全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设行列式
111213
212223
313233
a a a
a a a
a a a
=2，则
111213
313233
213122322333
333
a a a
a a a
a a a a a a
---
---
=（）
A．-6 B．-3
C．3 D．6
2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1B．E-A
C．E+A D．E-A-1
3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）
A．??
?
??
A
B
可逆，且其逆为
-1
-1
??
?
??
A
B
B．
??
?
??
A
B
不可逆
C．??
?
??
A
B
可逆，且其逆为
-1
-1
??
?
??
B
A
D．
??
?
??
A
B
可逆，且其逆为
-1
-1
??
?
??
A
B
4．设α1，α2，…，αk是n维列向量，则α1，α2，…，αk线性无关的充分必要条件是
（）A．向量组α1，α2，…，αk中任意两个向量线性无关
B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0
C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ）
A ．（0，-2，-1，1）T
B ．（-2，0，-1，1）T
C ．（1，-1，-2，0）T
D ．（2，-6，-5，-1）T
6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是
（ ）
A ．α+β是Ax =0的解
B ．α+β是Ax =b 的解
C ．β-α是Ax =b 的解
D ．α-β是Ax =0的解
8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324
，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243
C ．11,,324
D ．2,4,3
9．设矩阵A =12
1-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）
A ．11
12
3-- B ．01102
C ．21
1- D ．1
21-
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ）
A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵
B ．正定矩阵的行列式一定小于零
C ．正定矩阵的行列式一定大于零
D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3)=__________．
12．设3阶矩阵A =122
43311t
--，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________． 13．设方阵A 满足A k =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________．
14．实向量空间R n 的维数是__________．
15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________．
16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．
17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则
(32)+A αβ=__________．
18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．
19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．
20．二次型22212312
3121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式111
21141246
1124
2
-----． 22．设矩阵A =23
5，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．
23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关
组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵A =143
253242
----，求矩阵A 的特征值和特征向量．
25．求下列齐次线性方程组的通解．
1341241
2345023020x x x x x x x x x x +-=??+-=??+-+=? 26．求矩阵A =22
4203061103
00111210
----的秩． 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵A =11
121321
2223313233
a a a a a a a a a 的行列式不等于0，证明： 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
ααα线性无关．
全国2012年4月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设矩阵120120003??
?= ? ???
A ，则A *中位于第1行第2列的元素是（ ）
A ．-6
B ．-3
C ．3
D ．6
2．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213
212223313233
232323a a a a a a a a a ------=（ ）
A ．-12
B ．-6
C ．6
D ．12
3．设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则|(-A )-1|=（ ）
A ．-3
B ．1
3-
C ．1
3 D ．3
4．设A 为3阶矩阵，P =1
00210001??
? ? ???
，则用P 左乘A ，相当于将A （ ）
A ．第1行的2倍加到第2行
B ．第1列的2倍加到第2列
C ．第2行的2倍加到第1行
D ．第2列的2倍加到第1列
5．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．齐次线性方程组1232342300x x x x x x ++=??-+-=?的基础解系所含解向量的个数为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设4阶矩阵A 的秩为3，12,ηη为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常
数，则该方程组的通解为（ ）
A ．1212c ηηη-+
B ．12
12c ηη
η-+
C ．12
12c ηηη++ D ．12
12c ηηη++
8．若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-??
?- ? ???
相似，则A 3=（ ） A ．E B ．D
C ．-E
D ．A
9．设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为（
） A ．5
3- B ．3
5-
C ．35
D ．5
3
10．二次型222
1231231223(,,)234610f x x x x x x x x x x =++++的矩阵是（
） A ．235330504?? ? ? ??? B ．2600310004??
? ? ???
C ．230335054?? ? ? ???
D ．26063100104?
?
?
? ???
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式111
24641636=________.
12．设矩阵A =14,14-?? ?-??
B =48,12?? ???则AB =________. 13．设3阶矩阵A 的秩为2，矩阵P =001010100?? ? ? ???，Q =100010101?? ? ? ???
，若矩阵B =QAP ，
则r (B )=________.
14．已知向量组12(1,,3),(2,4,6)k αα=-=-线性相关，则数k =________.
15．向量组123(1,1,1,1),(1,2,3,4),(0,1,2,3)ααα===的秩为________.
16．非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为100020100200122?? ? ? ?-??
，则方程组的
通解是________.
17．设12,ηη是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r(A )=________.
18．设A 为3阶矩阵，且|A |=6，若A 的一个特征值为2，则A *必有一个特征值为________.
