类比探究专题
例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ．
（1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？
（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．
M
D
B
A
图2
A
B
C D
E M
图1
图3
A
B
D
M
例2 如图1，在ABC △中，AC BC =，120C ∠=?，D 在BC 边上。BDE △为等边三角形，连接AE ，F 为AE 中点，连CF DF ，。
⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由；
⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90?，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。
⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。
图1
A
B C D
E
F
F
D
C
B
A
E
图2
例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：
如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图1 图2
例4 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．
（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
图1 图2 备用图 备用图
例5 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝1
2∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于
点F ．
（1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；
②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；
（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BE
FD 的值（用含k 的式子表示）．
图1 图2
例6 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC=mBC ，CE=nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系． （1）如图2，当m=1，n=1时，求EF 与EG 的数量关系． （2）如图3，当m=1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系． （3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．
C E
F
D A B G
图1
C
E
F
D A G 图2
E
F
D A
G
C 图3
例7 在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD=DP ． （1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
图1
A
D
N
P
E
C
B
M
图2
M B
C
E
P
N
D
A
图3
A D N
P
E
C
B
M
例8 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．
（1）求证：ABF COE △∽△；
（2）如图2，当O 为AC 边中点，2
AC AB =时，求OF
OE 的值；
（3）如图3，当O 为AC 边中点，AC n
AB =时，请直接写出OF
OE 的值．
D
E
F
B
A
图2
A
C E
D F
B
图3
A
C
E
O
D F
B
图1
例9 如图1，已知∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明：
①DC=BC ；②AC = AB+AD ．
（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．
（2）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把题干中的条件
“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC ，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由．
图1
A B
C
D
M
图2
M
D
C
A
图3
N
M
D
C
B A
例10 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．
（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF+BE=CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）
（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30
°，
ABC S △，则BE=_________，CD=________．
图1
N M
F
E
D
C
B A
D
C
A
B
F
E
N
图2
例11已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB=∠AFC ；
②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立；
（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠A CB 、∠DAC 之间存在的等量关系．
图1 图2 图3
D C
A
B
F
E
N
图3
例12（1）阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
图1 图2 图3
例13 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
图1 图2
阅读下列材料：
问题：如图1，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且90AMD ∠=?，试判断AB ＋CD 与AD 之间的大小关系。
小雪同学的思路是：作B 点关于AM 的对称点E ，连接AE 、ME 、DE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。
请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴写出上面问题中AB ＋CD 与AD 之间的大小关系；
⑵如图2，若将AM D ∠的度数改为120°，原问题中的其他条件不变， 证明：1
2
AB BC CD AD ++≥；
⑶如图3，若135AMD ∠=?，1
AB BC ==，，求AD 的最大值。
解决类比探究问题的处理思路
1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．
类比探究常见结构：
① 中点结构 常考虑平行夹中点 ② 旋转结构 特征：等线段共点 ③ 平行结构 作平行，造相似 ④ 直角结构 “斜直角放正”
2. 若不属于常见结构类型：
① 根据题干条件，结合分支条件先解决第一问． ② 类比解决下一问．
如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．
③ 结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、验证．
借助上面填写的内容，做下面的小题
【试题1】如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD =MB ．
