初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）设a 、b 为正整数（a ＞b ），p 是a 、b 的最大公约数，q 是a 、b 的最小公倍数，则p ，q ，a ，b 的大小关系是（ ） A ． p ≥q ≥a ＞b B ． q ≥a ＞b ≥p C ． q ≥p ≥a ＞b D ． p ≥a ＞b ≥q
2．（4分）下列四个等式：=0，ab=0，a 2
=0，a 2
+b 2
=0中，可以断定a 必等于0的式子共有（ ） A ． 3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个
3．（4分）a 为有理数，下列说法中，正确的是（ ） A ． （a+）2
是正数 B ． a 2+是正数 C ． ﹣（a ﹣）2
是负数 D ． ﹣a 2+的值不
小于
4．（4分）a ，b ，c 均为有理数．在下列：甲：若a ＞b ，则ac 2
＞bc 2
．乙：若ac 2
＞bc 2
，则a ＞b ．两个结论中（ ） A ． 甲、乙都真 B ． 甲真，乙不真 C ． 甲不真，乙真 D ． 甲、乙都不真
5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a 3
+b 3
的值是（ ） A ． 24 B ． 36 C ． 27 D ． 30 6．（4分）a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c 的关系是（ ） A ． 互为相反数 B ． 互为倒数 C ． 相等 D ． 无法确定 7．（4分）两个10次多项式的和是（ ） A ． 20次多项式 B ． 10次多项式 C ． 100次多项式 D ． 不高于10次的
多项式
8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（ ） A ． 奇数 B ． 偶数 C ． 负整数 D ． 非负整数
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）
9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是 _________ 岁．
10．（5分）1.23452
+0.76552
+2.469×0.7655= _________ ．
11．（5分）已知方程组，哥哥正确地解得，弟弟粗心地把c 看错，解得，则abc=
12．（5分）若，则=_________．
13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则的值是_________．
14．（5分）满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于_________．
15．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于_________．16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，的形式，则a1992+b1993= _________．
三、解答题（共3小题，满分48分）
17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．
18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．
19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．
初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）设a 、b 为正整数（a ＞b ），p 是a 、b 的最大公约数，q 是a 、b 的最小公倍数，则p ，q ，a ，b 的大小关系是（ ） A ． p ≥q ≥a ＞b B ． q ≥a ＞b ≥p C ． q ≥p ≥a ＞b D ． p ≥a ＞b ≥q
考点： 约数与倍数． 专题： 分类讨论． 分析： 根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可． 解答： 解：∵（a ，b ）=p 且[a ，b ]=q ，
∴p|a 且p|b ，即a|q 且b|q ． ∴q ≥a ＞b ≥p ．故选B ．
点评： 本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两
个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．
2．（4分）下列四个等式：=0，ab=0，a 2=0，a 2+b 2
=0中，可以断定a 必等于0的式子共有（ ） A ． 3个 B ． 2个
C ． 1个
D ． 0个
考点： 非负数的性质：偶次方；有理数的加法；有理数的乘法；有理数的除法． 专题： 计算题．
分析： 按照两数相除商是0，则除数一定是0；两数的积是0，那么其中的一个数必为0；两数的平方和是0，那么两数必都等于0；一个数的偶次方是0，那么这个数一定为0．由此可判断出本题的答案．
解答：
解：∵=0，b ≠0，∴a 必为0，符合题意，故正确；
又∵ab=0，b=0时成立，a 未必为0，不符合题意，故错误；
又∵a 2
=0，a 必定=0，符合题意，故正确；
又∵a 2+b 2=0，则ab 必都等于0，故正确； ∴必等于0的式子共有3个，故B 、C 、D 选项错误， 故选A ．
点评： 本题主要考查有理数加法、乘法、除法中的特殊结果0的出现原因．
3．（4分）a 为有理数，下列说法中，正确的是（ ） A ． （a+）2
是正数 B ． a 2+是正数 C ． ﹣（a ﹣）2
是负数 D ． ﹣a 2+的值不
小于
考点： 有理数的乘方．
分析：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．02
=0．
解答：
解：A、（a+）2可为0，错误；
B、a2+是正数，正确；
C、﹣（a﹣）2可为0，错误；
D、﹣a2+的值应不大于，错误．
故选B．
点评：此题要注意全面考虑a的取值，特别是底数为0的情况不能忽视．
4．（4分）a，b，c均为有理数．在下列：甲：若a＞b，则ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中（）A．甲、乙都真B．甲真，乙不真C．甲不真，乙真D．甲、乙都不真
考点：不等式的性质．
专题：常规题型．
分析：若c=0，甲不正确．对于乙，隐含着条件c≠0，则c2＞0，进而推出a＞b，乙正确．
解答：解：当c=0时，ac2=bc2，故甲不对；
∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，故乙正确．
故选C．
点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”