19．设A 为3阶矩阵，若A 的三个特征值分别为1，2，3，则|A |=________.
20．实二次型222123123
(,,)345f x x x x x x =-+的规范形为________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式D =3
51245331
2012034
---- 22．设A =220213010?? ? ? ???
，矩阵X 满足关系式AX =A +X ，求X .
23．设234,,,,αβγγγ均为4维列向量，234234(,,,)(,,,)αγγγβγγγ==和A B 为4阶方阵.若行列
式|A |=4，|B |=1，求行列式|A +B |的值.
24．已知向量组T T T T 1234(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2),(3,2,4,1)t t αααα=-==--=-+-（其中t
为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.
25．求线性方程组123412341
23423222547x x x x x x x x x x x x +++=??++-=??+++=?的通解.
（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）
26．设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++，求正交变换x =Py ，将二次型化
为标准形.
四、证明题（本大题6分）
27．证明与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.
全国2012年7月自学考试线性代数(经管类)试题
课程代码:04184
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=
第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．
线性代数（经管类）-阶段测评1 1.单选题 1.1 5.0 设矩阵 $A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11 ,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$，则必有（） 您答对了a a $P_1P_2A=B$ b $P_2P_1A=B$ c $AP_1P_2=B$ d $AP_2P_1=B$ 考点：矩阵的行列变换，左乘行变，右乘列变。 1.2 5.0 设$A$为四阶矩阵，且$|A|=-3$，则$|A^(**)|$=（） 您答对了 c ? a $-3$ ?
?b $9$ ? ?c $-27$ ? ?d $81$ ? $|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$. 1.3 5.0 设$A，B$为$n$阶方阵，满足$A^2=B^2$，则必有（） 您答对了 d ?a $A=B$ ? ?b $A=-B$ ? ?c $|A|=|B|$ ? ?d $|A|^2=|B|^2$ ? 方阵行列式的性质，特别是$|AB|=|A||B|$ 解1：因为$A^2=B^2$，故$|A^2|=|B^2|$，而因为$|AB|=|A||B|$，故$|A^2|=|A|^2，|B^2|=|B|^2$，所以$|A|^2=|B|^2$ 解2：取
$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$，显然$A^2=B^2=E$，但选项A,B,C都不对，应用排除法知正确答案为D。 1.4 5.0 设3阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$，则$|-3A^T|=$（） 您答对了 d ?a 9 ? ?b 1 ? ?c -1 ? ?d -9 ? $|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$. 1.5 5.0 设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$，且已知$|A|=-1$，则$A^-1$=（） 您答对了 b ?a $[[d,-b],[-c,a]]$ ? ?b $[[-d,b],[c,-a]]$ ? ?c $[[d,-c],[-b,a]]$
2017年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)试卷 (课程代码04184) 本试卷共4页,满分100分,考试时间150分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑 3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4.合理安排答题空间,超出答题区域无效。 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，* A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式，r(A)表示矩阵A 的秩。第一部分选择题 一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。 1.设B A ,是n 阶可逆矩阵，下列等式中正确的是 A.() 111---+=+B A B A B.()111---=B A AB C.()111----=-B A B A D.()111 ---=A B AB 2.设A 为3阶矩阵且???? ? ??==100610321,1)(B A r 则=)(BA r A.0 B.1 C.2 D.3 3.设向量组),6,3,1(),1,0,0(),2,1,0(),3,2,1(321====βa a a 则 A.β,,,321a a a 线性无关 B.β不能由321,,a a a 线性表示 C.β可由321,,a a a 线性表示，且表示法惟一
22.已知()31212322213212224,,x x x tx x x x x x x f -+++=为正定二次型，（1）确定t 的取值范围；（2）写出二次型()321,,x x x f 的规范形。 四、证明题：本题7分。 23.证明矩阵????? ??=111011001 A 不能对角化。
自考高数线性代数笔记 第一章行列式 1.1行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如，且； （2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减 次对角线的乘积） 例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆
方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2） （3） （2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如
例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为 所以8-3a=0，时 例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0 全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 线性代数（经管类）考点逐个击破 第一章 行列式 （一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1．二阶行列式 由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子： 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2．三阶行列式 由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3．余子式及代数余子式 设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ，33 32131221a a a a M = ，23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为 我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++== 4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系 解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==， 由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα， 所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ， 即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ， 因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ， 只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0 2006年10月高等教育自学考试课程代码：2198 1．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ） A ．-4|A| B ．-|A| C ．|A| D ．4|A| 2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ） A ．（2A ）T =2A T B ．（3A ）-1=3A -1 C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]T D ．（A T ）-1=A 3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=??? ??--2173，则A=（ ） A ．??? ??--3172 B ．??? ??3172 C ．?? ? ??