一 简述题（10’） 二 模型求解题（70’）
1、已知生产函数为Q=f(K,L)=KL-0.5L 2
-0.32K 2
，Q 表示产量，K 表示资本，L 表示劳动，令上式的K=10。 (1)计算当总量达到极大值时厂商雇佣的劳动是多少？
(2)当劳动的平均产量APP L 达到极大值时，劳动的边际产量MPP L 是多少？ 解：
(1) 将k=10代入Q=KL-0.5L 2
-0.32K 2
得生产函数为：
Q=10L-0.5L 2
-32
要使总量Q 达到极大值即令
0=dL
dQ
，即：10-L=0 所以，L=10。即当总量达到极大值时厂商雇佣的劳动是10。 (2) 劳动的平均产量L
32
-L 5.0-10==
劳动总产量L
APP
要使
L APP 达到极大值，即
0)(=dL APP d L ，得到：032
5.02=+-L
解得，L=8（负根舍去） 所以，边际产量281010=-=-=L MPP L
2存储问题
某建筑公司每天需要某种标号的水泥100吨，设该公司每次向水泥厂订购，需支付订购费100元，每吨水泥在该公司内存放一天需支付0.08元的存储保管费，若不允许缺货，且一订货就可提货，试问， （1）每批订购多长时间，每次订购多少吨水泥，费用最省，其最小费用是多少？ （2）从订购之日到水泥入库需7天时间，试问当库存为多少时应发出订货？ 解：（1）设每T 天订购一次，每次订购Q 吨水泥 据题意：每天水泥需求量r=100吨，每次订购费1001=c 元，每天每件存储保管费08.02=c 元。
将离散问题连续化，可得一周期存储保管费为：A c dt t q c T
20
2)(=?
一周期总费用：C=1c +T Q
c 2
2
，其中Q=rT 所以，每天总费用平均值（目标函数）C(T)=
221rT c T c +
0)
(=T
T dC ，解得，2
12rc c T =和2
12c r c Q =
代入数据解得：T=5，Q=500
（2）设当库存为C Q 时，应发出订货。
由于入库时间>订购周期，故当库存为C Q 时，订的货供未来第二个周期使用。 所以，有
7=+T r
Q C
解得200Q C =
3、某学校有三个系共200名学生，甲系100人，乙系60人，丙系40人，现同学选学生代表参加会议。问
(1)由于转系的原因，三系的人数为103、63、34，问有20席位应如何分配席位？ (2)在上述转系情况下，若席位增加1席，又如何分配？ 解：
“公平”分配方法讨论： 现假设有Ａ、B 两方已知总人数
1p 2p 和分得的席位1n 2n
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对A 不公平。为了度量对A 的不公平度，定义： 对A 的相对不公平度：2
22
21121///)
,(n p n p n p n n r A -=
现研究在已部分分配的基础上如何再分配1个名额。 1）若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给A 2）若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B 根据r 的定义，rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1)可以变形为：
)
1()1(112
1
2222+<
+n n p n n p ，该席给A 考虑到上式两边形式完全相同，不妨令：
2,1,)
1(2
=+=i n n p Q i i i
i
故可得到结论：该席应该给Q 值较大的一方 问题解答：
按人数比例的整数部分分配前19席。 甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q 值方法分配第20席和第21席 第20席：4.961=Q ，5.942=Q ，3.963=Q ，Q1最大，第20席给甲系 第21席：4.801
=Q ，5.942=Q ，3.963=Q ，Q3最大，第21席给丙系
Q 值方法分配结果：甲系11席，乙系6席，丙系4席。
4、饲料场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克的生猪体重增加2公斤。 (1)市场价格目前每千克8元，但是预测每天会降0.1元，问生猪应何时出售？ (2)若生猪的价格每天降低量增加1%，出售时间应提前比例是多少，为什么？ 解：
5、一家餐厅24小时营业，在各时间中所需要的服务员数量分配为
2:00---6:00 3人 6:00---10:00 9人 10:00---14:00 12人 14:00---18:00 5人 18:00---22:00 18人
22:00---2:00 4人
设服务员在各时间段的开始时点上班并连续工作8小时，问该餐厅至少分配多少人才能满足各个时间段对人员的需要？试够造此问题的数学模型。(不求解) 解：
i(1~6)表示第i 个时段，
i m 表示第i 个阶段至少所需服务员数， i n 表示第i 阶段开始上班的服务生数
所以，本问题可以描述为求各个阶段开始上班的服务生数总和最少，即
∑=6
1
i i n Min
约束条件：将一天六个阶段循环考虑（即第6阶段的下个阶段为第1个阶段），由于连续工作8个小时，即连续工作两个阶段。可得：
第i 阶段至少所需服务员数<=第i 阶段开始上班服务生数+第i-1阶段开始上班服务生数 数学表达为：
1-+≤i i i n n m
综上，可得数学模型：
∑=6
1
i i n Min
