本科生毕业设计
专业：电气工程及其自动化
设计题目：PWM整流器的仿真研究
毕业设计题目: PWM整流器的仿真研究
毕业设计专题题目：
毕业设计主要内容和要求：
1.学习PWM整流技术方面的基础知识；
2.对PWM整流器的主电路设计进行初步研究；
3.对目前应用比较广泛的PWM整流电路控制策略进行总结分析
和比较，并进行仿真分析。
院长签字：指导教师签字：
摘要
随着电力电子技术的广泛应用与发展，供电系统中添加了大量的非线性负载，引起电网电压、电流的畸变，导致电力污染，实现“绿色”电能变换成为目前电力电子技术研究的重点之一。在众多谐波治理措施中，使用PWM整流器来调节网侧功率因数，实现能量双向流动这一主动改善电能质量的技术得到了深入的研究和发展。本文基于三相两电平PWM 整流器结构，对PWM整流器的控制策略进行了研究。
PWM整流器的工作原理及数学模型是实现整流器控制的基础。本文分析了PWM整流器各种工作状态的工作原理，基于开关函数和占空比两种描述方法建立了PWM整流器的数学模型。
对PWM整流器的有效控制是实现其改善电网质量的关键技术。本文重点分析了滞环电流控制和电流前馈解耦控制两种控制策略，并采用电压控制外环和电流控制内环组成的双闭环控制系统，而且对控制器的参数进行了设计，为PWM整流器的控制奠定了理论基础。
最后运用MATLAB/Simulink构建了三相VSR仿真平台，对实验结果进行分析，证明了控制策略的正确性。
关键词：PWM整流器；数学模型；控制策略；仿真
Abstract
Recent years, power electronic devices have been used wildly used in various industrial applications as essential modules. A large part of these facilities are composed of diodes or thyristors, which bring severe harmonics pollution to the power grid. The "green "converter of power has become the study key point of power electronic technology. Among the methods of harmonic restraining, the technoogy of using PWM rectifier, which can modulate the grid power factor, emplement the bidirectional transmission of power and improve the power quality actively has gotten in-depth study and development. This paper studied on the control strategy of rectifier based on the structure of the structure of three phase PWM rectifier.
The working principle and mathematic model of PWM rectifier is the base of rectifier's control. This paper analyzed the working principle of PWM rectifier at every work state, and built the AC mathematic model of PWM rectifier based on the switching function and duty ratio.
The efficient control of PWM rectifier is the key technology of improving grid quality. This paper analyzed the two control strategy of hysteresis current control and feed-forward decoupled current control, and designed the parameter of the controller, and settled the theory base of the PWM rectifier's control.