--3172 D ．?? ? ??2173 4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ） A ．α1，α2，α1+α 2 B ．α1，α2，α1-α2 C ．α1-α2，α2-α3，α3-α 1 D ．α1+α2，α2+α3，α3+α1 5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4） C ．（1，1，0） D ．（0，-1，0） 6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ） A ．无解 B ．有唯一解 C ．有无穷多解 D ．解的情况不能确定 8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ） A ．（-1，0，1） B ．21 （-1，0，1） C ．（1，0，-1） D ．21 （1，0，1） 9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ） A ．??? ? ??003021311 B ．??? ? ??111121111 高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（） 6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分) 1 全国2018年1月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A*表示A 的伴随矩阵；秩（A ）表示矩 阵A 的秩；|A|表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（ ） A.-108 B.-12 C.12 D.108 2.如果方程组?? ???=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=BA B.()111---+=+B A B A C.B A B A +=+ D.()T T T B A B A +=+ 4.设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （ ） A.2 B.4 C.8 D.12 5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s 2≥)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 2 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量 C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 7.设A 为m n ?矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．． 的是（ ） A.B A = B.秩（A ）=秩（B ） C.存在可逆阵P ，使P -1AP=B D.λE-A =λE-B 9.与矩阵A =???? ??????200010001相似的是（ ） A.???? ??????100020001 B.??????????200010011 C.??????????200011001 D.???? ??????100020101 10.设有二次型,x x x )x ,x ,x (f 232221321+-=则)x ,x ,x (f 321（ ） A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若,02 11=k 则k=___________. 12.设A=???? ??????411023,B=,010201??????则AB=___________. 全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( A ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( D ) A.0 B.(1,-1) C. ???? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( C ) A.21- ???? ??--1234 B. 21- ??? ? ?? --4321 C. 21- ???? ?? 4321 D. 21- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是(A ) A.????? ??000010101 B. ???? ? ??0010101 00 C. ????? ??100030001 D. ???? ? ?? 102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( B ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( D ) A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示 C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 2014年10月全国高等教育自学考试 线性代数（经管类）试卷及答案 课程代码：04184 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特 征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关， 则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数 为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 线性代数（经管类）综合试题一 （课程代码 4184） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0，则D1== ( B )． A.－2M B.2M C.－6M D.6M 2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A 应满足 ( D )． A. A≠O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0 3.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )． A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2 C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1 4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )． A. B. C. D. ，则下列说法正确的是( B )． A.若两向量组等价，则s = t . B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价. D.若r()=r()，则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )． A. 中至少有一个零向量 B. 中至少有两个向量对应分量成比例 C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 可由线性表示 7.设向量组有两个极大无关组与 ，则下列成立的是( C )． A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = s D. r + s > m 8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )． A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9.设方程组有非零解，则k = ( D )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )． 自学考试线性代数经管 类试卷及答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数（经管类）试卷 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设行列式D 1= 22 11 b a b a ，D 2=2 22 111 3232a b a a b a --，则D 2= 【 】 2、若A=???? ??1x 1021，B =??? ? ??y 24202，且2A =B ，则 【 】 =1，y=2 =2，y=1 =1，y=1 =2，y=2 3、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是 【 】 A.????? ??000000001 B.????? ??000010001 C.????? ??100000001 D.???? ? ??100010001 4、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组 （E +A ）x =0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 5、矩阵??? ? ??--3113有一个特征值为 【 】 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = . 7、设A =??? ? ??5312，则A * = . 8、已知A =???? ??1201，B =??? ? ??-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数 k= . 第一章 行列式 一．行列式的定义和性质 1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义 2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1 1 ,1,2, ;(,1,2, )n n ij ij ij ij ij ij n n i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑ 2）11 ; 00 n n ij ik ij kj i j k j k i A A a A a A k j k i ====??