第一章预备知识
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
课时1 集合的概念
知识点1元素与集合的概念
1.☉%1#0#6##8%☉(2020·九江中学月考)下列各组对象能组成集合的是()。
①某社区截止2020年3月5日确诊的新冠肺炎病人;②√2的近似值;③2018年平昌冬奥会比赛项目;④宁都中学2019春季高一尖子生。
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
答案：C
解析：①③中元素是确定的。
2.☉%4￥*38@4@%☉(2020·西安中学月考)由实数x,-x,|x|,√x2,-√x2所组成的集合中,其含有元素的个数最多为()。
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：A
解析：当x>0时,|x|=x,√x2=|x|=x,-√x2=-|x|=-x,集合中有2个元素;当x<0时,|x|=-x,√x2=-x,-√x2=x,集合中有2个元素;当x=0时,集合中只有1个元素。故集合中最多有2个元素。
3.☉%￥006#*#8%☉(2020·蚌埠二中周练)设集合A={1,2,3},B={1,3,9},x∈A且x?B,则x等于()。
A.1
B.2
C.3
D.9
答案：B
解析：属于A而不属于B的元素只有2。
4.☉%@￥9*55*6%☉(多选)(2020·桂林中学月考)下列所给关系正确的是()。
A.π∈R
B.√3?Q
C.0∈N*
D.|-4|?N*
答案：AB
解析：N*是正整数集,故0?N*,|-4|=4∈N*。
5.☉%4*867@@@%☉(2020·瑞昌一中检测)若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()。
A.3.14
B.-5
C.3
7
D.√7
答案：D
解析：是实数而不是有理数的数a只可能是√7。
知识点2元素与集合的关系
6.☉%86*#91@@%☉(2020·黄冈中学月考)已知集合A中的元素x满足x-1<√3,则下列各式正确的是()。
A.3∈A且-3?A
B.3∈A且-3∈A
C.3?A且-3?A
D.3?A且-3∈A
答案：D
解析：x-1<√3?x<1+√3。
7.☉%*3#￥#889%☉(多选)(2020·桂林中学月考)已知a,b为非零实数,代数式a
|a|+b
|b|
+ab
|ab|
的值组成集合A,
则下列判断正确的是()。
A.-3∈A
B.-1∈A
C.1∈A
D.3∈A
答案：BD
解析：因为a,b为非零实数,所以代数式a
|a|+b
|b|
+ab
|ab|
的取值为-1或3,所以-1∈A,3∈A。
8.☉%￥￥15*07@%☉(2020·衡水中学周练)在下面几个命题中,正确的命题个数是()。
①集合N*中最小的元素是1;②若-a∈N*,则a∈N*;③若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2;④x2+9=6x的解集是{3,3}。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：N *是正整数集,最小的数是1,故①正确;当a <0时,-a ∈N *,但a ?N *,故②错误;若a ∈N *
,则a 的最小值为1,又b ∈N *
,则b 的最小值为1,当a 和b 都取最小值时,a +b 取最小值2,故③正确;由集合中元素的互异性知④错误。
9.☉%17@@@7*1%☉(2020·柳铁一中第一次月考)用符号“∈”或“?”填空。
设集合M 中的元素为平行四边形,p 表示某个矩形,q 表示某个梯形,则p M ,q M 。 答案：∈ ?
解析：矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p ∈M ,q ?M 。
知识点3 集合中元素的特性
10.☉%#*812@1@%☉(2020·资溪第一中学周练)下列说法不正确的是( )。 A.著名科学家组成一个集合
B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体组成一个集合
C.1,32,64
,|-12
|,0.5,这些数组成的集合有三个元素 D.集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}表示同一个集合 答案：A
解析：“著名科学家”无法确定其定义,故不符合元素的特性。
11.☉%*01@62@#%☉(2020·江西永修一中周练)已知集合S ={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△
ABC 一定不是( )。
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形 答案：D
解析：由元素的互异性可知,集合中没有相同的元素,即a ≠b ≠c ,故不可能为等腰三角形。 12.☉%7￥*26#*9%☉(2020·华师一附中周练)用符号“∈”和“?”填空。
(1)设集合A是所有正整数组成的集合,则0A,√2A,(-1)0A;
答案：??∈
(2)设集合B是小于√11的所有实数组成的集合,则2√3B,1+√2B;
答案：?∈
(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x组成的集合,则3C,5C;
答案：?∈
(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1D,(-1,1)D。
答案：?∈
解析：由集合中元素的特性易得。
13.☉%*￥￥36￥98%☉(2020·铜川第一中学月考)已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},对任意a∈A,有|a|∈B,且B中只有4个元素,求集合B。
答案：解:对任意a∈A,有|a|∈B。因为集合A={-2,-1,0,1,2,3},由-1,-2,0,1,2,3∈A,知0,1,2,3∈B。又因为B中只有4个元素,所以B={0,1,2,3}。
题型1根据集合的概念求参数
14.☉%8*5@0*2￥%☉(2020·丰城拖船中学摸底检测)已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b A,ab A。(填“∈”或“?”)