A three-phase VSR simulation platform is built with Simulink software, and the simulation results prove the correctness of the control strategy.
Keywords：PWM rectifier; mathematic model; control strategy; simulation
目录
1 绪论 (1)
1.1PWM整流器概述 (1)
1.2研究PWM整流器的意义 (1)
1.3PWM整流器的研究现状 (2)
1.4本课题研究内容 (3)
2 PWM整流器的工作原理、拓扑结构以及数学模型 (4)
2.1PWM整流器的工作原理 (4)
2.2PWM整流器拓扑结构 (5)
2.3三相VSR一般数学模型 (9)
2.3.1采用开关函数描述的VSR一般数学模型 (10)
2.3.2采用占空比描述的VSR一般数学模型 (11)
2.4基于两相αβ（静止）坐标系的数学模型 (13)
2.5基于两相d q（同步）旋转坐标系的数学模型 (14)
3 PWM整流器的控制策略 (16)
3.1PWM整流器的间接电流控制 (16)
3.2PWM整流器的直接电流控制 (17)
3.3基于同步旋转坐标下的PWM整流器的双闭环控制 (19)
4 三相VSR的系统设计 (21)
4.1电流内环控制器的设计 (21)
4.2电压外环控制器的设计 (23)
4.3主电路参数设计 (24)
4.3.1交流侧电感设计 (24)
4.3.2直流侧电容的设计 (28)
5 三相VSR的仿真研究 (30)
5.1仿真软件介绍 (30)
5.2三相VSR的仿真研究 (30)
总结 (42)
参考文献 (43)
翻译部分 (43)
英文原文 (44)
中文译文 (55)
致谢 (65)
1 绪论
1.1PWM整流器概述
非线性负载被引入电网，导致了日趋严重的谐波污染。电网谐波污染的原因有好多种，但是根本原因在于电力电子装置的开关工作方式，从而引起网侧电流、电压波形的严重畸变。在我国，当前主要的谐波源主要是一些整流设备，如化工和冶金行业的整流设备以及各种调速、调压设备和电力机车等。最常见的整流方式是采用二极管不控整流电路或晶闸管相控整流电路，运用二极管不控整流电路从电网吸取畸变电流的同时又对电网注入了大量谐波及无功，造成了严重的电网谐波污染，而且直流侧能量无法回馈电网。采用相控方式的整流器也存在很多问题，在深度相控下交流侧功率因数很低，因换流引起电网电压波形畸变等缺点。这些整流器从电网汲取电流的非线性特征，给周围用电设备和公用电网都会带来不良的影响。
针对上述两种整流电路的不足，PWM整流器对传统的二极管及相控整流器进行了全面的改进。PWM整流器关键性的改进在于用全控型功率开关管取代了半控型功率开关管或二极管，以PWM整控整流取代了相控整流或不可控整流。PWM整流器具有很多优良的性能，例如：实现网侧功率因数的控制(比如单位功率因数)，网侧电流更接近正弦波，电能实现双向流动，具有较快的动态响应。
为了抑制电力电子装置产生的谐波，其中最直接的一种方法就是对整流器本身进行改进，使其尽量不产生谐波，且电流和电压同相位。这种整流器被称为高功率因数变流器或高功率因数整流器。高功率因数变流器主要采用PWM整流技术，大多数都需要使用自关断器件。对电流型整流器，可直接对各个电力半导体器件的通断进行 PWM调制，使输入电流变成接近正弦且与电源电压同相的PWM波形，从而得到接近1的功率因数。对电压型整流器，需要将整流器通过电抗器与电源相连。只要对整流器各开关器件施以相应的PWM控制，就可以对整流器网侧交流电流的大小和相位进行控制，不仅可以实现交流电流接近正弦波，而且可以使交流电流的相位与电源电压同相，就是系统的功率因数总是接近于1。1.2研究PWM整流器的意义
在电力系统中，电流和电压应是完整的正弦波。但是在我们实际生活中的电力系统中，由于非线性负载等因素的影响，电网电压和电流波形总会存在不同程度的畸变，给电力输配电系统和附近的其它电气设备带来许多相关问题，所以就应该采取必要的措施限制其对电网和其它设备的影响。
