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计算方法的课后答案

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《计算方法》习题答案

第一章 数值计算中的误差

1.什么是计算方法?(狭义解释)

答:计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算,以便在计算机上编程上机,求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2.一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么?

答:一个实际问题当利用计算机来解决时,应采取以下五个步骤: 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4.利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值,并编程获得解。 解:400)(2345-+?+-?+=x x x x x x P ,从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219

1

-3

8

-24

73

-223

所以,多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5.叙述误差的种类及来源。

答:误差的种类及来源有如下四个方面:

(1)模型误差:数学模型是对实际问题进行抽象,忽略一些次要因素简化得到的,它是原始问题的近似,即使数学模型能求出准确解,也与实际问题的真解不同,我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

(2)观测误差:在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的,由于仪器的精密性,实验手段的局限性,周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素,而使数据必然带有误差,这种误差称为观测误差。

(3)截断误差:理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到,而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似,这样引起的误差称为截断误差(或方法误差)。

(4)舍入误差:在数值计算过程中还会用到一些无穷小数,而计算机受机器字长的限制,它所能表示的数据只能是一定的有限数位,需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。

6.掌握绝对误差(限)和相对误差(限)的定义公式。

答:设*

x 是某个量的精确值,x 是其近似值,则称差x x e -=*

为近似值x 的绝对误差(简称误差)。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e *

,称这个数ε为近似值x 的绝对误差限(简称误差限或精度)。

把绝对误差e 与精确值*

x 之比*

**x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差,称

*

x ε

η=

为近似值x 的相对误差限η≤r e ,由于真值*

x 是未知的,所以常常用

x

e x x x e r =-=*来表示相对误差,于是相对误差可以从绝对误差求出。

7.近似值的规格化表示形式如何?

答:一般地,对于一个精确值*

x ,其近似值x 的规格化形式为m p x x x x 10.021?±= ,

其中{}),2,1(9,2,1,0,01p i x x i =∈≠,p 为正整数,m 为整数。

8.有效数字的概念是什么?掌握有效数字与误差的关系。

答:若近似值x 的(绝对)误差限是它的某一位的半个单位,也就是说该近似值准确到这一位,且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。 若近似值x 的(绝对)误差限为n m x x e -?≤-=102

1

*

,则称x 为具有n 位有效数字的有效数,或称它精确到n

m -10

位,其中的每一位数字n x x x ,,21都是x 的有效数字。

设精确值*

x 的近似值x 的规格化形式为m

p x x x x 10.021?±= ,若x 具有n 位有效数字,则其相对误差限为n r x e -?≤

11

1021

;反之,若x 的相对误差限为n r x e -?+≤

1110)

1(21

,则x 至少有n 位有效数字。

9.下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数。

(1)024.01=x (2)4135.02=x (3)50.573=x (4)600004=x (5)55108?=x ;

解:(1)0005.01*

1

≤-=x x e ;0021.0*≤=-=x

e x x x e r ;有三位有效数字。

(2)00005.02*

2≤-=x x e ;000121

.0*≤=-=x

e

x x x e r ;有四位有效数字。 (3)005.03*

3≤-=x x e ;000087

.0*≤=-=x

e

x x x e r ;有四位有效数字。 (4)5.04*

4≤-=x x e ;0000084

.0*≤=-=x

e

x x x e r ;有五位有效数字。

(5)5.05*

5≤-=x x e ;000000625

.0*≤=-=x

e

x x x e r ;有六位有效数字。 10.为了使19的相对误差≤0.1%,问至少应取几位有效数字?

解:由19的首位数是4.设近似数*

x 有n 位有效数字,由定理4.1可知,相对误差

001.0104

21

)(1*≤??≤

-n r x e ,解得097.3≥n ,即取4位有效数字,近似数的相对误差不超过0.1%。

11.已知33,3100,1150)(*

2

==-+==x x x x x P y ,计算)3

100

(*p y =及)33(P y =,并求x 和y 的相对误差。 解: 55555.51150)3

100

()3100()3100(

2*

-≈-+==p y 281150)33()33()33(2-=-+==P y

333

.0)(*

≈-=x x x e 0101.0)

()(≈=

x

x e x e r

44444.22)(*

≈-=y y y e 801587

.0)

()(≈=

y

y e y e r 12.写出误差估计的一般公式(以二元函数),(y x f z =为例)。 解:二元函数),(y x f z =的绝对误差: )(|)(|)(),(),(y e y

f

x e x f z e y x y x ???+???≈

二元函数的相对误差: z y e y f z x e x f z z e z e y x y x r )

(|)(|)()(),(),(???+???≈=

)(|)(|),(),(y e y

f

z y x e x f z x r y x r y x ????+????=

13.用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V V 2220±=,A I 1.010±=,求这个电阻的阻值R ,并估算其绝对误差和相对误差。

解:2)(≤V e ,1.0)(≤I e ,又2,1,I

V I R I V R I V R -=??=??=

。所以: 42.01.0100

2202101)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=???+???≤???+???≈

I e I R V e V R I e I

R

V e V R R e I V I V I V I V

21099.1)

()(-?≈=

R

R e R e r 。 14.若01.045.0,01.003.1*

2*1±=±=x x ,计算2

2

12

1x e x y +

=的近似值,并估计)(y e 及其上界。

解:45.02

2

1)03.1(e y +

≈ )(2

1))(()21()21()(2*22*21*

11*11*1*x x x x e e x x x x e x e x y y y e -++-=+-+=-=

),(,01.02

11006.2)(21))((*

2221*1

1*

12*2x x e e e x x x x x x ∈??+?=-++-≤-ξξ

15.已测得某场地长为m l 110=,宽d 的值为m d 80=,已知m l l l e 2.0)(*

≤-=,

m d d d e 1.0)(*≤-=,试求面积ld s =的绝对误差限和相对误差限。

解:由ld s =,

l d

s d l s =??=??,,m l l l e 2.0)(*≤-=,m d d d e 1.0)(*≤-=。可得:30

1.080

2.0110)