存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a3+b3的值是（）
A．24 B．36 C．27 D．30
考点：立方公式．
专题：计算题．
分析：将a3+b3展开，然后代入题干中a+b及ab的值即可得出答案．
解答：解：∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（a+b）2﹣3ab]
∵（a+b）=3，ab=﹣1，
∴原式=3×12=36．
故选B．
点评：本题考查立方公式的知识，比较简单，关键是掌握立方公式的展开形式．
6．（4分）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定
考点：代数式．
分析：由于a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则a+2b+3c=a+b+2c，则b与c的关系即可求出．
解答：解：由题意得，a+2b+3c=m，a+b+2c=m，
则a+2b+3c=a+b+2c，即b+c=0，b与c互为相反数．
故选A．
点评：本题考查了代数式的换算，比较简单，容易掌握．
7．（4分）两个10次多项式的和是（）
A．20次多项式B．10次多项式
C．100次多项式D．不高于10次的
多项式
考点：整式的加减．
分析：多项式次数的定义：多项式中各单项式次数最高的次数，就是多项式的次数，
合并同类项的法则：字母和字母的次数不变，系数相加作为结果的系数；根据这两方面解答本题．解答：解：根据多项式次数的定义，多项式中各单项式次数最高的项的次数就是多项式的次数，而同类项相加减时，系数相加减，字母和字母的次数不变，
故多项式相加减时，次数不会高于10次．
故选D．
点评：本题考查了多项式次数的定义，合并同类项的法则，需要熟练掌握．
8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（）A．奇数B．偶数C．负整数D．非负整数
考点：奇数与偶数．
专题：计算题．
分析：根据在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变的性质即可得出答案．
解答：解：由于在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变，这个性质对n个整数也是正确的，因此，1，2，3，1991，1992的每一个数前面任意添加“+”或“﹣”号，其代数和的奇偶性
与﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，
故选B．
点评：本题考查了整数的奇偶性，难度一般，关键是掌握在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变．
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）
9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是24岁．
考点：一元一次方程的应用．
专题：应用题；年龄问题．
分析：要求哥哥现在的年龄，就要先设出未知数，利用9年前两个人之间的年龄关系作为相等关系“九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的”和“现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的”列方程求解即可．
解答：
解：设哥哥现在年龄为X，弟弟现在年龄为X，
那么哥哥九年前的年龄为X﹣9，弟弟九年前的年龄为X﹣9．
由题意得：X﹣9=（X﹣9）
解得：X=24，
所以哥哥现在的年龄是24岁．
故填：24．
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．
10．（5分）1.23452+0.76552+2.469×0.7655=4．
考点：完全平方公式．
分析：本题可根据完全平方公式，设出a，b进行计算即可．
解答：解：令x=1.2345，y=0.7655，
则2xy=2.469×0.7655，
1.23452+0.76552+
2.469×0.7655，
=（x+y）2，
=（1.2345+0.7655）2，
=22，
=4．
故答案为：4
点评：本题考查完全平方公式的应用，找出相应关系即可．
11．（5分）已知方程组，哥哥正确地解得，弟弟粗心地把c看错，解得，则abc=﹣40．
考点：二元一次方程组的解．
专题：计算题．
分析：
先把正确的解代入求出c的值，然后再把解代入ax+by=2即可得出答案．
解答：
解：把得代入方程组?，
解得：c=﹣2，
再把解代入ax+by=2，
∴，
解得：，
∴abc=4×5×（﹣2）=﹣40．
故答案为：﹣40．
点评：本题考查了二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握．
12．（5分）若，则=．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题；整体思想．
分析：
先将化简为含有的形式，然后代入进行求值．
解答：
解：=
=
=，把代入得：
a×=．
故答案为：．
点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是把所求分式化简成含有的形式，然后根据条件求解．
13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则的值是﹣2．
考点：解二元一次方程组；有理数的除法；代数式求值；因式分解-十字相乘法等．
专题：计算题；方程思想；待定系数法．
分析：由于x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b 能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x﹣1），
则x=﹣2和x=1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方
程组，求出a、b的值，进而得到的值．
解答：解：∵x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），
∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，
设商是A．
则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x﹣1），
则x=﹣2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x=﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=32+24+4a﹣14+b=4a+b+42=0 ①
当x=1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=2﹣3+a+7+b=a+b+6=0 ②
