第三章 中值定理及其应用
一．基础题
１．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间［6
5,6π
π］上的正确性．
证 函数x x f s i n ln )(=在［
6
5,6π
π］上连续，在（65,6π
π）内可导，又
1(
)l n s i n l n 662f π
π==，21ln 65sin ln )65(==ππf 即)65()6(π
π
f f =，故)(x f 在
［65,6ππ］上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点)6
5,6(ππξ∈，使
0)('=ξf ．又，x x x x f cot sin cos )('==
，令0)('
=x f 得2ππ+=n x （ ,2,1,0±±=n ）． 取0=n ，得)65,6(2πππξ∈=．因此罗尔定理对函数x y sin ln =在区间]6
5,6[π
π
上是正确的．
２．试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间．
证 任取数值a ，b ，不妨设b a <，函数r qx px x f ++=2)(在区间［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使
))(()()('
a b f a f b f -=-ξ，
即 ).)(2(22a b q p r qa pa r qb pb -+=---++ξ 经整理得2
b a +=
ξ．即所求得的ξ总是位于区间的正中间．
３．不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间．
解 函数)(x f 分别在]4,3[],3,2[],2,1[上连续，分别在)4,3(),3,2(),2,1(内可导，且
0)4()3()2()1(====f f f f ．由罗尔定理知至少存在)4,3(),3,2(),2,1(321∈∈∈ξξξ，
使 0)()()(3'2'1'===ξξξf f f ．即方程0)('=x f 至少有三个实根，又方程0
)('
=x f 为三次方程，故它至多有三个实根，因此方程0)('
=x f 有且仅有三个实根，它们分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内．
４．证明恒等式：)11(2
arccos arcsin ≤≤-=
+x x x π
．
证 取函数()arcsin arccos ,(1,1)f x x x x =+∈-．因01111)(2
2
'
≡--
-=x
x
x f ，
故C x f ≡)(．取0=x ，得2
)0(π
=
=C f ．从而当(1,1)x ∈-时,有arcsin arccos 2
x x π
+=.
又1,1x =-时, 也有arcsin arccos 2
x x π
+=,因此2
arccos arcsin π
=
+x x ，]1,1[-∈x ．
５．若方程011
10=+++--x a x
a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程0)1(12
11
0=++-+---x a x
n a nx
a n n n 必有一个小于0x 的正根．
证 取函数x a x
a x a x f n n n 11
10)(--+++= ．)(x f 在],0[0x 上连续，在),0(0x 内可导，且0)()0(0==x f f ，由罗尔定理知至少存在一点),0(0x ∈ξ，使0)('
=ξf ，即方程
0)1(12
11
0=++-+---x a x
n a nx
a n n n 必有一个小于0x 的正根．
６．若函数)(x f 在（b a ,）内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中
b x x x a <<<<321．证明：在（31,x x ）内至少有一点ξ，使得0)('
'=ξf ．
证 根据题意知函数)(x f 在],[],,[3221x x x x 上连续，在),(),,(3221x x x x 内可导且
)()()(321x f x f x f ==，故由罗尔定理知至少存在点)(),,(3,22211x x x x ξξ∈，使
0)()(2'
1'==ξξf f
又)('x f 在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，故由罗尔定理知至少存在点
),(),(2121x x ?∈ξξξ使0)('
'=ξf ．
７．设0>>b a ，1>n ，证明：
)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---．
证 取函数n x x f =)(，)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),(a b ∈ξ，使
))(()()('b a f b f a f -=-ξ， 即 )(1
b a n b a n n n -=--ξ
．
又 1,0><< 110---<< b ξ． 因此 )()()(1 1 1b a na b a n b a nb n n n -<-<----ξ ， 即 )()(1 1b a na b a b a nb n n n n -<-<---． ８．设0>>b a ，证明： b b a b a a b a -<<-ln ． 证 取x x f ln )(=，)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理知， 至少存在一点),(a b ∈ξ，使 ))(()()('b a f b f a f -=-ξ， 即 )(1 ln ln b a b a -=-ξ ． 又a b <<<ξ0，故b a 11 10< <<ξ ， 因此 b b a b a a b a -< -< -ξ ， 即 b b a b a a b a -< <-ln ． ９．证明：当1>x 时，x e e x ?>． 证 取函数t e t f =)(，)(t f 在],1[x 上连续，在),1(x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少至少存在一点),1(x ∈ξ，使 ),1)(()1()(' -=-x f f x f ξ 即 )1(-=-x e e e x ξ ． 又，x <<ξ1，故e e >ξ ，因此 )1(-=-x e e e x ， 即 x e e x ?>． 10．设)(x f 、)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使 ) () ()()(b g a g b f a f ＝) () ()()() (' ' ξξg a g f a f a b -． 证 取) () ()()()(x g a g x f a f x F = ，由)(x f 、)(x g 在［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导 知)(x F 在［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点),(b a ∈ξ， 使))(()()('a b F a F b F -=-ξ． 而 ) ()()()()(b g a g b f a f b F = ，0) () ()()()(== b g a g b f a f a F ， ) (0 )(0)(' x g x f x F =＋ ) ()()()('' ξξg a g f a f ＝ ) () ()()(' ' ξξg a g f a f 故 )() () ()()() () ()()(' 'a b g a g f a f b g a g b f a f -= ξξ 11．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()('x f x f =，且(0)1,f =则 ()e x f x =． 证 取()()e x f x G x = ，则由2()e e ( )()() ()0e e x x x x f x f x f x f x G x ''- -'= = =，得 ()G x C =．又(0)()1G C f x ===，因此()1G x =．即()1e x f x =． 12.设函数()y f x =在0x =的某邻域内具有n 阶导数，且 (1 ) (0)(0)(0)0 n f f f - '==== ，试用柯西中值定理证明：() ()() ,(01)! n n f x f x x n θθ= <<． 