(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=???+???≤???+???≈

d e d

s l e l s d e d s l e l s s e d l d l d l d l 3104.3)

()(-?≈=

s

s e s e r 。

16.掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。 解:(1)加、减运算: 由于()1/=?+?x y x ()()(),1/,1/,1/-=?-?=?-?=?+?y y x x y x y y x ,所以

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()|

||/|||/|||,//,,//,y e y x y x e y x x y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e r r r r r r r r r ?-+?-≤-?--?-≈--≈-?++?+≈++≈+从而有

(2)乘法运算: 由于

()(),x y

xy y x xy =??=??,所以()()()()()()y e x e xy e y xe x ye r r r +≈+≈,xy e ,从而()()()|||||||||y e x x e y xy e ?+?≤

(3)除法运算: 由于2)(,1)

(y

x y y x y x y

x

-=??=

??,所以)()(1)(2y e y

x

x e y y x

e -≈

,)()()(y e x e y

x

e r r r -≈

(4)乘方及开方运算:

由于()

1-=??n n

nx x

x ,所以()()()()x ne x e x e nx x e r n r n n ≈≈-,1 17.求方程01562

=+-x x 的两个根,使它至少具有4位有效数字(982.27783≈)。

解:782.55982.27281

21

14)56(5621=+≈???--+=x

017863

.0782

.551

12≈==

x c x 19.求方程01162

=+-x x 的较小正根,要求有3位有效数字。

解:937.15937.781

21

14)16(1621=+≈???--+=x

062747.0937

.15112≈==

x c x 所以较小正根为062747.02≈x 。 20.设4

1

10

,,2,1,0, ==

?n dx e x I x n n 。

(1)证明:4

110,,2,1,0, =-=-n nI e I n n ;

(2)给出一个数值稳定的算法,并证明算法的稳定性。 (1)证明:11

11

1

---=-===???

n x n x

n x

n n nI e x d e nx e e d x dx e x I

(2))(1

1n n I e n

I -=

-

设n n n I I e -=*

,则

n n

n

n n n n n n n e n I I e e n

I I e e n I I e 1

11

0*

0022

*221*

11=

-==-==-=------

当n 无限大时,n e 越小,所以该算法稳定。

21.用递推算法计算积分?=+=1

010,2,1,0,41 n dx x

x I n

n ,并验证算法的数值稳定性。 解:1101

101101141

41)41(4141441------=+-=+-+=???n n n n n n n I n dx x x dx x dx x x x x I 设0*

00I I e -=,则

1010*

1010022*

2201*11414141e I I e e I I e e I I e =-==-==

-=

所以该算法是稳定的。 22.设计一个计算362412

163)(x x x

x f ++=的最小计算量的算法。

解:24121212442362412

163163)(x x x x x x x x x x x x

x f ??+??+????=++=

23.什么是数值稳定的算法?数值计算应遵循的六条规则是什么?

答:一个算法如果原始数据有误差(扰动),而计算过程中舍入误差不增长或增长可以控制,则称此算法是数值稳定的。否则,称此算法是数值不稳定的。

数值计算应遵循的六条规则是:

(1) 选用数值稳定的算法(计算公式); (2) 尽量避免两个相近数相减;

(3) 尽量避免用绝对值很大的数作乘数; (4) 尽量避免用绝对值很小的数作除数; (5) 防止大数“吃掉”(或“淹没”)小数(即合理安排运算顺序); (6) 简化计算步骤,减少运算次数。

第二章 非线性方程的数值解法

1.叙述零点定理的内容。

答:设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且0)()(

0)(*=x f ,即)(x f 在区间),(b a 内存在实的零点,称区间],[b a 为方程的有根区间。

2.方程求根的两个步骤是什么?确定方程有根区间的方法有哪些? 答:第一步 确定方程0)(=x f 的有根区间。

第二步 近似根的精确化。

确定方程有根区间的方法有两种:作图法和逐步搜索法。 3.利用作图法确定方程01)(3=--=x x x f 的有根区间。 解

由于,05128)2(,01)0(>=--=<-=f f 于是,在区间)2,0(内至少有一个根,取步长5.0=h 向右进行根的搜索,即计算)5.1(),0.1(),5.0(f f f 的值得到

0)5.1(,0)0.1(,0)5.0(><

4.利用逐步搜索法确定方程0343)(2

3

=++-=x x x x f 的有根区间。

解:由于,05)1(,03)0(<-=->=f f 于是,方程在)0,1(-内至少有一个实根,所以,从1-=x ,取步长5.0=h 向右进行根的搜索,即计算)5.0(-f 得到08

1

)5.0(>=

-f ,从y

1-1

1

)(3--=x x x f

而,原方程的有根区间缩小为)2

1,1(--。 5.确定方程01042

3

=-+x x 的有根区间。

解:由于函数104)(23-+=x x x f 的定义域为()+∞∞-,,用逐步搜索法:由于

014)2(,010)0(>=<-=f f ,于是,方程在)2,0(内至少有一个实根,所以,从0=x ,

取步长5.0=h 向右进行根的搜索,即计算)5.1(),0.1(),5.0(f f f 的值得到

0)5.1(,0)1(,0)5.0(><

6.二分发的基本思想是什么?

解:二分发的基本思想是将方程0)(=x f 的有根区间逐步分半,通过判别)(x f 在端

点的符号以及零点定理来缩小有根区间,使在足够小的区间内使方程0)(=x f 有且仅有一个根,并满足给定的精度要求为止。

7.以方程0)(=x f 的有根区间为[]b a ,为例)0)(,0)((>

解:第一步:将有根区间[]b a ,分半,用区间[]b a ,的中点2

b

a +将[]

b a ,分为两个相等区间,计算中点的函数值)2(b a f +。若0)2(=+b a f ,则2

*b

a x +=就是方程0)(=x f 的根;否则,若0)2(

<+b a f ,由于)(x f 在左半区间??