①﹣②，得
3a+36=0，
∴a=﹣12，
∴b=﹣6﹣a=6．
∴==﹣2．
故答案为﹣2．
点评：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定
系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，
或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数
的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=﹣2和x=1时，原多
项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．
14．（5分）满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于﹣30．
考点：一元一次不等式的整数解．
专题：计算题．
分析：
首先解不等式，即可求得绝对值不超过11的整数，进而求解．
解答：
解：∵，
即6+3x≥4x﹣2
解得：x≤8
其中绝对值不超过11有整数之和是﹣9+（﹣10）+（﹣11）=﹣30．
故答案是：﹣30．
点评：本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．15．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于5312．
考点：有理数的混合运算．
专题：应用题．
分析：三个连续偶数的和等于1992，则中间的一个偶数为1992÷3=664，求得其余两个偶数分别为662与666，从而算出最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差．
解答：解：∵三个连续偶数的和等于1992，
∴中间的一个偶数为1992÷3=664，其余两个偶数分别为662与666，
∴6662﹣6622=（666+662）（666﹣662）=1328×4=5312．
点评：本题考查了有理数的混合运算，解决此题的关键是求得三个偶数．
16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，的形式，则a1992+b1993= 2．
考点：有理数无理数的概念与运算．
专题：计算题．
分析：根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．
解答：
解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，也
就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，与b中有一个为1，
但若a=0，会使没意义，所以a≠0，只能是a+b=0，即a=﹣b，又a≠0，则=﹣1，由于0，，b
为两两不相等的有理数，在=﹣1的情况下，只能是b=1．于是a=﹣1．
故答案为：2．
点评：本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．
三、解答题（共3小题，满分48分）
17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．
考点：数的整除性．
分析：首先假设出这个九位数奇位数字之和为x，偶位数字之和为y，由被11整除的判别法知x+y与x﹣y 的取值，从进一步分析得出，x与y的值．
解答：解：
我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的
数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．
设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．
则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
由被11整除的判别法知
x﹣y=0，11，22，33或44．
但x+y与x﹣y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x﹣y也只能取奇数值11或33．
于是有①
解得：
②
解得：
但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．
所以②的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17，987654321的奇位数字和为25，偶位数
字和为20，
所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行．为此调整最后四位数码，排成987652413即
为所求．
点评：此题主要考查了数的整除性与两数和差奇偶性的性质，确定住x﹣y与x+y的取值是解决问题的关键．
18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．
考点：因式分解的应用．
专题：计算题．
分析：观察6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m式子，只有常数项未确定，又该式可变为因为（3x﹣4y）（2x+y）﹣11x+22y+m．因此可假定多项式可分解为（3x﹣4y+a）（2x+y+b），展开（3x﹣4y+a）（2x+y+b），
比较各次项系数，及常数项．并与6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m对应相等，可解得a、b的值，再代
入m关于ab的表达式，可得m的值．至此问题得解．
解答：解：∵6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m=（3x﹣4y）（2x+y）﹣11x+22y+m
∴设多项式可分解为（3x﹣4y+a）（2x+y+b）（3分）
∴有（6分）
解得：a=2，b=﹣5
∴m=ab=﹣10（8分）
原式可分解为：（3x﹣4y+2）（2x+y﹣5）（10分）
点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是首先确定这两个一次因式的系数，并假设常数项，展开与6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m对应相等．
19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．
考点：质数与合数．
专题：证明题．
分析：根据a与a2的奇偶性相同即可作出判断．
解答：证明：∵a2+b2与a+b同奇偶，c2+d2与c+d同奇偶，又a2+b2=c2+d2，
∴a2+b2与c2+d2同奇偶，因此a+b和c+d同奇偶．
∴a+b+c+d是偶数，且a+b+c+d≥4，
∴a+b+c+d一定是合数．
