江西省莲塘一中2010—2011学年度第一学期期末终结性测试
卷高二数学(理科)
一. 选择题.
1. 双曲线221412
x y -=的焦点到渐近线的距离为( )
A .
B. 2
C. 3
D. 1
2.在空间中,下列命题正确的是( )
A.平行于同一平面的两直线平行
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
3. 双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为( )
A.?????
B.?
????
C.?
????
D.
)
4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.
45 B. 35 C. 35 D. 1
5
5. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是y ,它的一个
焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为( )
A.
22136108x y -=
B. 221927x y -=
C.22110836x y -=
D.22
1279x y -= 6. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,若A 、B 在抛物线上的射影为1A 、1B ,则∠11A FB =( )
A .0
30
B. 0
45
C. 0
60
D. 0
90
7. 过双曲线2222x y -=的右焦点作直线l 交双曲线于A B 、两点,若4,
AB =则这样的直线有( )
A .4条
B .3条
C .2条
D .1条
8. 下列命题中真命题的个数为:( )
①命题“若220x y +=,则x,y 全为0”的逆命题; ②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题; ③命题“若m>0,则2
0x x m +-=有实根”的逆否命题;
④命题“在ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长,若0
90C ∠=,则2
2
2
c a b =+”的逆否命题。 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 椭圆
22
1369
x y +=的一条弦被A (4,2)平分,那么这条弦所在直线方程为( ) A .20x y -=
B. 2100x y +-=
C. 220x y --=
D. 280x y +-=
10. 椭圆
22162
x y +=和双曲线2
213x y -=的公共焦点为1F 、2F ,P 是两曲线的一个交点,那么12cos F PF ∠的值是( )
A .
13 B. 23 C. 0 D. 1
4
11. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )
A. 直线
B. 椭圆
C. 圆
D. 双曲线
12. 双曲线2
2
2010x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ,P 为其右支上的一点,且12124A PA PA A ∠=∠,则12PA A ∠等于( ) A . 无法确定 B. 12
π
C.
18
π D.
36
π 二. 填空题.
13. 抛物线2
1(0)y x m m
=
<的焦点坐标是 14. 1F 、2F 是椭圆22
:184
x y C +
=的焦点,在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数 为 .
15. 己知Rt ABC ?的直角顶点C 在平面α内,斜边//AB α,AB =AC 、BC 分别和平面α成045和030角,则AB 到平面α的距离为
16. 双曲线的中心为原点O,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为12,l l ,经过右焦点F
垂直1l 的直线分别交12,l l 于A ,B 两点,己知||,||,||OA AB OB
成等差数列,且BF 与FA
同向,则双曲线的离心率 .
三.解答题.
17. (1)点M 到点F (2,0)的距离比它到直线3x =-的距离小1,求点M 满足
的方程。
(2)曲线上点M (x,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线x=8的距离比是
常数2,求曲线方程。
18. 曲线方程:221x my -=,讨论m 取不同值时,方程表示的是什么曲线?
19. 如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形,其中
,BA AD CD AD ⊥⊥,2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.
(1)求证:BE //平面PAD ; (2)若BE ⊥平面PCD ,
①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值; ②求二面角E BD C --的余弦值.
20. 直线12:1:2
2=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.
(1)求实数k 的取值范围;
(2)是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ?若存
在,求出k 的值;若不存在,说明理由.
21. 如图,已知点(10)F ,,直线:1l x =-,P 为平面上的动点,过P 作直线
l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ =
.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A B ,两点,交直线l 于点M ,
已知1MA AF λ= ,2MB BF λ= ,求12λλ+
22. 己知椭圆C :22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为1F 、2F ,离心率为e 。直线
l :y ex a =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,
P 是点1F 关于直线l 的对称点,设AM AB λ=
。 (1)证明:21e λ=-
(2)确定λ的值,使得12PF F 是等腰三角形。
莲塘一中2010—2011学年高二年级期末试卷
高二数学(理科)
答案: 一.选择题
ADCBB DBCDA DB 二.填空题 13. (0,
4m ) 14. 2
15.2 16. 2 三.解答题 17.(1) 2
8y x =
(2)
22
11612
x y -= 18.m=0, 1x =±两条直线 2
2
0,11y m x m
>-=焦点在x 轴的双曲线
1m =-,2
2
1x y +=圆 0m <且1m ≠-2
2
11y x m
+=-椭圆
19. 解:设,AB a PA b ==,建立如图的空间坐标系,
(0,0,0),(,0,0)A B a ,(0,0,)P b ,
((2,2,0),(0,2,0)C a a D a ,(,,)2
b
E a a .