随着电力电子技术的迅速发展，各种电力电子装置在电力系统、工业、交通、家庭等众多领域中广泛应用，很多场合需要大量各种类型的变流装置将一种频率、幅值、相位的电能变换为另一种频率、幅值、相位的电能，使得用电设备处于理想工作状态，或者满足用电负载某些特殊要求，从而获得最大的技术经济效益[1]。目前，随着功率半导体器件的研制与生产水平都在不断提高，各种新型电力电子变流装置不断出现在市场上，特别是用于交流电机调速传动的变频器性能的逐步完善，为工业领域节能和改善生产工艺提供了十分广阔的应用前景。相关资料表明，电力电子装置的生产量在未来十年中将以每年大于10%的速度飞速增长，同时，由这类装置所产生的高次谐波约占总谐波源的70%以上。
根据网侧功率因数定义可以知道，相控整流装置的网侧功率因数总是小于1，即使基波电流与网侧电压是同相的。随着相控角的增大，网侧功率因数也减小，这些都将给电网带来不好的影响，主要有三点：
（1）增加了电网的无功损耗与线路压降，更严重是，还将造成局部网络电压的波动；
（2）引起了电网的谐波损耗；
（3）这些谐波电流在传输线上流动将会引起传导和射频干扰，造成对它敏感的电子仪器和设备、继电器以及通信线路等的谐波干扰，特别对当今计算机的普及应用是一种实在的威胁。
因此，采取相应的措施来抑制、以至消除这些电力危害是电力电子技术领域中一项重要的研究课题，具有重要的理论和实际意义[2]。
1.3PWM整流器的研究现状
对PWM整流器的研究开始于20世纪70年代末，而进入80年代后，PWM整流技术的应用与研究在电力电子技术的发展下得到了推动。1982年，Busse Alfred提出了三相全桥PWM整流器及其网侧电流幅相控制策略，实现了PWM整流器网侧单位功率因数控制[5]。1984年，Akagi Hirofumi等人提出了无功补偿器控制策略，成为电压型PWM整流器的早期设计思想[6]。
20世纪80年代末，A.W.Green等人提出了PWM整流器连续以及离散动态数学模型和控制策略，使PWM整流器的研究达到了一个新的高度[7]。在20世纪90年代，PWM整流器的研究主要集中在其建模与分析、电流控制方法、主电路拓扑结构、系统控制策略以及电流型PWM整流器的研究等方面。
进入21世纪，随着PWM整流器的广泛应用，各国学者对PWM整流器控制策略的研究也越来越深入。最主要的研究领域几种在以下几个方面:
1.无电网电动势传感器和无网侧电压传感器控制；
2.电网电压不平衡条件下的PWM整流器控制；
3.PWM整流器非线性控制策略的研究，如神经网络控制、二次型最优控制、模糊控制和反馈线性化控制等。
此外，Carls Henrique等人在PWM整流器原有的拓扑结构基础上加入了二极管整流器，二者混合使用以实现高功率因数整流；L.Belhadji和K.aliouane等人提出了新型的空间矢量调制算法，有效地减小了开关频率和开关损耗；C.Attaianese和A.Barbaro等人对整流器各变量进行逐步预测，提出了一种新型的整流器预测控制方法；Monglol Konghirun 则详细分析了PWM整流器各工作状态的电压、电流及开关情况，得出了PWM整流器的通用等效Boost电路；Abdelouahab Bouafia和Jean-Paul Gaubert等人用有功功率和无功功率代替直接转矩控制中的转矩和磁链，提出了无电压传感器的直接功率控制策略；Liviu Mihalache等人对于PWM整流器网侧LCL滤波器进行研究，提出了在电压畸变情况下减小电流总谐波含量的控制方法；R.Skandari和A.Rahamati则基于空间矢量调制策略，在固定的开关频率下对PWM整流器进行了基于模糊逻辑算法的直接功率控制的研究[8]。
PWM整流对电网不产生谐波污染，因而是一种真正意义上的绿色环保电力电子装置。经过几十年的研究和发展，PWM整流器技术已日趋成熟。PWM整流器主电路已从早期的半控型器件桥路发展到如今的全控型器件桥路；其拓扑结构已从单相、三相电路发展到多相
组合及多电平拓扑电路；PWM开关控制由单纯的硬开关调制发展到软开关调制；功率等级从千瓦级发展到兆瓦级。在中大功率场合特别是需要能量双向传递的场合中，PWM整流电路具有非常广泛的应用前景。IGBT等新型电力半导体开关器件的出现和PWM控制技术的发展，极大地促进了PWM整流电路的发展，并使之进入了实用化阶段，已经应用于有源滤波器、超导储能、交流传动、高压直流输电以及统一潮流控制等方面[2]。在我国，PWM整流电路地研究仍处于起步阶段，有关PWM整流电路的研究主要以理论和实验研究为主，虽然取得了一定进展，但是还不够完善。
1.4本课题研究内容
1.PWM整流器的工作原理和拓扑结构
本文分析了PWM整流器在不同工作状态下的工作原理，以及不同分类下的拓扑结构。
2.数学模型的建立
