2015 ~2016学年度第一学期新高三暑假作业检测题
数学
一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分．）
1、已知集合{}0,1,2,3,4?M ≠
，{}{}0,1,20,1M =的集合M 的个数是 ． 2、函数14y x x =-++的值域为 ．
3、若函数()()2l g 1f x x a x =--在区间()1,+∞是增函数，则a 的取值范围
是 ．
4、若关于x 的方程245x x m -+=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 ．
5、设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 ．
6、定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且在[]1,0-上是增函数，给出下列关于()f x 的判断：①()f x 是周期函数；②()f x 关于直线1x =对称；③()f x 在[]0,1上是增函数；④()f x 在[]1,2上是减函数；⑤()()20f f =．其中正确的序号是 ．
7、已知平面直角坐标系x y O 上的区域D
由不等式组02x y x ?≤≤?≤??≤?给定．若(),x y M 为D 上的动点，点A
的坐标为)
，则z =OM?OA 的最大值为 ． 8、若圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=（a ，R b ∈）对称，则ab 的最大值是 ．
9、设P 点在圆()2221x y +-=上移动，点Q 在椭圆2
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x y +=上移动，则Q P 的最大值是 ．
10、若函数()212x
x
k f x k -=+?（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值为 ．
11、已知数列{}n a 满足143a =，11226n n a a +-=+（n *∈N ），则11n i i
a ==∑ ． 二、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
12、（本小题满分10分）在C ?AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
sin sin tan C cos cos A +B =A +B
． ()1求C ；
()2若C ?AB 的外接圆直径为1，求a b +的取值范围．
13、（本小题满分10分）某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ．该商品的成本价为3元/件． ()1写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式； ()2设2k a =，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益
比2013年至少增长20%？
14、（本小题满分12分）已知椭圆中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半
轴长为1，动点()2,t M （0t >）在直线2
a x c
=（a ，c 分别为长半轴和半焦距）上．
()1求椭圆的标准方程；
()2求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程； ()3设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．
15、（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：112a =，()()11
312111n n n n a a a a ++++=--，10n n a a +<（1n ≥）；数列{}n b 满足：221n n n b a a +=-（
1n ≥）． ()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
()2证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．
16、（本小题满分12分）已知函数()2ln x f x a x x a =+-（0a >，1a ≠）． ()I 当1a >时，求证：函数()f x 在()0,+∞上单调递增； ()II 若函数()1y f x t =--有三个零点，求t 的值； ()III 若存在1x ，[]21,1x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，试求a 的取值范围．