(1)(0,,)2
b
BE a = ,(0,2,0),(0,0,)AD a AP b == ,
所以1122BE AD AP =+
,
BE ?平面PAD ,//BE ∴平面PAD .
(2)BE ⊥ 平面PCD ,BE PC ∴⊥,即0BE PC ?=
(2,2,)PC a a b =- ,22
202
b BE PC a ∴?=-= ,即2b a =.
①)0,2,(),2,2,0(a a BC a a PD =-=
,2cos ,5PD BC <>=
=
, 所以异面直线PD 与BC
②平面BDE 和平面BDC 中,(0,,),(,2,0)BE a a BD a a ==- (,2,0)BC a a =
,
所以平面BDE 的一个法向量为1(2,1,1)n =- ;平面BDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =
;
12cos ,n n <>= ,所以二面角E BD C --
的余弦值为6
20. 解:(1)将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l
.022)2(22=++-kx x k ……①
依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故
.22.02
20220)2(8)2(0222
2
22-<<-??????????>->-->--=?≠-k k k k k k k k 的取值范围是 (2)设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则由①式得???
????
-=?-=+.22,222222
21k x x k k x x ……②
假设存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0).
则由FA ⊥FB 得:.0)1)(1())((,0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即 整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及2
6=
c 代入③式化简得.066252=-+k k 解得5
66+-
=k ,
))(2,2(566舍去或--?-=
k ,可知5
6
6+-=k 使时满足题设. 21解法一:(Ⅰ)设点()P x y ,,则(1)Q y -,,由QP QF FP FQ =
得: (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ,,,,,化简得2:4C y x =.
解法二:(Ⅰ)由QP QF FP FQ = 得: ()0
FQ PQ PF += ,
()()0PQ PF PQ PF ∴-+= , 22
0PQ PF ∴-= ,PQ PF ∴= .
所以点P 的轨迹C 是抛物线,由题意,轨迹C 的方程为:2
4y x =.
(Ⅱ)设直线AB 的方程为:
1(0)x my m =+≠.设11()A x y ,,22()B x y ,,又21M m ?
?-- ??
?,,
联立方程组241y x x my ?=?=+?,,
,消去x 得:2440y my --=,2
(4)120m ?=-+>,故
121244y y m y y +=??
=-?,.
由1MA AF λ=
,2MB BF λ= 得:
1112y y m λ+
=-,2222y y m λ+=-,整理得:1121my λ=--,22
21my λ=--, 12122112m y y λλ??∴+=--
+ ???12
12
22y y m y y +=-- 2424m m =--- 0=.
[例1]求经过两点P 1(2,1)和P 2(m ,2)(m ∈R )的直线l 的斜率,并且求出l 的倾
斜角α及其取值范围.
选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.
解:(1)当m =2时,x 1=x 2=2,∴直线l 垂直于x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α=
2
π (2)当m ≠2时,直线l 的斜率k =2
1
-m ∵m >2时,k >0. ∴α=arctan
21-m ,α∈(0,2
π
), ∵当m <2时,k <0 ∴α=π+arctan
21-m ,α∈(2
π
,π). 说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例2]若三点A (-2,3),B (3,-2),C (
2
1
,m )共线,求m 的值. 选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A 、B 、C 三点共线, ∴kAB =kAC ,
.22
13
2
332+-=+--m 解得m =
2
1. 说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解.
[例3]已知两点A (-1,-5),B (3,-2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半,求直线l 的斜率.
选题意图:强化斜率公式.
解:设直线l 的倾斜角α,则由题得直线AB 的倾斜角为2α.
∵tan2α=kAB =
.4
3
)1(3)5(2=-----
4
3tan 1tan 22=-∴
αα
即3tan 2α+8tan α-3=0, 解得tan α=
3
1
或tan α=-3.
∵tan2α=
4
3
>0,∴0°<2α<90°, 0°<α<45°, ∴tan α=
3
1. 因此,直线l 的斜率是
3
1 说明:由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.