点评：本题主要考查了整数的奇偶性，a与a2的奇偶性相同，注意：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d≥4在本题中是不能缺少的．
七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套） 初一数学竞赛讲座 第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）.
5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位 数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得
世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2017春季省级初赛 考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。 考试期间,不得使用计算工具或手机 七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分，共30分) 1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度. 2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________. 5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________. 9、 都是正数， 那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分，共25分) 11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知 分别 为ABC ?的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x ＞， 如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006＞n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、，平分，中，∠∠=∠?
F 初一数学竞赛系列训练(12) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题 第 6 题 第7题 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则
∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G 第13题 第14题 15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ， ∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA ⊥AB 16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？ 17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？ 18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。 20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。 第 15 题
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？
第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点
初一数学竞赛系列训练５（附答案） 一、选择题 1、若代数式2y 2+3y +7的值是2，则代数式4y 2+6y -9的值是( ) A 、1 B 、-19 C 、-9 D 、9 2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( ) A 、减少50% B 、减少75% C 、减少其值的6437 D 、减少其值的64 27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( ) A 、26 B 、28 C 、36 D 、38 4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，且abc ＝1则c b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定 6、如果11111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1 C 、x 、y 、z 都不等于1 D 、以上说法都不对 二、填空题 7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 ． 8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 ． 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m ＝a 2+b 2，n ＝c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 ． 10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+=* 则()()31*191211**＝ ．
中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ). （A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ). （A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1） 3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ） 92 （D ）112 4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为 ( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3 3331111 123 99 S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 . 7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 . 8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1 y x = （x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 . 9．若1 12 y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80 分） 11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++ =的两个整数根恰好比方程 （第8题） （第10题）
