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2 电磁现象的普遍规律-Updated

电磁现象的普遍规律
汪毅

本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些假设总结出麦克斯韦方程。及一些假设总结出麦克斯韦方程本章难点：介质的极化和磁化、电磁场的边值关系、电磁场能量与能流。主要内容：总结出静电场、稳恒电场中的磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量、能流并讨论电磁能量的传输。

1.电荷和电场电荷和电场

库仑定律
qQr F = 3 4πε 0 r
ε 0 = 8.85 ×10
?12 C2 N i m2
F
q
r
Q
ε0
在真空中，两个静止的点电荷q,Q之间相互作用力的大小与它们的带电量乘积成正比，和它们之间距离r的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

电场
F Qr E = = 3 q 4π ε 0 r
E
q
r
Q
ε0
电场中任意点的电场强度E等于静止于该点的单位正检验电荷所受的电场力。它的方向沿正正检验电荷所受的电场力它的方向沿正试验电荷它的方向沿正试验电荷受力的方向，大小与检验电荷无关。受力的方向，大小与检验电荷无关。

电场的叠加原理
Qi ri E=∑ = ∑ Ei 3 i =1 4πε 0 ri i =1
n n
电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
E(x) = ∫
V
ρ ( x′ ) r dV ′ 4πε 0 r 3
P
r
dQ
dE

静电场的高斯定理-点电荷
1 ?Q ? ∫ S E ? dS = ∫S 4πε 0 ? r 3 r ? ? ( r sin θ dθ d? r ) ? ? Q = ∫∫ sin θ dθ d? 4πε 0 Q Q = 4π = 4πε 0 ε0
电场的叠加原理：电场的叠加原理
∫
S
E ? dS = ∑
i =1
n
(
?1 ? ∫ Ei ? dS = ∑ ? ε 0 Qi ? i =1 ? ?
)
n

静电场的高斯定理
真空中，静电场的高斯定理：
ΦE =
应用高斯公式：
∫
S
E ? dS =
1
1
ε0
∫
V
ρ dV
∫
V
? ?EdV =
ε0
∫
V
ρ dV
由于V的取值是任意的，得到：
ρ ??E = ε0

静电场散度的意义
空间任一点的 E 散度仅仅决定于该点的电荷密度, 而与其他点的电荷分布无关，反映静电场和源的局域关系。
ρ > 0 ? ? E > 0 该点有电力线发出 0, ρ < 0 ? ? E < 0 该点有电力线汇聚 0, ρ = 0 ? ? E = 0 该点无源电力线连续通过该点 0, 该点无源，电力线连续通过该点
静电场是有源场，电荷是电场的源静电场是有源场电荷是电场的源

已知：
E(x) =
1
4πε 0 V r
∫
ρ ( x′)
3
rdV ′
对上式两边取散度 1 ρ ( x′)r ? ? E(x) = ?? dV ′ 3 ∫ 4πε 0 V r 1 r = ρ ( x′)? ? 3 dV ′ ∫ 4πε 0 V r 1 21 δ ( x ? x′) = ? ? 4π r 1 2 1 =? ρ ( x′)? dV ′ ∫ 4πε 0 V r

=?
= 1
1
4πε 0 V
ρ ( x′) [ ?4πδ ( x ? x′)] dV ′ ∫
ε0 V
ρ ( x′)δ ( x ? x′)dV ′ ∫
=
1
ε0
ρ
?0 (x′ ≠ x ) = δ x ? x′） ? （ ?∞ (x′ = x ) ?0 δ ( x ? x′)dV ′ = ? ∫V ?1 x ?V ′ x ∈V ′

静电场的环路定理
真中静场环真空中，静电场的环流： Q r ∫ L E ? dl = ∫ L 4πε 0 r 3 ? dl
r ? dl = ∫L r3 4πε 0 Q
rdl cos θ = 4πε 0 ∫ L r3 Q
rdr Q = ∫ L r 3 = 4πε 0 4πε 0 Q
?1? ∫L d ? r ? ? ?
=0

静电场的环路定理
∫
S
S
E ? dl = 0
应用斯托克斯公式：
∫ ? × E ? dS = ∫
由于S面选取是任意的：由面选取是任意的
L
E ? dl = 0
?× E = 0
静电场是无旋场

电势
无旋场必可以表示为标量场的梯度
若? × E = 0
定义电势为：
则E可以表示为?的梯度
B
V(r ) = ? ∫ E ? dl
∞
r
A,B两点的电势差为： A B两点的电势差为
A
V( B) ? V( A) = ? ∫ E ? dl + ∫ E ? dl
∞ ∞
B
A
= ? ∫ E ? dl
A
B
E = ???

无旋场
无旋场处处满足? × F = 0; ;
∫
b
a
F ? dl 的值仅依赖于起点和终点，不依赖于路径
∫ F ? dl 的积分为零
F可以表示为标量场的梯度 F 可以表示为标量场的梯度

电荷Q均匀分布在半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场散度电场强度并由此直接计算电场散度
解作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得：球面所围的总电荷为Q 由高斯定理得
E ? dS = 4π r E = ∫
2
Q
ε0
因而：
E=
Qr Q 4πε 0 r
3
(r > a)

若高斯面半径小于r，包围电荷大小为：
4 3 4 3 Q Qr πr ρ = πr = 3 4 3 3 3 a πa 3
再由高斯定理：
3
Qr E ? dS = 4π r E = 3 ∫ ε 0a
2
3
电场强度为：
Qr E= 3 4πε 0 a
(r < a)

当r>a
r ??E = ? ? 3 = 0 (r > a) 4πε 0 r
Q
当r3Q 3Q ??r = 3 3 4πε 0 a 4πε 0 a ρ = . (r < a) ε0
Q

2.电流和磁场流和磁场

电流密度
电荷的运动形成电流，通常用 J 来描述电流密度，其定义为：为
dI J= da⊥
对于带电粒子而言，电流密度可以表示为：
J = ρv
v 代表体电荷密度ρ 的运动速度
I = ∫ J ? dS
S
单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强度，用 I表示：