（1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？
（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．
M
E
D
C
B
A
图2
A
B
C D E M
图1
图3
A
B
C
D
E
M
首先需要证明图1中的结论．
由M 是AE 的中点，AB ∥DE
延长BM ，交DE 于点N ，可以得到△ABM ≌△ENM ， 进而得到BM=MN ，AB=BC=EN ， ∴DN=DB ，
∴△DBN 是等腰直角三角形， ∴MD ⊥MB ，MD=MB ．
（1）图1和图2
分析AB ∥CE ，补全“平行夹中点”的结构，照搬图1中的证明思路．
延长BM ，交CE 于点N ，连接BD ，DN ，能够得到ENM ，进而得到BM=MN ；进一步证明△BCD ≌△NED ，可以得到△DBN 是等腰直角三角形，得到结论MD ⊥MB ，MD=MB ．
（2）图2和图3两个等腰直角三角形没有变化，M 是AE 的中点也没有发生变化，所以可以照搬（1）中的
证明思路．
第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点E 作
AB 的平行线，交BM 的延长线于点N ，连接BD ，DN ；
BCD=∠NED ，请在图中给出简要证明；
第四步根据△DBN 是等腰直角三角形，得到结论MD ⊥MB ，MD=MB ．
【试题2】如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC =∠ADC =90°，可以证明①DC =BC ；②AC = AB +AD ． （1）如图2，把题干中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为∠ABC +∠ADC =180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．
（2）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把题干中的条件
N M
E
D C B A A B
C D E
M N
N
M
E
D
C
B
A
“∠ABC =∠ADC =90°”改为∠ABC =∠ADC ，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由．
图1
A B
C
D
M
图2M
D
C
A 图3N
M
D C
B A
1. 弄清题干中结论是如何证明的，主要利用的特征为角平分线，以及含有30°角的直角三角形．
角平分线的性质得到DC =BC 结论①成立，利用含30°角的直角三角形中12AB AC =，
1
2
AD AC =证明结论②成立．
2. 第二问与第一问相比，垂直、直角三角形特征已经变化，但_∠MAN =120°，AC 平分∠MAN 没有发生变
化，属于不变特征，考虑角平分线的性质，构造与图1一致的三角形，添加辅助线___________________________________．
证明的路线图为
第一步：辅助线．
第二步：由题干可知AC 和AE ，AF 的关系是_____________． 第三步：△CED ≌____________（条件是______），得到ED=FB ，CD=CB ．
第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB ，结论①②均成立．
3. 不变特征_________________________，没有发生变化，照搬上一问的证明思路．
第一步：辅助线，____________________________________． 第二步：由题干可知AC=AE+AF ．
第三步：___________________________________________． 第四步：结论①成立，结论②变为_______________．
【试题11】在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线
MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE =90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD =DP ．
（1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD =DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，
请说明理由．
（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
图1
A
D N
P
E
C
B
M 图2M B
C
E
P
N
D
A
图3A
D
N
P
E
C
B
M
D 作DF ⊥MN 交线段AB 于点F ；
E M
D C
A
E
N M D
C
B A F
发现等线段共点，考虑“旋转结构”，可得△DFB ≌△DAP ，所以BD =DP ； 梳理路线图：
过D 作DF ⊥MN 交线段AB 于点F
△DFB ≌△DAP (ASA) BD =DP
（1）类比易证的思路解决第一问．
分析不变特征，直角、AB=AC 和平行特征均不变，变化的是点D 和P 的位置，照搬易证的思路，点F 交到AB 的延长线上，结论仍然成立．
（2）照搬思路解决第二问．
分析不变特征，直角、AB=AC 和平行特征均不变，变化的是点D 和P 的位置，照搬易证的思路，点F 交到BA 的延长线上，结论仍然成立．
方法二：利用“等角对等边”来证，只需∠DPB =45°；第一问和第二问类比易证的思路即可．
梳理路线图：
△DGB ∽△AGP AG:DG=PG:BG
△ADG ∽△PBG ∠DPB=∠DAB=45° ∴BD=DP
F
A
B C
E N
M
P
D
F A
B
C
E
N
M P D
G
D A
B
C
E
N M P
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题14 图形变换和类比探究类几何压轴综合问题 【类型综述】 本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材,可以对函数图象进行平移,可以对几何图形进行平移、旋转,考查学生的数学综合应用能力．在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用．只要抓住全等变换的特点,找到变与不变的量就可以解决问题．预计在2019年中考中仍会在压轴部分渗透变换,但是会有新情境的渗透． 【方法揭秘】 1.平移的性质 (1)平移前后,对应线段平行、对应角相等； (2)各对应点所连接的线段平行（或在同一直线上）或相等； (3)平移前后的图形全等,注意：平移不改变图形的形状和大小. 2.旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等. 3.中心对称的性质： 在成中心对称的两个图形中,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分_．成中心对称的两个图形全等. 【典例分析】 【例1】操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF．取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN． （1）连接AE,求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是；
