第一讲分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找
通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利
用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨
一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ?+?+，1
(1)(2)(3)
n n n n ?+?+?+形式的，我们有：
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-?+?+?+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+???
裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1
(1)(1)3
n n n =
-??+ (2) 1
123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+
二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990
ab =?=
； 0.990a b c =，…… 2、单位分数的拆分：
例：
110=11
2020+
=()()11+=()()11+=()()11+=()()
11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B
+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有：
111111111
1011110126014351530
=+=+=+=+
例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】
11111
123423453456678978910
+++???++
??????????????? 【解析】 原式111111131232342343457898910??
=?-+-++- ???????????????
11131238910??=?- ???????1192160=
【巩固】 333
(1234234517181920)
+++
????????? 【解析】 原式1111111
3[(...)]3123234234345171819181920=??-+-++-????????????
113192011139
1231819201819206840
??-=-==
?????? 【例 2】 计算：5719
1232348910
+++=?????? ．
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差
数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式3234316
1232348910
+++=
+++
?????? 1111283212323489101232348910????
=?++++?+++ ? ?????????????????
111111111132212232334899102334910????=??-+-++-+?+++ ? ??????????????
31111111122129102334910????=?-+?-+-++- ? ??????? 3111122290210????
=?-+?- ? ?????
7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以
()()()()()()2323
121212n n n n n n n n n +=+?+?++?+?+?+，再将每一项的
()()
2
12n n +?+与
()()
3
12n n n ?+?+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【巩固】 计算：571719
1155234345891091011
?++++???????? ）
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719
234345891091011++++
???????? ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情
况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
571719
234345891091011++++
???????? 2334910
23434591011+++=+++
?????? 111111
342445*********
=++++++??????
1
111113445
10112435911????=+++++++ ? ???????????
1111
11111111111113445
10112243546810911????=-+-++-+?-+-+-++-+- ? ?????
11111113112210311????=-+?-+- ? ?????8128332533??=+?+ ???
3155=
所以原式31
115565155=?
=． 【巩固】 计算：34512
12452356346710111314
++++
???????????? 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、
分母都乘以分子中的数．即：
原式2222
345121234523456345671011121314
=++++
???????????????? 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：2
3154=?+，2
4264=?+，2
5374=?+……
【解析】 原式2222
345121234523456345671011121314=++++
???????????????? 15426437410144
1234523456345671011121314
?+?+?+?+=++++
???????????????? 1111234345456
1112134444123452345634567
1011121314??
=++++ ?
????????????
+++++ ?
??????????????????
1111111223343445111212131111111234234523453456
1011121311121314??=?-+-++- ?????????
??+-+-++- ?
????????????????????
111112231213123411121314????=?-+- ? ????????????? 111112212132411121314=-+-?????1771811121314+=-???11821114=-??1175
8308616
=-=
【例 3】
12349
223234234523410
+++++
????????? 【解析】 原式12349
223234234523410=+++++
????????? 213141101
22323423410----=++++
?????? 1111111
12223232342349234910
=-+-+-++-
??????????? 13628799
12349103628800
=-=
???? 【例 4】 1111
11212312100
++++
++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，
通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112
(11)1112
2
==+??，
1121223
2==+?，……， 原式2222120099
2(1)1
122334100101101101101=++++=?-==???? 【巩固】23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)
++++?++?++++?+++++++?++++ 原式＝213?＋336?＋4610?＋51015?＋…＋50
12251275?
＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-
11275）＝12741275
【巩固】234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++?++?++++?++++++?+++
【解析】2111(12)112=-?++，311
(12)(123)12123
=-+?+++++，……，
10011
(1299)(12100)129912100
=-+++?+++++++++ ，所以
原式1
112100=-+++
15049
150505050=-=
【巩固】 2310
1112(12)(123)(1239)(12310)
----?++?++++++?++++ （）
【解析】 原式23410
1()133********
=-++++????
11111
1111336610
4555??=--+-+-++- ???
11155?
?=-- ???
155= 【例 5】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22
()()a b a b a b -=-?+，
原式111111(
)()()()()()24466881010121214=+++++?????? 1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-? 1113()214214
=-?= 【巩固】 计算：2222222235715
12233478++++
???? 【解析】 原式22222222
22
2222222132438712233478
----=++++???? 2222222111111112233478=-+-+-++-
2118=-63
64=
【巩固】 计算：2
222222222
3151711993119951
3151711993119951
++++++++++=----- ． 【解析】 原式22222
22222111113151711993119951??????????
=++++++++++ ? ? ? ? ?-----??????????
2229972446
19941996??
=++++ ??????
111111997244619941996??=+-+-++- ??? 1
199721996??=+- ???
997997
1996= 【巩固】 计算：2222
1235013355799101
++++=???? ．
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，2
41-，
261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后
进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式22222222124610042141611001??
=?++++ ?----??
222211111111142141611001??=?++++++++ ?----?? 1111150413355799101??=
?+++++ ???????
111111111501423355799101????=?+?-+-+-++- ??????? 11150142101????=
?+?- ???????
150504101=?6312101= 【巩固】224466881010
133********
?????++++
????? 【解析】 （法1）：可先找通项22211
1111(1)(1)
n n a n n n n ==+=+---?+ 原式11111
(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++?????
11555(1)552111111
=+?-=+=
（法2）：原式288181832325050
(2)()()()()3355779911
=-+-+-+-+-
61014185065210453579111111
=++++-=-=
【例 6】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++
++?++?+??+ 【解析】11
21112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312
n n n n n n n +===?-++++++?+??++
原式＝11111111()()()()223344519992000??-+-+-++-????? ＝1000999100011=- 【巩固】 计算：111
112123122007
+++?
+++++? 【解析】 先找通项公式1211
2()12(1)1n a n n n n n =
==-++?++ 原式111
1222
=++++
222212233420072008=++++
???? 200722008=? 2007
1004= 【巩固】1111
33535735721
++++
+++++++ 【解析】 先找通项：()
()111
1352122132
n a n n n n n ===+++++?++? ，
原式111111
132435469111012
=++++++
?????? 1
11111133591124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175264= 【例 7】 12123123412350
2232342350
++++++++++????