证 取()n g t t =，则由假设()f t 及()g t 的表达式知，()f t 及()g t 在由0与x 组成的 区间上满足柯西中值定理的条件，因此有 11 1()()()(0) 0n n n n f f x f x f x x n ξξ-'-==-，其中1ξ在0与1之间． 又 1121 112 1 12 () ()(0)() 0(1)n n n n f f f f n n n n n ξξξξξξ----''' ''-==--， 其中2ξ能在0与1ξ之间． 如此类推，得 () 1)(1) (1) 111 1()() ()(0) !!!0! n n n n n n n f f f f n n n n ξξξξξ------= = -， 其中n ξ能在0与1n ξ-之间． 因此 () () () ,(01)! n n f x f x x n θθ=<<． 13．设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对(,)a b 内的一切x ，有 ()()()()0 f x g x f x g x ''-≠ 证明：若()f x 在(,)a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零 点． 证 采用反证法．若()g x 在12(,)x x 之间没有零点，其中1212,()x x x x <为()f x 在 (,)a b 内有两个相邻的零点．显然12()0,()0g x g x ≠≠，若不然由11()()0g x f x ==或22()()0g x f x ==，得1111()()()()0f x g x f x g x ''-≠或2222()()()()0f x g x f x g x ''-≠， 这与假设矛盾．取()()() f x F x g x = ，则()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，又 111()()0() f x F x g x = =，222()()0() f x F x g x = =． 即12()()F x F x =，从而()F x 在12[,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在12(,)(,),x x a b ξ∈?使得 2 ()()()() ()0() f g f g F g ξξξξξξ''-'= =． 即 ()()()(f g f g ξξξξ''-=． 这与假设矛盾．故结论成立． 14．用洛必达法则求下则极限： （1）1 ln(1)lim arc t x x co x →+∞+； （2）2120lim e x x x →； （3）sin 0e e lim sin x x x x x →--； （4）e 2arctan lim e x x x x x x π→∞ +-；（5）lim (1)x x a x →∞ + ；（6）sin 0 lim x x x +→；（7）tan 0 1lim x x x +→?? ? ?? ． 解 （1）22 22 21 1111ln(1)111lim lim lim lim 11 1arc t 11x x x x x x x x x co x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞??- ? ??++++====+-++． （2）2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1e ()e lim e lim lim lim e 11( )x x x x x x x x x x x x →→→→' ?====+∞'． （3）sin sin sin sin sin 0 e e e 1 e 1 lim lim e lim e lim sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x --→→→→---==?--- s i n s i n e (1cos ) lim lim e 11cos x x x x x x x x --→→-===-． （4）因为当x →+∞时，e x →+∞，arctan 2 x π → ．当x →-∞时，e 0x →， arctan 2 x π →- ，所以碰到当x →∞，被求极限函数含有e x 或arctan x 时，应分别求 x →+∞及x →-∞时的函数极限，并以此判断当x →∞时函数是否有极限． 2 2e 2arctan e 2arctan 1lim lim e e x x x x x x x x x x x x ππ →+∞ →+∞ ++ ++=-- ＝2 2e 12arctan 1lim 11e x x x x x x π--→+∞ ++ +=-． 2 2e 2arctan e 2arctan 1lim lim 1e e x x x x x x x x x x x x ππ →-∞ →-∞ ++ ++==--． 故e 2arctan lim 1e x x x x x x π→∞ +=-． （5）2 2 1 () 1ln(1) ln(1) lim lim lim lim 111lim ln(1) 1lim (1)e e e e e e x x x x x a a a a x a x x x a a x x a x x x x x x a x →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ - + + + - + +→∞ + ====== ． （6）sin 0 lim x x x +→0 2 1sin ln lim lim 11lim sin ln lim 0 e e e e e 1x x x x x x x x x x x x x + +→→+ + →→-- ======． （7）0 2 1tan ln lim lim tan 111lim tan ln lim 0 1lim e e e e e 1x x x x x x x x x x x x x x x x + +→→+ + →→+--?- →?? ====== ? ?? ． 15.验证极限2 1 sin lim sin x x x x →存在,但不能用洛必达法则得出. 解 因为2 111(sin )2sin cos lim lim (sin )cos x x x x x x x x x →∞→∞'-='不存在,所以只能说不能用洛必达法则来求极限cos lim x x x x →∞ +,但不能说该极限不存在.事实上,此极限可用下面方法来求: 2 1sin 11lim lim ( sin )lim lim sin 100sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=?=?=?=. 16.讨论函数 1 1 120, (1),e ()e ,0 x x x x f x x -?>? ?+?????????? ? ?=? ?? ? ≤?? 在点0x =处的连续性. 解 因为 100 1 1 (1)1 lim ln 11e lim ln(1)100(1e lim ()lim e e e x x x x x x x x x x x x f x +→+ →++ ? ? ??+????+-? ???? ? ?? →→? ?+??===????? ? 2 1 1 1ln(1)11lim lim lim 2(1) 22 e e e e x x x x x x x x x + + +→→→--+-+- +====. 112 2 lim ()lim e e x x f x --- -→→==. 所以12 lim ()lim ()e x x f x f x - + -→→==,故函数()f x 在点0x =处连续. 17.按所给条件,解答下列各题: (1) 求函数()ln f x x =按(2)x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式; (2) 求函数()tan f x x =的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.; (3) 验证当102 x <≤ 时,按公式2 3 e 12 6 x x x x ≈++ + 计算e x 的近似值时,所产生误差小 于0.01的,,使误差小于0.01. (4) 应用三阶泰勒公式求sin 18 的近似值,并估计误差. 解 (1) 21 31 2 3 1112!()(ln )(,()()(1),()(1) f x x f x f x x x x x --'''''''''====-=- (4) 41 4 3!()(1) f x x -=-,一般地有 () 1 (1)! ()(1) k k k k f x x --=-(1,2,,)k n = . 于是 ()1 (1)!(2)(1)2 k k k k f --=- (1,2,,)k n = . 