对PWM整流器电路进行分析，采用开关函数描述和占空比描述的方法建立三相PWM整流器在静止坐标系的数学模型和同步旋转坐标系下的数学模型。
3.PWM整流器的控制策略
本设计采用电流内环控制和电压外环控制的双闭环控制结构。其中，电流内环的动态性能直接影响电压外环的控制性能。PWM整流器的电流内环控制分为直接电流控制和间接电流控制，直接电流控制采用前馈解耦控制，间接电流控制采用幅相控制。
4.三相VSR的系统设计
本文对三相VSR的系统设计包括电流内环和电压外环控制器的设计，并对主电路的参数进行了设定。
5.三相VSR的仿真研究
采用Matlab/Simulink仿真软件对PWM整流器的数学模型和电路模型分别进行仿真实验，寻找合适的控制方法和系统参数，分析仿真结果，验证模型的正确性和控制方法的可行性。
2 PWM 整流器的工作原理、拓扑结构以及数学模型
2.1PWM 整流器的工作原理
PWM 整流器实际上是一个交、直流侧可控的四象限运行的变流装置，为了便于理解，以下首先从模型电路来阐述PWM 整流器的原理[3]。图2.1为PWM 整流器模型电路，可以看出：PWM 整流器模型电路是由交流回路、功率开关管桥路以及直流回路组成。其中交流回路包括交流电动势e 和网侧电感L 等；直流回路包括负载电阻R 和负载电动势L e 等；功率开关管桥路可由电压型或电流型桥路组成。
e
L
R
R L
v 0+-
i 0
i
v
e L
图2.1 PWM 整流器模型电路
当不计功率开关管桥路损耗时，由交、直流侧功率平衡关系得：
00v i iv =
式中v 和i 是模型电路交流侧电压和电流；0V 和0I 是模型电路直流侧电压和电流。由上不难理解：
通过对模型电路交流侧的控制，就可以控制其直流侧，反之对直流侧的控制也可以控制交流侧。
以下主要从模型电路的交流侧入手，分析PWM 整流器的运行状态和控制原理。 稳态条件下，PWM 整流器交流侧矢量关系如图2.2所示。
o
A B C D o
'
o
A B C D o '
o A B C D
o '
o
A
B
C
D
o '
(a)
(b)
(c)
(d)纯电感特性运行正阻特性运行纯电容特性运行负阻特性运行
－交流电网电动势矢量－交流侧电动势矢量－交流侧电感电压矢量
－交流侧电流矢量
I
E
I
E
E
I
I
V
V V
V
L
V L V L
V L
V E
E L V V I
图2.2 PWM 整流器交流侧稳态矢量关系
为简化分析，对于整流器模型电路，只考虑基波分量而忽略PWM 谐波分量，并且不计交流侧电阻。由图2.2分析可以知道：以电网电动势矢量为参考时，通过控制交流电压矢
量V
就可以实现PWM 整流器的四象限运行。若假设I 不变，因此L V =I L ω也是固定不变
的，在这种情况下，PWM 整流器交流电压矢量V
端点运动轨迹就构成了一个以L V 为半径的
圆。当电压矢量V
端点位于圆轨迹A 点时，电流矢量I 比电动势矢量E 滞后090，此时PWM
整流器的网侧呈现纯电感特性，如图2.2（a ）所示；当电压矢量V
端点运动至圆轨迹B 点
时，电流矢量I
与电动势矢量E 平行而且同向，此时PWM 整流器网侧呈现正电阻特性，如
图2.2（b ）所示；当电压矢量V
端点运动至圆轨迹C 点时，电流矢量I 比电动势矢量E 超
前090，此时PWM 整流器的网侧呈现纯电容特性，如图2.2（c ）所示；当电压矢量V
端点
运动至圆轨迹D 点时，电流矢量I
与电动势矢量E 平行且反向，此时PWM 整流器的网侧呈现负阻特性，如图2.2（d ）所示。以上，A 、 B 、C 、D 四点是PWM 整流器四象限运行的四个特殊工作状态点，进一步分析，可得PWM 整流器四象限运行的规律如下：
（1）电压矢量V
端点在圆轨迹AB 上运动时，PWM 整流器运行于整流状态。此时，PWM 整流器需要从电网中吸收有功和感性无功功率，电能将通过PWM 整流器从电网传输至直流
负载。应该注意的是，当PWM 整流器运行在B 点时，实现的是单位功率因数整流控制；而在A 点运行时，PWM 整流器则不从电网吸收有功功率，而只是从电网吸收感性无功功率。
（2）当电压矢量V
端点在圆轨迹BC 上运动时，PWM 整流器运行于整流状态。此时，PWM 整流器需从电网吸收有功及容性无功功率，电能将通过PWM 整流器从电网传输至直流负载。当PWM 整流器运行至C 点时，PWM 整流器将不从电网吸收有功功率，而只是从电网吸收容性无功功率。
（3）当电压矢量V