++++++ 【解析】 找通项(1)(1)(1)(1)21
2
n n n
n n a n n n n +??+==
+??+-- 原式2334455623344556410182814253647
????????=????=???????? ，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式2334455648494950505114253647475048514952???????=
?????????????? 35023215226=?= 【例 8】 22222222222223333333333333
11212312341226
11212312341226
++++++++?+-+-+?-++++++++?+ 【解析】 22222333
(1)(21)
122212116()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ?+?+++?++===?=?+?+++?+?++ 原式=211111111[()()()()]31223342627?+-+++-+ =2152(1)32781
?-=
【巩固】 2221111112131991?????
?+?+??+ ? ? ?---??????
【解析】 22
221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-?+
原式223398989999
(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)????=????+?-+?-+?-+?-
223344559898999929949131425364999710098110050
??????=??????=?=?????? 【例 9】 计算：2222222399
2131991
???=---
【解析】 通项公式：()()()()()22
1111112n n n a n n n n ++==
+++-+， 原式22334498989999
(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)?????=?????+?-+?-+?-+?-+?-
2233445598989999
31425364999710098??????=??????
?????? 22334498989999132435979998100=?????????? 29999110050
=?= 【巩固】 计算：222
222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+
【解析】 本题的通项公式为2
21005000
n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母
()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----????，可以看出如果把n 换成
100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个
2
2505050005000
-+．将项数和为100的两项相加，得
()()()()22
2222222100100220010000
2100500010050001005000
1001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，
所以原式249199=?+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=?=）
【例 10】 ??? ??+++++++-??? ???++?+??2222221021121111212015
4132124
【解析】 虽然很容易看出321?＝3121-，541?＝5
1
41-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项
那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有
)12()1(6
32112
222+?+?++++n n n n
＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
???
??+++++++-??? ???++?+??2
22222102112111
12120154132124 ＝??
? ????++??+???-??? ???++?+??21111015321321162120154132124 ＝??? ????++??+???-??? ???++?+??212220156413421242120154132124
＝????????? ????-?++??
? ????-?+??? ????-??2122201212015641541342132124
＝???
???++?+??2220164142124 ＝??? ???++?+??111013212116 ＝??? ??
-?11116＝1160．
模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：33333333
135********+++++++
【解析】 原式()
333333333123414152414=++++++-+++
()
()2
23331515181274
?+=
-?+++
2257600
2784=
-?? 8128=
【巩固】
132435911?+?+?+? 【解析】 原式()()()()()()21213131101101=-++-+++-+
()()()()()22222222222131101231091231010101121
103756
=-+-++-=+++-=++++-??=
-=
【巩固】 计算：1232343458910??+??+??++??
【解析】 原式()()()()
2222
221331441991=?-+?-+?-++?-
()333323492349=++++-++++
()()2
123912349=++++--++++
245451980=-=
【例 12】 计算：23456111111
1333333
++++++
【解析】 法一：利用等比数列求和公式。
原式7111313
?????-??
???????=
-
713264
11
32729????=-?=?? ???????
法二：错位相减法．
设234561111111333333S =+
+++++ 则23451111133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得364
1729
S =．
法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用
“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，
2345622222222333333S =+
+++++，则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到364
1
729
S =． 【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)
12391098321+++???+-+++???++++???+++++???+++
【解析】 原式2
22222222
(21)(43)(65)(10099)
10-+-+-+???+-=
(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)
100
+?-++?-++?-+???++?-=
12349910050501
501001002++++???++=
==
【巩固】 ⑴()2
314159263141592531415927-?=________；
⑵2
2
1234876624688766++?=________．
【解析】 ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设31415926a =，
原式()()()
2
2
2
1111a a a a a =--+=--=
⑵ 原式22
12348766212348766=++??
()2
21234876610000100000000=+==
【巩固】 计算：22222221234200520062007-+-++-+
【解析】 原式2222222
2007200654321=-++-+-+
(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1=-?++-?+++-?++ 2007200620052004321=+++++++
()1
20071200720150282
=?+?=
【例 14】 计算：2222222222
12233445200020011223344520002001+++++++++???+
????? 【解析】 原式2222222222
122334452000200112122323343445452000200120002001=++++++++???++
?????????? 1223344520002001
2132435420012000=++++++++???++
2132435199920012000()()1223344200020002001
????=+++++++???+++ ? ????? 200020002000
22222400020012001=++++???++= 个2相加
【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-?-?÷÷-=???? ．
【解析】 原式()()20078.5 1.58.5 1.5101600.3=-+-÷÷-????()2007108.5 1.5101600.3=-?-÷÷-????
()200771600.3=-÷-12.50.3=-12.2= 【巩固】 计算：53574743?-?= ．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式()()()()552552452452=-?+-+?-()
2222
552452=---
()()225545554555451000=-=-?+=
【巩固】 计算：1119121813171416?+?+?+?= ． 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式(
)()()()2
2
2
2
2
2
2
2154
15315215
1=-+-+-+-
()2
2
2
2
2
1541234=?-+++
90030870=-=
其中2
2
2
2
1234+++可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
()()2221
121216
n n n n +++=++ 进行计算．
【巩固】 计算：1992983974951?+?+?++?= ． 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式()()()()()()5049504950485048501501=-?++-?+++-?+
()()()22222250495048501=-+-++- ()222250491249=?-+++
()222250491249=?-+++
21
50494950996
=?-???
25049492533=?-?? ()492510033=??- 492567=??
82075=
【巩固】 看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.3
6714+++
原式()()
3 3.33 3.3
1214125=+++-+++ ()()221231412345=++++-++++
()()22105151051510515=-=-+9012010800=?=
【例 16】 计算：1111111111
(1)()(1)()2424624624+
+?++-+++?+ 【解析】 令1111246a +++=，111
246
b ++=，则：
原式11
()()66a b a b =-?-?-
11
66ab b ab a =--+
1()6a b =-11
166=?=
【巩固】 11111111111111
(1)()(1)()23423452345234+++?+++-++++?++
【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111
1(1555
a a a a +(+)(+)-+)=
【巩固】 11
1111111111111111213141213141511121314151213141????????+++?+++-++++?++ ? ? ? ?????????
【解析】 设111111213141a +++=，111
213141
b ++=，
原式115151a b a b ?
???=?+-+? ? ?????
11
5151ab a ab b =+--
1
()51a b =-
111
5111561=?=
【巩固】 1111111111111111
())()5791179111357911137911+++?+++-++++?++（）（
【解析】 设111157911A +++=，111
7911
B ++=，
原式111313A B A B ?
???=?+-+? ? ?????
11
1313A B A A B B =?+-?-
()1
13
A B =-
111
13565
=?=
【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345????????
++++?++++-+++++?+++ ? ? ? ?????????