故 () 2 (2)(2) ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2! ! n n n f f x f f x x x x n ο'''=+-+-++ -+- 2 3 3 3 1111 ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)]2 2 32 2 n n x x x x x n ο=+ -- -+-++ -+-?? .. (2) 因为22()(tan )sec ,()2sec tan ,f x x x f x x x ''''=== 224 (4) 23 4 ()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x '''=+=+ 所以(0)0,(0)1,(0)0,(0)2,f f f f ''''''==== 从而 (4) 2 2 3 4 3 4 5 (0)(0)() 1(sin 2)sin tan (0)(0)2! 3! 4! 3 3cos f f f x f f x x x x x x x ξξξ ξ '''''+'=++ + + =+ + 其中ξ介于0,x 之间. (3)设()e ,x f x =则() () ()e ,(0)1n x n f x f ==,故数()f x 的3阶麦克劳林公式为 2 3 4 e e 1,2! 3!4! x x x x x ξ =++ ++ 其中ξ介于0,x 之间.按2 3 e 126 x x x x ≈++ + 计算e x 的近似值,其误差为3()R x = 4 e 4! x ξ .当 1 02x <≤时,1 02ξ<<, 1 4 2331()0.00450.014!2R x ?? ≤≈< ??? , 23 111111()() 1.64522262 ≈+++≈. (4)sin x 的三阶泰勒公式为3 55 sin()2sin ,3!5! x x x x ξπ+=-+其中ξ介于0,10π之间.故 35 5 411sin 18sin 0.3090, 2.551010103!105!10R ππ ππ-????==-=≤≈? ? ????? . 18.利用泰勒公式求下列极限: (1)lim ;x →+∞ - (2)[] 2 2 2 cos e lim ln(1)x x x x x x - →-+-; 解 (1) lim lim x x x →+∞ →+∞?= ? 131121lim 1()1()34x x x x x x οο→+∞??=+?+-+?+????1()33lim 122x x x ο→+∞? ???=+=???? ? ?. (2) [] 2 2 4 2 2 4 24 2 2 2 2 211()1()()() cos e 2 4! 2 2 2lim lim ln(1)()2x x x x x x x x x x x x x x x x x x οοο-→→-+ +---- - +-=+-???? +--+?? ???? ? 4 444 40044 4 111()1 ()14!81212lim lim 111()6()222x x x x x x x x x x οοοο→→??-+-+- ???====-+--+. 19.确定下列函数的单调区间: (1)3 2 10 496y x x x = -+; (2)(0)y a = >; (3)sin 2y x x =+. 解 (1)所给函数除0x =外在(,)-∞+∞处处可导,且 2 2 2 2 2 22 1 120()(1) 10(12186)2(496)(496)x x x x y x x x x x x -----+'= = -+-+. 令0,y '=得驻点121,12 x x ==. 由驻点121,1 x x = =及0x =划分区间(,)-∞+∞列表如下: 由上表可知给函数在1 (,0),(0,],[1,)2 -∞+∞内单调减少,在1 [,1]2 上单调增加. (2) 所给函数在(, ),(,22a a a -∞）,(,)a +∞内可导,当12,2 a x x a ==时,函数不可导,26a x y ??-- ? '=. 令0,y '=得驻点323 a x = . 由点12,2 a x x a = =323 a x = 划分区间(,)-∞+∞列表如下: 由上表可知给函数在2(,),[,)3 a a -∞+∞内单调增加,在2[ ,]3 a a 上单调减少. （3）所给函数的定义域为(,)-∞+∞,且 sin 2,, 2 (0,1,2,)sin 2,(1), 2 x x n x n y n x x n x n ππππππ? +≤≤+?==±±? ?-+ <≤+? 12c o s 2,, 2(0,1,2,)12c o s 2,(1), 2 x n x n y n x n x n ππππ ππ? +<<+?'==±±? ?-+<<+? 令0,y '=得驻点3 x n π π=+及56x n ππ=+ (0,1,2,)n =±± ,按照这些驻点划分区间 (,)-∞+∞为 55(,),(,),(,),(,(1))3 3 2 2 6 6 n n n n n n n n π π π π ππππππππππ+ + + + + + + 其中0,1,2,n =±± . 当5,3 2 6 n x n n x n π π πππππ<<+ + <<+ 时,0y '>,因此函数在[ , ]2 2 3 k k πππ + 上单 调增加(0,1,2,)k =±± ; 当5,(1)32 6 n x n n x n π π πππππ+ <<+ + <<+时,0y '<,因此函数在 [, ]23 2 2 k k ππ ππ + + 上单调减少(0,1,2,)k =±± . 20.证明下列不等式: (1) 当02x π <<时,sin tan 2 x x x +>； (2) 当02 x π << 时,3 1tan 3 x x x >+ ; (3) 当4x >时,2 2x x >; (4) 当01x <<时,22 (1)ln (1)x x x ++<; (5) 当02 x π << 时,2 sin x x x π <<. 证 (1) 当02 x π <<时,令()f x =sin tan 2x x x +-,则 2 2 1()cos sec 2cos 2220cos f x x x x x '=+-=+ -≥=>. 因此当02 x π << 时,()f x 单调增加,从而()(0)f x f >=,即当02 x π << 时, sin tan 2x x x +-0>,也就是sin tan 2x x x +>. (2) 当02x π<<时,令()f x =31 tan 3 x x x --,则 2222 ()sec 1tan f x x x x x '=--=-. 取()tan g x x x =-.当02 x π << 时,由22()sec 1tan 0g x x x '=-=>知()g x 单调增加,因 此()tan 0g x x x =->,即当02 x π << 时,tan x x >,从而22tan x x >.于是()0f x '>,故当 02 x π << 时,()f x 单调增加,从而()(0)f x f > =,即当02 x π << 时, 3 1tan 03 x x x -- >0>,也就是3 1tan 3 x x x >+ . (3) 当4x >时,令()f x =22x x -,则 ()2ln 22x f x x '=-, 222 ()2ln 222(ln 4)2x x f x -''=-=- . 当4x >时,()0f x ''>,()f x '单调增加,从而3()(4)2ln 480f x f ''>=->,故当4x >时, ()f x 单调增加,从而()(4)0f x f >=.即当4x >时,即2 2x x >. (4) 当01x <<时,令()f x =22(1)ln(1),x x x ++-,则(0)0f =. 2 ()ln (1)2ln(1)2,(0)0 f x x x x f ''=+++-= 1 ()[ln(1)]0ln(1) f x x x x ''= +-<+ . 所以当01x <<时,()f x '单调减少,从而()(0)0f x f ''<=,故当01x <<时, ()f x 单调减 少,从而()(0)0f x f <=.即当01x <<时,即22(1)ln (1)x x x ++<. (6) 先证当02 x π << 时, s in x x <. 令()f x =sin x x -, 则当02 x π <<时,有()1cos 0f x x '=->.因此当02 x π << 时,()f x 单调增加,从而()(0)0f x f >=,即当02 x π << 时, sin x x >0>. 再证当02x π << 时, 2 sin x x π<,即证 sin 2 x x π> . 令sin 2()x g x x π=-, 则当02 x π <<时,有 22 cos sin cos ()(tan )0x x x x g x x x x x -'==-<. 