???=≥+≤-61i 0..1
，，且为整数
i i i i
n n n m t s
6 利民服装厂生产男式童装和女式童装，产品的销量很好，但有三种工序即裁剪，缝纫和检验限制了生产的发展，已知制作一件童装需要这三道工序的工时数，预计下个月内各个工序拥有的工时数以及每件童装所提供的利润如下表所示：
男式童装
女式童装 下个月生产能力/小时
裁剪 1 3/2 900 缝纫 1/2 1/3 300 检验 1/8 1/4 100 利润
5
8
该厂生产经理希望知道下个月内使利润最大的生产计划，试建立这一问题的数学模型。 解：
设下个月生产男式童装和女式童装的数量分别为1x 、2x 时利润最大，可如下线性规划模型：
2185max
x x z +=
?????????≥≤+≤+≤+且为整数0,10041
81300
3
1
21900232
1212121x x x x x x x x 7、某公司每年以每单位10元的价格购买18000单位的货物，每次订购费为30元，每年每单位的货物保持费为3元，求经济订货批量？全年费用？每年定货次数？如果供应商规定每次定货500单位以下时为10元/单位，500单位以上时为9元/单位，每次订货费为30元，保持费为单位费用的30%，求经济定货批量？ 解：设经济订货批量为Q ，每年订货次数为n ， 解：
已知：年订货量D=6000
平均一次订货准备所发生成本：C=125 每件存货的年储存成本：H=6
代入公式可得：
Q= Squat(2x6000x125/6)＝500
所以该产品的最佳经济订购批量为：500个单位产品。
经济订购批量＝Squat(2*年订货量*平均一次订货准备所发生成本/每件存货的年储存成本) 因此，经济批量=(2*18000*30/3)开方即为经济批量，即600（单位）
全年费用=18000/600*30+600/2*3+18000*10=181800元 （含订购费），不含的话就是1800. 如果有折旧，需要比较。
三 综合题（20’）
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个
数学与经济学息息相关，经济理论研究也离不开经济数学模型。经济学从它产生时起，就在某种程度上运用着经济数学模型。几乎每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势也越来越明显。西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用。在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。在社会发展中，经济数学模型渗透到了许多方面。 1 经济数学模型的基本内涵 经济数学模型：①凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式以及由公式构成的算法系统均可称为数学模型。②数学模型就是运用数学符号、公式和函数等数学语言，表示出客观事物特征、本质和规律的方法。那么经济活动中数量关系的简化的数学表达，简称经济模型。“数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。数学中有数、形、式结合原则。数表示量的大小，形表示量的集合，式反映了经济变量的联系及规律，三者之间形成了逻辑的统一。数学中图形是点的轨迹，点是函数的特殊值，因而也是函数和曲线的统一。可以认为经济问题是复杂经济现象中的一个点，函数则是经济变量之间的相互依存、相互作用关系，图形就是经济运行的规律和机制。所以，数、形、式是建模的主要工具和手段，是解决客观经济问题的三个要素。” 经济数学模型强调直接从实际问题中提出数学问题，然后选择恰当的数学方法加以解决，教会人们善于从实际问题中提出数学问题。对于广大学习数学的人来说，这也是提高其数学素质的直要途经，是培养人们尤其是经济工作者用数学工具解决实际问题的桥梁。而且，在建立数学模型解决实际问题时可以体会数学的应用价值，数学应用意识，增强学习数学的兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力，认识数学知识的发展过程，可以培养数学创造能力。 在经济数学模型中，用到的数学非常广泛，按数学形式的不同，经济数学模型一般分为线性和非线性两种：①线性模型是指模型中包含的方程都是一次方程。②非线性模型是指模型中有两次以上的高次方程。③有时非线性模型可化为线性模型来求解，如把指数模型转换为对数模型来处理。数列，概率统计等。 模型要采取一定的数学形式来反映经济数量关系。任何数学形式主要由方程式、变量(它的数值随时间、地点和条件的变化而改变，按其在方程式中的地位和作用，分为因变量和自变量)和参数(反映变量之间相互影响程度的系数)3个基本要素组成。简化是用模型来反
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
数学建模期中作业 姓名：赵洪 学号：200806002910 班级：信计08-1