拓展与探究： （3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则（2）中的两个结论还成立吗？若成立,请加以证明；若不成立,请说明理由． 【例2】已知：如图1,OM是∠AOB的平分线,点C在OM上,OC＝5,且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,易得到结论：OD+OE等于多少； （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA不垂直时（如图2）,上述结论是否成立？并说明理由；（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA的反向延长线相交于点D时： ①请在图3中画出图形； ②上述结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,请直接写出线段OD、OE之间的数量关系,不需证明． 【例3】两个三角板ABC,DEF按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C＝∠DEF＝90°,∠ABC＝∠F＝30°,AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)． (1)当点C落在边EF上时,x＝________cm； (2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围； (3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．
专题七 类比探究题 类型一 线段数量关系问题 (2018·河南)(1)问题发现 如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC ，BD 交于点M.填空： ① AC BD 的值为________； ②∠AMB 的度数为________； (2)类比探究 如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断AC BD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写 出当点C 与点M 重合时AC 的长． 【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC ＝BD ，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°； (2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC BD ＝OC OD ＝3，由全等三角形的性质得∠AMB 的度 数； (3)正确画出图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB ＝90°，AC BD ＝3，可得AC 的长． 【自主解答】
解：(1)问题发现 ①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD ，OA ＝OB ， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ， ∴AC BD ＝1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°， 在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究 AC BD ＝3，∠AMB＝90°，理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴ OD OC ＝tan 30°＝33 ， 同理，得OB OA ＝tan 30°＝33， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD ， ∴△AOC∽△BOD， ∴ AC BD ＝OC OD ＝3，∠CAO＝∠DBO. ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸 ①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，AC BD ＝3， 设BD ＝x ，则AC ＝3x ， 在Rt△COD 中，
（2012一测）21、如图1，直角∠EPF 的顶点和正方形ABCD 的顶点C 重合，两直角边PE ，PF 分别和AB ，AD 所在直线交于点E 和F ，易得△PBE ≌△PDF ，故结论“PE=PF ”成立； （1）如图2，若点P 在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若AB=m,BC=n ，直接写出PF PE 的值。 （2013一测）22.（本题10分） （1）问题背景 如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于E ．请探究线段BD 与CE 的数量关系． （事实上，我们可以延长CE 与直线BA 相交，通过三角形的全等等知识解决问题．） 结论：线段BD 与CE 的数量关系是______________________（请直接写出结论）； （2）类比探索 在（1）中，如果把BD 改为∠ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸 在（2）中，如果AB ≠AC ，且AB =nAC （0＜n ＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD 与CE 的数量关系． 结论：BD =_____CE （用含n 的代数式表示）． D E C B A F A B C E D F B E C A D 图1 图2 图3
G F E D C B A A B C D E F G H K L I J G F E D C B A （2015一测）22.（本题10分）如图①，正方形AEFG 的边长为1，正方形ABCD 的边长为3，且点F 在AD 上． (1)求 ； (2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的； (3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值. （2017二测）22.（10分）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ． （1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 的和为10，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 、正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由． 图1 图2 图3
?例题示范 类比探究（习题） 例1：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G． （1）尝试探究：如图1，若AF = 3 ，则 CD 的值是．EF CG （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF =m （m＞EF 0），则CD 的值是CG 解答过程． （用含m 的代数式表示），试写出（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC∥AB，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F．若AB =a ，CD BC =b（a＞0，b＞0），则AF 的值是（用含a，b 的代 BE EF 数式表示）． 1
【思路分析】 根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问． 问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，考虑通过相 似传递比例关系，进而求 CD 的值． CG 构造相似利用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB 交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型相似 △EFH ∽△AFB ，结合 AF = 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，故 EF CD = 3 ． CG 2 类比第一问思路，解决第二问． 分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此 时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m ． CG 2 照搬思路解决第三问． 虽然此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，依然可利用相似来整合条件，可照搬前面思路处理， 依然构造平行．过点 E 作 EH ∥AB 交 BD 的延长线于点 H ， 可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽△EFH ，可得 BC = CD ， BE EH AF = AB ，结合 AB = a ， BC = b ，可知 EF EH CD BE AF = AB = a ?CD = ab ． EF EH EH 2 1 2 3