因此当02x π <<时,()g x 单调减少,从而()()02g x g π<=,即当02x π<<时,sin 2 x x π >, 亦 2 sin x x π <. 21.讨论方程ln x ax =(其中0a >)有几个实根. 解 取()ln ,(0,),f x x ax x =-∈+∞则1()f x a x '=-.令()0f x '=,得驻点1x a = . 当10x a << 时,()0f x '>,因此函数()f x 在1(0,)a 内单调增加,当1x a <<+∞ 时,()0f x '<,因此函数()f x 在1 ( ,)a +∞内单调减少.从而1 ()f a 为最大值,由0 lim (),lim ()x x f x f x +→+∞ →=-∞=-∞,知 (i)在11 ()ln 10f a a =-=即1 e a = 时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴仅有一个交点,这时 方程ln x ax =有惟一实根. (ii)在11()ln 10f a a =->即1 0e a <<时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴有两个交点,这时 方程ln x ax =有两个实根. (iii)在11()ln 10f a a =-<即1 e a >时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴没有交点,这时方程 ln x ax =没有实根. 22.求下列函数图形的拐点及凹或凸区间. (1)2ln(1)y x =+: (2)arctan e x y =. 解 由2 2 2 22(1)(1) ,1(1) x x x y y x x -+'''= = ++,令0y ''=得121,1x x =-=. 当1x -∞<<-时,0y ''<,因此曲线在(,1]-∞-内是凸的; 当11x -<<时,0y ''>,因此曲线在[1,1]-内是凹的; 当1x <<+∞时,0y ''<,因此曲线在[1,]+∞内是凸的; 故所给曲线有两个拐点(1,ln 2),(1,ln 2)-. (2) 由arctan arctan 2 22 1 2() 12e ,e 1 (1) x x x y y x x -- '''==++,令0y ''=得12x =. 当12 x -∞<<时, 0y ''>,因此曲线在1(,]2 -∞内是凹的; 当 12 x <<+∞时,0y ''<,因此曲线在1[ ,]2 +∞内是凸的; 故所给曲线有两个拐点为1 arctan 2 1 (,e )2 . 23.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式: (1)1 ()(0,0,,1);22n n n x y x y x y x y n +?? +>>>≠> ??? (2)ln ln ()ln (0,0,).2 x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证 (1)令(),(0,)n f t t t =∈+∞,则1 2 (),()(1)n n f t nt f t n n t --'''==-.从而当1n >且 (0,)t ∈+∞时,()0f t ''>.因此函数()n f t t =在(0,)+∞内图形是凹的,故对于任意 0,0,x y x y >>≠,恒有1[()()]( ),2 2 x y f x f y f ++>即 1 ()(0,0,,1)22n n n x y x y x y x y n +??+>>>≠> ??? . (2) 令()ln ,(0,)f t t t t =∈+∞,则1()ln 1,()0f t t f t t '''=+= >..因此函数()ln f t t t = 在(0,)+∞内图形是凹的,故对于任意0,0,x y x y >>≠,恒有1[()()]( ), 2 2 x y f x f y f ++>即 1(ln ln )ln (0,0,)2 2 2 x y x y x x y y x y x y +++> >>≠, 亦即ln ln ()ln (0,0,).2x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠ 24.解答下列各题: (1) 证明曲线2 11 x y x -= +的三个拐点在同一条直线上; (2) 问a 、b 为何值时，(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点？ (3) 试决定曲线32y ax bx c d =+++中的a 、b 、c 、d ，使得2x =-处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上． (4) 试决定22(3)y k x =-中k 的值，使曲线的拐点处的法线过原点； (5) 设()y f x =在0x x =的某个邻域内具有三阶连续导数，如果0()0,f x ''=而 0()0,f x '''≠试问00(,())x f x 是否为拐点？为什么？ 解（1）2 22 21,(1) x x y x -++'= + 3 22 3 2662 (1) (1) x x x y x x --+''= = ++ 令0y ''= ，得1231,22x x x =-=-=+ ． 当1x -∞<<-时，0y ''<，因此曲线在(,1]-∞-内是凸的， 当12x -<<-时，0y ''> ，因此曲线在(1,2-- 内是凹的， 当22x -<<+0y ''< ，因此曲线在(22- +内是凸的， 当2x + <<+∞时，0y ''> ，因此曲线在(2)+∞内是凹的， 由上可知点(1,1),(2(2---+为曲线的三个拐点．又 14 = = ，因此这三个拐点在同一条直线上． （２）由2 32,626()3b y ax bx y ax b a x a '''=+=+=+ ，令0y ''=，得03b x a =-． 当3b x a -∞<<- 时，0y ''<，因此曲线在(,]3b a -∞- 内是凸的；当3b x a - <<+∞时，0y ''>，因此曲线在(,)3b a - +∞内是凹的；当03b x a =- 时， 3 2 3 02 23327b b b y a b a a a ???? =-+-= ? ????? ．故点3 22(,)327b b a a -为曲线的惟一的拐点．因此要使 (1,3)为拐点，必须321, 32 3.27b a b a ?-=?? ? ?=??解之得39,22a b =-=． （3）2 32,62y ax bx c y ax b '''=++=+．依题中条件有 (2)44,(2)0,(1)10,(1)0y y y y '''-=-==-=． 即 84244,1240, 10,620.a b c b a b c a b c d a b -+-+=??-+=?+++=-?+=? 解之得1,3,24,16a b c d ==-=-=． （４）222(3)24(3),12(1))(1).y k x x kx x y k x x '''=-?=-=-+令0y ''=，得 121,1x x =-=． 当1x -∞<<-时，0y ''>，因此曲线在(,1]-∞-内是凹的， 当11x -<<时，0y ''<，因此曲线在(1,1]-内是凸的， 当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在(1,)∞内是凹的， 故(1,4),(1,4)k k -为由线的拐点． 从而由1 8x y k =' =-得过点(1,4)k 的法线方程为14(1)8y k x k -= -，要使该法线过原 点，则(0,0)在法线方程上，从而有104(01),8k k -= - 解之得8 k =± ． 又由1 8x y k =' =得过点(1,4)k -的法线方程为14(1)8y k x k -=- +，要使该法线过原 点，则(0,0)在法线方程上，从而有104(01),8k k -=- + 解之得8 k =± ． 所以，当8 k =± 时，所给曲线的拐点处的法线过原点． （５）由0()0f x '''≠，我们不妨设0()0f x '''<．又()f x '''在0x x =的某个邻域内连续， 所以必存在0δ>，当00(,)x x x δδ∈-+时()0f x '''<，故在00(,)x x δδ-+内()f x ''单调减少．而由0()0f x ''=知：当00(,)x x x δ∈-时，0()()0f x f x ''''>=，即函数()f x 在 00(,)x x δ-内的图形是凹的；当00(,)x x x δ∈+时，0()()0f x f x ''''<=，即函数()f x 在00(,)x x δ-内的图形是凸的，因此点00(,())x f x 是拐点． 2５．