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002
F 初一数学竞赛系列训练(1) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题 第 6 题 第7题
A B C D E 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G A B C D E G l A B C D E F G H P Q R S 第10题
2016年小学数学竞赛决赛试卷 （国奥赛决赛） （2016年4月10日下午2:00-3:30） （本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。） 1.）（）（）（40375.08.041545.2? ÷??? = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】9 64 【分析】原式 = 0.5×4×0.2÷（ 43×403） = 52×9 160 = 964 2.1 811611*********－＋－＋－＋－ = 。 【考点】计算（平方差公式利用） 【难度】★★ 【答案】9 4 【分析】原式 = ) 18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（????） = 971751531311????＋＋＋
= （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×2 1 = （1－ 91）×21 = 98×2 1 = 94 3.)]3 2152(347[163)25.016743(＋－＋－÷?÷ = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】28 69 【分析】原式 = )1215347(163)4171643(??? －＋－ = 3 16163)41712(?＋－ = 28 41 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是 。 【考点】最值问题 【难度】★ 【答案】54 【分析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
精品文档。___________学年第一学期台山市新宁中学2010—2011 初一数学竞赛试题 分）90分钟，满分：100（说明：本试卷共六大题，包含 20小题；时间：
一、填空题（每题4分，共32分）题号`16 14 15 10 11 12 13 9 选项 17=20.09÷________.计算：1． 号）9. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（绩1???1aa?0a值A. C. D. 不存在这样的 B. a 成则这个锐角的度2.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角， 。数___________ ）. ．已知a 名，下图是从不同方向观察这、4、5、64.已知立方体木块约六个面分别标有数字1、2、3姓在地面上堆叠成如图所示的立的正方体，11. 把14个棱长为1 _ 个立方体木块看到的数字情况，数字1和2的对面的数字的积是 订体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ）（ 4 16 15 137 33 D ． C B．24 ．A．21 2 4 2 别班20102011?aa?12?2,?a0?a ______________。那么5. 若aa两数中的较大者，例12. 12.用表示表示两数中的较小者，用、、)max(a)min(a,b,b bb ca是互不相等的自然数，min 如．Min(3,5)=3,max(3,5)=5 设、、、db____________. 的所有整数之和为6. 绝对值不大于 2010,y)?n m(,nc,(d)?n,mi,x,,max p(q)?x,ma a(,b)?m max?(m)a min(,b?p,in c, d)q ，使得运算结果是中添加＋－×÷的运算（可以加括号）k3，，k7．设k=13，在3， 线。35，算式是___________________．）则（ CGBD?ABC?，F、G均为BC18. 已知：如图，边上的点，且、中，D、E都有可能X＜y D．X＞y和yX X＜y C．＝ B yX A．＞． 1DE?3EF BDGF?DE??S为和积的角有中则，1。若，图所三形面之ABC?2精品文档． 2019年中国数学奥林匹克国家集训队名单 姓名性别年级省市学校 潘至璇男高二浙江省浙江省乐清市知临中学袁祉祯男高二湖北省武钢三中 骆晗男高三浙江省镇海中学 钱一程男高二江苏省江苏省锡山高级中学 邓明扬男高一北京市中国人民大学附属中学金及凯男高二上海市华东师范大学第二附属中学黄轶之男高三四川省成都七中 戴宇轩男高三浙江省杭州学军中学 胡航男高三四川省四川省绵阳中学 周鼎昌男高三北京市人大附中 胡百川男高三江西省江西师范大学附属中学吴浩然男高二江苏省江苏省扬州中学 陈博洋男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校杜航男高三四川省成都七中 赵文浩男高二上海市上海市上海中学 姚缘男高二上海市上海市上海中学 卓景彬男高二浙江省浙江省乐清市知临中学胡苏麟男高二广东省华南师范大学附属中学陈子云男高二湖南省长沙市雅礼中学 梁敬勋男高二浙江省杭州学军中学 何凯辰男高二湖南省长沙市雅礼中学 罗云千男高三湖北省湖北省黄冈中学 谢柏庭男高三浙江省浙江省乐清市知临中学俞然枫男高二江苏省江苏南京师范大学附属中学杨铮男高二上海市上海市上海中学 许福临男高二福建省福建厦门大学附属中学葛宇驰男高三安徽省安徽省含山中学 谷肇兴男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学 熊诺亚男高二重庆市重庆市巴蜀中学 黄嘉俊男高一上海市上海市上海中学 杜俊辰男高三陕西省西北工业大学附属中学韩新淼男高二浙江省浙江省乐清市知临中学朱天明男高二湖北省武汉二中 常弋阳男高三河南省郑州一中 贾镐铮男高二河北省石家庄市二中 傅浩桐男高二山西省山西大学附属中学夏一航男高二江苏省扬州中学 饶睿男高一广东省华南师范大学附属中学刘元凯男高三浙江省宁波中学 宛彦明男高三广东省深圳中学 马晓阳男高三安徽省安徽省合肥市第一中学李逸凡男高一上海市上海市上海中学 王祯安男高一山东省山东实验中学 徐苇杭男高三四川省成都七中 陈正男男高三广东省深圳中学 尹顺男高二湖南省湖南师大附中 陈凡男高三福建省福建省厦门双十中学姜昕澎男高三辽宁省东北育才学校 朱容宇男高三安徽省安徽省马鞍山第二中学傅增男高二上海市复旦大学附属中学涂雅欣女高三湖北省武汉外国语学校 胡宇轩男高三北京市北京市第八中学 李洲子男高三上海市上海市上海中学 葛程男高三上海市上海市上海中学 陈锐男高二湖北省武汉市第二中学 温凯越男高二广东省深圳中学 刘明扬男高二广东省华南师范大学附属中学罗煜翔男高一浙江省浙江省镇海中学 王义寅男高一广东省广州市执信中学 冯时男高三湖北省武汉市第二中学 初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、内容提要： 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。 