【解析】 设111112345A +
+++=，1111
2345
B +++=
原式=1166A B A B ?
????+-+? ? ??
???=1166A B A A B B ?+?-?-?=1166A B ?-? 16=?(A B -)16=
【巩固】 2
123
9123911292391234
1023410223103410????????+++++++++?-++++?+++ ? ? ? ?????????
【解析】 设123923410t =++++ ，则有2
2211111(1)222222t t t t t t t t t ????+?-+-=+-+--= ? ???
??
【巩固】 21239123911239239
()()(1)()23410234102234103410
+++++++++?-+++++?+++
【解析】 设123923410t =++++ ，则有22211111
(1)()()222222
t t t t t t t t t +?-+-=+-+--=
【巩固】 计算11
1
2111
311
434120092009
+
++
++
++
++
+
【解析】 设3N =+11412009++ . 原式=112N ++11111N
+
+
=121N N ++111N N ++ =1
12121N N N N ++=++.
【巩固】 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+， 则原式a =?(10b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=? (a b -)
10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= 【巩固】 计算(10.450.56++)?(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)?(0.450.56+) 【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，
有原式=(1a +)b ?-(1b +)0.67a b ab a ab b a ?=+--=-=
三、循环小数与分数互化
【例 17】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16 ，结果保留三位小数． 【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈ 方法二：0.1+0.125+0.3+0.16
1131598990=+++111188=+530.736172
== 【巩固】 ⑴ 0.540.36+= ； ⑵
19
1.21.2427????+=
【解析】 ⑴ 法一：原式54536494899
90999011990
-=+=+=
． 法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是··
0.908，化为分数即是
9089899
990990
-=
． ⑵ 原式22419111231920
1199927999279=?+=?+=
【巩固】 计算：0.01
0.120.230.340.780.89+++++ 【解析】 方法一：0.01
0.120.230.340.780.89+++++ 0.5444440.3636360.908080+
1121232343787898
909090909090-----=
+++++
11121317181909090909090=+++++
= 216
90 方法二：0.01
0.120.230.340.780.89+++++
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++ =2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)? 1
2.12790
=+?
2.10.3 2.4=+= 【巩固】 计算 （1）0.291
0.1920.3750.526-++ （2）0.3300.186? 【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=
+++291375521191999990+-=+6663301999990=+=
（2）原式3301861999990-=?330185999990?=?5
81
=
【例 18】 某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少? 【解析】 由题意得：1.23 1.230.3a a ?-=，即：0.0030.3a ?=，所以有：33
90010
a =．解得90a =，
所以111
1.23 1.23909011190
a ??=?=?=
【巩固】 将循环小数0.027
与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 【解析】
0.027 ×0.179672 27179672117967248560.00485699999999937999999999999
=?=?== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．
【例 19】 有8个数，0.51
，23,59,0.51 ,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51 ，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【解析】 2=0.6
3 ,5=0.59
,240.510647≈,13=0.5225 显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6
即241352<051<0.51<
<<472593
，8个数从小到大排列第4个是0.51 ，所以有241352<<
<0.51<0.51<
<<472593
口口．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51
． 【例 20】 真分数
7
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少? 【解析】1=0.1428577 ， 27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67
=0.857142 ．因此，真分数7
a
化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……
21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427
a ，即6a =．
【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？
【解析】 我们知道形如7a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字
的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。 ()903912457833421÷+++++= ，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该
为
6
7
，所以6a =。 【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？
【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷= ，因此只需
判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。 【例 21】 20022009和1
287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
【解析】 如果将20022009和1
287
转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们
发现20021
12009287
+=，而10.9?=，则第100位上的数字和为9.
【巩固】 纯循环小数0.abc
写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc = 【解析】 如果直接把0.abc 转化为分数,应该是999
abc
,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们将999分解质
因数得: 3
999337=?,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分数就变成了假分数了,符合这个
要求的999的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是583721-=,也就是说
21
0.999372737
abc abc abc
===
? ,因此2127567abc =?=. 【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）()()()()()()()()
11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）
()()
11110=- 【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ，有：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B +==+=++++， 从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m n >)，有： 111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B -==-=---- （1） 本题10的约数有：1，10，2，5．
例如：选1和2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=+?+?+?+； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m 和n ，它们的数值虽然不同，但是如果m 和n 的比值相
同，那么最后得到的A 和B 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有2
4410C +=种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：
11111111111
10202011110126014351530
=+=+=+=+=+． （2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
152********(52)10(52)10(52)615
-==-=-?-?-?- 另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
()()()()()
1111111
10=--=++ 【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521--和连加式521++．
则：()()()()()()
11111111041020804016=--=++
如果选10、5、2，那么有：
1111111103615173485
=--=++． 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
()()()111110=++，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260
=+，再选择其中的一个分数进行拆分，比如
1111213156=+，所以1111
101360156=++
． 【例 23】 ()()()()()()()()()()
11111111111
45=+=-=++=--
【解析】()()()()()()()()
11111111111
457212018304051358191545=+=-=++=--
【巩固】1
10=11--()1=()()()111++
【解析】()()()()
1111111
1041020804016=--=++
注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.
【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。 【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和等于
11621531489()()()()81717171717171717++++++++==
171
2
-。 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是
1315171111131171191231291
2222222222---------+++++++++
11123568911145922
=+++++++++= 【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。 【解析】 因为1996=2×2×499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，499与3×499。
因此，分母为1996的所有最简真分数之和是
11995319935011495997999
()()()()11149819961996199619961996199619961996++++++++=++?+= =11235689112++++++++=1592
【例 25】 若111
2004a b
=+，其中a 、b 都是四位数，且a
【解析】 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
11211
20042004(12)2004(12)60123006=+=+++ 11311
20042004(13)2004(13)80162672=+=+++ 12311
20042004(23)2004(23)50103340=+=+++ 13411
20042004(34)2004(34)46763507
=+=+++ 【巩固】 如果111
2009A B
=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？
【解析】 从前面的例题我们知道，要将1N 按照如下规则写成11
A B
-的形式：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
-==-=----，其中m 和n 都是N 的约数。如果要让B 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n 尽可能地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约数，而n 应取最小的约数，因此2009m =，1n =，所以20092008B =?.
课后练习：
练习1.