求下列函数的极值： （1）2 2344 1 x x y x x ++= ++； （2）e cos x y x =； （3）1 x y x =； 解 （１）函数的定义域为(,)-∞+∞，在(,)-∞+∞内可导，且 () () 2 2 2 2 2 2 (64)(1)(21)(344) (2) 11x x x x x x x x y x x x x +++-+++-+'= = ++++。 令0,y '=得驻点122,0x x =-=． 当2x -∞<<-时，有0y '<．故函数在(,2]-∞-内单调减少；当20x -<<时，有0y '>．故函数在(2,0]-内单调增加；当0x <<+∞时，有0y '<．故函数在(0,)+∞内单 调减少．因此12 83 x y =-= 为所给函数的极小值，20 4x y ==为极大值． （２）e (cos sin ),2e sin x x y x x y x '''=-=-． 令0,y '=得驻点52,2(,0,1,2,)4 4 k l x k x l k l π πππ=+=+ =±± ． 由24 (2)04 k y k π πππ+ ''+=<知24 (2)e (0,1,2,)4 2k y k k π ππ π+ + = =±± 为极 大值． 由24 5(2)04l y l π πππ+ ''+ = >知24 5(2)e (0,1,2,)4 2 l y l l π πππ+ + =-=±± 为极 小值． （３）函数的定义域为(0,)+∞，在(0,)+∞内可导，且 111 22 1ln e ln e ln (1ln )x x x x y x x x x x -'??-'==?=- ??? . 令0,y '=得驻点0e x =． 当0e x <<时，有0y '>．故函数在(0,e]内单调增加；当e x <<+∞时，有0y '<．故 函数在(e,)+∞内单调减少．因此1 e (e)e y =为所给函数的极大值． 27．试证明:如果32y ax bx cx d =+++满足条件330b ac -<,则这个函数没有极值. 证 显然232y ax bx c '=++.由230b ac -<知0,0a c ≠≠,故对二次三项式 2 32y ax bx c '=++,我们有2 2 (2)4(3)3(3)0b a c b ac ?=-=-<,从而二次三项式232y ax bx c '=++与x 轴没有交点,即在(,)-∞+∞内0y '>或0y '<,因此函数3 2 y ax bx cx d =+++在(,)-∞+∞内单调.于是若3 30b ac -<,则函数在(,)-∞+∞内单调, 故函数在(,)-∞+∞内无极值. 28.试问a 为何值时,函数1()sin sin 33 f x a x x =+在3 x π = 处取得极值?它是极大值还是 极小值?并求此极值. 解 由()cos cos 3f x a x x '=+及函数在3 x π = 处取得极值,得f π '（）=03 .即 cos 0π π++cos 3 ,从而2a =.又3 3 () (2sin 3sin 3) 0x x f x x x π π = = ''=--=<, 因此( )2sin 3sin 3 3 f π π π=--=为极大值. 2８.求下列函数的最大值、最小值： （1）32 26187,14y x x x x =---≤≤； （2）2 ,01x y x x = ≥+． 解 （1）所给函数在[1,4]上可导，且2 612186(1)(3)y x x x x '=--=+-． 令0y '=，得在[1,4]上的驻点13x =．比较(1)29,(3)61,(4)47y y y =-=-=-知函数的最大值为(1)29y =-，最小值为(3)61y =-． （２）所给函数在[0,)+∞上可导，且 2 22 2 2 2 2 2 3 1212(3),(1) (1) (1) x x x x x x y y x x x +-?--'''= = = +++． 令0y '=，得在[0,)+∞内的驻点1x =．由1(1)02 y ''=- <知1x =为极大值点，又函数的 在[0,)+∞内的驻点只有惟一一个，故极大值点为最大值值点，因此最大值为1(1)2 y = ．而 2 (0)0,lim lim 01x x x y y x →+∞ →+∞ ===+，于是最大值为(0)0y =． ２９．某地区防空洞的截面建成矩形加半圆（图３－１）．截面的面积为25m ．问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 解 设截面的周长为l ，依题意及图３-１知 22 x l x y π=++ 及2 522x xy π?? + = ? ?? ，得58x y x π=-． 从而 2100,().4 x l x x x π=+ + 231020 1,4l l x x π'''=+-=． 图３-１ 令0l '= ，得驻点x = 3 2 20 0404l π''= >?? ?+?? 知x = 为极小值点， 又驻点是惟一的，故极小值点就是最小值点．因此当截面的底宽x = 面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省． ３０.设有一条宽度为a 的河流A 垂直地流入宽度为b 的河流B,今要将木料从河流A 中漂到河流B 中,问木料的最大尺寸为多少? 解 如图3-２所示,设木料P R 的长度l ,则 csc sec ,(0 ) sin cos 2 a b l a b πθθθθθ=+=+<<. csc cot sec tan ,l a b θθθθ'=-+ 2 3 2 3 (csc cot csc )(sec tan sec )0,(0) 2 l a b π θθθθθθθ''=+++><< . 令0,l '=可得3 tan a b θ= 和惟一驻点．又0l ''>, 图3-２ 故当13 tan a arc b θ??= ??? 时，l 取得最小值． 此时有 2 2 2 3 3323 3 csc sec ()l a b a b a b a b θθ=+==+． 其中有 1 1 33 csc ,sec a b θθ= = ． 如图形３－２．于是，可在河面上漂运木料的 最大长度为223 3 3 2()a b +． 3１．描绘函数21y x x =+的图形． . 解 ①所给函数的定义域为(,0)(0,)-∞?+∞,且 2 12,y x x '=- 3 22y x ''=+ . ②令0y '=, 得驻点x = ;令0y ''=,得1,x =-又0x =是无意义的点. ③ 将上述求出的点划分定义域(,0)(0,)-∞?+∞为四个部分区间: ④由21lim x x x →∞ ? ? + =∞ ?? ? 知图形有一条 铅直渐近线0x =,图形无水平渐近线及 斜渐近线. ⑤由(1)0,2 f f -== 得图形 上的点(1,0),2 -. ⑥作图如图3-３. 图3-3 ３２.对数曲线ln y x =上哪一点处的曲率半径最小?求出该点处的曲率半径. 解 由2 11,y y x x '''==-, 得2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 11(1 )[1()](1)y x x K y x x - '' = = = '+++.故曲率半径为 3 2 2 (1)x x ρ+= ,又1 22 22 (1)(21) x x x ρ+-'= ,令0ρ'=得122 2x x = =- (舍去).故曲 线ln y x =在定义域(0,)+∞内只有一个驻点,且当02 x <<时,0ρ'<, 2 x <<+∞ 时,0ρ'>,因此在12 x =处ρ取极小值,即最小值2 x ρ =,这就是所求的最小曲率 半径. ３３.一飞机沿抛物线2 10000 x y = (y 线轴铅直向上,单位为m )作俯冲飞行.在坐标原点 O 处飞机的速度为200/v m s =,飞行员体重70G kg =.求飞行俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力. 解 由21 ,1000050005000 x x y y '''=== ,得抛物线在坐标原点O 处的曲率半径为 3 2 2 1(1)5000x y K y ρ='+= = ='' . 所以向心力为2 2 170200 5605000 m v F ρ?= = =(牛顿). 座椅对飞行员的反力F 等于飞行员的离心力及飞行员本身重量对座椅的压力之和,因此 F 1709.85601246m g F =+=?+=(牛顿). 3４.求曲线ln y x =在(1,0)处的曲率圆方程. 解 1 1 1 1 2 111, 1.x x x x y y x x ====' '' = ==- =- 设曲率圆在点(1,0)的曲率中心为(,)αβ,则 2(1,0)(1)3y y x y α''??+=-=??''??,2 (1,0) 12y y y β'?? +=+=-?? ''??. 