工厂升级方案的优化模型 摘要：随着科学技术的飞速发展，各种产品日新月异，工厂面临着提高产品科技含量和优化改革方案的双重挑战。本文讨论工厂升级的优化问题，即分配各工厂的升级以使公司获得最大的利润，需要对其建立模型并借助LINGO软件对非线性规划问题进行了求解，通过比较利润最大值和收益率得出了两个方案的优劣性并在此基础上给出一个更好的提案。 关键词：工厂升级、优化、非线性规划、目标函数、约束条件 问题重述： 某公司所属的高新技术研究所开发了一种新的产品W200X，该公司现有三个工厂，都生产普通的产品W100X。公司计划将现有工厂升级，升级后的工厂将能产生W100X和W200X 其中A1离该公司的研究所最近，A2是最新最大的工厂。升级过程需要一周，在此期间，工厂将停产。该公司在过去的几个月进行了市场调研，W100X现有的批发价为400元。 工人的工资是45元/小时。工厂一星期做工40小时。工人数为固定数值。W100X的零件成本40元，需1.5小时工作量；W200X的零件成本为64元，需1.75小时工作量；每个W100X产品需要两个老芯片，每个W200X产品需要两个新芯片，该公司提供芯片的生产方程为： 公司老板要求： 两位副总裁分别提出了方案1，方案2，如下： 方案1：只让A1工厂升级，只生产新产品W200X； 方案2：所有工厂都升级，可生产两种产品。 要求： （1）研究每一种方案，包括你自己的一个提案，总裁希望基于你的研究推出一个最好的方案，他非常非货币损失和利益。 （2）问题陈述，方案的模型和分析，寻求最佳方案的方法，结果的分析。 （3）下个月第几个工厂升级，每种产品的产量和定价。 问题分析：
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
偏微分方程概述 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数， 则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时 间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这 门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏 微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要 求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方 面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出 比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子 计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计 算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程 模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的 求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计 算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用 的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得 结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解 决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动 力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了 重大的贡献。 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况 ，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
《计量经济学》期末考试复习资料 第一章绪论 参考重点： 计量经济学的一般建模过程 第一章课后题（1.4.6） 1.什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？ 答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。 计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。 4.建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？ 答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤如下：(1)设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；(2)收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和—致性；(3)估计模型参数；(4)检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。 6.模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？ 答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。 第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型 参考重点： 1.相关分析与回归分析的概念、联系以及区别？ 2.总体随机项与样本随机项的区别与联系？