123456
121231234123451234561234567
+++++
????????????????????? 【解析】 原式131********
121231234123451234561234567-----=+++++
????????????????????? 111111
121212312312341234567=+-+-+-
??????????????? 111
12121234567
=+-
???????? 1
15040=-
5039
5040=
练习2. 12389
(1)(2)(3)(8)(9)234910
-?-?-??-?-
【解析】 通项为：2
(1)111
n n n n n n a n n n n +-=-==
+++， 原式22222
123489346789362882345910=??????=?????=
练习3. 计算：3333
13599++++= ___________．
【解析】 与公式()()2
22
333
112124
n n n n ++++=++=
相比，3333
13599++++ 缺少偶数项，所以可以先
补上偶数项．
原式(
)()3333
3
33123100
2
4100=++++-+++
()2233331
100101212504=??-?+++ 2232211
1001012505144=??-??? ()
22250101251=?-?
12497500=
练习4.
计算：1
111111111112
200723200822008232007????????+++?+++-+++?+++ ? ? ? ?????????
【解析】 令111232007a =
+++
，111
232008
b =+++ ，
原式()()1
112008
a b b a b ab a ab b a =+?-+?=+--=-=
练习5. ⑴ ····110.150.2180.3111??+?? ???
； ⑵ ()
2.234
0.9811-÷ (结果表示成循环小数) 【解析】 ⑴原式151218231190
9909111--??=+??
???371111123456790.01234567999311181999999999=??=== ⑵23422322.234
22990990-== ，980.9899= ，所以23298242222.2340.982119909999090-=-== ， ()
22122.234
0.98111110.090.020.113901190
-÷=÷=+=+= 月测备选
【备选1】计算：
23993!4!100!
+++= . 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了． 原式2399
1231234123100=+++
????????? 31411001
1231234123100---=+++
????????? 111111
12123123123412399123100=-+-++-
???????????????? 1112123100=-????? 11
2100!=-
【备选2】计算：22222222
1223200420052005200612232004200520052006
++++++++
???? 【解析】 （法1）：可先来分析一下它的通项情况，
2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+?+?+?++
原式= 213243542005200420062005
()()()()()()122334452004200520052006
++++++++++++
20052005
200524010
20062006
=?+= （法2）：222
22(1)22111
22(1)(1)
n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+?+++?+
【备选3】计算：333
12320061232006
+++???++++???+
【解析】 原式()2
12320061232006+++???+=+++???+1232006=+++???+()1
2006200612
=??+2013021=
【备选4】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947????????
++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【解析】 令621739458126358947a ++=；739458
358947
b +=，
原式378378207207a b a b ?
???=?+-+? ? ??
???()3786213789207126207a b =-?=?= 【备选5】计算200920091199900999909901??-?
??? (结果表示为循环小数) 【解析】 由于10.0000199900= ，10.0000199990= ， 所以110.000010.000010.000000009009919990099990
-=-= ， 而9009917139901919901=??=?， 所以，2009200911110.00000000900991200999900999909901
9901??-?
=??
??? 0.00000000000091
1120090.0000000000100120090.00000002011009=??=?=
四年级奥数知识点：速算与巧算(一) 例1计算9+99+999+9999+99999 解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成100 0—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9+99+999+9999+99999 =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1) +(100000-1) =10+100+1000+10000+100000-5 =111110-5 =111105. 例2计算199999+19999+1999+199+19 解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如 199+1=200) 199999+19999+1999+199+19 =(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1) +(19+1)-5 =200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5 =22225. 例3计算(1+3+5+...+1989)-(2+4+6+ (1988) 解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是： 从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是： 从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990. 1990×497+995—1990×497=995. 例4计算 389+387+383+385+384+386+388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 389+387+383+385+384+386+388 =390×7—1—3—7—5—6—4— =2730—28 =2702. 解法2：也可以选380为基准数，则有 389+387+383+385+384+386+388 =380×7+9+7+3+5+4+6+8 =2660+42 =2702. 例5计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6 解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. (4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6 =(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6 =(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来，而是运