端点在圆轨迹CD 上运动时，PWM 整流器运行于有源逆变状态。此时PWM 整流器向电网传输有功及容性无功功率，电能将从PWM 整流器直流侧传输至电网。当PWM 整流器运行至D 点时，就可以实现单位功率因数有源逆变控制。
（4）当电压矢量V
端点在圆轨迹DA 上运动时，PWM 整流器运行于有源逆变状态。此时，PWM 整流器向电网传输有功及感性无功功率，电能将从PWM 整流器直流侧传输至电网。显然，要实现四象限运行，关键在于网侧电流的控制。一方面，可以通过控制PWM 整流器交流侧电压，间接控制网侧电流；另一方面，可以通过网侧电流的闭环控制来直接控制PWM 整流器的网侧电流。
根据上述工作状态的分析，可以得出，想要使PWM 整流器实现四象限运行，必须对网侧电流进行有效的控制。主要方法有两种：
一是控制PWM 整流器的网侧电压，从而间接控制其网侧电流；
二是通过网侧电流的闭环控制，直接控制PWM 整流器的网侧电流。
2.2PWM 整流器拓扑结构
随着PWM 整流技术的发展，已经设计出多种PWM 整流器，它们在主电路结构、PWM 信号发生以及控制策略等方面均有各自的特点。
按直流储能形式可以分为电压源型和电流源型。
按电网相数可以分为单相电路、两相电路和多相电路。 按开关调制可以分为硬开关调制和软开关调制。 按桥路结构可以分为半桥电路和全桥电路。
按调制电平可以分为两电平电路、三电平电路和多电平电路。
在电压源型PWM 整流器的诸多拓扑结构中，直流侧均采用电容进行储能，使直流侧呈电压源特性，这是其最显著的特征。
V1
VD1
C1
C2
+
+R L
+
-
Vdc
L
I e
V2VD2
图2.3单相半桥VSR 拓扑结构
I L R L
VD1
VD2
VD3
VD4
V1
V2
V3
V4
C
+
+
-Vdc
i dc
L
e
I
图2.4单相全桥VSR 拓扑结构
图2.3和图2.4为单相半桥和全桥VSR 拓扑结构。可以看出，单相半桥和单相全桥VSR 的交流侧的电路结构是相同的，其中交流侧电感主要用于滤除网侧电流谐波。单相半桥VSR 只有一个桥臂采用功率开关器件，另一桥臂由两个串联的电容组成，可以作为直流侧储能电容；单相全桥VSR 采用四个功率开关器件构成H 桥结构，每个功率开关器件与一个续流二极管反并联，以用来缓冲PWM 过程中的无功电能。两者比较，前者的主电路结构简单，造价低，常用于低成本、小功率的应用场合。但是半桥电路直流电压是全桥电路的两倍，对其功率开关器件的耐压要求较高，而且需要引入电容均压控制来保持电路中点电位基本不变，因此控制起来相对复杂。
I L R L
VD1
VD2
VD3
VD4V1
V2
V3
V4
C
++
-
Vdc
i dc
L
e a VD5
VD6
V5
V6
e b e c
N
图2.5三相半桥VSR 拓扑结构
VD1
VD7 V1
V7
VD2
VD8
V2
V8
VD3
VD9
V3
V9
VD4
VD10
V4
V10
VD5
VD11
V5
V11
VD6
VD12
V6
V12
La Lb Lc
Ia Ib Ic
A B C0
Vdc
+
-
+
iL idc
N
图2.6三相全桥VSR拓扑结构
图2.5和图2.6为三相半桥、全桥VSR拓扑结构，三相半桥VSR交流侧采用三相对称的无中线连接方式，用六个功率开关器件构成，适用于三相电网平衡的系统，是一种普遍使用的PWM整流器。三相全桥VSR克服了前者在电网不平衡的时候容易发生故障的缺点，在公共直流母线上连接了三个独立控制的单相全桥VSR，而且通过变压器连接三相四线制电网，但是其功率开关器件数量是前者的两倍，所以应用较少。
以上所介绍的是两电平拓扑结构应用于高压场合时，需要将多个开关器件串联在一起使用，或使用耐压等级较高的开关器件，以提高电压等级。使用时，当开关频率不高时，谐波含量会相对增大。而具有中点嵌位的三电平VSR拓扑结构采用二极管嵌位，获得交流输出电压为三电平，因此提高了耐压等级，降低了交流谐波电压、电流，改善了网侧波形品质。只是这种方法所需的功率开关器件数量过于多，控制相对复杂和繁琐，所以很难被广泛应用。
以上所述的VSR拓扑结构属常规的二电平拓扑结构。这种拓扑结构的不足之处在于，当其应用于高压场合时，需使用耐高压的功率开关或将多个功率开关串联使用。此外，由于VSR交流侧输出电压总在二电平上切换，当开关频率不高时，将导致谐波含量相对较大。为解决这些问题，设计了具有中点嵌位的三电平VSR拓扑结构，这种拓扑结构中以多个功率开关串联使用，并采用二极管嵌位以获得交流输出电压的三电平调制。显然，三电平VSR在提高耐压等级的同时有效地降低了交流谐波电压、电流，从而改善了其网侧波形品质。图2-7为三相三电平VSR电路拓扑结构，可见，三电平电路所需功率开关与二电平电路相比成倍增加，并且控制也相对复杂，这是这种电路的不足之处。另外，为了更好地适应高压大功率应用，并降低交流输出电压谐波，近年来还设计出采用多个二极管嵌位的多电平VSR拓扑结构。