????+2,b a a 内不变号,所以方程的有根区间变为????

??+b b a ,2。同理,若0)2(>+b a f ,则方程的有根区间变为???

??

?+2,b a a ,从而将新的有根区间记为[]11,b a ,且区间[]11,b a 的长度仅为区间[]b a ,的一半,即2

11a

b a b -=-。 第二步:对压缩了的有根区间[]11,b a 又可施行同样的方法,即用中点

2

1

1b a +将区间[]11,b a 再分为两半,然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间,从而又确定一个新的有根区间[]22,b a ,该区间的长度是区间[]11,b a 的一半。

如此反复可得出一系列有根区间且具有关系[][][] ????k k b a b a b a ,,,11,其中后一个区间长是前一个区间长的一半,因此区间[]k k b a ,的长度k

k k a

b a b 2-=

-,当∞→k 时,区间[]k k b a ,的长度必趋于零,即这些区间最终收缩于一点*x ,显然*x 就是方

程0)(=x f 的根。

8.以方程0)(=x f 的有根区间为[]b a ,,精度要求为ε,试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数k 的计算公式。

解:若事先给定的精度要求为0>ε,则只需ε<-≤

-+1

*

2k k a

b x x ,即2

ln 2ln

εa b k ->,此时k x 就是满足给定精度要求的近似值,k 为二分法的次数。

9.用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k (编程) (1)2)(-=x xe x f []1,5.0 0001.0=JD 解:852600.0=k x 12=k

(2)343)(23-+-=x x x x f []5.1,1 00001.0=JD 解:499992.1=k x 15=k

(3)104)(23-+=x x x f []2,1 0005.0=JD 解:364746.1=k x 10=k

(4)1)(3

--=x x x f []5.1,1 00005.0=JD

解:324707.1=k x 13=k 10.若应用二分法求方程02

sin

=--x

e

x

π在区间[]1,0上误差不超过

5

21

的近似值,应二分多少次?

解:其近似根为437500.0,应分5=k 次。

11.迭代法的基本思想是什么?

解:迭代法是一种逐次逼近法,首先给定方程0)(=x f 的一个粗糙的初始近似根0x ,

然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化,直到满足预先给定的精度要求为止。

12.迭代法的具体做法如何?

解:(1)将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ?=,在根*x 的附近任取一个初始近似根

0x 。

(2)构造近似根序列:将0x 代入)(x ?计算得到)(01x x ?=,一般01x x ≠,再把1x 作

为新的近似根代入)(x ?得到)(12x x ?=,重复上述步骤即可。 13.迭代法的几何意义是什么?

答:方程()x x ?=的求根问题在几何上就是确定曲线()x y ?=与直线x y =交点*p 的横坐标*

x 。设迭代初值为0x ,曲线()x y ?=上以0x 为横坐标的点为0p ,()0x ?为0p 点的

纵坐标,过0p 点引平行于x 轴的直线,并与直线x y =相交于0P ',其横坐标为()01x x ?=,然后过点0P '引平行线于y 轴的直线,并与曲线()x y ?=的交点记作1p ,重复上述过程可得点列,,,,,21 k p p p 他们横坐标依次由迭代公式()k k x x ?=+1, 1,0=k 所确定。如果点列,,,,,21 k p p p 逐步逼近*

p ,则迭代过程收敛,否则迭代过程发散。

14.叙述迭代过程收敛定理的内容。 解:假设迭代函数满足下列两个条件

(1)对任意的[]b a x ,∈有b x a ≤≤)(?;

(2)存在正数1

则(1)对任意初值[]b a x ,0∈迭代过程)(1k k x x ?=+均收敛于方程)(x x ?=的根*

x ,

即)(lim *∞→=k x x k 。

(2)误差事后估计公式为k k k x x L

x x --≤

-+1*

11

15.试构造收敛的迭代公式求解下列方程:

(1)4

sin cos x x x +=

; (2)x

x 24-=。

解:(1)将方程4sin cos x x x +=改写为4)

4sin (2π

+=

x x ,从而得到迭代公式 0,1,2,k 4

)

4sin(21=+

=

k k x x 。

(2)将方程x

x 24-=改写为)4l n (x x -=,从而得到迭代公式

,2,1,0 )4ln(1=-=+k x x k k 。

16.判断迭代法解方程0)2ln()(=+-=x x x f 在[]2,0内的根时所用的迭代过程的收敛性。

解:将方程0)2ln(=+-x x 改写为)2l n (+=x x ,从而得到迭代公式

,2,1,0),2ln(1=+=+k x x k k 。则)2ln()(+=x x ?为迭代函数。由12

1

)(<+=

'x x ?,由定理3.2可得该迭代法是收敛的。 17.用迭代法计算4

4446666 ++++=

s 的近似值。

19.牛顿法的基本思想是什么?具体做法如何?

解:基本思想:牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法,其基本思想是将非线性方程

0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解的方法。

具体做法:设已知方程0)(=x f 有近似根k x ,将)(x f 在k x 作一阶泰勒展开,于是方程0)(=x f 可近似地表示为0))(()(=-'+k k k x x x f x f 是一个线性方程,设0)(≠'k x f ,则)()(k k k x f x f x x '-

=,于是就有牛顿迭代公式 ,2,1,0,)

()

(1='-=+k x f x f x x k k k k 。 20.牛顿法的几何意义是什么?