答案：?∈
解析：因为a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数。故a+b?A,ab∈A。
15.☉%##4836*￥%☉(2020·陕师大附中检测)已知集合P中的元素x满足:x∈N,且2 答案：6 解析：因为x∈N,2 题型2根据元素与集合间的关系求参数 16.☉%##3￥￥325%☉(2020·黄冈中学过关检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为。 答案：0或1 解析：因为y=-x2+1≤1,且y∈N,所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1。又t∈A,所以t=0或1。17.☉%6#**0*69%☉(2020·广西师大附中月考)集合M中的元素为自然数,且满足:如果x∈M,那么8-x∈M,试回答下列问题: (1)写出只有一个元素的集合M; 答案：解:M中只有一个元素,根据已知必须满足x=8-x,所以x=4。故含有一个元素的集合M={4}。 (2)写出元素个数为2的所有集合M; 答案：当M中含有两个元素时,其元素只能是x和8-x,且x≠8-x,即x≠4,从而含两个元素的集合M应为{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}。 (3)满足题设条件的集合M共有多少个? 答案：满足条件的M可由4,0和8,1和7,2和6,3和5这5组数组合而成,它包括以下情况: ①由1组数组成的有{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共5个。 ②由2组数组成的有{4,0,8},{4,1,7},{4,2,6},{4,3,5},{0,8,1,7},{0,8,2,6},{0,8,3,5},{1,7,2,6},{1,7,3,5},{2,6,3,5},共10个。 ③由3组数组成的有 {4,0,8,1,7},{4,0,8,2,6},{4,0,8,3,5},{4,1,7,2,6},{4,1,7,3,5},{4,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6},{0,8,1,7,3,5},{1,7,2,6,3,5},{0,8,2, 6,3,5},共10个。 ④由4组数组成的有{4,0,8,1,7,2,6},{4,0,8,1,7,3,5},{4,0,8,2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6,3,5},共5个。 ⑤由5组数组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},共1个。 综上可知,满足题设条件的集合M共有31个。 题型3利用元素的特征求参数 18.☉%￥76@@35￥%☉(2020·萍乡三中质检)已知3∈{1,a,a-2},则实数a的值为()。 A.3 B.5 C.3或5 D.不存在 答案：B 解析：当a=3时,a-2=1,与元素的互异性矛盾,故只有a-2=3,a=5。 19.☉%@6*32**5%☉(2020·江苏启东中学过关测试)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x。 (1)元素x应满足的条件是; 答案：x≠0,x≠-1且x≠3 解析：根据集合元素的互异性得{x≠3, x≠x2-2x, x2-2x≠3, 即x≠0,x≠-1且x≠3。 (2)若-2∈A,则实数x=。 答案：-2 解析：因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,又-2∈A,所以x=-2。 20.☉%4@23￥@*8%☉(2020·武汉中学高一检测)已知集合A中有元素1和a2,则实数a不能取的值是。 答案：1,-1 解析：由互异性知a2≠1,即a≠±1。 21.☉%**15*25*%☉(2020·珠海一中期中)集合{1,a+b,a}与集合{0,b a ,b}是同一个集合,则a-b的值为。 答案：-2 解析：由题意知a≠0,a+b=0,即a=-b,则b a =-1。则b=1,a=-1,所以a-b=-2。 题型4元素与集合的综合应用 22.☉%99#@￥63*%☉(2020·南宁二中月考)设A是非空数集,且满足条件:若a∈A,a≠1,则1 1-a ∈A。求证: (1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素; 答案：证明:若2∈A,则1 1-2=-1∈A,于是1 1-(-1) =1 2 ∈A,故若2∈A,则A中必还有另外两个元素-1,1 2 。 解析：证明中不能正确认识“若a∈A,a≠1,则1 1-a ∈A”的递推作用,造成给出2∈A后,推导出元素不能确定;(2) 中不明确什么时候是单元素集合M,导致不能找到方程a=1 1-a ,造成证明受阻; (2)集合A不可能是单元素集; 答案：假设A为单元素集,则有a=1 1-a ,即a2-a+1=0有实数解。 这与方程a2-a+1=0无实数解相矛盾,所以a≠1 1-a 。 所以a与1 1-a 都为集合A的元素,故集合A不是单元素集。 (3)集合A中至少有三个不同元素。 答案：由已知,a∈A?1 1-a ∈A?1 1-1 1-a =1-a -a ∈A, 现只需证明:a,1 1-a ,1-a -a 三个数互不相等。 若a=1 1-a ?a2-a+1=0,方程无解,所以a≠1 1-a ; 若a=1-a -a ?a2-a+1=0,方程无解,所以a≠1-a -a ; 若1 1-a =1-a -a ?a2-a+1=0,方程无解;所以1 1-a ≠1-a -a 。 故集合A中至少有三个不同元素。 解析：如何利用递推关系,求出元素有哪三个,为什么只有三个,由对元素的互异性认识不清,而缺少后面的证明。 23.☉%1#@648￥￥%☉(2020·北安一中检测)关于x的方程ax2-3x+1=0(a∈R)的实数根构成集合A。(1)若A为?,求a的取值范围; 答案：解:A为?,则a≠0且Δ=(-3)2-4a<0,所以a>9 4 。 (2)若1∈A ,求实数a 的值; 答案：因为1∈A ,所以a ×12 -3×1+1=0,所以a =2。 (3)若集合A 中仅含有一个元素,求实数a 的值; 答案：当a =0时,x =1 3 ,符合题意;当a ≠0时,Δ=(-3)2 -4a =0,所以a =9 4 。 所以集合A 中仅含有一个元素时,a =0或a =9 4 。 (4)若集合A 中含有两个元素,求实数a 的取值范围。 答案：集合A 中含有两个元素,即关于x 的方程ax 2 -3x +1=0有两个不相等的实数解,所以a ≠0且Δ=(-3)2 -4a >0,解得a <9 4且a ≠0。 所以实数a 的取值范围为{a|a <9 4 且a ≠0}。 由Ruize收集整理。感谢您的支持！
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