VD1
VD4
V1V4
VD2
VD5
V2V5VD3
VD6
V3
V6
VD7
VD10
V7V10
VD8
VD11V8
V11
VD9
VD12
V9
V12VD13
VD16VD14
VD17VD15
VD18
L
e a e b e c
C1
C2+++
-
i dc
Vdc
a
b
c
O ’
N
图2.7三相三电平VSR 拓扑结构
VD1
VD2
V1V2
VD3
VD4
V3
V4
VD5
VD6
V5
V6
L
e a e b e c
VD7V7
VD8
V8
V9
VD9Lr
Cr
C
RL
iL
N idc
图2.8三相软开关VSR 拓扑结构
图2.8为三相软开关VSR 拓扑结构。图中，桥式并联谐振网络由谐振电感r L 、谐振电容r C 、功率开关V7、V8以及续流二极管VD7、VD8组成；V9和VD9为直流侧开关，其主要作用是将直流侧与谐振网络和交流侧隔离。在一定条件下，r L 、r C 产生谐振，并使r C 两端产生零电压，此时，对三相桥功率开关进行切换，便可实现软开关PWM 控制。
电流源型PWM 整流器直流侧采用电感进行直流储能，使CSR 直流侧呈现高阻抗的电流源特性，这是其拓扑结构的最显著特征。CSR 通常有单相和三相两种。CSR 在交流侧均增加了滤波电容，与网侧电感组成LC 滤波器，以滤除CSR 网侧谐波电流，并抑制CSR 交流侧谐波电压。在CSR 功率开关器件之路上需顺向串联二极管，以阻断反向电流，提高功率开关器件的耐反压能力。
2.3三相VSR 一般数学模型
所谓三相VSR 一般数学模型就是根据三相VSR 拓扑结构，在三相静止坐标系（a ，b ，c ）中利用电路基本定律(基尔霍夫电压、电流定律)对VSR 所建立的一般数学描述。三相VSR 拓扑结构如图2.9所示。针对三相VSR 一般数学模型的建立，通常作以下假设:
（1）电网电动势为三相平稳的纯正弦波电动势（a e ,b e ,c e ）； （2）网侧滤波电感L 是线性的，且不考虑饱和；
（3）功率开关损耗以电阻s R 表示，即实际的功率开关可由理想开关与损耗电阻l R 串联等效表示；
（4）为描述VSR 能量的双向传输，三相VSR 其直流侧负载由电阻l R 和直流电动势串联表示。
L
e a e b e c
RL
+Rs Rs Rs
Rs
Rs
Rs
Va Vb Vc
Va ’
Vb ’
Vc ’
Rt
Rt Rt
a
b
c iL
idc
Vdc
C
e L
图2.9 三相VSR 拓扑结构图
根据三相VSR 特性分析需要，三相VSR 一般数学模型的建立可采用以下两种形式: （1）采用开关函数描述的一般数学模型； （2）采用占空比描述的一般数学模型。
采用开关函数描述的一般数学模型是对VSR 开关过程的精确描述，较适合于VSR 的波形仿真。然而，采用开关函数描述的VSR 一般数学模型由于包括了其开关过程的高频分量，因而很难用于指导控制器设计。当VSR 开关频率远高于电网基波频率时，为简化VSR 的一般数学描述，可忽略VSR 开关函数描述模型中的高频分量，即只考虑其中的低频分量，从而获得采用占空比描述的低频数学模型。这种采用占空比描述的VSR 低频数学模型非常适合于控制系统分析，并可直接用于控制器设计[4]。但是，由于这类模型略去了开关过程的高频分量，因而不能进行精确的动态波形仿真。总之，采用开关函数描述的以及采用占空比描述的VSR 一般数学模型在VSR 控制系统设计和系统仿真中各自起着重要作用。常用后者对VSR 控制系统进行设计，然后再用前者对VSR 控制系统进行仿真，从而校验控制系统设计的性能指标。
2.3.1采用开关函数描述的VSR 一般数学模型
以三相VSR 拓扑结构为例，如图2.9所示，建立采用开关函数描述的VSR 一般数学模型。当直流电动势0=L e 时，直流侧为纯电阻负载，此时三相VSR 只能运行于整流模式，当dc l V e >时，三相VSR 既可运行于整流模式，又可运行于有源逆变模式，当运行于有源逆变模式时，三相VSR 将所发电能向电网侧输送，有时也称这种模式为再生发电模式；当
dc l V e >时，三相VSR 也只能运行于整流模式。
为分析方便，首先定义单极性二值逻辑开关函数k s 为
()c b a k s k ,,01=??