G F E D C B A D A B M C N M C B A A B C E F M AB=AC D B C D'A 中考数学类比探究专题复习 一：知识点睛 1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构． 2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3.常见结构： ①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构 ④ 中点结构 平行夹中点 (类)倍长中线 中位线 二：真题演练 （2015潜江1.24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转． （1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ． ①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ； ②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由． 2.（2015贵港26．（10分））已知：△ABC 是等腰三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰三角形PCQ ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P 在线段AB 上，且AC=1+，PA=，则： ①线段PB= ，PC= 2 ； ②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ； （2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求） 3、（2015齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，点B 、C 、G 在同一条直线上，M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，易证：DM=FM ，DM ⊥FM （无需写证明过程）
中考几何中的类比探究解题方法分析 河南省息县城郊中学敖勇 河南省中考几何中的类比探究题是中考的第22题，题型以能力立意，突出“发展性”，侧重数学思想方法、数学基本活动经验的考查，试题有一定难度。试题特点关注知识的衔接点和交汇处，综合性较强。由于学生没有科学正确的解题方法，得分率很低。其原因不是学生知识的能量达不到，而是类比探究题中所隐含的数学思想和几何模型没有很好地理解与运用。 初中阶段学习的几何模型主要有：奶站模型，天桥模型，倍长中线模型，弦图模型，双垂直模型，三垂直模型……还有对称，平移，旋转，相似，折叠等知识，这些基本的数学知识学生实际上已经掌握，因不能结合已知条件的特征及结论和图形的情况，灵活把握，所以不能举一反三，触类旁通。（这些模型都隐含在教材的例题中）因此明确解题方向，正确作辅助线是我们做好几何类比探究题的最基本的思想。那么什么叫类比探究呢？类比探究：是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主）。 解决类比探究问题的一般方法： 1、根据题干条件，结合分支条件先解决第一问； 2、用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和为变特征，依据不变的特征，探索新的方法。 类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。 【类比探究解题方法和思路】 1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等； 2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。 3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。 4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
（2012一测）21、如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在直线交于点E和F，易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立； （1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若AB=m,BC=n，直接写出 PF PE的值。 （2013一测）22.（本题10分） （1）问题背景 如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD 于E．请探究线段BD与CE的数量关系． （事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．） 结论：线段BD与CE的数量关系是______________________（请直接写出结论）； （2）类比探索 在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸 在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系． 结论：BD=_____CE（用含n的代数式表示）． D E C B A F A B C E D F B E C A D 图1 图2 图3
G F E D C B A A B C D E F G H K L I J G F E D C B A （2015一测）22.（本题10分）如图①，正方形AEFG 的边长为1，正方形ABCD 的边长为3，且点F 在AD 上． (1)求 ； (2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的； (3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值. （2017二测）22.（10分）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ． （1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 的和为10，分别以四边形 ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 、正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由． 图1 图2 图3
