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对数运算练习题

学案正标题

一、知识梳理

1.图象变换

（1）平移变换

（2）对称变换

①y＝f（x）y＝－f（x）；

②y＝f（x）y＝f（－x）；

③y＝f（x）y＝－f（－x）；

④y＝a x（a＞0且a≠1）y＝log a x（a＞0且a≠1）．（3）翻折变换

①y＝f（x）y＝|f（x）|.

②y＝f（x）y＝f（|x|）．

2.对数的性质与运算法则

（1）对数的性质

几个恒等式（M，N，a，b都是正数，且a，b≠1）

①＝N；

②log a a N＝N；

③log b N＝；

④＝log a b；

⑤lo g a b＝，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.

（2）对数的运算法则（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）

①log a（M·N）＝log a M＋log a N；

②log a＝log a M－log a N；

③log a M n＝nlog a M（n∈R）；

④log a＝log a M.

3.对数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1 图象

性质（1）定义域：（0，＋∞）

（2）值域：R

（3）过点（1,0），即x＝1时，y＝0

（4）当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0 （5）当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0

（6）在（0，＋∞）上是增函数（7）在（0，＋∞）上是减函数4.指数函数的图象与性质

y＝a x a＞1 0＜a＜1

图象

定义域R

值域（0，＋∞）

性质过定点（0,1）

当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，

y＞1

在（－∞，＋∞）上是增函数在（－∞，＋∞）上是减函数

5.有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①零指数幂：a0＝1（a≠0）．

②负整数指数幂：a－p＝（a≠0，p∈N*）；

③正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；

④负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；

⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）；

②（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．

6.根式

（1）根式的概念

根式的概念符号表

示

备注

如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数±负数没有偶次方根

（2）两个重要公式

①

②（）n＝a.

一、典型例题

1.已知log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n＝________．

【答案】12

【解析】a m＝2，a n＝3，

∴a2m＋n＝·a n＝22×3＝12．

2.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝________．

【答案】2

【解析】原式＝（lg2）2＋（1＋lg5）lg2＋lg52

＝（lg2＋lg5＋1）lg2＋2lg5＝（1＋1）lg2＋2lg5

＝2（lg2＋lg5）＝2．

3.已知函数f（x）满足：当x≥4时，f（x）＝；当x＜4时，f（x）＝f（x＋1）．则f（2＋log23）＝（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由于，则

规律方法：（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．

（2）熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．

4.的值是________．

【答案】1

【解析】原式

＝

＝＝＝＝1．

答案：1

5.当x∈[－2,2]时，a x＜2（a＞0，且a≠1），则实数a的范围是（）．

A．（1，）

B．

C．∪（1，）

D．（0,1）∪（1，）

【答案】C

【解析】x∈[－2,2]时，a x＜2（a＞0，且a≠1），

若a＞1，y＝a x是一个增函数，则有a2＜2，可得a＜，故有1＜a＜；

若0＜a＜1，y＝a x是一个减函数，则有a－2＜2，可得a＞，故有＜a＜1．综上知a∈∪（1，）．

6.化简：=（）

A ．B．C．D．

【答案】C

【解析】，故选C．

7.计算：

（1）÷0．062 50．25；

（2）若＝3，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】解（1）原式＝＝÷＝

×2＝．

（2）由＋＝3，得x＋x－1＋2＝9，∴x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＋2＝49，

∴x2＋x－2＝47．∵＝3－3＝27－9＝18，∴原式＝＝

．

规律方法：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：

（1）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；（2）应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1（a≠0）简化运算．

8.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则log4f（2）的值为（）．

A．B．－C．2 D．－2

【答案】A

【解析】设f（x）＝xα，由图象过点，得＝＝?，log4f（2）＝＝.

9.（2013·日照模拟）已知是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）．

A．（0,1）B．

C．D．

【答案】C

【解析】解析当x＝1时，log a1＝0，若f（x）为R上的减函数，则（3a－1）x＋4a≥0在x ＜1时恒成立．

令g（x）＝（3a－1）x＋4a，

则必有，即?≤a＜.

10.f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）．

A．（1，＋∞）B．[4,8）C．（4,8）D．（1,8）

【答案】B

【解析】[错解]由题意知，解得1＜a＜8.

答案D

[错因]忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．

[正解]f（x）在R上单调递增，则有

解得：4≤a＜8.

[答案]B

[防范措施]对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增（减）时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性

质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．

对数函数基础运算法则及例题_答案

对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质

例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立，求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)，而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.

对数运算练习题

一、自学指导：结合下列问题，请你用5分钟的时间独立阅读课本P-P 页例3完。 1、探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a =（0a >，且1a ≠；0 c >，且1c ≠；0b >）． 2、运用换底公式推导下列结论：log log m n a a n b b m = ；1log log a b b a = 【小组讨论】请大家用4分钟的时间交流问题的答案。二、自学检测：（分钟） 1、求值：（1）log 89log 2732 （2）lg 243 lg9 2、（1）设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. （2）已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 3、 (1)若2510a b ==，则11a b += .(2)设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== ，求证：z y x 1211=+ ．三、当堂检测 1、计算：（1 ）4912 log 3log 2log ?- （2） 9 1 log 81log 251log 532 ??

（3） 4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ （4）2log 5log 4log 3log 5432??? （5） 0.21log 35-；（6）(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．（7）log 43·log 92＋log 24 64；（8） log 932·log 6427＋log 92·log 427. 2、（1）化简：532111 log 7log 7log 7 ++ ；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ???=，求实数m 的值. 3、已知：45log ,518,8log 3618求==b a （用含a ， b 的式子表示）

对数与对数的运算练习题

对数与对数运算练习题一. 选择题 —3 1 1. 2「=化为对数式为（） 8 2. log 63 + log 62 等于（） 3. 如果 lg x = Ig a + 2lg b — 3lg c ，贝S x 等于（） A . a + 2b — 3c 4 .已知 a = log 32，那么 log 38 — 2log 36 用 a 表示为（） A . a — 2 B. 5a — 2 C. 3a — （1 + a ） D. 3a — a — 1 n 1 + A . 6 D. log 65 A. log 12=- 3 8 B. Iog !（ — 3） = 2 C . Iog 21= — 3 D Iog 2（ — 3）= 8 2 3 B. a + b — c

5. 丄「= 的值等于（） A. 2+\/5 B. 2 5

6. Logr 2的值为（） A — 2 C. 7. 在b = log (a-2)(5 — a )中，实数a 的取值范围是( 的值为() A . 9 C. 7 A . a > 5 或 a <2 B. 2v a v 3 或 3v a v 5 C. 2

10. 若102x= 25,则x 等于() 1 A. lg 5 B . lg5 C . 2lg5 1 D 2l g 5 11. 计算log 89 ? log 932的结果为() A . 4 12 .已知log a x= 2, log b X = 1, log c x= 4(a, b, c, x>0且工1),则log x(abc)=( ) 二.填空题 1 . 2log 510 + = _____ . 2. __________________________________ 方程log 3(2 x —1) = 1 的解为x= _______________________________ . 3. ___________________________ 若lg(ln x) = 0,贝S x= . 4. 方程9x— 6 ?3x—7 = 0的解是 _____ 5 .若log 34 ? log 48 ? log 8m= log 416，贝U m= ______ . 6. ________________________________________ 已知log a2 =