二次函数与几何图形
模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线
例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC //
1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.
2、如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．
（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．
①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？
②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．
模式2：梯形
分类标准：讨论上下底
例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC //
3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3
2
-=与边BC 相交于点D ．
(1)求点D 的坐标；
(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；
(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
4、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
模式3：直角三角形
分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置
例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况 （1）当A ∠为直角时，AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时，BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时，CB CA ⊥
5、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC 的函数表达式；
（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．
①当线段3
4
PQ AB =
时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．
6：如图1，直线43
4
+-
=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．
① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
模式4：等腰三角形
分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置
例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况 （1）当A ∠为顶角时，AB AC = （2）当B ∠为顶角时，BA BC = （3）当C ∠为顶角时，CB CA =
7：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为5
6
，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．
A
B C
O
P Q
D
y
x
8、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点B (12，0)和C (0，－6)，对称轴为x ＝2． (1)求该抛物线的解析式．
(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．
(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
模式5：相似三角形
突破口：寻找比例关系以及特殊角
9、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ⊥AC ，∠B = 450
，AD = 2，BC = 6，以BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A 在y 轴上。
（1） 求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式。
（2） 求△ADC 的外接圆的圆心M 的坐标，并求⊙M 的半径。
（3） E 为抛物线对称轴上一点，F 为y 轴上一点，求当ED ＋EC ＋FD ＋FC 最小时，EF 的长。
（4） 设Q 为射线CB 上任意一点，点P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P 、Q ，使得以P 、Q 、C 为顶点的△与△ADC 相似？若存在，直接写出点P 、Q 的坐标，若不存在，则说明理由。
x y D
B
C
A
O
模拟题汇编之动点折叠问题
1.（本题12分）已知二次函数c bx x y ++=2与x 轴交于A （－1，0）、B （1，0）两点. （1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值. （3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿C O 翻折，得到四边形POP ′C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
分
3.（2012江西模拟）已知抛物线234y x x =-++交y 轴于点A ，交x 轴于点B ,C （点B 在点C 的右侧）.过点A 作垂直于y 轴的直线l. 在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P ，过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q .连接AP . （1）写出A ，B ，C 三点的坐标； （2）若点P 位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A ，P ，Q 三点构成的三角形与△AOC 相似，求出点P 的坐标；
②若将△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点M .是否存在点P ，使得点M 落在x 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
.
4.（2012安庆模拟）在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4，M 、N 分别是底边BC 和腰CD 上的两个动点，当点M 在BC 上运动时，始终保持AM ⊥MN 、NP ⊥BC ． (1)证明：△CNP 为等腰直角三角形；
(2)设NP ＝x ，当△ABM ≌△MPN 时，求x 的值；
(3)设四边形ABPN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 取何值时，四边形ABPN 的面积最大，最大面积是多少．
解：（1）过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则四边形ABQD 为平行四边形 DQ=AB=3，BQ=AD=1 ∴QC=DQ △DQC 中∠C=∠QDC =45° A B
M
P
C D
N
（2）∵ABM V ≌MPN V MP=AB=3, BM=NP ∵△NPC 为等腰Rt △
∴PC=NP= x ∴BM=BC －MP －PC=1－x ∴1- x= x ∴ x=
2
1 ∴当ABM V ≌MPN V 时，x =
2
1
………………(8分) （3）ABPN S 四边形=
21(AB+NP ) BP=21(3+ x )(4－x )=－212x +21 x+ 6=－21( x-2
1
)+6.125(11分) ∴当x 取
2
1
时，四边形ABPN 面积最大，最大面积为6.125. ………………(14分) 5.（2012宝应模拟）在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，2），点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF,设OD ＝t. ⑴ 求tan ∠FOB 的值；
⑵用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ；
⑶是否存在点C, 使以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的B 点的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
B
E
F
D O
A
C
y
x
B E
F
D O
A
C
6.（2012广东预测）（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点坐标是??
? ??8925，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式；
(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；
(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.
7.．如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A (－2，－1)，B (0,7)两点． (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当x 为何值时，y ＞0?