建立数学模型的一般方法 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义. 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种
数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。 ②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。 2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 数学建模题型 赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 一、实际问题背景 1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2.一般都有一个比较确切的现实问题。
经济数学模型与案例分析 摘要：经济学与数学是两个有着密切联系的学科，经济学中很多经济现象与经济理论都需要数学只是来解释。微积分作为数学知识的基础，是学习经济学的必备知识。微积分在经济领域的应用，最主要的是研究相关的函数关系。这其中最为重要的就是边际分析与弹性分析。 关键词：导数；积分；函数；弹性；边际 Abstract:There is a very close relationship betweeneconomics and mathematics. Many phenomena and theories in economics can be explained by mathematical ideal.Calculus is a necessary subject when weemulate the knowledge of economics for it is the foundation of mathematics.We will mainly research some functions in this area, therefore we must understand some common functions about it. The most important is marginal analysis and elasticity analysis. Key words: derivative; integration; function; elasticity; margin
一．数学与经济学的关系 随着经济学发展以及研究的深化，在考虑和研究问题时，要求具有逻辑严谨的理论分析模型和通过计量分析方法进行实证检验，需要完全弄清楚一个结论成立需要哪些具体条件。单纯依靠文字描述进行推理分析，不能保证对所研究问题前提的规范性和严密性，也不能保证其研究结论的准确性。现代经济学中，几乎每个领域或多或少都会用到数学、数理统计和计量经济学方面的知识，如果不了解相关的数学知识，就很难理解经济概念的内涵，也就无法对相关经济问题进行讨论，更谈不上做自己的研究。理解概念是学习一门学科、分析某一具体问题的重要前提。 数学方法为经济学理论的突破提供了科学的方法论，为经济学研究提供了有力的工具。数学方法是经济学分析的有力工具之一，在经济学的理论更新中起着不可低估的作用。从古典经济学的代数式的简单运算、数理经济学中的高深数学的大量运用、计量经济学的数学方法的借鉴到现代数学与现代经济理论学的有机结合，无不体现了数学方法作为工具与方法论，并成为经济理论更新的不可缺少的工具。数学方法为经济学理论的突破提供了方法论的指导，使用数学方法能得出用语言文字无法得到证明的经济学理论。 数学方法的运用大大拓展和加深了经济学科，使经济学的推理和分析过程更加严谨。数学的特点之一就是应用的广泛性。正如数学家华罗庚所说：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、画工之巧、地球之变、生物之秘、日用之繁无不涉及到数学。”数学在经济学的应用使新的学科不断出现，产生了数理经济学、经济计量学、福利经济学、博弈论等经济学科；系统论和经济学结合产生了经济系统分析；控制论和经济学结合产生了经济控制论。因此，数学方法的运用大大拓展了经济学科。另一方面，数学表达具有文字性表述所不具备的确定性和精确性，数学推导具有数理逻辑性，运用数学模型结合经济模型来研究经济问题，可以使经济学的推理和分析过程更加严谨。
数学模型与经济学的关系 摘要：随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。每一门学科要想成为一门科学，首先要经过数学的推理验证，构建相应的数学模型，经济学也不例外。本文主要阐述了最优价格模型在经济学中的指导意义，经济数学模型是研究经济学的重要工具，在经济应用中占有重要的地位。文章从经济数学模型的内涵、构建经济数学模型的方法、遵循的基本原则以及所要注意的问题进行了简要分析和论述。 数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。 关键字：经济学数学模型最优价格 一.引言 科学与生产生活和数学模型的关系变得越来越紧密。工程师要建立数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算。城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与工作者掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。将数学方