解:牛顿迭代法实质上是用过点))(,(k k x f x 的切线与x 轴交点的横坐标1+k x 来逐步逼

近曲线)(x f y =与x 轴交点的横坐标*

x ,所以牛顿法又叫切线法。

22.试证:用牛顿法求方程0)3()2(2

=+-x x 在[]3,1内的根2*

=x 是线性收敛的。

证明:由牛顿迭代公式 ,2,1,0,)

()

(1='-

=+k x f x f x x k k k k ,可得,4

36

32)()()(2+++=

'-=x x x x f x f x x ?,显然,0)2(≠'?,所以该迭代过程是线性收敛的。 23.用牛顿法求方程03

=-a x ,导出求立方根3a 的迭代公式,并讨论其收敛性。

解:设0)(3

=-=a x x f ,得牛顿迭代公式为 ,1,0,32

3

1

==--=+k x a x x x k

k k k ,牛顿迭代函数2332)(x a x x +=?,3

3322)(x

a x x -='?,10)(3

<='a ?,所以该迭代公式收敛。

26.正割迭代法的基本思想是什么?具体做法如何?几何意义是什么?

解:基本思想:用过两点))(,(k k x f x ,))(,(11--k k x f x 的直线的斜率这个差商来代替牛堆迭代公式中的倒数)(k x f '。

具体做法:对方程0)(=x f 经过k 次迭代后得到近似根1-k x ,k x ,从而取

)

())()(()(11----≈

'k k k k k x x x f x f x f ,于是牛顿迭代公式变为

)()

()()

(111--+---

=k k k k k k k x x x f x f x f x x ,此公式为正割法迭代公式。

几何意义:正割迭代法是用过两点))(,(k k x f x A ,))(,(11--k k x f x B 的直线与x 轴交点的横坐标1+k x 来逐步逼近曲线)(x f 与x 轴交点的横坐标*

x ,因此正割迭代法又叫割线法。

27.简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。

解:牛顿迭代法在计算时只需要一个初值0x ,在计算1+k x 只用到前一步的值Xk ,但要

计算)(k x f ';而正割法在计算时需要两个初值0x ,1x ,在计算1+k x 时要用到前两次的迭代值1-k x ,k x ,但不用计算导数。

30.使迭代法加速的方法有哪些?并分别写出它们的迭代公式。 答:使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法: 艾特肯加速公式: 校正:()K +K X =X ?1

再校正:()

12+K +K X =X ? () ,2,1,0=K 改进:()2

1

2

1

2

221

+K +K K

+K +K X +X -X X -X +K +K -X =X

斯蒂芬森方法:

迭代:()()();,2,1,0, =K Y =Z X =Y K K K K ?? 加速:()().,2,1,0212

=K -X =X K

K K K K X +Y -Z X -Y K +K

第三章 线性方程组的数值解法

1.线性方程组的数值解法有哪两大类?并简述他们的概念。 答:线性方程组的数值解法有两大类:

(1)直接法 :直接法就是在没有舍入误差的情况下,经过有限步算术运算可求得

方程组精确解的算法。

(2)迭代法:迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法,即先给定一个初始解向量,然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。

2.高斯消去法的基本思想是什么?

答:高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原来方程组b AX =化为与其同解的三角形方程组,而求解三角形方程组就容易了。

3.高斯主元素消去法是在何种情况下提出来的?

答:用高斯消去法解线性方程组b AX =的消元过程中,可能会出现以下两种情况:第一是主元素全是0的情形,致使消元过程无法进行下去;第二即使主元素不为0,但其绝对值很小时作除数可能会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的传播,使计算结果不可靠。所以对于一般矩阵来说,最好每一步选取系数矩阵中绝对值大的元素作为主元素。

4.用高斯顺序消去法,完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程组,并写出高斯顺序消去法的程序。

(1)?????-=--=+-=++44385522321321321x x x x x x x x x ; (2)???

??=---=-+-=+-0

232122743321

321321x x x x x x x x x 。

解:(1)将方程组的增广矩阵进行初等变化,并利用高斯顺序消去法得:

?????=-==→????? ??→????? ??→????? ??211x 4 2 0 09 8 7 05 2 1 213- 10- 7- 09- 8- 7- 05 2 1 24- 4- 3- 18 1 1- 55

2 1 23

21x x ; 利用完全主元素消去法得:

???

?? ??→????? ??→????? ??→????? ??4 2 3 09 7 8 08 1 - 1 54 3 2 09 8 7 08 1 1- 54- 4 - 3- 15 2 1 28 1 1- 54- 4- 3- 18

1 1- 55

2 1 2 ???

??-===→????? ??→121x 5- 5 0 09 7 8 08 1 - 1 52

31x x ; 利用列主元素消去法得:

?????=-==→????? ??→????? ??→????? ??→????? ??2

11x 10 5 0 09 8 7 08 1 1- 54 3 2 09 8 7 08 1 1- 54- 4 - 3- 15 2 1 28 1 1- 54- 4- 3- 18 1 1- 55 2 1 2321x x

(2)将方程组的增广矩阵进行初等变化,并利用高斯顺序消去法得:

???

?

???

===→????? ??→????? ??→????? ??21

12x 1 2 0 04 2- 5 07 4 1- 32 2 1 04 2- 5 07 4 1- 30 2- 3- 21-

2- 2 1-7

4 1- 33

21x x ; 利用完全主元素消去法得:

????

? ??→????? ??→????? ??→????? ??1 1 1- 05 1 3 07 3 1- 41 1 1- 05 1 3 07 3 1- 40 2 3- 2-1- 1- 2 2-7 3 1- 40 2- 3- 21- 2- 2 1-7

4 1- 3 ???

????

===

→????? ??→2

121x 8 4 0 05 1 3 07

3 1- 4123x x ; 利用列主元素消去法得:

???

????

===→????? ??→????? ??→????? ??21

12x 1 2 0 04 2- 5 07 4 1- 32 2 1 04 2- 5 07 4 1- 30 2- 3- 21- 2- 2 1-7

4 1- 33

21x x 。

5.用矩阵的三角分解法解下列方程组,并掌握三角分解法的编程思路。

(1)??????????=????????????????????785 20- 2 6- 16- 18 4-8 4 2-321x x x ; (2)??????

????=????????????????????201814 5 1 3 2 5 2 3 2

1321x x x 。

解:(1)对系数矩阵A 作如下的三角分解:

????