(3)在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C 、D 两点(点C 在对称轴的左侧)，过点C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为F 、E .当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
C
x
y
A
B D
E
O P ． D
A
O x
y
C
B ． (第24题图)
8.如图，在△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点Q 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。 ⑴ 求x 为何值时，PQ ⊥AC ；
⑵ 设△PQD 的面积为y(cm 2)，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式； ⑶ 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；
⑷ 探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系，请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)。
Q
D C
B A
P
O
解：⑴∵当Q 在AB 上时，显然PQ 不垂直于AC 。
当Q 在AC 上时，由题意得：BP ＝x ，CQ ＝2x ，PC ＝4－x ， ∴AB ＝BC ＝CA ＝4，∠C ＝600，
若PQ ⊥AC ，则有∠QPC ＝300，∴PC ＝2CQ ∴4－x ＝2×2x ，∴x ＝4
5
，
∴当x ＝4
5
(Q 在AC 上)时，PQ ⊥AC ；
⑵ 当0＜x ＜2时，P 在BD 上，Q 在AC 上，过点Q 作QH ⊥BC 于H ， ∵∠C ＝600，QC ＝2x ，∴QH ＝QC ×sin600＝3x ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝1
2
BC ＝2
∴DP ＝2－x ，∴y ＝12 PD ·QH ＝12 (2－x)·3x ＝－3
2x 2＋3x
⑶ 当0＜x ＜2时，在Rt △QHC 中，QC ＝2x ，∠C ＝600， ∴HC ＝x ，∴BP ＝HC ∵BD ＝CD ，∴DP ＝DH ，
∵AD ⊥BC ，QH ⊥BC ，∴AD ∥QH ， ∴OP ＝OQ
∴AD 平分△PQD 的面积；
⑷ 显然，不存在x 的值，使得以PQ 为直径的圆与AC 相离 当x ＝45或16
5
时，以PQ 为直径的圆与AC 相切。
当0≤x ＜45或45＜x ＜165或16
5
＜x ≤4时，以PQ 为直径的圆与AC 相交。
9.已知抛物线22(1)2y x k x k =-+-++与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在x 轴的负半轴 上，点B 在x 轴的正半轴上． （1）求实数k 的取值范围；
（2）设OA 、OB 的长分别为a 、b ，且a ∶b ＝1∶5，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，以AB 为直径的⊙D 与y 轴的正半轴交于P 点，过P 点作⊙D 的 切线交x 轴于E 点，求点E 的坐标。
解：（1）设点A （1x ，0），B （2x ，0）且满足1x ＜0＜2x 由题意可知()0211<+-=?k x x ，即2->k
（2）∵a ∶b ＝1∶5，设a OA =，即a x =-1，则a OB 5=，即a x 52=，0>a
∴???-=?-=?=+-=+2
21215545a a a x x a a a x x ，即()()???-=+-=-252412a k a
k
∴12+=a k ，即03252
=--a a ，解得11=a ，
53
2-
=a （舍去）
∴3=k ∴抛物线的解析式为542
++-=x x y （3）由（2）可知，当0542
=++-x x 时，可得11-=x ，52=x
即A （－1，0），B （5，0） ∴AB ＝6，则点D 的坐标为（2，0） 当PE 是⊙D 的切线时，PE ⊥PD
由Rt △DPO ∽Rt △DEP 可得DE OD PD ?=2
即
DE ?=232 ∴29=
DE ，故点E 的坐标为（29
-
，0）
10.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；
解：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程
∴403a c a c +=??
+=-? 解之得：14
a c =??=-?；故2
4y x =-为所求 ……4分
（2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx b =+，则有20
3k b k b +=??
-+=-?，
1
2
k b =??
=-?， 故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -……8分
(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=? 易知BN=MN=1，
易求22,2AM BM ==
1
22222
ABM
S
=??=；设2(,4)P x x -， 依题意有：
214422AD x -=?，即：21
44422
x ?-=? 解之得：22x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：
123(22,4),(22,4),(0,4)P P P -- ……12分
11.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（﹣4，0），点B 的坐标是（0，b ）（b ＞0）．P 是直线AB 上的一个动点，作PC⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P′（点P′不在y 轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P 的横坐标为a ． （1）当b=3时， ①求直线AB 的解析式；
x
y
C
B _ D
_ A
O
x
y
N M
O P 2
P 1
B
D
A
P 3
C 图3
（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，∴k=错误！未找到引用源。，
∴直线的解析式是：y=错误！未找到引用源。x+3，……3分
②由已知得点P的坐标是（1，m），∴m=错误！未找到引用源。×1+3=错误！未找到引用源。；……4分
（2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，∴a=错误！未找到引用源。；……6分
（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=错误！未找到引用源。AC．
∴2a=错误！未找到引用源。（a+4）
∴a=错误！未找到引用源。
∵P′H=PC=错误！未找到引用源。AC，△ACP∽△AOB （24题图1）
∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，
∴b=2 ……8分
2）若∠P′AC=90°，P′A=CA （如图2）
则PP′=AC
∴2a=a+4
∴a=4
∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=1，即错误！未找到引用源。=1
∴b=4 ……10分
3）若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．∴所有满足条件的a，b的值为
错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。……12分
12.