1.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数； （2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形． 2.如图①，在△ABC中,AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点, ED 为一边，作 ∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F. (1)求证:四边形ADEF为平行四边形； (2)当点D为AB中点时，?ADEF的形状为； (3)延长图①中的DE到点G, 使EＧ＝DE，连接AE,AG,FG得到图②若AD =AG, 判断四边形AEGF的形状，并说明理由. 3.【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 4,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在 AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为； （2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2√2，BC，请求出GE的长． CD=1 4 5.如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交CB，BA（或它们的延长线）于点E，F； ①当CE=AF 时，如图①，DE 与DF 的数量关系是； ②继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图②，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； ③再次旋转三角形纸片，当点E，F 分别在CB，BA 的延长线上时，如图③，请直接写出DE 与DF 的数量关系．
2019-2020 年中考北师大版中考数学专题复习：类比探究测 试题 一、知识点睛 解决类比探究问题的处理思路 1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决． 类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构． 2. 若不属于常见结构类型： ①根据题干条件，结合 _______________先解决第一问．②类比解决下一问． 如果不能，分析条件变化，寻找 ______________．③结合所求目标，依据 __________，大胆猜测、尝试、验证． 二、精讲精练 1. 已知：线段 OA ⊥OB ，点 C 为 OB 中点，D 为线段 OA 上一 点．连接 AC ， BD 交于点 P ． （ 1）如图 1，当 OA=OB ，且 D 为 OA 中点时，求 AP 的值； PC B （ 2）如图 2，当 OA=OB ，且 AD 1 时，求 ∠ BPC 的值； OA tan 4 （ 3）如图 3，当 AD: OA: OB=1: n: 2 n 时，直接写出 tan ∠ BPC 的值． B B A D P C O 图 1 A D P C O 图 2 A D P C O 图 3
2.如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°， AD⊥BC 于点 D，点 O 是 AC 边上 一点，连接 BO，交 AD 于点 F，OE⊥OB 交 BC 于点 E． （1）求证：△ABF∽△COE； （ 2）如图 2，当O为AC边中点，AC 2 时，求 OF 的值；AB OE （ 3）如图 3，当O为AC边中点，AC n 时，请直接写出 OF 的值． AB OE B D F E A O C 图1 B D F E A O C 图2 B D F E A O C 图3
类比探究专题 例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ． （1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？ （2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论． M E D C B A 图2 A B C D E M 图1 图3 A B C D E M 例2 如图1，在ABC △中，AC BC =，120C ∠=?，D 在BC 边上。BDE △为等边三角形，连接 AE ，F 为AE 中点，连CF DF ，。 ⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由； ⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90?，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。 ⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。 图1 A B C D E F F D C B A E 图2 例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究： 如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
学生做题前请先回答以下问题 问题1：类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决． 若不属于常见结构类型 ①根据题干条件，结合___________________先解决第一问． ②类比解决下一问． 如果不能，分析条件变化，寻找______________． 结合所求目标，依据_____________，大胆猜测、尝试、验证 问题2：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？ 类比探究—旋转结构 一、单选题(共5道，每道20分) 1.（1）如图1，正方形AEGH的顶点E，H在正方形ABCD的边上，则的值为( ) A.2:3:2 B.1:1:1 C.1:2:1 D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：旋转结构 2.（上接第1题）（2）如图2，将图1中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：旋转结构 3.（上接第1，2题）（3）如图3，把图2中的正方形都换成矩形，当，时，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：旋转结构 4.如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN．（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC，∠A=∠D，点M，N分别在AD，CD上， 若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( ) C. D.
类型1图形旋转引起的探究 1.[2018焦作一模]如图(1),在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的中点,连接DE,PM,PN,MN. (1)观察猜想 图(1)中△PMN是(填特殊三角形的名称). (2)探究证明 如图(2),△ADE绕点A按逆时针方向旋转,则△PMN的形状是否发生改变?并就图(2)说明理由. (3)拓展延伸 若△ADE绕点A在平面内自由旋转,AD=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最大值. 图(1)图(2) 2.如图(1),在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中,AB=2,AB'=,连接CC'. (1)问题发现:计算的值;
(2)拓展探究:将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转,记旋转角为θ，连接BB'.试判断:当 0°≤θ<360°时,的值有无变化?请仅就图(2)中的情形给出你的证明; (3)问题解决:在旋转过程中,BB'的最大值为多少?请在备用图中画出图形,并给出解题过程. 图(1)图(2) 备用图 3.如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点A作AE⊥AC,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F,D. (1)问题发现:∠NDE=; (2)拓展探究:如图(2),当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.