????????????????=??????????332322131211323121

u 0 0u u 0u u 1 l l 0 1 l 0 0 1 20- 2 6- 16- 18 4-8

4 2-u 。 根据矩阵的乘法可得:

2211111-=?-=?u u ,4411212=?=?u u ,8811313=?=?u u ; 24211121=?-=?l u l ,1018122221221=?=?+?u u u l ,

3216123231321-=?-=?+?u u u l ;36311131=?-=?l u l ,

123222321231-=?=?+?l u l u l , 76201333323321331-=?-=?+?+?u u u l u l 。

于是有LU A =??

??

??????-??????????=76- 0 032- 10 08

4 21 1- 30 1 20 0 1,则原方程组可表示为

??

????

????=????????????????????-??????????78576- 0 032- 10 08 4 21 1- 30 1 20 0 1321x x x 。解方程组b Ly =,即?????

?????=????????????????????7851 1- 30 1 20 0 1321y y y ,得

??????????--=1025y 。解方程组y Ux =,即??????????--=????????????????????-102576- 0 032- 10 08 4 2321x x x ,得??

??

??

?

?

?

?????????-=385 9521 190291x 。 (2)对系数矩阵A 作如下的三角分解:

????

?

????????????

???=??????????332322131211323121u 0 0u u 0u u 1 l l 0 1 l 0 0 1 5 1 3 2 5 23 2 1u 。 根据矩阵的乘法可得:

1111111=?=?u u ,2211212=?=?u u ,3311313=?=?u u ; 22211121=?=?l u l ,151********=?=?+?u u u l ,

42123231321-=?=?+?u u u l ;33311131=?=?l u l ,

513222321231-=?=?+?l u l u l , 2451333323321331-=?=?+?+?u u u l u l 。

于是有LU A =??

??

?

???????????????=24- 0 04- 1 03 2 11 5- 30 1 20 0 1,则原方程组可表示为

??

????????=??????????????????????????????20181424- 0 04- 1 03 2 11 5- 30 1 20 0 1321x x x 。解方程组b Ly =,即?????

?????=????????????????????2018141 5- 30 1 20 0 1321y y y ,得??????????--=721014y 。解方程组y Ux =,即??????

????--=????????????????????721014 24- 0 04- 1 03 2 1321x x x ,得??

???

?????=321x 。

6.用追赶法解下列方程组。

(1)????

????????=?????????????????????

???0001 2 1- 0 0 1- 2 1- 00 1- 2 1-0 0 1- 24321x x x x ; (2) ?????

?

??????-=????????????????????????1 21 6 5 3- 0 0 3- 4 2- 00 1- 3 1-0 0 1- 24321x x x x 。 解:(1)由LU A =得:

??

????

???????????

??

?????=?????????

??? 1 0 0 0 1 0 00 1 00 0 1 0 00 00 0 0 0 0 2 1- 0 0 1- 2 1- 00 1- 2 1-0 0 1- 23 214433221βββαγαγαγα。 于是有,2

3

2,1,211,2221221111=?=+?-=-=?-=?=ααβγγββαα

1,1,3

4

2,1,32133433233222-=?-==?=+?-=-=?-=?βαγααβγγββα

4

5

2,4344343=?=+?-=?ααβγβ。

从而f Ly =为 ????????????=???????????????????????????????

?0

00145 1- 0 00 34 1- 00 0 23 1-0 0 0 243

21y y y y ,解得???????

????

???????????=51413121y 。y Ux =为 ???????????

???????????=???????????????????????????????

?51413121 1 0 0 043- 1 0 00 3

2- 1 00 0 21- 14321x x x x ,解得???

???????

????????????=51525354x 。 (2)由LU A =得:

??

?????????

????????

?????=?????????

??? 1 0 0 0 1 0 00 1 00 0 1 0 00 00 0 0

0 0 5 3- 0 0 3- 4 2- 00 1- 3 1-0 0 1- 23 214433221βββαγαγαγα。 于是有,2

5

3,1,211,2221221111=?=+?-=-=?-=?=ααβγγββαα

3,3,5

16

4,2,52

133433233222-=?-==

?=+?-=-=?-=?βαγααβγγββα 16

355,161544343=?=+?-

=?ααβγβ。 从而f Ly =为 ?

?

??

?

???????-=?????????????

?????????

??????????1 21 6 1635 3- 0 00 516

2- 00 0 25 1-0 0 0 2432

1

y y y y ,解得?????????

???????????=353483583y 。y Ux =为 ?????????

???????????=????????????????????????????????353483583 1 0 0 01615- 1 0 00 52- 1 00 0 21- 14321x x x x ,解得??

??????

?

?

?

???????????=353479357435142x 。

7.设()n T

n R x x x x ∈=,,,21 ,掌握常用向量范数的定义式P x x x x ,,,21∞。

解:∑==+++=n

i i n x x x x x

1

211

{}n i x x x x x ,,,max max 21 ==∞;

(又叫最大范数) 2

11

2222

2

1

2

)(∑==+++=n

i i n

x x x x x

P

n

i P i P

x x

11

)(∑==。

8.已知()T

x 0,3,1,1-=,计算P x x x x ,,,21∞。

解:∑===+++=n

i i n x x x x x 1

211

5 ;

{}3,,,max max 21===∞

n i x x x x x

11)(21

122

22212

==+++=∑=n

i i

n x x x x x

P

P

P n

i P i

P

x x

111

)32()(+==∑=。

9.设n n n n ij R a A ??∈=)(,掌握常用矩阵范数的定义式F

A A A A ,,,21∞。

解:∑==n

i ij

a

A 1

1max

∑=∞

=n

j ij a x

1

max ;

)(max 2A A A T λ=;

2

11

,2)

(∑==n

j i ij

F

a A

。 10.已知?

?

?

?