曲率半径3 2 2 1 1(1)x x y K y ρ=='+= = ='' 因此所求曲率圆方程为 22(3)(2)8x y -++=. 3５.用切线法求方程3310x x +-=的近似根,使误差不超过0.01. 解 设3()31,()f x x x f x =+-在[0,1]上连续, 且 (0)10,(1)3 f f =-<=>, 2()330f x x '=+>,则根据零点定理及函数的单调性知方程3 310x x +-=仅在(0,1)内有 一实根． 现用切线法求这个根的近似根： 由()6,(1)60f x x f ''''==>知取01,x =利用递推公式111()() n n n n f x x x f x ---=- '，得： 0100()(1)10.50()(1) f x f x x f x f =-=- =''， 1211()(0.50)0.500.33()(0.50)f x f x x f x f =-=-≈''， 2322()(0.33)0.330.32()(0.33)f x f x x f x f =-=-≈''， 3433()(0.32)0.320.32() (0.32) f x f x x f x f =- =- ≈''． 故使误差不超过0.01的根的近似根为0.32ξ=． 二、提高题 1．单项选择题 （1） 设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且对任意21,x x ，当21x x >时都有 )()(21x f x f >，则（ ）． （Ａ）．对任意0)(,>'x f x （)B .对任意0)(,≥-'x f x (C ).函数)(x f -单调增加 (D ).函数)(x f --单调增加 （２）设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，已知00≠x 是)(x f 的极大值点，则（ ）． (Ａ)．0x 必是)(x f 的驻点 (B ). 0x -必是)(x f -的极小值点 ()C 0x -是)(x f --的极小值点 (D ) .对一切x 均有)()(0x f x f ≤ （３）)(x f 有二阶导数，1)(lim ,0)0(0 =''='→x x f f x ，则（ ）． (Ａ)．)0(f 是)(x f 的极小值 ().B )0(f 是)(x f 的极大值 (C ).))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点 (D ). )0(f 不是)(x f 的极值，))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点 解 （１）显然C 与D 是错的．又3)(x x f =在),(+∞-∞内可导，且对任意21,x x ，当21x x >时都有 )()(21x f x f >，但0)0(='f ，故Ａ也是错的．因此应选.B 事实上，对任 意,x 当0>h 时)()(x f h x f ->+-，此时 0) ()(>-+-h h f h x f ．当0 )()(x f h x f -<+-，此时 也有 ) ()(>-+-h h f h x f ．故 0) ()(lim )(0 ≥-+-=-'→h h f h x f x f h ． （２） 由于函数)(x f y =与)(x f y -=的图形关于y 轴对称，所以应选.C （３） 因为01)(lim 0 >=''→x x f x ，所以存在),0?(δU ，当∈x ),0?(δU 时，有 0)(≥''x x f ，即0)(≥''x f ． 当∈x )0,(δ-时，存在∈ξ)0,(δ-，使 0)(,0)(0 ) 0()(>'>''=-'-'x x f f x f x f ξ ，又 0 当∈x ),0(δ时，存在∈η),0(δ，使 0)(, 0)(0 ) 0()(>'>''=-'-'x x f f x f x f η ，又0 故0)(>'x f ． 因此)0(f 是)(x f 的极小值．从而应选Ａ． ２．求下列极限 （1）x x x x 1 2 )1(lim +++∞→; (2)2 1tan lim n n n n ? ?? ? ?∞→ ; (3) ????? ?+-∞→)11ln(lim 2x x x x ; (4)2 0)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++- +→. 解 (1) e e e e ) 1(lim 2 2 2 2 20 2 1)1(1lim 1 111lim ) 1ln(lim 1 2 ====+++++++++++ +++∞ →→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． （２）因为12 2 2 tan ln 1ln tan ln lim ln tan lim lim x n n x x x x x x n n n x x = →∞→→-? ?= ? ? ?= 2 2 sec tan tan lim 2x x x x x x x x →?-? =2 sin cos lim 2sin cos x x x x x x x →-= 3 2 0sin cos 1cos 21lim lim 263 x x x x x x x x →→--===． 所以 2 3 1lim tan n n n e n →∞? ?= ? ? ?． （３）令 1 ,t x =则22200111ln(1)1lim ln(1)lim ln(1)lim 2x t t t t x x t x t t t →∞→→-+???? -+=-+==???????? ． （４）2 )1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++- +→＝ 1tan sin 11cos lim lim 2 [ln(1)] 2 ln(1)x x x x x x x x x x →→--= +-+- 1sin 1sin lim lim 112 2 1 1 11x x x x x x →→== --++0 1sin 1lim (1).22x x x x →=- +=- ３.根据所给条件,解答下列各题: (1) 已知当0x →时，2e (1)x ax bx -++是比2x 的高阶无穷小，求,a b ； （２）2 2 ln(1)() lim 2,x x ax bx x →+-+=求,a b ； （３）设2 tan (1cos ) lim 2,ln(12)(1e ) x x a x b x c x d →+-=-+-其中220a c +≠，则,a c 应满足什么条件？ 解（１）由2 2 e (1) e 2e 2lim lim lim 022 x x x x x x ax bx ax b a x x →→→-++-+-===，得 10,2 a -=即 1,2 a = 又0 lim (e 2)0x x ax b →-+=，所以1b =． （２）由2 2 1 2ln(1)() 1lim lim 2,2x x a bx x ax bx x x x →→--+-++=得0 12lim 2(1) x a ax b x x →--+=+，从 而0 51,lim 22(1) 2 x x a b x x →-==-=- +． （３）由2 2 2 tan (1cos )sec sin lim lim 2,22ln(12)(1e ) 2e 12x x x x a x b x a x b x a c c c x d xd x →→+-+==- =--+---得4a c =-． ４．（１）试证1()(1)x f x x =+在(0,)+∞内单调增加； （２）讨论数列2 4 n n n a = 的单调性 （３）()f x 在[,)a +∞上连续，()f x ''在[,)a +∞内存在且大于零，设 ()() ()()f x f a F x x a x a - = > -，证明()F x 在(,)a +∞内单调增加． 证（１）111()(1)[l n (1)],1x f x x x x '=++-+设11 ()ln(1)1g x x x =+- +，则由2 1 ()0 (1) g x x x '=- < +，知()g x 在(0,)+∞内单调减，从而()lim ()0,x g x g x →+∞ >=即()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调增加． （２）取2()(0),4 x x f x x =>则2 2ln 4 ()4 x x x f x -'= ．令()0f x '=，得1ln 2 x = ． 当1ln 2x > 时，()0f x '<，所以()f x 单调减，所以当12,ln 2 n n a ≥>单调减，又 1211,4 2 a a = = ，故数列24 n n n a = 单调减． （３）2 ()()[()()] ()() (),(,),()f x x a f x f a f x f F x a x x a x a ξξ'''----'= = ∈--又()0,f x ''>所以()f x '单调增加，故()()f x f ξ''>．