法应用到实际问题中时，往往首先是把这个问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，然后经过数学的处理得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策或者控制，这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。 数学和经济的联系是十分紧密的，而对数学的应用往往要通过数学模型。无论现在还是以后的学习和工作，建立数学模型都将是一个解决问题的重要的方法。 二.最优价格模型 经济问题往往通过转化为数学模型来分析。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。它具有高度的抽象性，在经济上应用的范围很广。经济范畴和经济过程同样是质和量的统一。在对生产方式以及与之相适应的生产关系进行质的分析的前提下，对反映生产方式以及与之相适应的生产关系的经济范畴和经济过程进行量的分析，将有助于认识的深化，有助于理论的应用。从这一方面来说，马克思主义经济学所提示的原理和规律，不少都有可能用数学语言来表达，用数学模型来表示。马克思自己就曾经想运用数学方法来说明经济危机的规律性。马克思提出了运用数学方法的前提条件：首先，材料必须是足够的；其次，材料必须是经过检验的。 数学模型为西方经济学家提供了方便。西方经济学家在他们的研究中大量地运用数学模型，他们所用的数学方法几乎遍及纯数学的各主要分支。不可否认，数理分析的方法要比单纯文字说明、推理更方便、更精确，有时也更能说服人。大量的数学符号和算式推导，使经济过程和现象的表述较为简洁、清晰和直观。现在的数理经济学，金融数学，计量经济学等学科的蓬勃发展和其广阔的发展前景都说明了经济是必须要和数学结合起来研究的，而且经济学的研究史是一个从定性分析研究向定量研究转变的过程，并最终是严密的定量研究的趋势，而在定量研
第一课时制成一个尽可能大的 无盖长方体（一） 教学目标 知识要求与能力要求 经历从实际问题抽象出数学问题—建立数学模型——综合应用已有知识解决问题的过程；体会数学知识之间的联系；丰富学生的空间观念与符号感；发展学生的推理能力；获得研究问题的方法和经验。 情感与价值观要求 通过回顾与反思平时学习中的收获与错误，使学生感悟到自己在发现错误的过程中成长，增强学生克服困难的勇气和能力。 教学重难点 建立数学模型解决问题的过程；借助已有的信息去推断事物趋势的活动，学生的推理能力发展；方法和经验的获得。 教学方法 探索——交流——发现的方法。 采用小组合作的方式进行，给学生提供充分探索和交流的空间，让学生去猜测，去操作，去分析，从而获得研究问题的方法和经验。 创设情景引出课题 我们从进入初中，已经学习了七章的内容，如何综合运用第七章的知识来解决实际问题，这才是我们学习数学的关键之所在。 课题学习对于我们而言是一种新的学习方式，它需要综合本学期所学的数学知识、技能和方法。 今天，我们就用学过的知识来研究一个题目。 思考交流课题探究 题目1：你认为用一张正方形的纸怎样才能制成一个无盖长方体？ （分开小组，每组4人，然后把准备好的正方形的纸发给每一个小组）我们可以先设想把无盖的长方体展成平面图形。由于侧棱的长度是相等的，当我们沿着每一条侧棱展开时，在展开图的四周可以补全图形即在四个角上补上边长为侧棱长的四个小正方形（如下图）
因为我们是要用正方形纸制成无盖的 长方体，所以长方体展开图，再加上补上的 图形须成为一个正方形，观察图形不难发现 ，原长方体的底面必须是正方形，展开图才 能补充成如图所示的正方形。 上面想法已经给了我们一定的启示。下面我们 就分组，根据题目1的内容来完成下面的议一议， 也许你会由不小的收获。 [议一议]（1）如果用一张正方形的纸制成一个无盖的长方体，你觉得应该如何剪？如何折？与你小组的同伴充分交流意见。 （2）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系？ （3）如果设这张正方形纸的边长是a ，所折无盖长方体的高为h ，你能用a 和h 来表示这个无盖的长方体的容积吗？ （小组在合作交流、操作的过程中获得所要的结论，然后教师在小组讨论的基础上，归纳、解答上面3个问题） [师生共析]（1）只要在四个角上同时剪去一样大小的四个小正方形，然后沿着实线折叠便可得到一个盖长方体，大家可亲自实验操作，来验证我们的做法是正确的；（如下图） （2）由右图可知，剪去的小正方形的边长与折成的无盖的长方体的高相等； （3）如果设正方形纸的边长为a ，小正方形的 边长为h ，即无盖长方体的高为h ，这无盖长方体的 底面是以（a-2h ）为边长的一个正方形，记无盖长 方体的的容积为V ，则用a 和h 表示V ，即 V= h h a ?-22）（ 反思一下，上面的议一议用到了我们前面学过的哪些知识？ 用到了我们学过的展开与折叠；用字母表示数；列代数式。最关键的还是将这个实际问题转化成了数学问题。 拓思：从Y= h h a ?-22）（公式的可知，体积V 的文化是什么决定的？随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？请提出的猜想！ 猜想：h 在刚开始增大时，无盖长方体的容积也在增大，而当h 增大 到一定程度。22）（h a -减少的相当快，无盖长方体的容积就开始随着h 的增大而逐渐减小。