3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数 的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的 取值范围； （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不 少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2
3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值； （3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经 过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的 倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说 明理由． 2 y ax bx c a b 5 4
【几何图形】 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形分为柱体，锥体，球体 多面体：围城棱柱和棱锥的面都是平的面，像这样的立体图形叫做多面体 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2 练习： 1．下面几何体中，不是多面体的是（） A球体 B 三棱锥 C 三棱柱D四棱柱 2．下列判断正确的是 A长方形是多面体B柱体是多面体 C圆锥是多面体D棱柱、棱锥都是多面体 3、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是（） A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、正方体 【点、线、面、体】 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 例、右侧这个几何体的名称是_______；它由_______个面组成；它有_______个顶点；经过每个顶点有_______条边。 解答：五棱柱，7，10，3 【直线】 1、概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 2、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 3、表示：一条直线可以用一个小写字母表示；或者用两个大写字母表示 练习： 1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线. 2、我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为__________________． 【射线】 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
4．1几何图形 4.1.1立体图形与平面图形 【教学目标】 1、能从实物图形中抽取出几何图形；能在生活中寻找出相应的几何图形；会认识多见的平面几何图形和立体几何图形。 2、通过实物抽取几何图形的体验，培养自己的几何图形感，能用几何图形描述生活中的物体。 3、通过对多彩多姿的图形世界体验，激发自己对几何学习的兴趣，也体会学习的喜悦。 【教学重难点】 1．重点： （1）掌握立体图形与平面图形的关系，学会它们之间的相互转化；?初步建立空间观念． （2）理解几何图形是从实物图形中抽象出来的。 （3）从实际出发，用直观的形式，让学生感受图形的丰富多彩，激发学生学习的兴趣． 2．难点： （1）立体图形与平面图形之间的互相转化． （2）从现实情境中，抽象概括出几何图形 【教具准备】 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒（每个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图4．1-5的教学幻灯片． 【教学过程】
一、引入新课 由多媒体展示美丽的图形世界 在同学们所观看中，有哪些是我们熟悉的几何图形？ 二、新授 1．学生在回顾刚才所看到的图片，充分发表自己的意见，?并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验． 2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称． 学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等． 教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征． 3．立体图形的概念． （1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形． （2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥） （3）用多媒体放映课本4．1-4的幻灯片 （4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？ （5）探索解决问题的方法． ①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案． ②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等．4．平面图形的概念． 长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形．
2020 年中考二次函数与几何图形
1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1：平行四边 形 (2) 模式2：梯 形 (4) 模式3：直角三角 形 (6) 模式4：等腰三角 形 (8) 模式5：相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11)
二次函数与几何图形 模式 1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况 （ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC 2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP 3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标.
2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ． （ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； 2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系．
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)． 假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分 设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．
(1)求抛物线的解析式； (2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D
函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或 由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知 一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称 性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线3 2+ y（a≠0）与x轴 ax + =bx 交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点，则k 的取值范围是（ ） A.4 A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 二次函数与几何图形综合题 类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 课题 4.1.1几何图形与平面图形 一、学习目标 1、通过观察生活中的大量图片或实物，经历把实物抽象成几何图形的过程； 2、能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状； 3、能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形。 学习重点：识别简单的几何体 学习难点：从具体事物中抽象出几何图形 二、自主探究 1、几何图形 （1）仔细观察图4.1-1,让同学们感受是丰富多彩的图形世界； （2）出示一个长方体的纸盒，让同学们观察图4.1-2回答问题： 从整体上看，它的形状是 从不同侧面看，你看到的图形是 看棱得到的是 看顶点的到的是 。 我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的。我们把这些图形称为几何图形。 2、立体图形 说一说下面这些几何图形有什么共同特点？ 有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是 .(如： ） 请再举出一些立体图形的例子. 想一想 生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢？ 3、平面图形 （1）纸盒 （1）长方体 （2）长方形 （3）正方形（4）线段 点 说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？ 平面图形的概念 线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内，它们是 。 请再举出一些平面图形的例子。 思考：立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，它们的区别在哪里？它们有什么联系？ 三、课堂练习 课本119页练习 四、要点归纳 1、 2、平面图形与立体图形的关系： 立体图形的各部分不都在同一平面内，而平面图形的各部分都在同一平面内； 立体图形中某些部分是平面图形。 五、拓展训练 1.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；⑥球. 其中属于立体图形的是（ ） A. ①②③； B. ③④⑤； C. ① ③⑤； D. ③④⑤⑥ 【总结反思】 现实物体 几何图形 平面图形 立体图形 看外形 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系． 模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线 x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4.1 多姿多彩的图形(1) 几何图形 长方形的是（）1．如图所示，水平放置的下列几何体，从正面看到的视图不是 ．． 2．下列几何体中，直棱柱的个数是（） A．5 B．4 C．3 D．2 3．直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是（） A B C D 4．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（） A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱 5．小明用如下左图所示的胶漆滚从左到右滚涂墙壁，下列平面图形中符合胶漆滚涂出的图案是（） A B C D 6．举出两个俯视图为圆的实物例子: 、． 7．写出下列立体图形的名称（从左到右依次写出）： ． 8．如果直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为 cm． 9．分别画出图中的物体的三个视图： 10．如图①②③④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． （1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： （2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； （3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 参考答案 1．答案: B 解析：B答案中圆锥的主视图是三角形． 2．答案: C 解析：直棱柱的侧面应是矩形，符合这个条件的有第一个，第五个和第六个．故选C． 3．答案:A 解析：正方体是特殊的长方体，长方体又是特殊的直四棱柱，故选A．4．答案:B 解析：一个棱柱有10个顶点，则它是五棱柱，五棱柱有5个侧面，有5条侧棱，底面是五边形．故选B． 5．答案:A 解析：由胶漆滚得图形可得，最左边中间为一小黑正方形，胶漆滚从左到右，则最先留下印记的即为中间有一小黑正方形的图形．故选A． 6．圆柱，球，圆锥． 7．从左到右依次为：圆柱、长方体、四棱锥、圆锥． 8．直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为6×4=24cm．故答案为24． 9．三个视图如下： 10．解：（1）结和图形我们可以得出： 图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 10个顶点、15条边、这些边围成6区域． 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 4.1.1立体图形与平面图形 一.教学内容解析 1.内容 几何图形、立体图形、平面图形的概念及它们之间的关系． 2.内容解析 我们生活在一个多姿多彩的图形世界里，生活中处处存在着具有各种各样形状的物体，我们可以从这些物体中抽象出几何图形，如长方体、圆柱、球、长方形、三角形、圆、线段、点等．几何图形可分为立体图形和平面图形两类，常见立体图形有圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球等，常见的平面图形有线段、角、三角形、四边形、圆等．立体图形的表面中包含着平面图形，平面图形可以围成立体图形． 七年级第四章《几何图形初步》引入的是几何图形的一些最基本的概念，这些知识是“空间与图形”领域学习的基础．本课的内容属于初中几何图形知识学习的起始阶段，对于发展学生的空间观念，培养学生的空间想象力有着重要的作用，对后续几何知识的学习影响深远．基于以上分析，确定本节课的教学重点：认识基本的几何图形，能从具体事物中抽象出几何图形． 二.教学目标解析 1.目标 （1）认识一些简单几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、球等）的基本特征，能识别这些几何体． （2）丰富学生对几何图形的感性认识，理解立体图形与平面图形的联系，发展学生的空间观念，培养学生的空间想象力． 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：通过观察生活中的大量图片或实物，认识生活中以实物为原型的几何图形，能准确识别圆柱、棱柱、圆锥、棱锥等几何体，并准确说出它们的名称． 达成目标（2）的标志是：经历从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，能指出一个立体图形中所包含的平面图形，能由实物形状想象出相应的几何图形，能由几何图形想象出与之形状相对应的实物． 三.学生学情分析 学生在小学阶段初步认识了一些较简单的几何图形，但对于棱柱、棱锥这两类几何体还比较陌生，对于几何图形之间的区别和联系也模糊不清，小学阶段对几何图形的认识是形象化的、感性的，需要通过进一步学习提高到理性认识．七年级学生抽象逻辑思维能力还有待发展，对于从现实生活中的实物抽象出几何图形，如从一个纸盒抽象出长方体、长方形、线段、点，学生不容易理解，在教学过程中需要借助精心挑选的实物和特制的模型，来帮助学生理解．本节课的教学难点是：从实物中抽象出几何图形． 四.教学策略分析 函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题） 一、因动点而产生的面积问题 例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： (1 求A 、B 、C 三点的坐标； (2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围； (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分： (2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积 . 例2：如图1，已知直线 12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标； （2）求线段A B 的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4 中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方 向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止 运动，设运动的时间为秒． （1）求正方形的边长． （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分 （如图②所示），求两点的运动速度． （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个． （抛物线ABCD的顶点坐标是． [解] （1）作轴于． ， ． ． （2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒． 又． 两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD． ABCD ，即 ABCD ． ABCD ．ABCD ．ABCD， ABCD ． 即 ABCD ． ABCD ，且 ABCD ， ABCD当 ABCD 时，ABCD有最大值． 此时 ABCD ， ABCD点ABCD的坐标为 ABCD ．（8分） 方法二：当ABCD时， ABCD ． 设所求函数关系式为． 抛物线过点， ． ，且， 当时，有最大值． 此时， 点的坐标为． （4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。 ． 2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒． （1）求的度数． （2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度． （3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由． 解: （1）ABCD．(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc
几何图形与平面图形
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