因此当x a >时，()0F x '>，即()F x 在(,) a +∞内单调增加． ５．（１）若2 ()()lim 1,() x a f x f a x a →-=--则()f x 在x a =处是否取得极值？ （２）求(1)m n y x x =-的极值，,m n N ∈． （３）设()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确实,试求()y y x =的驻点,并判断它是否为极值点． (4) 求33,21,()1 2.), x x f x x x ?+-≤≤-? =-<≤-的单调区间及极值． 解（１）因为2 ()() lim 1,()x a f x f a x a →-=--所以存在0,δ>当(,)(,)x a a a a δδ∈-?+时，2 ()()1,() 2 f x f a x a -<- -从而2 1()()()0,2 f x f a x a -<- -<即()f a 是极大值． （２）1 1 (1) [()]m n y x x m m n x --'=--+，令0,y '=得驻点0,1,m x x x m n === +． 对0x =，因为在0x =的附近，1 (1)[()]n x m m n x ---+恒正，当m 为奇数时，y '在 0x =左右不变号，所以(0)y 不是极值；当m 为偶数时，y '在0x =左负右正，所以(0)y 是极小值； 同理1x =时，当n 为奇数时，(1)y 不是极值；当n 为偶数时，(1)y 是极小值． 对m x m n = +，不论,m n 为奇为偶，( )m n m m n y m n m n = ++是极大值． （３）由2 642()20y y yy y xy x '''-++-=，令0,y '=得y x =代入原方程得 1,1x y ==． 又22 (32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=，故(1,1)102 y ''= >，因此1 x =是极小值点． （４）由21 3 3,21,()1 2. 1(25),3 x x f x x x x -? ?-<<-? '=? -< x = 及不可导点 0,1 x x ==-． 由上表知，()f x 的单调增区间为2(0,)5，单调减区间为2 (2,0)(,2)5 -?，极小值为 (0)0,f =极大值为23 ()55f =． ６． 设2 44 ()2x f x x +=-，求()f x 的渐近线、在极值点处的曲率、曲线在拐点处的切线方程． 解易求得0 x =为铅直渐近线，2 y =为水平渐近线．又 2 4 84248(),()x x f x f x x x ++'''=- =，令()0f x '=，得12,(2)0, 2x f ''=--=>所以(2) f -为极小值，在2x =-处的曲率为3 2 2 2 12 (1)x y k y =-'' = = '+． 再令()0f x ''=，得3x =-，当3x >-时，()0,f x ''>当3x <-时，()0f x ''<，所 以26(3,)9 -- 为拐点．又4(3),27 f '-=-曲线在拐点26(3,)9 -- 处的切线方程为 41027 3 y x =- -． ７.求下列问题的最值： （１）作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时其体积V 最小,并求最小值． （２）在椭圆 2 2 221x y a b +=的第一象限内求一点P ，使此点处的切线与椭圆、两坐标轴构成的图形面积最小． 解 （１）设圆锥的底半径的R ，则R = 于是 23 2 ()3(2) r h V h h rh π= - (2) h r > 从而2433 2 2 4,3(2) r h r h V h rh ππ-'= -令0,V '=得惟一驻点4h r =显然该问题的最小值存在，故当 4h r =时，3 83 V r π=最小值 ． 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ） 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关 系 2、=+()o αββαα? ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-=- 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim ()x x f x → 那么就在0 x 附近展开。如果极限是 lim ()x f x →∞ ， 第三章复习思考题答案 一、名词解释 激励：是指管理者运用各种管理手段，利用人的需要的客观性和满足需要的规律性，激励 刺激被管理者的需要，激发其动机，使其朝向所期望的目标前进的心理过程。 优势动机：是指那种最强烈而又稳定的动机。 目标导向行为：目标导向行为是指为谋求实现目标而做准备的行为，也是指实现目标之前 所做的筹备工作。 需要层次论：美国心理学家马斯洛（Abrahan H．Maslow）在 1943 年发表的《人类动机理论》（A Theory of Human Motivation Psychological Review）一书中首次提出了“需求层次论”。在 1954 年他对这个理论作了进一步的发展和完善。马斯洛的需要层次论在西方各国广为流传，近些年来，在我国的心理学界和管理理论界，也都产生了极大的影响。 成就需要理论：美国哈佛大学教授戴维·麦克利兰（David．C．McClelland）从 20 世纪 40－50 年代开始对人的需要和动机进行集中研究，并得出了一系列重要的研究结论。麦克利兰将马斯洛和其他人的研究成果又向前推进了一步，他认为人的许多需要是非生理的， 而是社会性的（称学习性需要）。人的社会性需要不是先天的，而是得自于环境、经历和教 育等。 激励力：是指调动一个人的积极性，激发出人的潜力的强度。 目标效价：是指预期成果在个人心目中的相对价值 公平理论：公平理论又称社会比较理论，它是美国行为科学家亚当斯（J．S．Adams）于 20 世纪 60 年代中期在《工人关于工资不公平的内心冲突同其生产率的关系》、《工资不公 平对工作质量的影响》、《社会交换中的不公平》等著作中提出来的一种激励理论。该理论 侧重于研究工资报酬分配的合理性、公平性及其对员工产生积极性的影响。 挫折理论：有关挫折行为研究的理论叫做挫折理论。这类理论着重研究人受挫之后的心理状态和行为表现，目的是为了改造个体行为，使之有利于组织目标的实现。换言之，研究 挫折是为了个体将来更快更好地取得成就，因此，也可以将挫折理论视为成就理论的补充。 综合激励模式：是企图通过一个模式将上述几个方面的理论都包括进去的理论，主要包括 波特和劳勒（Porter&Lawler）的“综合激励模式”以及迪尔（Dill）的“综合激励模型”等。 二、选择题 1. B 2.A 3.A 4.D 5. C 6. B 7.C 8.C 三、简答题 1．什么是激励？激励对管理工作有什么意义？ 答：“激励”一词译自英文单词“Motivation”，它含有激发、鼓励、动力的意义。我们认为，激励是指管理者运用各种管理手段，利用人的需要的客观性和满足需要的规律性，激 励刺激被管理者的需要，激发其动机，使其朝向所期望的目标前进的心理过程。激励是激 发人的内在动力，使人的行为建立在人的愿望的基础上的。这样，人的行为就不再是一种 外在的强制，而是一种自觉自愿的行为。因此，激励最显著的特点是内在驱动性和自觉自 愿性。 激励对管理工作的意义主要在以下几个方面： （1）有助于激发和调动员工的工作积极性； 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6． 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理 如()x f 满足： （1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==， 证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。 证： 设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。 解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理 存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη， 亦即()()0f f /=η+η 例 习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理 如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续， 则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。 