速算与巧算 引导： 1、计算（凑十法）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、计算（凑整法）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 2+13+25+44+18+37+56+75 3、计算（用已知求未知）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 5+6+7+8+9+10 4、计算（改变运算顺序）10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 5、计算（带着“+”、“-”号搬家）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 一、凑十法：利用个位数相加之和都等于10的技术 题1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但 缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是 利用凑十法，就能克服这种缺点。 二、凑整法：同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如： 巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。 题2、计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：
题3、计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做： 题4、计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解：用凑整法： 三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。题5、计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（这步利用了例2和例3的结果）=210 题6、计算：5+6+7+8+9+10 解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。 5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）=55-10=45 四、改变运算顺序 在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！ 题7、计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5
分数乘法的巧算（一） 一、拆分因数，使计算简便。 1、拆分分数：一个分数接近单位“1”（小于单位“1”或大于单位“1”） 例：1. 计算33 34×27 2. 计算 23 22×17 练习1： 48 50×13 43 41×13 33 34×13 39 38×25 2、拆分整数：整数接近分数的分母或接近分母的倍数 例：1. 计算2010 ×123 2009 2. 计算93 × 23 46 练习2： 52 ×37 501001 × 101 1002199 × 89 99 43 65×129 二、先分拆分数，然后运用乘法分配律进行简便运算。 1、分母相同的，拆分成一个分数与另一个因数的积的形式，再运用乘法分配律进行计算 例：1. 计算3 4×27 + 1 4×39 2. 计算 5 7×27- 2 7×29 练习3： 1 6×45 + 5 6×15 5 7×19 —8 × 4 7 2、将一个带分数拆分成整数加分数的形式，再运用乘法分配律进行计算 例：计算153 11×1 744 5 7× 4 9
练习4： 2137 × 15 2915 × 56 3429 × 911 2916 × 67 作业（一） 2728 × 15 1002 × 1001001 35 × 31 + 15 × 7 2623 × 15 作业（二） 22311 × 17 3842 × 43 13 × 45 + 23 × 15 3940 × 13 131 × 3865 57 × 9 — 47 ×6 作业（四） 1738 × 37 103 × 15104 57 × 5 + 47 × 6 2517 × 78 二、乘法分配律的进一步运用 例1：计算527 ×5 + 457 ×923 练习1： 335 ×25 25 + 37910 ×625 338 ×4+ 558 ×535 1049 ×4 — 249 ×712 例2：计算22×17 + 11×27 + 337 ×211 练习2： 39×14 + 25×34 + 264 ×313 9×38 + 15×18 — 54 ×35
小数的速算与巧算基本方法 【知识概述】 小数的简便计算出了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以运用小数本身的特点，如小数的意义、小数的数位顺序、小数的性质、小数点位置移动引起小数大小的变化等。 很多计算题，如果我们根据运算法则按部就班地计算，将会觉得很繁，也很耗费时间，有的甚至算不出结果，如果我们能够发现其中数据的特点、正确运用数的组成、运算规律，把复杂的计算转化为简便的计算将会节约很多时间。学会巧算的一些基本方法，将有助于我们提高计算能力、发展思维能力、增强注意力与记忆力。 1、凑整法简算： 例1 计算：0.125×0.25×0.5×64 练习：（1）1.31×12.5×8×2 （2）1.25×32×0.25 （3）1.25×88 2、拆拼法简算： 例2 计算：（1）1.25×1.08 （2）7.5×9.9 练习：（1）2.5×10.4 （2）3.8×0.99 （3）1991+199.1+19.91+1.991
4、转化法简算： 例4 5.7×9.9+0.1×5.7 练习：（1）4.6×99＋4.6 （2）7.5×101－7.5 5、运用定律 不用计算，根据已知条件直接写出下面题的结果。 已知0.26×4.5＝1.17 计算：2.6×4.5＝（） 0.26×45＝（） 0.026×0.45＝（） 2.6×0.45＝（） 260×45＝（） 例5 1240×3.4＋1.24×2300＋12.4×430 练习：4.65×32－2.5×46.5－70×0.465 5.7×10.1－0.57 5、设数法简算： 例6 (2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)
第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差
第一讲速算与巧算（一） 我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用，以便提高计算的技能技巧。 一、运用加法运算定律巧算加法 1．直接利用补数巧算加法 如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。 如：28＋52＝80，49＋51＝100，936＋64＝1000。 其中，28 和52 互为补数；49 和51 互为补数；936 和64 互为补数。 在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。 例 1 巧算下面各题： （1）42＋39＋58； （2）274＋135＋326＋ 265。解：（1）原式＝（42＋ 58）＋39
＝100＋39＝139
（2）原式＝（274＋326）＋（135＋265） ＝600＋400 ＝1000 2．间接利用补数巧算加法 如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。例 2 计算 986＋238。 解法 1：原式＝1000－14＋238 ＝1000＋238－14 ＝1238－14 ＝1224 解法 2：原式＝986＋300－62 ＝1286－62 ＝1224 以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。 解法 3：原式＝（62＋924）＋238
＝924＋（238＋62） ＝924＋300 ＝1224 解法 4：原式＝986＋（14＋224） ＝（986＋14）＋224 ＝1224 以上方法是把其中一个加数拆分为两个数，使其中一个数正好是另一个加数的补数。所以可称为“拆分凑补法”。 3．相接近的若干数求和 下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。 例 3 计算 71＋73＋69＋74＋68＋70＋69。 解：经过观察，算式中 7 个加数都接近70，我们把 70 称为“基准数”。我们把这7 个数都看作70，则变为7 个70。如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。 原式＝70×7＋（1＋3－1＋4－2＋0－1）
小学三年级速算与巧算奥数练习题 奥数对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比普通数学要深奥些，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的三年级速算与巧算奥数练习题，供大家参考。 计算时间：正确率： (1)146000÷125=(2)211211÷211=(3)7500÷25÷4= (4)264264÷7÷11÷13=(5)(130+65)÷13= (6)798÷125+202÷125=(7)432÷(8×9)= (8)21×15÷5=(9)(54×24)÷(9×4)= (10)(2×3×5×7×11×13×17×19)÷(38×51×65×77)=(11)1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)= (12)(110+77+88+99)÷11= 参考答案 (1)146000÷125(2)211211÷211 (3)7500÷25÷4 =146×1000÷125 =211×1001÷211 =7500÷(25×4)=146×8 =1001 =7500÷100 =1168 =75 (4)264264÷7÷11÷13 (5)(130+65)÷13 =264×1001÷(7×11×13) =130÷13+65÷13 =264×1001÷1001 =10+5 =264 =15 (6)798÷125+202÷125(7)432÷(8×9) =(798+202)÷125 =432÷8÷9 =1000÷125 =54÷9