?=通上桥臂关断，下桥臂导
断上桥臂导通，下桥臂关
将三相VSR 功率管损耗等值电阻s R 同交流滤波电感等值电阻l R 合并，且令l
s R R R +=采用基尔霍夫电压定建立三相VSR a 相回路方程
()No aN a a a
v v e Ri dt
di L
+-=+ （2.1）
当a V 导通而'a V 关断时，1=a s ，且0v v aN =；当a V 关断而'a V 导通时，0=a s ，且0=aN v ，则式（2.1）可改写为：
()No a a a a
v s v e Ri dt
di L +-=+0 （2.2） 同理：
()No b b b b
v s v e Ri dt
di L
+-=+0 （2.3） ()No c c c c
v s v e Ri dt
di L
+-=+0 （2.4） 由于主电路为三相三线平衡系统，故
0=++c b a e e e （2.5）
0=++c b a i i i （2.6）
联立式（2.3）到式（2.6），可得：
∑=-
=c
b a k k
No s
v v ,,0
3
（2.7）
在图2.9中，任何瞬间总有三个开关导通，其开关模式共有32＝8种，因此，直流侧电流0i 可以描述为：
()()()()c
c b b a a c
b a
c b a c b a c b c b a c a c b a b a c b a c c b a b c b a a s i s i s i s s s i i i s s s i i s s s i i s s s i i s s s i s s s i s s s i i ++=+++++++++++=0 （2.8）
另外，对直流侧电容正极节点处应用基尔霍夫电流定律，可得：
L
c c b b a a R v
s i s i s i dt dv C
00-++= （2.9） 即：
???
?
??
???
==???? ??--=+-=∑∑∑∑====c b a k c b a k k k c b a j j k k k L
c b a k k k i e s s v e Ri dt di L i s i dt dv C ,,,,,,0,,0031α
（2.10） 联立式（2.2）到（2.9），而且考虑引入状态变量X ，且X=[]T
dc c b a v i i i ,,,，则采用单极性二值逻辑开关函数描述的三项VSR 一般数学模型的状态变量表达式为：
ZX=AX+BE （2.11） 其中
???
????
??
?
??
????????----------=∑∑∑===L c b a c b a k k c c b a k k b
c b a k k a R s s s s s R s s R s s R A /1)31(00)31(00)31(00,,,,,, （2.12）
????
??
???
???=C L L L Z 000000000000 （2.13） ????
??
?????
??
?=L R B 10
000100
00100001 （2.14） []T
l c b a e e e e E ,,,= （2.15） 2.3.2采用占空比描述的VSR 一般数学模型
为消除开关函数描述的VSR 一般数学模型中的高频分量，在开关函数模型中引入傅里
叶周期函数的傅里叶展开如下:
()()()∑∑∞
=∞
=++=1
1
0cos sin n n n n t n b t n a a t f ωωω （2.16）
若三相VSR 采用三角载波PWM 控制，以自然采样法生成PWM 信号时，PWM 开关函数波形如图2.10a 所示，可见在一个开关周期内，PWM 波形不对称。但当开关频率远高于电网
频率时，可用规则采样法代替自然采样法。此时，在一个开关周期内，PWM 开关函数波形如图2.10b 所示，显然波形是对称的。
ππ
20
wt
wt
k
s 0
ππ
20
wt
wt
π
)1(d l -π
)1(d l + 图2.10 PWM 及开关函数波形 a 自然采样法b 规则采样法
图2.10中，s s f πω2=，其中s f 为PWM 开关频率；k d 为对应相的PWM 占空比，且1≤k d 。 如图2.10b 所示，开关函数k s 及占空比()c b a k d k ,,=间的关系为
0=k s ()()???≤<+-<≤πωππ
ω2110t d d t s k k s ()c b a k ,,= （2.17）
1=k s ()()πωπk s k d t d +≤≤-11 ()c b a k ,,= （2.18） 由图2.10及以上关系式表明：PWM 占空比k d 实际上是一个开关周期上开关函数k s 的平均值，故
()()()k s d d k d t d s a k k ==
?+-ωππ
π
11021 （2.19） ()()??