==??≠≠??∑∑ 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 3．行列式的性质 1）.T A A = 2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例 设行列式22 11 b a b a =1，22 11 c a c a =2，则2 22 1 11 c b a c b a ++=（ 3 ） 二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式 例(性质4) (1)(1)(2) (2)(1)(3) 123233 100 233 100203249 4992004992004090.367677 300677 300607 +-+-= = = 例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧） 2019年4月全国自考线性代数04184真题试题 一、 单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。 1.(04184)设行列式122112212a a a a b b b b +-=-+-，则1212 a a b b = A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.设A 为2阶矩阵，将A 的第1行与第2行互换得到矩阵B ，再将B 的第2行加到第1行得到单位矩阵，则1A -= A.1110?? ??? B.1101?? ??? C.0111?? ??? D.1011?? ??? 3.设向量(2,1,)T b β=可由向量组1(1,1,1)T α=,2(2,3,)T a α=线性表出，则数,a b 满足关系式 A.a-b=4 B.a+b=4 C.a-b=0 D.a+b=0 4.设齐次线性方程组123123123 2000x x x kx x x x x x ++=??++=??-+=?有非零解，则数k= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(04183) 设3阶实对称矩阵A 的秩为2，则A 的特征值=0λ的重数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 6.(04183)设某3阶行列式第2行元素分别为1,-2,3，对应的余子式为3,2,-2，则该行列式的值为 . 7.已知行列式2031111a b c =，则203 111111 a b c -+-= . 8. 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???100010201?? ?= ? ??? . 9.(04184)设n 阶矩阵A 满足关系式22A A E -=，则1A -= . 10.设向量组123(1,1,),(1,,1),(,1,1)T T T a a a ααα===的秩为2，则数a= . 11.(04184)与向量1(2,1)T α=-正交的单位向量2α= . 12.设4元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为 《线性代数（经管类）》考试笔记，重点解析 武汉大学出版社 2006年版 第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则 第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组 第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间 第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 第一部分行列式 本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义 一、二元一次方程组和二阶行列式 例1.求二元一次方程组 的解。 解：应用消元法得 当时。得 同理得 定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。 记为。 于是 由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为： 例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。 二、三元一次方程组和三阶行列式 考虑三元一次方程组 希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程 若，能解出 自考历年线性代数考试试题及答案解析精选 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分. 1、设行列式=m, =n,则行列式等于[] A、m+n B、-(m+n) C、n-m D、m-n 2、设矩阵A=,则A-1等于[] A、B、 C、D、 3、设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于[1,2]的元素是[] A、–6 B、6 C、2 D、–2 4、设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有[] A、A=0 B、BC时A=0 C、A0时B=C D、|A|0时B=C 5、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩[A T]等于[] A、1 B、2 C、3 D、4 6、设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则[] A、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1[α1+β1]+λ2[α2+β2]+…+λs[αs+βs]=0 C、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1[α1-β1]+λ2[α2-β2]+…+λs[αs-βs]=0 D、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7、设矩阵A的秩为r,则A中[] A、全部r-1阶子式都不为0 B、全部r-1阶子式全为0 C、至少有一个r阶子式不等于0 D、全部r阶子式都不为0 8、设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下面结论错误的是[] A、η1+η2是Ax=0的一个解 B、η1+η2是Ax=b的一个解 C、η1-η2是Ax=0的一个解 D、2η1-η2是Ax=b的一个解 阵矩第二章 2.1矩阵的概念 n2.1.1m×由定义个数 ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ij mn 数 表一个列的行用 大小括号表示mn列矩阵。称为一个行nm×这矩阵的含义是：个数排成一个矩形阵列。aij列元素称为矩阵的第其中行第 ij i=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。第行与第ij 。，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA 或））或（（nm ×nm×ijnm×ij m=nA=a n阶为时，称）（当nijn×2n nn阶方阵是由矩阵，或者称为。阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。nA 中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用OO（大写字）表示。或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12a n1×n 矩阵。。它是）为维行 向量n m n=1维列向量为时，。称当 1 m×它是矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。abc3维 行向量，）是，，（例如， 3维列向量。是几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵或简写形如 A）念为（那不是“尖”，，的矩阵， 称为对角矩阵 是一个三阶对角矩阵，例如，。也可简写为 2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当 有如下形式：素都相同时，称它为数量 矩阵。。或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特n EI，单位 记为它为或阶nn别，矩阵。即 或E或在不会引起混淆时，也可以用 I 表示单位矩阵。naEaI表示。或阶数量矩阵常用nn2.2 节中的数乘矩阵运算。其含义见 n3.n阶下三角矩阵阶上三角矩阵与 自考高数线性代数课堂笔记 第一章行列式 线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如，且； （2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减 次对角线的乘积） 例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆 方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2） （3） （2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如 例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为 所以8-3a=0，时 例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问] 解： 解得0历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
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