=8 =6 (8)21×15÷5 (9)(54×24)÷(9×4) =21×3 =54×24÷9÷4 =63 =54÷9×24÷4 =6×6 =36 (10)(2×3×5×7×11×13×17×19)÷(38×51×65×77)=(2×19÷38)×(3×17÷51)×(5×13÷65)×(7×11÷77)=1 (11)1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6) =1÷2×3÷3×4÷4×5÷×6 =1÷2×6 =3 (12)(110+77+88+99)÷11 =110÷11+77÷11+88÷11+99÷11 =10+7+8+9 =34
第一讲小数的速算与巧算（一） 知识概述 小数的简便计算出了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以运用小数本身的特点，如小数的意义、小数的数位顺序、小数的性质、小数点位置移动引起小数大小的变化等。 很多计算题，如果我们根据运算法则按部就班地计算，将会觉得很繁，也很耗费时间，有的甚至算不出结果，如果我们能够发现其中数据的特点、正确运用数的组成、运算规律，把复杂的计算转化为简便的计算将会节约很多时间。学会巧算的一些基本方法，将有助于我们提高计算能力、发展思维能力、增强注意力与记忆力。我们通过学习不同的方法来解答这类繁琐的计算题，就能达到事半功倍的效果。 1、凑整法简算就是要求计算的小数通过移位，拆减等，把这类数化成2×5=10，4×25=100,8×25=200，8×125=1000等相加或者相乘的数。 例1计算:0.125×0.25×0.5×64 解析：我们可以通过凑整把64=8×4×2，从而题目可以变成0.125×8×0.25×4×0.5×2 练习：(1)1.31×12.5×8×2 (2)1.25×32×0.25 (3)1.25×88 2、拆拼法简算就是把某个数进行拆分，然后分别与乘数相乘，达到简便运算的效果。 例2 （1）计算：1.25×1.08 解析：我们可以把1.08化成1+0.08，再分别与1.25相乘，把得到的数相加就是结果。 （2）计算：7.5×9.9 解析：我们可以把9.9化成10-0.1，再分别与7.5相乘，把得到的数相减就是结果。 练习： (1)2.5×10.4 (2) 3.8×0.99
(3)1991+199.1+19.91+1.991 3、转化法简算就是把相同的因数提取出来，再把剩下的乘数相加或相减，以达到简便运算的目的。 例3 计算：5.7×9.9+0.1×5.7 解析：可以把5.7提取出来，把9.9加上0.1，算出结果再与5.7相乘，得出结果。 练习：(1)4.6×99+99×5.4 (2)7.5×101-7.5 4、扩大或缩减法就是将因式中相同数字的乘数通过扩大或者缩小，另一个乘数缩小或者扩大相同倍数，使其中某个乘数相同，达到简便运算的效果。 不用计算，直接写出答案 已知0.27×4.5=1.17 计算：2.6×4.5=（） 0.26×45=（） 260×45=（） 0.026×0.45=（） 2.6×0.45=（） 例4 计算：1240×3.4+1.24×2300+12.4×430 解析：把1.24化成1240是扩大1000倍，那么2300就要缩小1000倍是 2.3，同样12.4扩大100倍是1240，那么430同样也要缩小100是 4.32，再提取1240，把剩下的乘数相加就得到结果。 练习：4.65×32-2.5×46.5-70×0.465 5.设数法简算就是几个相同数字以相加或相减的不同形式在乘数中
四年级奥数举一反三第二十一周速算 与巧算（二） 专题简析； 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。
例1；计算325÷25 分析与解答；在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。 325÷25 =（325×4）÷（25×4） =1300÷100 =13 练习一 计算下面各题。 1，450÷25 2，525÷25 3，3500÷125 4，10000÷625 5，49500÷900 6，9000÷225
例2；计算25×125×4×8 分析与解答；经过仔细观察可以发现；在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。 25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100×1000 =100000 练习二 计算下面各题。 125×15×8×4 25×24 25×5×64×125 125×25×32 75×16 125×16
例3；计算（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 分析与解答；两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。 （1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 =360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15 =10+3 =30－5 =13 =25 练习三 计算下面各题。 1．（720+96）÷24 2．（4500－90）÷45 3．6342÷21 4．8811÷89 5．73÷36+105÷36+146÷36 6．（10000－1000－100－10）÷10
五年级奥数小数的速算与巧算（一） 1、凑整法简算： 0.125×0.25×0.5×64 1.31×12.5×8×2 1.25×88 1.25×32×0.25 2、拆拼法简算： 1.25×1.08 7.5×9.9 2.5×10.4 3.8×0.99 1991+199.1+19.91+1.991 3、转化法简算： 5.7×9.9+0.1×5.7 9968 068...?+ 4.6×99＋4.6 7.5×101－7.5 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8 272.4×6.2+2724×0.38 0.999×0.6+0.111×3.6 0.222×0.778+0.444×0.111 0.999×0.7+0.111×3.7 0.888×0.9+0.222×6.4 0.111×5.5+0.555×0.9 1.25×32×2.5
12.5×48 2.5×128×125×5 2.5×56 1.8×5.5 1.25×6.3+37×0.125 7.24×0.1+0.5×7 2.4+0.049×724 知0.26×4.5＝1.17 计算：2.6×4.5＝（） 0.26×45＝（） 0.026×0.45＝（） 2.6×0.45＝（） 260×45＝（） 4、设数法简算： (2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) （1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34）(3.7+4.8+5.9) ×(4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7) ×(4.8+5.9) 5、数形结合法简算： 1.999×2003－1.998×2004 19.94×2010－19.93×2011
学生课程讲义 【专题解析】 在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。 （1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。 （2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。 【典型例题】 例1. 计算：（1）5698÷8 （2）16620 1 ÷41 分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+9 8 ），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。（2） 把题中的166201 分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。 （1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041 )×411= 164×411+20 41×411= 4201 【举一反三】 计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）17012 1 ÷13 例2. 计算：20041 20042004 20052006 ÷+ 分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母200420052004?÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006?，又可以约分。 聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004 20042005 2005 的被除数与除数都含有2004，把他们同时
