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微积分A期中试题2013-1-1(1)

微积分A期中试题2013-1-1(1)
微积分A期中试题2013-1-1(1)

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学 期末考试 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 9分 ) 1、若在), (b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题,每小题6分,总计24分 ) 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

微积分期末测试题及复习资料

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=x x2 21 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+14、y拐点为:x5、若则的值分别为: x+2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函数f(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解:3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

清华大学微积分试题库完整

(3343).微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455).过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507).微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508).设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312,则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081).设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相 应齐次方程的一个解为x y =3,则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725).设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476).微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474).微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477).函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532).若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ,则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808).设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶 连续导数,且0)0(=f ,则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分(下)试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛,则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)

AP 微积分BC 选择题样卷一

AP Calculus Practice Exam BC Version - Section I - Part A Calculators ARE NOT Permitted On This Portion Of The Exam 28 Questions - 55 Minutes 1) Given Find dy/dx. a) b) c) d) e) 2) Give the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the graph of y = ln(x), the x-axis, the lines x = 1 and x = e, about the y-axis. a) b) c) d) e) 3) The graph of the derivative of f is shown below.

Find the area bounded between the graph of f and the x-axis over the interval [-2,1], given that f(0) = 1. a) b) c) d) e) 4) Determine dy/dt, given that and a) b) c) d) e) 5) The function is invertible. Give the slope of the normal line to the graph of f -1 at x = 3. a) b) c) d)

e) 6) Determine a) b) c) d) e) 7) Give the polar representation for the circle of radius 2 centered at ( 0 , 2 ). a) b) c) d) e) 8) Determine a) b) c) d) e)

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一.填空题(本题满分30分,共有10道小题,每道小题3分),请将合适的答案填在空中. 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ,它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依 次为4、4-和7,则该向量的起点A 的坐标为___________________________. 2. 设a 、b 、c 都是单位向量,且满足0 =++c b a ,则=?+?+?a c c b b a _____________________________. 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=,则 =??y z _____________________________. 4. 设y x z =,则=???y x z 2___________________. 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =,已知⑴. 当20,64==K L 时, 25000=Q ;(2)当20,64==K L 时,劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为270='L f ,350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ,则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序,有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________. 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛,且 u u n n =∑∞ =1 ,则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________. 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛. 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________.

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案:)1ln(x - 王丽君 解:x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案:1 孙仁斌 解:a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案:4 俞诗秋 解:4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案:2 俞诗秋 解:)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是:+,-,+,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案:C x x +-cot tan 张军好 解:C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案: 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数; (B) 奇函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案:A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点; (B) 连续点; (C) 振荡间断点; (D) 可去间断点. 答案:D 俞诗秋

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一. 填空题(每空3分,共15题) 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6.第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11.x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15. 13y x =+ 二. 计算题 1. 解:,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ,0=b 时,)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解:=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以,原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3. 解:)'1)((''y y x f y ++= ,故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ;……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解:

大一微积分期末试卷与答案

微积分期末试卷 选择题( 6×2) 1.设 f ( x) 2cosx , g (x) ( 1 )sin x 在区间( 0, )内( )。 2 2 A f ( x)是增函数, g ( x)是减函数 Bf ( x)是减函数, g( x)是增函数 C 二者都是增函数 D 二者都是减函数 、 x 时, 2x 与 相比是( ) 2 e cosx sin x A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 1 3、x =0是函数y =(1 -sinx) x 的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) A X n ( 1) n 1 B X n sin n n 2 C X n 1n (a 1) D X n cos 1 a n 5、若 f "( x)在 X 0处取得最大值,则必有( ) A f ' o f ' o (X 0) B (X 0) C f ' 且f ''( X 0 )<0 f ''(X 0 ) 不存在或 f '(X 0) 0 (X 0 ) 0 D ( 1 ) 、曲线 y xe x 2( ) 6 A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 1、(d )= dx x +1 2、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 1 相切。这条直线方程为: x x 3、函数y= 2 的反函数及其定义域与值域分别是: x 2+1 4、y= 3 x的拐点为: 2 ax b 5、若 lim x 则 a, b 的值分别为: 2 2, x 1 x+ 2x-3

微积分(II)期中考试试题(A卷)