??=0 31- 2A ,计算F A A A A ,,,21∞。 解:5max

1

1==∑=n

i ij

a

A ;

3max 1

==∑=∞

n

j ij a x

1027)(max 2+==A A A T λ;

14)(211

,2==∑=n

j i ij

F

a A

12.解线性方程组的迭代法有哪三种方法? 答:(1)雅可比迭代法(Jacobi )

(2)高斯--赛德尔迭代法(G--S ) (3)超松弛迭代法(SOR )

13.设有方程组???

??=+-=++--=++3

103220241225321

321321x x x x x x x x x

(1)写出用Jacobi 迭代法解此方程组迭代公式的分量形式和矩阵形式。

(2)Jacobi 迭代法是否收敛?为什么?

解:该方程组可化为:???

??++-=+-=---=3

.03.02.055.025.04.22.04.0213

312321x x x x x x x x x ,从而得到Jacobi 迭代法的公式:

??

???++-=+-=---=+++3.03.02.055.025.04.22.04.0)(2)(1)1(3)(3)(1)

1(2)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ,其矩阵形式为:b D X L U D X

k k 1)(1)

1()(--+++-=,其中:????? ??=10 0 00 4 00 0 5D ,????? ??=0 0 02 0 01 2 0U ,????? ??=0 3- 20 0 1-0 0 0L ,???

?

?

??-=32012b

(2)用Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵????

? ??=10 3- 22 4 1-1

2 5A 是严格对角占

优阵,所以Jacobi 迭代法收敛。

14.设有方程组???

??=+-=++=++30

1532128243220321

321321x x x x x x x x x

(1)写出用G-S 迭代法解此方程组迭代公式的分量形式。

(2)G-S 迭代法是否收敛?为什么?

解:该方程组可化为:???

??++-=+-=+--=2

2.013

3.05.1125.0125.02.115.01.0213

312321x x x x x x x x x ,从而得到G-S 迭代法的公式:

?????++-=+-=---=++++++22.0133.05.1125.0125.02.115.01.0)

1(2)1(1)1(3

)

(3)1(1)

1(2)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , (2)用G-S 迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵????

?

??=15 3- 21 8 1 3 2 20A 是严格对角占优

阵,所以G-S 迭代法收敛。

15.设有方程组??

?

??=--=+?+-=?++-7

9 890708321321321x x x x x x x x x

怎样改变方程的顺序使Jacobi 迭代法和G-S 迭代法均收敛。

解:将方程组变化成??

?

??=+?+-=?++-=--890 70879321321321x x x x x x x x x ,此时系数矩阵?????

??=9 0 1-0

8 1-1- 1- 9A 为严格对角占优矩阵,所以Jacobi 迭代法和G-S 迭代法均收敛。

16.设方程组???=+=+22221121212111b x a x a b x a x a )0(2211≠?a a ,迭代公式为???

?

???-=-=--)

(1)(1)1(121222)(2)

1(212111)(1k k k k x a b a x x a b a x

),2,1( =k 。求证:由上述迭代公式产生的向量序列{}

)(k x 收敛的充要条件是

122

1112

21

证明:由题设知:???? ??+???? ??+???? ?

?=????

??=0 0 00 0

0 00 1221221122211211a a a a a a a a A ,所以: 迭代矩阵?

?????

? ??

-=???? ?????? ??-=-0 - 00 0 00 2221111221121

2211a a a a a a a a B ,22

112112a a a a B ±=λ,所以由迭代法收敛的充要条件1)(

(k x 收敛的充要条件

122

1112

21

18.简述迭代法的基本定理的内容。

答:设有方程组f BX X +=,对于任意初始解向量)

0(X

及任意f ,迭代公式

f BX X k k +=+)()1(收敛的充要条件是1)(

19.设A 为非奇异矩阵,则A 的条件数的计算公式如何?掌握常用条件数的计算公式。

解:1

)(-?=A A A Cond

20.已知????

??????=2 1- 01- 3 1-0 1- 2A ,求

P A ,P A Cond )(),2,1(∞=P 和)(A ρ的值∞)(lim n A Cond 。

计算方法引论课后答案.

第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --

计算方法——第二章——课后习题答案刘师少

2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根,要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少? 解:给定误差限ε=0.5×10-3,使用二分法时,误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可,亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n =10. 2.3 证明方程1 -x –sin x =0 在区间[0, 1]内有一个根,使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次? 证明 令f (x )=1-x -sin x , ∵ f (0)=1>0,f (1)=-sin1<0 ∴ f (x )=1-x -sin x =0在[0,1]有根.又 f '(x )=-1-c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0,1]单调减少,所以f (x ) 在区间 [0,1]内有唯一实根. 给定误差限ε=0.5×10-4,使用二分法时,误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可,亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n =14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根,把方程写成四种不同的等价形式,并建立相应的迭代公式: (1)211x x +=,迭代公式2111k k x x +=+ (2)231x x +=,迭代公式3211k k x x +=+ (3)112-=x x ,迭代公式111-=+k k x x (4)13-=x x ,迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解:(1)令211)(x x f + =,则3 2)(x x f -=',由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ,因而迭代收敛。 (2)令321)(x x f +=,则322)1(3 2)(-+='x x x f ,由于

数值计算方法试题及答案

【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1.什么是计算方法?(狭义解释) 答:计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算,以便在计算机上编程上机,求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2.一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么? 答:一个实际问题当利用计算机来解决时,应采取以下五个步骤: 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4.利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值,并编程获得解。 解:400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ,从而 所以,多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5.叙述误差的种类及来源。 答:误差的种类及来源有如下四个方面: (1)模型误差:数学模型是对实际问题进行抽象,忽略一些次要因素简化得到的,它是原始问题的近似,即使数学模型能求出准确解,也与实际问题的真解不同,我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 (2)观测误差:在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的,由于仪器的精密性,实验手段的局限性,周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素,而使数据必然带有误差,这种误差称为观测误差。 (3)截断误差:理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到,而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似,这样引起的误差称为截断误差(或方法误差)。 (4)舍入误差:在数值计算过程中还会用到一些无穷小数,而计算机受机器字长的限制,它所能表示的数据只能是一定的有限数位,需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6.掌握绝对误差(限)和相对误差(限)的定义公式。 答:设* x 是某个量的精确值,x 是其近似值,则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差(简称误差)。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ,称这个数ε为近似值x 的绝对误差限(简称误差限或精度)。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差,称

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一 一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。 3、已知是三次样条函数,则 =( ),=(),=()。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则 ( ),( ),当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。 8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。 二、二、选择题(每题2分) 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1),(2),(3),(4), (1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、(15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 (2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组,其中 , (1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、(下列2题任选一题,4分) 1、1、数值积分公式形如 (1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。()

计算方法习题

《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1. 14159.3=π的近似值3.1428,准确数位是( 2 10- )。 2.满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R ( ))((!2) (b x a x f --''ξ ) 。 3.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((22x P x P (5 2 )。 4.乘幂法是求实方阵(按模最大 )特征值与特征向量的迭代法。 5.欧拉法的绝对稳定实区间是( ]0,2[-)。 二、单选题 1.已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε,则=)(ab ε(C )。 A .)()(b a εε B.)()(b a εε+ C.)()(b b a a εε+ D.)()(a b b a εε+ 2.设x x x f +=2 )(,则=]3,2,1[f ( A )。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A=?? ? ? ??3113,则化A为对角阵的平面旋转=θ( C ) . A. 2π B.3π C.4π D.6 π 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有(B )敛速. A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( C ). A .)(h o B.)(2 h o C.)(3 h o D.)(4 h o 三、计算题 1.求矛盾方程组:??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?, 由 0,021=??=??x x ? ?得:???=+=+9 629232121x x x x , 解得14 9 ,71821== x x 。

计算方法课后题答案之习题二

习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1,2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根,需要 二分多少次。 证明: (1) 不妨令 4)(3-+=x x x f ,求得: 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1,2]内是连续的,所以在区间[1,2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1,2]内013)(2'>+=x x f ,所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证,043 =-+x x 在区间[1,2]内仅有一个根。 (2)具有5位有效数字的根,说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ,所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半,即: 4105.0-?=ε。由公式: ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5,2]内的近似根(精确到10-3)。 解:043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5,2]内有根,又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5,2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5,2]内有根,且唯一。符合二分条件,可以用二分法,二分的 次数为:

数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1) (2)

解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用:式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因

,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限 ,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8), 令 因 得 3. 若,求和.

解:由均差与导数关系 于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表

计算方法练习题与答案

练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字,且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。( ) 2.对两个不同数的近似数,误差越小,有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多,其相对误差限愈小。( )

4. 用 2 12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少,应将该表达式改写为 ; 2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值,它有 位有效数字,误差限 为 ,相对误差限为 ; 3. 误差的来源是 ; 4. 截断误差为 ; 5. 设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1.*x =–0.026900作为x 的近似值,它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7; (B) 3; (C) 不能确定 (D) 5. 2.舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值

3.用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4.用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度),s t 是 在时间t 内的实际距离,则s t s *是( )误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5.1.41300作为2的近似值,有( )位有效数字。 (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 6。 四、计算题 1. 3.142,3.141,22 7分别作为π的近似值,各有几位有效数字? 2. 设计算球体积允许的相对误差限为1%,问测量球直径的相对误差限最大为多少? 3. 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确: (1)1||,11211<<+-++x x x x , (2) 1||1112<<+?+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x , (4) 1)1ln(2>>-+x x x 4.真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21 g t 2,g 为重力加速度。现设g 是精确的,而对t 有0.1±秒的测量误差,证明:当t 增加时,距离的绝对误差增加,而相对误差却减少。

数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度 为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式1999 2001-

数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)

引论试题(11页) 4 试证:对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式: 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明: (1 )(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? (2) 取初值00>x ,显然有0>k x ,对任意0≥k , a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明: 若k x 有n 位有效数字,则n k x -?≤ -1102 1 8, 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解: 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理: (设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=,如果* x 具有l 位有效数字,则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ,其中1a 为*x 中第一个非零数) 则7.21=x ,有两位有效数字,相对误差限为

025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ,有两位有效数字,相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =,有两位有效数字,其相对误差限为: 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ,0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ,有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ,有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注:(1)两种方法均可得出相对误差限,但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论,故他对误差限的估计偏大,但计算略简单些;而第二种方法给出较好的误差限估计,但计算稍复杂。 (2)采用第二种方法时,分子为绝对误差限,不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入,绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈,.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π,具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π,具有7位有效数字

数值分析作业答案

数值分析作业答案 插值法 1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 (1)用单项式基底。 (2)用Lagrange插值基底。 (3)用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解:(1)用单项式基底 设多项式为: , 所以: 所以f(x)的二次插值多项式为: (2)用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: (3) 用Newton基底: 均差表如下: xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少? 解:以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有 式中 令得 插值点个数

是奇数,故实际可采用的函数值表步长 8、,求及。 解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系: 所以有: 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明:利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可; 当时,,构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在及使得 在,,上对使用Rolle定理,存在,和使得 再依次对和使用Rolle定理,知至少存在使得 而,将代入,得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有: 确定误差限: 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk,xk+1]上有 而最值 进而得误差估计: 16、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。

计算方法习题答案

计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解:直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解:取4位有效数字 1.3解:433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解:由于'1(),()n n f x x f x nx -==,故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解: 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++,*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<,解得0.0031ε≤, 1.6 解:设边长为x 时,其面积为S ,则有2()S f x x ==,故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤,从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解:因S ld =,故 S d l ?=?,S l d ?=?,*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解:(1)4.472 (2)4.47 1.9 解:(1) (B )避免相近数相减 (2)(C )避免小除数和相近数相减 (3)(A )避免相近数相减 (3)(C )避免小除数和相近数相减,且节省对数运算 1.10 解 (1)357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-, (2) 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解:0.00548。 1.12解:21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解:0.000021

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ,拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