速算与巧算 １、填空。 a×b×c=a×( ×) a×(b＋c)= ×＋× a÷b÷c=a÷( ×) a－b－c=a－( ＋) ２、在下面的里填上适当的运算符号，里填上适当的数。 93×47=47 427＋99＝427100 653－98＝653100 25×19×4＝() ×19 62×45＋38×45＝() 45 48÷5÷4＝480() 398－45－155＝398() １、计算。 ⑴946－(246＋65) ⑵378－144＋222－56 ２、计算。 ⑴67×99 ⑵67×99＋99 ⑶85×101 ⑷85×101－85 ⑸57×63－57＋38×57 ⑹44×56＋22×88
⑺125×32×25 ⑻25×44 ⑼7800÷25÷4 通过本次学习，我觉得在进行简便运算时，要注意凑整，运用运算定律和性质，从简单的想起，找规律，还有 。 第一部分必做题 １、(☆)直接写得数。 15×8＝25×8＝ 463－98＝3×8×125＝ 25×13×4＝310－101＝ 324＋157＋676＝158－72－28＝ 376－(176＋150)＝874－125＋126－375＝ 73×19＋27×19＝51×121－51×21＝ 480÷(8×4)＝270÷18＝ ２、(☆)在□里填上合适的数，使计算简便。 457－63－137××25 826＋－727000÷15÷
３、计算。 ⑴(☆)378－144＋222－56⑵(☆)1308－（308＋149）⑶(☆)863＋(245＋137) ⑷(☆☆)726－(391－174) ４、计算。 ⑴(☆)77×99 ⑵(☆)53×101 ⑶(☆)93×49＋93 ⑷(☆)87×201－87 ⑸(☆)125×56 ⑹(☆)88×125 ⑺(☆☆)13×25－25 ⑻(☆)98000÷125÷8 ⑼(☆)25×32×125 ⑽(☆)7200÷15÷6 ⑾(☆)4500÷25÷4 ⑿(☆)5000÷125÷8 ⒀(☆)5400÷45 ⒁(☆)4200÷28
奥数专题——分数、小数四则运算中的巧算（一） 同学们好！今天我们重点和同学们研究分数、小数四则运算中的速算与巧算。在整数运算中有不少巧算的方法。如，利用加法的交换律和结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，以及和、差、积、商变化的规律进行巧算，使计算简便。这些简单规律和方法，同样适用于今天研究的内容，下面我们共同研究几例，请石老师指导。 例1. 183706581327185131713 ?+?-?+÷. 解：原式=? -?+?+?183727180658135131320. =?-+?+183727065813513 ().() =? +?=+=1817 06512471320 331140. 例2. 计算：1997 19971998 1997÷ 原式=+÷()1997199719981997 =÷+÷=+?=1997199719971998 19971199711998119971 111998 例3. 计算1997199719971998 ÷
原式转化为=÷1199719971998 1997 = +÷=+==1 199719971998 19971111998119991998 19981999() 观察比较例2、例3在解题技巧上有什么不同？ 例4. 解关于x 的方程 x x x x x x x x 81315112245312 81315112245312813 505155813 505155+?-=?++?-=?++-=+=+().() (1124) 66661124 144x x x ==÷ = 例5. 已知162417700127 81.[()].?-?÷=□，那么□＝________。（第12届初赛题） 解：设□为x ，于是此题转化为解关于x 的方程。
六年级奥数速算、巧算方法及习题 姓名 成绩 一、认真思考，对号入座：（共30分） （1）一个圆的周长是6.28米，半径是（1米）。 （2）一块周长是24分米的正方形铁板，剪下一个最大的圆，圆的面积是（28.26平方分米）。 （3）一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要9小时完成。甲、乙合做2小时，完成了这项工程的（5/9），余下的由甲单独做，还要（8/3）小时完成。 （4）以“万”为单位，准确数5万与近似数5万比较最多相差（0.5万）。 （5）在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多6.42厘米，圆的面积是（28.26）平方厘米。 （6）已知：a ×23 ＝b ×135 ＝c ÷23 ，且a 、b 、c 都不等于0，则a 、b 、c 中最小的数是（b ）。 （7）甲是乙的15 ，乙是丙的15 ，则甲是丙的（1/25）。 （8）六年级共有学生180人，选出男生的 131和5名女生参加数学比赛，剩下的男女 人数相等。六年级有男生（91）人。 （9）今年王萍的年龄是妈妈的3 1,二年前母子年龄相差24岁,四年后小萍的年龄是(16)岁。 （10）六(1)班男生的一半和女生的 41共16人,女生的一半和男生的4 1共14人,这个班(40)人。 （11）把一个最简分数的分母缩小到原来的1/3，分子扩大到原来的3倍，这个分数的值15/2，这个最简分数是（5/6）。 （12）一个真分数，分子和分母的和是33，如分子减2，分母增加4，约简后是2/3，原分数是（16/17）。
（13）一件工作，甲做3天，乙做5天可完成1/2；甲做5天，乙做3天可完成1/3。那么，甲乙合做（9.6）天可完成。 （14）把20克药粉放入180克水中，药粉占药水的（1/10）。 （15）一桶水连桶共重1734 千克,把水倒出13 后,重1214 千克,空桶重（5/4）千克。 二、看清题目，巧思妙算：（共27分） （1）计算下列各题 [28÷[7.8]×5] [7×[9.3]－2.3] [13.8÷[313 ]×12] =20 =60 =55 （2）3000以内有多少个数能被11整除？ [3000/11]=272 （3）有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是18.6，那么精确到小数点后三位数是多少？ 18.55×13?13个自然数的和?18.64×13 241.15?13个自然数的和?242.32 242÷13≈18.615 （4）用最简便的方法计算。 138 7131287÷+? 6.63×45+4.37÷145 -45 =7/8 =450 (435 ×3.62+4.6×61350 )÷23 (12 +1112 )÷219 ÷(2-0.25) =4.6×9.88÷23 =19/12×9/19×7/4
四则混合运算的巧算 【基础再现】 四则混合运算要算得好、算得巧，既合理又灵活，就要掌握一定的方法技巧： 当四则混合运算中有括号时，运算顺序是“先算括号内的，后算括号外的；先乘除，后加减”。在具体计算过程中，我们还应该注意根据算式中运算符号及数字的特征，运用运算定律、性质以使运算简捷。 【重难考点】 掌握四则混合运算的运算法则 【知识扩展】 1、加减法运算的性质 ①a+b-c=a-c+b ②a+（b-c）=a+b-c ③a-b-c=a-c-b ④a-(b+c)=a-b-c ⑤a-(b-c)=a-b+c=a+c-b 2、乘除法运算的性质 ①a÷b÷c=a÷c÷b=a÷（b×c） ②a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a ③（a×b）÷c=a÷c×b=b÷c×a） ④a×（b÷c）=a×b÷c ⑤a÷（b÷c）=a÷b×c=a×c÷b ⑥a÷b=（a×n）÷（b×n）=(a÷n）÷（b÷n）（n≠0） 3、乘除分配的性质 ①（a-b）×c=a×c-b×c ②（a+b）÷c=a÷c+b÷c （a-b）÷c=a÷c-b÷c 【典型例题】 例一、计算。 1、843+78-43 2、843-86+157 例二、计算下列各题。 1、25×96×125 2、75000÷125÷5
3、81+791×9 4、53×50+50×47 5、395×27+395×72+395 例三、计算下列各题。 1、（56+64）÷8 2、105÷72+456÷72+447÷72 3、（150-45）÷15 4、2280÷34-648÷34+476÷34 例四、计算下列各题。 1、32+64+128+256 2、1+2+3+......+98+99+100 3、125×24 4、68×101 5、1001×374 6、210÷6÷5 【即时训练】 ×× 2、48×29+13×16 3、（9999+8100）÷9-111 4、1999×× 5、85000÷125÷8 2、48×29+13×16 3、（9999+8100）÷9-111 4、1999×× 5、999×778+333×666 6、265×480+7350×48