1.设()=+z f ax by ,其中f 可微,则( ). (A ) ??=??z z x y (B )??=-??z z x y (C )??=??z z a b x y (D )??=??z z b a x y 2.定积分?--1 1 2d 1x x 的值是( ). (A ) 4π (B )2 π (C )1 (D )π 3.函数()33ln y x z +=在)(1,1处的全微分=z d ( ). (A )y x d d + (B )()y x d d 2+(C ) ()y x d d 2 3 + (D )()y x d d 3+ 4.下列方程是微分方程的是( ). (A )x y x y y d )(d ln -= (B )02tan 3sin =+x x y (C )0232=+-y y (D )533-+=x x y 5.下列广义积分发散的是( ). (A )? ∞ + 1 d x x x (B )? ∞ + 1 2d x x (C )?∞+ 1 2d x x x (D ) 1d x x +∞? 6.设2 22)ln(y x x x y z --+ -=的定义域D 的图形是( ). (A ) (B ) (C ) (D )

7.(答题区域:1-10行内)求3 2 e x y x z y +=,求 x z ??,y z ??, y x z ???2. 8.(答题区域:11-20行内)设()y x f z xy cos ,e =,其中f 有一阶连续偏导数,求x z ??,y z ??. 9.(答题区域:21-30行内)设v u z =,y x u 2+=,y x v -=,求x z ??,y z ??. 三、计算下列各题(本大题共3个小题,每小题7分,共21分) 10.求极限2 1 cos 0 d e lim 2 x t x t x ?→. 11.求定积分 e 2 1 ln d x x x ?. 12.(答题区域:51-60行内) 求定积分 8 ? . 添加1. 2 2 0|1|d -? x x 添加2 设2 0 ()12 0x x f x x x ?≤=?+>? ,,,求 2 (1)d f x x -? . 四、解答下列各题(本大题共3个小题,第13小题6分,14、15小题各8分,共22分) 13.(答题区域:61-75行内)求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解.

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 9分 ) 1、若在) ,(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题,每小题6分,总计24分 ) 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

大一期末考试微积分试题带答案

第一学期期末考试试卷 一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答,该题不得分.每小题3分,共15分.) 1. =→x x x 1 sin lim 0___0_____. 2. 设1 )1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ,则)(x f 的间断点是___x=0_____. 3. 已知(1)2f =,4 1 )1('-=f ,则 12 ()x df x dx -== _______. 4. ()a x x '=_______. 5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________. 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代 码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分,共15分.) 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(. 2. 设对任意的x ,总有)()()(x g x f x ≤≤?,使lim[()()]0x g x x ?→∞ -=,则 lim ()x f x →∞ ______. A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零 C.不一定存在 D. 一定存在. 3. 极限=-→x x x x e 21lim 0________. A. 2e B. 2-e C. e D.不存在. 4. 设0)0(=f ,1)0(='f ,则=-+→x x f x f x tan ) 2()3(lim 0________. A.0 B. 1 C. 2 D. 5. 5. 曲线2 21x y x =-渐近线的条数为________. A .0 B .1 C .2 D .3. 三、(请写出主要计算步骤及结果,8分.) 求2 0sin 1lim sin x x e x x →--.

清华大学微积分题库

(3343).微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455).过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507).微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508).设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312,则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081).设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相 应齐次方程的一个解为x y =3,则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725).设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476).微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474).微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477).函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532).若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ,则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808).设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶 连续导数,且0)0(=f ,则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

微积分试卷及答案6套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε,总存在δ>0,使得当 时,恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。 3. 若当0x x →时,与 是等价无穷小量,则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导,则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2 +2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=,52 +=Q C ,则当利润最大时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域(a -,a +)内有无穷多个点,则 ( )。 (A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在

2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的( )。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x ( ) 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2 e (D) 3 e 4. 对需求函数5 p e Q -=,需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。 (A) 若a x g x f x x =→)()(lim 或,则a x g x f x x =''→)() (lim 0或 (B) 若a x g x f x x =''→) ()(lim 0 或,则a x g x f x x =→)() (lim 0或 (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在,则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是( ) 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 )2(1 4--= x x y ( )。 (A) 只有水平渐近线; (B) 只有垂直渐近线; (C) 没有渐近线; (D) 既有水平渐近线,又 有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续,其导函数图形如右图所示,则)(x f 具有( ) x y o

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