(3)如图(3),若∠EAC=15°,BD=,直线CM与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长. 图(1)图(2) 图(3) 4.(1)问题背景:
类比探究问题（讲义） ? 课前预习 1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由 简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． 2. 解决类比探究问题的一般方法： （1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问； （2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括_________________，________________， _________________． 3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再 做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ? 知识点睛 1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________， ___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例 ①旋转结构 AB=AC D C D' A ②中点结构 A B C E M D A B M C N M A （类）倍长中线 平行夹中点 中位线
? 精讲精练 22. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°， 连接EF ，易证EF =BE +DF ． 图1 B C D E F A （1）类比引申： 如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°， ∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由． A F E D C B 图2 （2）联想拓展： 如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程． 图3 B D E F A
初中数学类比探究综 合测试卷
初中数学类比探究综合测试卷 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,点M是AE的中点.(1)线段MD、MF的位置关系和数量关系为() 小明观察到点M是AE的中点,想到了中点的五种常用思路,结合这道题的条件, 考虑先用(),延长DM交EF于点N,如图证 得:△ADM≌△ENM,然后得出DF=FN,接着用()得出MD⊥MF;用(),证明出MD=MF.从而解决了问题,其中思考的正确顺序应该为()①等腰三角形三线合一;②直角三角形斜边中线等于斜边一半;③中位线;④平行加中点,类倍长中线;⑤倍长中线 A.⑤①② B.④③① C.④②① D.④①② 2.如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,点M是AE的中点.(2)将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形
CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,如图2,原问题中的其他条件不变,则(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. 小明观察到第2问其实是在第1问的基础上旋转了其中一个正方形得到了,认识到这是个类比探究的题目,所以类比第一问的做法来思考问题:首先观察到在图形旋转过程中,点M始终是AE的中点,依然考虑(),连接DF,FN后,如图,要证明DM⊥MF且DM=MF,只需证明DF=FN且DF⊥FN即可,小明先证明出 △ADM≌△ENM,然后充分利用题干中的条件,用()证明出△CDF≌△ENF,从而得到DF=FN,DF⊥FN,证明出结论 ①倍长中线;②类倍长中线;③三线合一;④SAS;⑤AAS;⑥ASA;⑦HL以上括号填写的顺序为() A.①⑤ B.②⑥
类比探究类问题解析版 1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动 点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F． (1) 如图1，求证：AE=DF； (2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明 理由； 2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． (3) 如图3，若AB=3 ① 直接写出线段AE长度的取值范围； ② 判断△GEF的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。 ∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。 （2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD于H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。 ∴∠AME＋∠GMH=90°。 ∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。 ∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。 ∴△GEF是等腰直角三角形。
（3）①23 3 ＜AE≤23。 ②△GEF是等边三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=23。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴MG GH EM AM =。 在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MG GH23 3 EM AM2 ===。∴∠MEG=600。 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。 2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。 （2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。 由（1）知△CBE≌△CDF，
2022届福建省厦门市八年级第二学期期末综合测试数学试题 一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．以下列数组为边长中，能构成直角三角形的是（ ） A ．6，7，8 B ．0.2，0.3，0.5 C ．1，1，3 D ．2，3，5 2．下列说法正确的是( ) A ．了解某型导弹杀伤力的情况应使用全面调查 B ．一组数据3、6、6、7、9的众数是6 C ．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D ．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S 2甲＝0.3，S 2乙＝0.4，则乙的成绩更稳定 3．如图，已知一次函数4y kx =-的图像与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数8 y x =在第一象限内的图像交于点C ，且A 为BC 的中点，则一次函数的解析式为（ ） A ．24y x =- B ．44y x =- C ．84y x =- D ．164y x =- 4．若x y <，则变形正确的是（ ） A ．22x y +>+ B ． 22 x y > C ．22x y ->- D ．22x y ->- 5．如图，在?ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠BCD 的平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AE ＋AF 的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、C 、F 在坐标轴上，E 是OA 的中点，四边形AOCB 是矩形，四边形BDEF 是正方形，若点C 的坐标为(3，0)， 则点D 的坐标为（ ）