如1001100－2＝98（能被7整除） 又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除 如1001100－1＝99（能11整除） 又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除） 第二讲倍数约数 一、内容提要 1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A ＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。 例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。 第三讲质数合数 一、内容提要 1、正整数的一种分类： 1? ????质数 合数 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2、根椐质数定义可知 ①质数只有1和本身两个正约数。 ②质数中只有一个偶数2。 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 第四讲零的特性 一、内容提要 （一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。 1、零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支平衡可记作结存0元。 2、零是判定正、负数的界限。 若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作a＞0 ? a是正数读作a＞0等价于a是正数 b<0 ? b 是负数 c≥0 ? c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d≤0 ? d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e≠0 ? e不是0（即e不是0，而是负数或正数） 3、在一切非负数中有一个最小值是0。 例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 2017 年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1） （ ． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 密 封 线 学校： 班级： 姓名： 考 那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应 交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？ （共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==. 2017年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 2、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2 A F E D C B 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛 七年级数学试题 一、选择题（10个小题，每小题5.2分，共52分） 1、已知c a 、、b 是互不相等的有理数，那么 b a a c a c c b c b b a ------，，中，正数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 2、方程0|3||1|)1(2=+--++x x x 解的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个D.无穷多个 3、已知2009192008 17)1() 1(++-+-=n n a ，当n 依次取1,2，…，2009时，a 的值为负数的个数是 （ ）。 A ．0个 B. 1个 C. 1004个 D.1005个 4、已知c a 、、b ，m 是有理数，且1b +>--=++m c b a m c a ，，则有（ ） A. b < 0 B. c < 0 C. 2 1 - <+c b D. 1>bc 5、已知2009 20082010 200720102008200920072010200920082007??-=??-=??- =c b a ，，，则有（ ） A ．c b a << B. c b a >> C. b a c << D. a c b >> 6、已知?? ?=+=+3 ||||0||y x x y x 中，0≠xy ，则有=y x （ ）A ．1 B. -1 C. 2 D. -2 7、小明在三张卡片上分别写上2，3，5，每张卡片作为数轴上的一个点，卡片上的数表示这个离原点的 距离，把三张卡片摆放到数轴上，不同的摆放方法最多有（ ） A ．12种 B. 8种 C. 6种 D. 2种 8、设三角形三边的长为c a 、、b ，且c b a >>，下面三个式子：①bc a +2；②ca b +2；③ ab c +2，其中值最大的是（ ） A ．① B. ② C. ③ D. 不确定 9、已知：如图，△ABC 中，D 是BC 上的点，BD= 2DC ，E 在AD 上，AE = DE ，BE 交AC 于F ，若△ABC 的面积是302 cm ，那么四边形CDEF 的面积是（ ） A ．92 cm B. 8.52 cm C. 82 cm D. 7.5 2 cm 10、圆周上有9个点，以这些为顶点构成三角形，那么所构成的三角形的个数共有（ ） A ．24个 B. 27个 C. 72个 D. 84个 二、填空题（8个小题，每小题6分，共48分） 1、已知a 是质数，则方程组?? ?=-=+a y x a y x 4的正整数解是 ；2019年中国数学奥林匹克国家集训队名单
A-初中数学竞赛辅导知识点2017年1013
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