计算方法-刘师少版课后习题答案

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x =3.14=0.314×101,即m =1,它的绝对误差是 -0.001 592 6…,有 31105.06592001.0-*?≤=- x x . 即n =3,故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416,它的绝对误差是0.0000074…,有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n =5,x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415,它的绝对误差是0.0000926…,有 4-1*10?50≤00009260=-.. x x 即m =1,n =4,x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数,若末位数字是四舍五入得到的,那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限: 2.0004 -0.00200 9000 9000.00 解 (1)∵ 2.0004=0.20004×101, m=1 绝对误差限:4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字 1x =2,相对误差限000025.010******** 1)1(1 =??=??=---n r x ε (2)∵ -0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x x m -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字 1x =2,相对误差限3 110221 -??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4, 0105.049.09000?<≤-=-*x x x m -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字 4 110921-??=r ε=0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4, 2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x x m -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6 110921-??=r ε=0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0,不是可有可无的,它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…,精确到310-的近似值是多少? 解 精确到310-=0.001,即绝对误差限是ε=0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根,要求误差不超过 31021-?至少要二分多少? 解:给定误差限ε=0.5×10-3,使用二分法时,误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可,亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n =10. 2.3 证明方程1 -x –sin x =0 在区间[0, 1]内有一个根,使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次? 证明 令f (x )=1-x -sin x , ∵ f (0)=1>0,f (1)=-sin1<0 ∴ f (x )=1-x -sin x =0在[0,1]有根.又 f '(x )=-1-c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0,1]单调减少,所以f (x ) 在区间 [0,1]内有唯一实根. 给定误差限ε=0.5×10-4,使用二分法时,误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可,亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n =14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根,把方程写成四种不同的等价形式,并建立相应的迭代公式: (1)211x x +=,迭代公式2111k k x x +=+ (2)231x x +=,迭代公式3211k k x x +=+ (3)112-=x x ,迭代公式111-=+k k x x (4)13-=x x ,迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解:(1)令211)(x x f +=,则32)(x x f -=',由于

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析 (p11页) 4 试证:对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式: 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明: (1 )(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? (2) 取初值00>x ,显然有0>k x ,对任意0≥k , a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明: 若k x 有n 位有效数字,则n k x -?≤ -1102 1 8, 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解: 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理: (设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=,如果* x 具有l 位有效数字,则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ,其中1a 为*x 中第一个非零数)

则7.21=x ,有两位有效数字,相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ,有两位有效数字,相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =,有两位有效数字,其相对误差限为: 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ,0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ,有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ,有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注:(1)两种方法均可得出相对误差限,但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论,故他对误差限的估计偏大,但计算略简单些;而第二种方法给出较好的误差限估计,但计算稍复杂。 (2)采用第二种方法时,分子为绝对误差限,不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入,绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈,.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π,具有3位有效数字

计算方法习题

《计算方法》习题 习题一 1. 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字,试估计由这些数据计算 321x x x +的相对误差。 ??? ? ??? ??-=??????? ????????? ? ?----4170212153222352 32 31 4321x x x x 4. 用追赶法解方程组

????? ? ? ??=??????? ????????? ??----11 1141001410014 10014 4321x x x x 5. 设方阵 ? ?78710 10.设A 为非奇异方阵,B 是任一奇异方阵,则 11 -≥±A B A 11.若1

A A A I I -≤ ---1) (1 12.证明 A B A A B A B -≤----) (1 1 1cond 讨论以上方法在区间]6.1,3.1[上的敛散性,并选出收敛速度最快的迭代公式求根。 6. 用二分法求01.175.36.3)(3 =-+-=x x x x f 在]3,0[∈x 上所有的根。 习题四

1. 取T )0,0,0()0(=x 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组,要求保 留四位有效数字。 (1)?????=+--=-+-=--10 52151023210321 321321x x x x x x x x x (2)??? ??=++=-+=+-12423311420238321321321x x x x x x x x x 1. 取T )1,1,1() 0(=x ,用幂法求方阵A 的按模最大的特征根以及相应的特征向量。 ???? ? ??=361641593642A 2. 已知对称三对角方阵

《数值计算方法》试题及答案

数值计算方法考试试题 一、选择题(每小题4分,共20分) 1. 误差根据来源可以分为四类,分别是( A ) A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差; B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差; C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差; D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ,则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f ( C ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 ( D ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵,则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 ( B ) A. 都发散; B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛,Gauss-Seidel 迭代法发散; D. Jacobi 迭代法发散,Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ=',Euler 方法的绝对稳定区间为( C ) A. 02≤≤-h ; B. 0785.2≤≤-h ; C. 02≤≤-h λ; D. 0785.2≤≤-h λ ; 二、填空题(每空3分,共18分) 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ,则 =2 x 5,= 1Ax 16 ,=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ,则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%,应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表, 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值; 解:1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x

计算方法课后习题答案

习 题 一 3.已知函数y x = 在4, 6.25,9x x x ===处的函数值,试通过一个二次插值函 数求7的近似值,并估计其误差。 解:0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x x y y y = ======由题意知: (1) 采用Lagrange 插值多项式2 20 ()()j j j y x L x l x y == ≈= ∑ 27020112012 0102101220217()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79) (74)(79)(74)(7 6.25) 2 2.53 2.255 2.25 2.75 2.755 2.6484848 x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++ ------------= ?+ ?+??-??= 其误差为 (3) 25(3) 2 5(3) 2 [4,9] 2() (7)(74)(7 6.25)(79) 3!3()83m ax |()|4 0.01172 8 1|(7)|(4.5)(0.01172)0.00879 6 f R f x x f x R ξ- - =---= = <∴< =又则 (2)采用Newton 插值多项式2()y x N x =≈ 根据题意作差商表: i i x () i f x 一阶差商 二阶差商 0 4 2 1 6.25 2.5 29 2 9 3 211 4 495 - 22 4 (7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489 495 N =+?-+-?-?-≈ 4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==,试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的 Lagrange 插值多项式。