教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．
考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 .
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1．函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x )＝f (x )?f (－x )－f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝1?f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )?f (－x )＋f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝－1?f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、常用结论 1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝ 1 f (x ) ，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1 f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3； (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2) |x －2|－2 ； (4)f (x )＝? ??? ? x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0. [解] (1)由f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3，可知????? 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0?????? －6≤x ≤6， x ≠0且x ≠－6， 故函数f (x )的定 义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．
第三节函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义． 知识点一函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 必记结论 1．函数奇偶性的几个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论： (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称． 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． [自测练习] 1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )
函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全 函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0, 1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0, 1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 《 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:), (x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) (7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性 函数的奇偶性与周期性 提高精讲 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a. (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a. 5.对称函数（引申知识点） 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 【考法一 奇偶性与不等式】 1. 若函数f (x )＝ 2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞) 【考法二 求解析式】 1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.1 2(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 1 2(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B {x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 【考法三 奇偶性与周期性综合】 1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6 2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ? ???? 12，b ＝f (2)， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) 高中数学：函数的奇偶性与周期性练习 (时间:30分钟) 1.(云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C ) x| (B)y=x3 (A)y=|log 3 (C)y=e|x| (D)y=cos |x| 解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C. 2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( B ) (A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98 解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数, f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B. 3.(石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞) x,则f(-)+f(4)等于( D ) 时,f(x)=log 2 (A)-+2 (B)1 (C)3 (D)+2 4=2,所以f(-)+f(4)= 解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log 2 +2. 4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( D ) (A)|f(x)|是偶函数 (B)-f(x)是奇函数 (C)f(x)·|f(x)|是奇函数 (D)f(|x|)·f(x)是偶函数 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2(c b a + 对称 第3讲 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数， 又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数. 答案 A 3.(2017·赣中南五校联考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( ) A.5 B.1 C.－1 D.－3 解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6.∴f (－3)＝－6，则9－3a ＝－6，解得a ＝5. 答案 A 4.已知函数f (x )＝x ? ????e x －1e x ，若f (x 1) A.x 1>x 2 B.x 1＋x 2＝0 C.x 1 函数的单调性、奇偶性与周期性 基础知识 一、函数的单调性 1． 单调性概念 如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 A o 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )x2＋x ＋1x2＋12 3A. B ．－ C. D ．－23234343 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2， 则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0 在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a 2a －3 a ＋1的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥ B ．a<－1 C ．－1 函数对称性、周期性和奇偶 性规律总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 第3讲函数的奇偶性及周期性 [学生用书P23] 1．函数的奇偶性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．辨明三个易误点 (1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． (2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，对于偶函数的判断以此类推． 2．活用周期性三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝ 1 f（x） ，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－1 f（x） ，则T＝2a. 3．奇、偶函数的三个性质 (1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法． (3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇 ×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 1．(2015·高考北京卷)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－ x B [解析] 因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数； C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数； D 选项为指数函数y ＝ ??? ?12x ，是非奇非偶函数． 2.教材习题改编 函数f (x )＝1 x 2的大致图象为( ) D [解析] 因为f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上为减函数， 又因为f (－x )＝1（－x ）2＝1 x 2＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故选D ． 3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B ．13 C.12 D ．－12 B [解析] 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， 所以a ＝13，则a ＋b ＝1 3 . 4.教材习题改编 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________． [解析] 当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )． [答案] x (1－x ) 5．(2016·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 第7讲函数的奇偶性与周期性 思维导图 知识梳理 1．函数的奇偶性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 核心素养分析 能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 题型归纳题型1 函数奇偶性的判定 【例1-1】（2019?全国）下列函数中，为偶函数的是( ) A ．2(1)y x =+ B ．2x y -= C ．|sin |y x = D ．(1)(1)y lg x lg x =++- 【例1-2】（2019·肥西质检）判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3； (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2（1－x 2） |x －2|－2 ； (4)f (x )＝? ????x 2＋x ，x <0， x 2－x ，x >0. 【跟踪训练1-1】（2020春?龙华区校级月考）已知函数21 (),()221 x x f x g x x +==-，则下列结论正确的是( ) A ．()()f x g x 为奇函数 B ．()()f x g x 为偶函数 C ．()()f x g x +为奇函数 D ．()()f x g x +为非奇非偶函数 【跟踪训练1-2】（2019秋?桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域 （1） 2 () 1 x x f x x - = - （2）()3|| g x x =- 【名师指导】 判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图象法： (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．函数的奇偶性与周期性
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