（ π 3 ＋C） ＝ 3cos（ π 3 ＋C） 3 2 cos（ π 3 ＋C） ＝2. 2．(2016·福建)在△ABC中，B＝ π 3 ，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC. (1)若△BCD的面积为3，求CD； (2)若AC＝3，求∠DCA. 解析(1)因为S △BCD ＝3，即 1 2 BC·BD· sinB＝3，又B＝ π 3 ，BD＝1，所以BC＝4. 在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB， 即CD2＝16＋1－2×4×1× 1 2 ＝13，解得CD＝13. (2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝3，由正弦定 （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ； 1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A－2cos C cos B＝ 2c－a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B＝1 4，△ABC的周长为5，求b的长． 2、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， cos B＝3 5，且AB → ·BC → ＝－21. (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且cos B b＋ cos C 2a＋c＝0. (1)求角B的大小； (2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积. 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 a2 3sin A. (1)求sin B sin C； (2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 5.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，√3 bsinA=a(2?cosB). （1）求角B的大小； （2）D为边AB上的一点，且满足CD=2 , AC=4,锐角三角形?ACD的面积为√15，求BC的长。 1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A－2cos C cos B＝ 2c－a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B＝1 4，△ABC的周长为5，求b的长． [规范解答](1)由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(其中R为△ABC外接 圆半径)，所以cos A－2cos C cos B ＝ 2c－a b ＝ 2sin C－sin A sin B ，(2分) 所以sin B cos A－2sin B cos C＝2sin C cos B－sin A cos B，sin A cos B＋sin B cos A＝2sin B cos C＋2sin C cos B， 所以sin (A＋B)＝2sin (B＋C)，又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，所以sin C sin A ＝2.(4分) (2)由(1)知sin C sin A ＝2，由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝2，即c＝2a.(6分) 又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a.(8分) 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B.即(5－3a)2＝a2＋(2a)2－4a2×1 4 ，(10分)解得a＝1，a＝5(舍去)，(11分)所以b＝5－3×1＝2.(12分) 2、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， cos B＝3 5，且AB → ·BC → ＝－21. (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C. 解：(1)因为AB →·BC→＝－21，所以BA→·BC→＝21.所以BA→·BC→＝||BA→·||BC→· cos B＝ac cos B＝21.所以ac＝35，因为cos B＝3 5 ，所以sin B＝4 5. 所以S△ABC＝1 2ac sin B＝1 2×35× 4 5 ＝14. (2)因为ac＝35，a＝7，所以c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B＝32. 所以b＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B ，所以sin C＝c b sin B＝ 5 42 × 4 5 ＝2 2. 解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案） 一．选择题（共4小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（） A．B．C．D． 2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 二．填空题（共4小题） 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=． 7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为． 8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=． 三．解答题（共9小题） 9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过 点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2，求BC． 13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列． （1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围； （2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{b n}的通项公式． 15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*）， （i）求T n； （ii）证明=﹣2（n∈N*）． 16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3． 解三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 2017高考真题解三角形汇编 1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37 a . （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =B A ．π 12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 4.（2016全国卷2理科）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a b =2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知 C =60°，b c =3，则A =_________。 8.（2017山东高考题理科）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 C ?AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ， 2016暑假作业(七) 全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．（2012?）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：AD∥BC． 【解答】证明：∵AC、BD交于点O， ∴∠AOD=∠COB， 在△AOD和△COB中， ∵ ∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠A=∠C， ∴AD∥BC．2．（2016?重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD．求证：EF∥CD． 【解答】证明：∵AE∥BD， ∴∠A=∠B， ∵AC=BF， ∴AC+CF=BF+CF， ∴BC=AF， 在△EAF和△DBC中 ∵， ∴△EAF≌△DBC（SAS）， ∴∠EFA=∠BCD， ∴EF∥CD． 第1页（共1页） 3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD． （2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）． 理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°， 第1页（共1页） 解三角形专题 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos A = ，cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ， (sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长. .. 这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针 对高考数学第一道大题，一定不要失分。——（下载之后删掉我） 1、在b 、c ，向量m2sinB,3， 2 B nB ，且m//n 。 cos2,2cos1 2 （I ）求锐角B 的大小；（II ）如果b2，求ABC 的面积S ABC 的最大值。 (1)解：m ∥n2sinB(2cos2 B －1)＝－3cos2B 2 2sinBcosB ＝－3cos2Btan2B ＝－3??4分 2π π ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝ 3,∴锐角B ＝ 3 ??2分 (2)由tan2B ＝－3B ＝ 5π π 或 36 π ①当B ＝ 3 时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)??3分 1 2 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝ acsinB ＝ 3 ac ≤3 4 ∴△ABC 的面积最大值为3??1分 5π ②当B ＝时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 6 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)??1分 1 2 1 acsinB ＝ac ≤2－3 4 ∵△ABC的面积S△ABC＝ 2－3??1分∴△ABC的面积最大值为 .. 5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；（II）若BABC2，且b22，求a和c b的值. 解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC， 则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB, 故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB, 可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB, 即sin(BC)3sinAcosB, 可得sinA3sinAcosB.sinA0, 又 因此cosB 1 3 . ????6分 （II）解：由BABC2,可得acosB2，又cosB 1 3 ,故ac 6, 2 由b 2 a 2 c2accosB, 2 可得a 2 c 12, 2 所以(ac)0,ac, 即所以a＝c＝6 6、在ABC中，cos 5 A， 5 cos 10 B. 10 （Ⅰ）求角C；（Ⅱ）设A B2，求ABC的面积 . cosA 5 5 ， cos B 10 10 ，得 A、B0， 2 （Ⅰ）解：由，所以 23 sinA，sinB. 510 ??3分 cosCcos[(A B)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB 因为 2 2 ?6分 C. 且0C故 4 解三角形测试题 一、选择题： 1、 ABC 中 ,a=1,b= 3 , ∠A=30 ° ,则∠ B 等于 （ ） A ．60° B ． 60°或 120° C ． 30°或 150° D ． 120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ． a=1,b=2 ,c=3 B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 ° C ． a=1,b=2,∠ A=100 ° C ． b=c=1, ∠ B=45 ° 3、在锐角三角形 ABC 中，有 （ ） A ． cosA>sin B 且 cosB>sinA B ． cosA 解三角形与等差数列阶段测试题 2014.8.8 一、选择题：（每小题5分，共计50分） 1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 2. 在△ABC 中，b=c=3，B=300，则a 等于（ ） A B ． C D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9， A=450有两解 D ．a=9， c=10，B=600无解 4. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB BC ?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 5. .在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 6. 已知等差数列5724,7 43…，则使得n S 取得最大值的n 值是（ ） A. 15 B. 7 C. 8和9 D. 7和8 7. 已知数列{}n a 满足*12463(),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15796 log () a a a ++的值是( ) A ．-2 B ．12- C ．2 D ．12 8. 已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=，则有（ ） A 、11010a a +> B 、11010a a +< C 、11010a a += D 、5151a = 9. 在等差数列中，若是9641272=++a a a ，则1532a a +等于( ) A. 12 B. 96 C. 24 D. 48 10. 等差数列{ a n }的前n 项的和记为S n ，已知a 1 > 0，S 7 = S 13，则当S n 的值 最大时，n =（ ） A. 8 B.9 C.10 D.11 解三角形练习题及答案 解三角形习题及答案 、选择题（每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为（）. A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 2、在厶ABC中，下列等式正确的是（）. A. a : b=Z A ：Z B B . a : b= sin A : sin B C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B 1 : 2 : 3,则它们所对的边长之比为（ 3、若三角形的三个内角之比为 A. 1 : 2 : 3 B . 1 ： 3 : 2 C . 1 : 4 : 9 D . 1 ：；』2 : 3 4、在厶ABC中，a= V5 , b= 尿，/ A= 30 °贝卩c等于（）. A. 2 5 B. --:5C . 2 ；5或■、5 D. . 10或■,5 5、已知△ ABC中，/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形 状大小（）. A .有一种情形B.有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在厶ABC 中，若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是（）. A .锐角三角形B.直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( ) A.—一 2 B. 1 2 C. 1 2 n 3 D.— — 8、化简1 T：等于( ) A. 3 B.二 C. 3 D. 1 2 二、填空题(每题5分，共20分) 9、已知cos a —cos B 二丄，sin a —sin 3 =丄，贝S cos (a —B )= . 2 3 10、在厶ABC 中，/ A= 105° / B= 45° c=忑，贝S b= _____________ . a + b + c 你在厶ABC 中，/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- ? 12、在厶ABC中，若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ . 班别：__________ 姓名： _____________ 序号：_______ 得分： _______ 9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________ 一、选择题：（每小题5分，计40分） 1．已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A = 3 π ,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 4．在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2 2 2 a c b +-=，则角B 值为（ ） Ａ．6 π Ｂ． 3π Ｃ．6 π或56π Ｄ． 3 π或23π 5．在△ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos = =，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.ABC ?内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ． 14 B ．3 4 C 7．在ABC ?中，已知B A cos sin 2=ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 8．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2 3 ，那么b =（ ） A ．2 31+ B ．31+ C ．2 32+ D ．32+ 二.填空题: （每小题5分，计30分） 9.在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝ 。 10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 11.在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___ __. 12.在ABC △中，若1tan 3 A = ，150C =o ，1BC =，则AB =________． 13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 . 14．在ABC ?中，若120A ∠=o ，5AB =，7BC =，则ABC ?的面积S=_______ 三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）解答题专题复习---解三角形
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