?
??
-==ππk n n n nd n b a sin 2
10 （2.20） ()
()()t n nd n d s s k n n
k k ωππ
cos sin 2
11
∑∞
=-+= （2.21） 显然
()()()t n nd n d s s n c b a k k
n c
b a k
c b a k k k ωππcos 2
11,,,,,,∑∑∑
∑∞
====??
????-+=
（2.22） 将式（2.21）、（2.22）代入（2.12）得
h l A A A += （2.23）
式中 A A l -阵中的低频分量 A A h -阵中的高频分量 并且
???
??????
?
??
????????----------=∑∑∑===L c b a c b a d k c c b a d k b
c b a
d k a l R d d d d d R d d R d d R A k k k /1)31(00)31(00)31(00,,,,,, （2.24）
?????
????
???=0000000000
444444c
b
a
c b a h A A A A A A A （2.25） ()()[()]()∑∑==?
?????---
=c b a k s c b a k k k n k t n nd nd n A ,,,,4cos sin 31sin 21ωπππ （2.26）
()()()∑∞
=??????--=14cos sin 2
1n s k n k t n nd n A ωππ ()c b a k ,,= （2.27）
与h l A A A +=相对应，状态变量X 可以分解为高频分h X 和低频分量l X ，即
h l X X X += （2.28）
把式（2.28）代入式(2.11)得到基于占空比描述的三项VSR 一般数学模型为
()()()BE X X A A X X Z h l h l h l +++=+ （2.29） 其中低频数学模型为
h h l L l X A X A ZX += （2.30）
高频数学模型为
h h h l l h h X A X A X A ZX ++= （2.31）
显然，若忽略式(2.29)模型中的高频分量，就可获得采用占空比描述的三相VSR 低频数学模型。显然，这一低频模型将有助于简化三相VSR 控制系统的分析及设计。
2.4基于两相αβ（静止）坐标系的数学模型
三相abc 系统向两相系统变换时，存在32，32两种变换方式，即分别为“等量”变换和“等功率”变换。而坐标变换又是通用矢量分解等效的结果。三相物理量可以用一个空间旋转矢量在三个静止对称轴（a ，b ，c ）上的投影来表示，这个旋转矢量也就是通用矢量。而“等量”坐标变换，是指某一坐标系中的通用矢量与变换后的另一坐标系中的通用矢量相等的坐标变换。“等功率”变换是指坐标变换前后功率相等的坐标变换。在实际应用中，可根据具体要求任意选用以上两种坐标变换，一般情况下，常选用“等量”坐标变换，而在需要矩阵逆变换时，选用“等功率”坐标变换。本文选用“等量”的坐标变换。那么从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换为：
??????????=??????????????????????--
-=??????c b a s s c b a
x x x C x x x x x 3223230
212
1132βα （2.32）
从两相静止坐标到三相静止坐标的变换阵为：
??????=???????
???????????????---=??????????βαβαx x C x x x x x s s c b a 23232123210132 （2.33） 使用变换矩阵，把式（2.33）变到αβ坐标系下的数学模型如下：
()???
?
????
?-=+-=+-+=ββββααααββααs
v e Ri dt di L s v e Ri dt di L i s i s i dt dv C L 00023
（2.34） 式中βαs s ,为αβ坐标系下单极性二值逻辑开关函数。
2.5基于两相d q （同步）旋转坐标系的数学模型
θ?α
ω
d
β
q
E
V
I
I L
ωγ
d V q
V d
I q
I
图2.11 电压定向的稳态矢量图解
假设dq 坐标的d 轴在初始时刻和电网电压矢量重合，则静止坐标系与旋转坐标系之间的变换如图2.11，具体转换的表达式如下：
??????=???????????
?-=??????βαβαωωωωx x C x x t t t t x x r s q d 22cos sin sin cos （2.35） ??
????=???
???????
??-=??????q d s r q d x x C x x t t
t t x x 22cos sin sin cos ωωωωβα （2.36）
其中t ω＝θ。
使用变换矩阵，把式（2.36）变到dq 坐标系下的数学模型如下：
()????
?????---=+--=-+=d q q q q d d d d
L q q d d i
L Ri s v dt di L i L Ri s v e dt
di L i s i s i dt dv C ωω00023 （2.37） 其中d s v 0＝d v ，q s v 0＝q v 。