A ．(1, 3) B ．(1，13+) C ．(1，3) D ．(3，13+) 7．直角三角形中，两直角边分别是6和8.则斜边上的中线长是（ ） A ．4 B ．8 C ．5 D ．10 8．根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35（微克/立方米）的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是（ ） 天数 3 1 1 1 1 PM2.5 18 20 21 29 30 A ．21微克/立方米 B ．20微克/立方米 C ．19微克/立方米 D ．18微克/立方米 9．已知：如图①，长方形ABCD 中，E 是边AD 上一点，且AE=6cm ，点P 从B 出发，沿折线BE-ED-DC 匀速运动，运动到点C 停止．P 的运动速度为2cm/s ，运动时间为t （s ），△BPC 的面积为y （cm 2），y 与t 的函数关系图象如图②，则下列结论正确的有（ ） ①a=7 ②AB=8cm ③b=10 ④当t=10s 时，y=12cm 2 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．已知菱形的两条对角线分别为6和8，则菱形的面积为（ ） A ．48 B ．25 C ．24 D ．12 二、填空题 11．对于代数式m ，n ，定义运算“※”：m ※n ＝6m n mn +-（mn ≠0），例如：4※2＝426 42 +-?．若（x ﹣1）※（x+2）＝ 12 A B x x +-+，则2A ﹣B ＝_____． 12．在三角形纸片ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝10cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），剪去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE
2019-2020年中考北师大版中考数学专题复习：类比探究测 试题 一、知识点睛 解决类比探究问题的处理思路 1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决． 类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行 结构． 2.若不属于常见结构类型： ①根据题干条件，结合_______________先解决第一问． ②类比解决下一问． 如果不能，分析条件变化，寻找______________． ③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验 证． 二、精讲精练 1.已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点． 连接AC，BD交于点P． （1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求AP PC 的值； （2）如图2，当OA=OB，且 1 4 AD OA 时，求tan∠BPC的值； （3）如图3，当AD:OA:OB=1:n :tan∠BPC 的值． A B P D O A B P C D O A O C B D P 图1 图2 图3
2. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一 点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△； （2）如图2，当O 为AC 边中点， 2AC AB =时，求OF OE 的值； （3）如图3，当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE 的值． D E F B A 图2 A E D F B 图3 A E D F B 图1
3. （1）问题发现 如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空： ①∠AEB 的度数为___________； ②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________． （2）拓展探究 如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． 图2 M E D C B A （3）解决问题 如图3，在正方形ABCD 中，CD P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离． 图3 A B C D 图1 E D C B
中考数学类比探究（一）——直角、平行（习题） 1. 如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ． （1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则 CD 的值是 ． EF CG （2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF = m （m ＞ EF 0），则 CD 的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出 CG 解答过程． （3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB = a ， CD BC = b （a ＞0，b ＞0），则 AF 的值是 （用含 a ，b BE EF 的代数式表示）．
2.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC= ∠DEF=90°，∠EDF=30°． 【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q． 【探究】在旋转过程中， （1）如图2，当CE =1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA 并给出证明． （2）如图3，当CE = 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA 并给出证明． （3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE =m时，EA EP 与EQ 满足的数量关系式为．
3.在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心， 过点G 的直线分别交AB，AC 于点E，F． （1）如图1，当点E 与点B 重合时， AG = GD （2）如图2，当EF∥BC 时，求证： BE + CF ． = 1 ． AE AF （3）如图3，当EF 和BC 不平行，且点E，F 分别在线段 AB，AC 上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出 证明；如果不成立，请说明理由． 提示：①过点 A 作AM∥BC，交EF 于点M，直线FE 交BC 于N；②NB+NC=2ND． （4）如图4，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长 线上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由．
中考数学几何中的类比探究综合测试卷
中考数学几何中的类比探究综合测试卷 一、单选题(共6道，每道16分) 1.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),线段BM、DN、MN之间的数量 关系为() A.BM+DN=MN B.BM+DN=MN C.BM+DN=MN D.不能确定 2.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．(2)当∠MAN绕点A 旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证
明.小明猜测线段BM,DN和MN之间 的数量关系为BM+DN=MN.理由如下: 如图, ① . ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABE =90°, ∴△ABE≌△ADN, ∴∠BAE=∠DAN,AE=AN, ∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°, ∵∠MAN=45°, ∴∠EAM=45°, 又∵AM=AM, ∴ ② , ∴MN=ME, ∵ME=BM+BE=BM+DN, ∴BM+DN=MN. ①,②处横线上所填内容分别是() A.延长BC至点E,使得BE=DN;△EAM≌△NAM B. 延长CB至点E,使得BE=CN;△EAM≌△NAM C.延长CB至点E,使得BE=DN;△EAM≌△NAM D. 延长CB至点E,使得BE=DN;△EMA≌△NAM 3.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN