2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.n
n n n -→∞
+??
=
???
(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x
f x '=,()21f =,则()2____.
f '''=
(3)设函数()f u 可微,且()102
f '=
,则()22
4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d _____.z
=
(4)设矩阵2112A ??
=
?-??
,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .
(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则
{}{}max ,1P X Y ≤=_______.
(6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=
-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2
S ,则2____.ES =
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则
(A) 0d y y <. (B) 0d y y <.
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y < . [ ]
(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22
lim
1h f h h
→=,则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在
(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ]
(9)若级数
1n
n a
∞
=∑收敛,则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . (B )
1(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数,则该方程的通解是
(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.
(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] (11)设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数,且(,)0y x y ?'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ?矩阵,下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.
(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ] (13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ,记110010001P ??
?
= ? ???
,则
(A)1
C P AP -=. (B)1
C PAP -=.
(C)T C P AP =. (D)T
C PAP =. [ ]
(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2
22(,)N μσ,且
{}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C)
12μμ< (D) 12μμ> [ ]
三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)
设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=;
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. (16)(本题满分7分)
计算二重积分
d D
x y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
(17)(本题满分10分)
证明:当0a b π<<<时,
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
(18)(本题满分8分)
在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).
(Ⅰ) 求L 的方程;
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8
3
时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)
求幂级数()()1
21
1
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
(20)(本题满分13分)
设
4
维向量组()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21)(本题满分13分)
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ;
(Ⅲ)求A 及6
32A E ?
?- ??
?,其中E 为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分13分)
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,024
0,X x f x x ?-<??=≤????
其他,
令()2
,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.
(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;
(Ⅲ)1,42F ??
-
???
. (23)(本题满分13分) 设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<?
=-≤??
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. (Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计
2006年考研数学(三)真题解析
二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.n
n n n -→∞
+??
=
???
【分析】将其对数恒等化ln e
N
N =求解.
【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n n n n n n n n n n -→∞-++????
- ? ???
??
→∞
→∞
+??
== ???
,
而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+??= ???
,所以1lim(1)ln 0n
n n n →∞
+??-= ???
. 故 ()101lim e 1n
n n n -→∞
+??
==
???
.
(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=
【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()
e f x f x '=,两边对x 求导得
()()
()2e
()e f x f x f x f x '''==,
两边再对x 求导得 ()
()23()2e
()2e f x f x f x f x ''''==,又()21f =,
故 ()
323(2)2e 2e f f '''==.
(3)设函数()f u 可微,且()102
f '=
,则()22
4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d 4d 2d .z
x y =-
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为
22(1,2)
(1,2)
(4)84z f x y x
x
?'=-?=?,
()
22(1,2)
(1,2)
(4)22z f x y y y
?'=-?-=-?,
所以 ()()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x
y
????=+
=-?
?????
.
方法二:对()
22
4z f x y =-微分得
()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--, 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.
(4)设矩阵2112A ??
=
?-??
,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设,有
()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11
211
A E -=
=-,所以2B =.
(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则
{}{}max ,1P X Y ≤=
19
. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度
1
,3
()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他
.
则 {}{}
{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
011
1d 39
P X x ??=≤== ????.
【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:
则 {}{}
{}1max ,11,19
S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=
-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2
S ,则2 2.ES = 【分析】利用样本方差的性质2
ES DX =即可. 【详解】因为
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞
+∞
--∞
-∞
===?
?
, 22
2
220
00
()d e d e d e 2e d 2
x
x x
x x EX x f x x x x x x x x +∞
+∞+∞+∞
---+∞
--∞
-∞
====-+?
?
??
2e
2e d 2e 2x x x
x x +∞
-+∞
--+∞=-+=-=?,
所以 ()2
2202DX EX EX =-=-=,又因2
S 是DX 的无偏估计量,
所以 2
2ES DX ==.
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则
(A) 0d y y <. (B) 0d y y <.
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y < .
[ A ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线
()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ?>时,
00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>,故应选(A).
(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22
lim
1h f h h
→=,则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22
lim 1h f h h
→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)
f f -+''的存在性. 【详解】由()22
lim
1h f h h
→=知,()20
lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则
()2
(0)lim ()lim 0x h f f x f h
→→===.
令2
t h =,则()()22
(0)
1lim
lim (0)h t f h f t f f h t
+
+→→-'===.
所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数
1n
n a
∞
=∑收敛,则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . (B )
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
1
n n a ∞
=∑收敛知11
n n a ∞
+=∑收敛,所以级数1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1
(1)n
n a n
=-,则可排除选项(A),(B);
取(1)
n
n a =-.故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数,则该方程的通解是
(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.
(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为
[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).
【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:
*y y Y =+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.
(11)设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数,且(,)0y x y ?'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ] 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ(0λ是对应
00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则
000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0
x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .
消去0λ,得
00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=,
整理得 000000001
(,)(,)(,)(,)
x y x y f x y f x y x y x y ??'''=
'.(因为(,)0y x y ?'≠)
, 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).
(12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ?矩阵,下列选项正确的是
(C) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (D) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.
(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ,则12(,,,)s A A A AB ααα= .
所以,若向量组12,,,s ααα 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组
12,,,s A A A ααα 也线性相关,故应选(A).
(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ,记110010001P ?? ?
= ? ???
,则
(A)1
C P AP -=. (B)1
C PAP -=.
(C)T
C P AP =. (D)T
C PAP =. [ B ]
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
1101101
10110
10,0100100
1000
10010010
01B A C B A --??????
?
?
? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ? ? ??
????
??
?
, 而 1110010001P --??
?= ? ???
,则有1
C PAP -=.故应选(B).
(14)设随机变量X 服从正态分布2
11(,)N μσ,Y 服从正态分布2
22(,)N μσ,且
{}{}
1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (B) 12σσ< (B) 12σσ>
(C)
12μμ< (D) 12μμ> [ A ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>???????,
则 12112121σσ????Φ->Φ- ? ?????,即1211σσ????
Φ>Φ ? ?????
.
其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则
1
2
1
1
σσ>
,即12σσ<.
故选(A).
三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)
设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=;
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含
,0∞
?∞∞
型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.
【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?
?- ?
?==-+ ?
???
sin 11111lim 1
arctan arctan y x y
x
y x x x x y ππ→∞?
? ? ?-
?
?-=-=-
? ?+ ? ? ??
?
. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x
ππ+++
→→→--+??
=-= ??? (通分) 222220001
12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x
ππππ+++
→→→-+-+-+++====
(16)(本题满分7分)
计算二重积分
d D
x y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一
次函数,“先x 后y ”积分较容易,所以
10
d d y
D
x y y x =??
()3
112
22
002122d d 339
y y xy y y y y
=--==??
(17)(本题满分10分)
证明:当0a b π<<<时,
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.
【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=.
又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>
时),
故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
(18)(本题满分8分)
在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).
(Ⅰ) 求L 的方程;
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为
8
3
时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图
形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-
=,这是一阶线性微分方程,其中1
(),()P x Q x ax x
=-=,代入通解公式得
()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???
?, 又(1)0f =,所以C a =-.
故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.
(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所
示. 所以
()2
2
0d D ax ax ax x ??=--?
?? ()22
0482d 33
a x x x a =-==?,
故2a =.
(19)(本题满分10分)
求幂级数()()
1
21
1121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结
合已知函数的幂级数展开式计算和函数.
【详解】记121
(1)()(21)
n n n x u x n n -+-=-,则
23
21121
(1)()(1)(21)
lim lim (1)()(21)
n n n n n n n n
x u x n n x
x u x n n ++-+→∞→∞-++==--
.
所以当2
1,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;
当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),
(21)(21)
n n
n n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-
在()1,1-内,()
12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n n
n n x x s x x xs x n n n n -+-∞
∞
==--===--∑∑,
而 121122112
11
(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞
∞
--==-'''==-=-+∑∑, 所以 1112
01
()(0)()d d arctan 1x
x
s x s s t t t x t ''''-===+??
,又1(0)0s '=,
于是 1()arctan s x x '=.同理 1110
0()(0)()d arctan d x
x
s x s s t t t t '-=
=?
?