速算与巧算 高斯求和1+2+3+...+97+98+99+100= 1+100+2+99+3+98…+50+51=5050 一、加减法运算技巧 1.凑整法（分久必合、合久必分）互补你增我缺 22+78=100 87655+12345=100000 46802+53198=100000 例题：36+87+64=187 1361+972+639+28=2000 188+873=1061 548+996=1544 1000-90-80-20-10=980 300-73-27=200 2.带符号搬家 325+46-125=246 325-123+23=225 463+56-63-23=433 3.数同符号反，抵消再看看 9+2-9+3 53×23÷23 67×89÷67+11-33=67 4.基准数（众里挑一） 78+76+83+82+77+80+79+85 + 3 2 5 80 -------------------------------0--------------- =640 - 2 4 3 1 二、乘除法运算技巧 倍数与因数 1. 因数、倍数概念：如果ａ×ｂ＝ｃ（ａ、ｂ、ｃ都是不为０的整数）我们就说ａ和ｂ都是ｃ的因数ｃ是ａ的倍数也是ｂ的倍数。倍数和因数是相互依存的。 ２. 一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 ３．２、３、５倍数的特征。 （１）２的倍数的特征：个位上是０、２、４、６、８的数，都是２的倍数，是２的倍数的数叫做偶数；不是２的倍数的数叫做奇数。 （２）３的倍数的特征：一个数各个位数上的和是３的倍数这个数是３的倍数。 （３）个位上是０、５的数都是５的倍数。 1.一个数是3、5、7的倍数,这个数最小是( 105 ). 2.是3的倍数的最小三位数是( 102）. 3.三个数相乘，积是70，这三个数是（2 ）（5 ）（7 ） 4.同时是2、3、5的倍数的最小两位数是（30 ），最大两位数（90 ）最小三位数（120 ）最大三位数（990 ）。 5.用8、5、1、0中三个数组成同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（810 ）同时是3、5倍数的最小三位数是（105 ）。 6.100以内6和15的公倍数有（30、60、90）。 6既是2的倍数，又是3的倍数的数。人民币一样，有一块五块和十块，没有四块三块七块。 7.一个数最小倍数除以它的最大因数，商是（1 ）。 8.既是2的倍数，又是3的倍数，最小的一位数是（6 ），最大的三位数是（996 ）。 巧算“11”
、分数的巧算（一） 一、填空题 8 1.计算：6.8 0.32 4.2 8 25 25 ---------- 191919 190190 19001900 989898 980980 98009800 3.1000 减去它的一半，再减去余下的三分之一，再减去余下的四分之一，依 此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下 _________ . _ 9. 计算：76 —一 23 — 23 53 53 10. 算:1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 3 6 9 12 丄 53 丄 丄 76 23 76 计 1 1 1 1 1 1 1 1 4 8 12 16 5 10 15 20 二、解答题 12. 2 1 3 2 1 4 3 2 1 4. 5. 6. 7. 1 计算：- 2 计算: 1 1 1丄丄 8 31 6 2 计算：413吟叫 8 4 -53-5 3 7 1 99 100 — 1 1 1 124 248 496 61 5 994 98 6 9 9 5 9 9 99 994 T 997 11.尽可能化简 116690151 427863887 _____ 年级 _____ 班 姓名 得分 2. 19 9898 98 1919
1 2 1 2 3 1 2 3 4 9 8 7 6 12 3 4
六年级奥数题：分数的巧算（A ） 1 13.计算:1 1 1 ■ 1 2 1 2 3 1 2 3 1999 14.计算： , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 2 4 3 5 4 6 5 7 96 98 97 99 案 ——答 1. 31. 5 原式 6.8 8 8 4.2 8 25 25 25 8 16 1 10 3_. 25 5 5 9 215 — 19 原式 19 10101 190 1001 —6.8 4.2 1 25 1900 10001 19 98 101 9800 10001 98 19 101 19 19 19 98 98 98 98 98 19 19 c 19 98 98 294 ,9 3 - 15 98 19 19 19 19 98 10101 980 1001 3. 2 1000减去它的一半,余下1000 1 1 1 2，再减去余下的? 1 1 余下1000 1 1 2 3 1 再减去余下的-, 4 1 1 余下 1000 1 - 1 - 2 3 直到减去余下的五百分之一 ,最后剩下: 2 2 4. 99 100. 1000 - 1 1 1 , - 1 2 3 2 3 499 3 4 500 1000 1 1 4 1 500
小数的速算与巧算
五年级奥数教案 第一讲小数的速算与巧算 第一课时 教学内容：运算定律的简单运用 教学目的：通过教学使学生进一步掌握乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，等运算定律。并利用这些运算定律进行巧算与速算。 教学重点：进一步理解并能运用运算定律进行计算。 教学难点：在理解的基础上进行灵活运用。 教学过程： 一复习运算定律 1、乘法的交换律a×b=b×a 2、乘法的结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 3、乘法的分配律 (a＋b)×c=a×c＋b×c 乘法的分配律，不公适用两个加数的和，也适用于两个数的差，而且适用于多个数的和。也可以逆向使用。 如果把乘号改成除号，不能逆向使用。 二、一些特殊的计算 5×2=10 25×4=100 125×8=1000 0.5×2=1 0.25×4=1 0.125×8=1 三、运用定律
例1 1.25×（1.7×8）因为1.25与8的乘积为10. =1.25×8×1.7 先去括号,利用乘法的交换律和结合律, =10×1.7 求出1.25与8的积.再乘1.7. =17 例2 0.25×32×12.5 看到25想到4,看到125想到8, =0.25×4×8×12.5 把32看成为4与8的乘积. =0.25×4×(8×12.5) 分别求出0.25与4的积,12.5与8的积. =1×100 100 例3 12.5×(10＋0.8) 因为12.5与0.8的乘积为整十数, =12.5×10＋12.5×0.8 直接运用乘法的分配律. =125＋10 =135 例4 (20－0.4)×2.5 直接运用乘法的分配律 =20×2.5－0.4×2.5 =50－1 =49 四、巩固练习： 计算： 2.5×（19×0.4） 2.5×8×4×1.25 1.25×(0.8÷7.6) 0.5× 2.5×1.25×64 2.5×(20＋0.4) (80－0.8)×1.25
小学六年级奥数专项练习 专题04 简便运算（三）
【理论基础】 在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。 例题1 计算：（1）4445 ×37 （2） 27×15 26 （1） 原式＝（1－1 45 ）×37 ＝1×37－1 45 ×37 ＝37－37 45 ＝368 45 （2） 原式＝（26+1）×15 26 ＝26×1526 +15 26 ＝15+1526 ＝151526
用简便方法计算下面各题： 1. 1415 ×8 2. 225 ×126 3. 35×1136 4. 73×7475 5. 1997 1998 ×1999 例题2 计算：73115 ×1 8 原式＝（72+1615 ）×1 8 ＝72×18 +1615 ×1 8 ＝9+2 15 ＝92 15
计算下面各题： 1. 64117 ×19 2. 22120 ×121 2. 17 ×5716 4. 4113 ×34 +5114 ×45 例题3 计算：15 ×27+3 5 ×41 原式＝35 ×9+3 5 ×41 ＝3 5 ×（9+41） ＝3 5 ×50 ＝30
计算下面各题： 1. 14 ×39+34 ×27 2. 16 ×35+5 6 ×17 2. 3. 18 ×5+58 ×5+1 8 ×10 例题4 计算：56 ×113 +59 ×213 +518 ×613 原式＝16 ×513 +29 ×513 +618 ×5 13 ＝（16 +29 +618 ）×5 13 ＝1318 ×5 13 ＝5 18