()20
201arctan d arctan ln 112x
x t t t
t x x x t =-=-++?
, 又 1(0)0s =,所以 ()2
11()arctan ln 12
s x x x x =-+.
故 ()
22
()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.
由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()
22
()2arctan ln 1s x x x x x =-+在
1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即
()
22
()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.
(20)(本题满分13分)
设
4
维向量组()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则
312341234
(10)12341234a a A a a a a
++==+++.
于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.
当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,
1α 2α 3α 4α
9234183412741236A -?? ?-
?= ?- ?-??
, 由于此时A 有三阶非零行列式9
23
1
8340001
2
7
--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.
(21)(本题满分13分)
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ;
(Ⅲ)求A 及6
32A E ?
?- ??
?,其中E 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应
的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由T
Q A Q =Λ可
得到A 和6
32A E ?
?- ??
?.
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以
1311331131A ?????? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ???????
,
则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.
又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=?=?,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,
()()21221111012,3120,61112αββαβββ??
-
?
-????
?- ? ?=-
=--= ? ? ? ? ? ?
-???? ?
??
. 再将12,,αββ单位化,得
1212312,,0ββαηηηαββ?? ?====== ? ? ? ?
? ? ??? ?
??
, 令 []123,,Q ηηη=,则1T Q Q -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得
T
300Q AQ ??
??==Λ??
????. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T
300Q AQ ??
??==Λ??
????
,所以
T
3111
00111
0111
A Q Q
??
?
?
????
?
? ?=Λ==
?
? ?
? ?
?
????
? ?
?
?
??
?
.
6
66
T T T
333
222
Q A E Q Q A E Q Q AQ E
??
??????
-=-=-
? ? ?
??
??????
??
6
6
66
6
3
3
2
2
3
333
222
33
22
E
??
??
??
?? ?
?
??
???
?
??
??
? ?
????
?
??
? ?
=-==
? ?
?
??
? ?
????
?
??
? ?
??
??
???
?
?
?? ?
??
?? ?
??
??
,则
666
T
333
222
A E Q EQ E
??????
-==
? ? ?
??????
.
(22)(本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为
()
1
,10
2
1
,02
4
0,
X
x
f x x
?
-<<
?
?
?
=≤<
?
?
?
??
其他
,
令()
2,,
Y X F x y
=为二维随机变量(,)
X Y的分布函数.
(Ⅰ) 求Y的概率密度()
Y
f y;
(Ⅱ) Cov(,)
X Y;
(Ⅲ)
1
,4
2
F
??
-
?
??
.
【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.
【详解】(I)设Y的分布函数为()
Y
F y,即2
()()()
Y
F y P Y y P X y
=≤=≤,则1)当0
y<时,()0
Y
F y=;
2) 当01y ≤<时,
(
2
()()Y F y P X y P X =<=<<
0d 4x x =
+=?
3) 当14y ≤<
时,(
2
()()1Y F y P X y P X =<=-<<
1011d d 242
x x -=+=?. 4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以
01()(
),140,Y Y y f y F y y <'==≤?
其他. (II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,
而 0
2101d d 244x x EX x x -=+=??,22
022
105d d 246
x x EX x x -=+=??, 33
23
107d d 248
x x EX x x -=+=??, 所以 7152
Cov(,)8463
X Y =-?=. (Ⅲ) 1,42F ??-
???211,4,422P X Y P X X ????
=≤-≤=≤-≤ ? ?????
11,22222P X X P X ???
?=≤--≤≤=-≤≤- ? ?????
1
2111d 24
x -
-==?
. (23)(本题满分13分)
设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<?
=-≤??
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本
值12,...,n x x x 中小于1的个数.
(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计
【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.
【详解】(Ⅰ)因为()12
1
3
(;)d d 1d 2
EX xf x x x x x x θθθθ+∞
-∞
=
=+-=
-?
??, 令 3
2X θ-=,可得θ的矩估计为 32
X θ=- .
(Ⅱ)记似然函数为()L θ,则
()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=???-?-??-=- 个
个
. 两边取对数得
ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,
令
d ln ()0d 1L N n N
θθθθ-=-=-,解得N n
θ= 为θ的最大似然估计.