推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减） 例 对任意满足1x <的x ， 都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例 设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明 作业：见各章节课后习题。 第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b 则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0 根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 第三章 中值定理与导数的应用 例4 设n a a a a 321,,为满足 01 2)1(3121=-=-++- -n a a a n n 的实数，试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2/,0(π内至少存在一个实根. 证 作辅助函数 ,)12sin(1 213sin 31sin )(21x n a n x a x a x f n --+++= 显然,0)2/()0(==πf f )(x f 在]2/,0[π上连续,在)2/,0(π内可导,故由罗尔定理知, 至少存在一点),2/,0(πξ∈使 ,0)(='ξf 即 0)12c o s (3c o s c o s )(21=-+++='ξξξ ξn a a a f n 从而题设方程在)2/,0(π内至少有一个实根. 例5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导, 且 .0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ,使)()(ξξf f ='成立. 证 从结论倒退分析知, 可引进辅助函数 ,)()(x e x f x -=? 由于,0)()(==b a ?? 易知)(x ?在],[b a 上满足罗尔定理条件,且 ,)()()(x x e x f e x f x ---'='? 因此, 在),(b a 内至少存在一点),,(b a ∈ξ使 ,0)(='ξ? 即 ,0)()(=-'--ξξξξe f e f 因,0≠-ξe 所以 ).()(ξξf f =' 例9(E04) 证明当0>x 时,.)1ln(1x x x x <+<+ 证 设),1ln()(x x f +=则)(x f 在],0[x 上满足拉格朗日定理的条件. 故 )0)(()0()(-'=-x f f x f ξ ),0(x <<ξ ,0)0(=f ,11)(x x f += ' 从而ξ +=+1)1ln(x x ),0(x <<ξ 微分中值定理 班级： 姓名： 学号： 摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使 ()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用： 2016考研数学：三个微分中值定理 每年考研数学必有一道证明题，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其应用。 而微分中值定理及其应用最难的就是三个微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它们是考研数学的重难点，现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。 一、涉及的知识点及考查形式 可涉及微分中值定理及其应用的知识点有，微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分(数一、数二要求)，曲率的概念(数一、数二要求)，曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。 微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大，也可以直接出题，所以考查形式有多种。如利用导数的几何意义考查函数的特性，讨论导数零点存在性或方程根个数问题，不等式的证明，证明含中值的等式，求极限等。 二、方法选择 题目考查微分中值定理，那么选择哪一中值定理成为解题的关键。 针对题目的特点，可根据如下情况选择对应的微分中值定理：如果结论不包含端点，优先考虑罗尔定理；如果结论中包含端点，则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。那么选择拉式还是柯西定理，需要对结论做进一步的处理，化为定理的标准形式。如第一个标准，左边是只含端点，右边只含中值；第二个标准，左边进一步处理，分子分母减号，一侧只含右端点，一侧只含左端点。整理后，如果分母是端点相减，则选择拉格朗日定理；否则，选择柯西定理。 三、求解步骤及历年真题解析 涉及到微分中值定理，一般首先要找辅导函数。针对拉式中值定理和柯西定理，经过对要证明的结论化为标准形式，可直接得出辅助函数。而罗尔定理，需要把结论化为微分方程的一般形式，使用积分因子法可找到。 有了辅助函数，根据中值定理，列出定理对应的三个条件，得出结论。 第三章 微分中值定理及其应用 3.1 中值定理 3.1.1 费马引理 设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。 备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。 3.1.2 罗尔定理 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至 少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。 （1）罗尔定理的三个条件缺一不可。 （2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。 （3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。 例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。 例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ， 0)()('' b f a f 。证明： （1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf （2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。 例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i n n ,2,1,,01 2)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2 ,0(π内至少有一个实根。 激励理论与应用 激励（Motivation）一词来自于古拉丁语“movere”，其原意是指“移动”。现在，人们已经将其引申至有关员工的激励方面，并且将其定义为鼓舞、导向人的行为，使人们朝向某一特定目标行为的倾向。激励可以激发人的潜能，使其充分发挥积极性和创造性。因而，一个组织要能够卓有成效，就必须重视能够使人加入某一组织并在其中努力工作、成绩突出的激励问题。只有这样，才能使外界推动力转化为自身动力，使组织目标转化为个人目标，使个体由消极的“要我做”转化为积极的“我要做”。 当前，激励问题已经为越来越多的组织和管理人员所重视，并且也是管理人员和心理学家们所关注的中心问题。本章主要介绍有关激励的一些基本理论及其研究方法，并据此为管理实践提出一些建议。 3.1马斯洛的需要层次理论 亚伯拉罕·马斯洛（Abralana Maslow）的需要层次理论（Hierarchy of Needs Theory）是研究人的需要和动机及组织激励时应用得最为广泛也最为人知的理论。 马斯洛认为，人有一系列复杂的需要，人类便受到想要满足这些需要的激励；这些需要被假定是按其优先次序而排成阶梯式层次，人们以一定的顺序依次来满足这些需要，从最低级需要直到最高级需要。 3.1.1五大需要层次 马斯洛认为，可以将人类一系列复杂的需要归纳为五类基本需要，即生理需要、安全需要、社交需要、尊重需要和自我实现的需要。这五类需要排列的层次结构如图3.1所示，它们是有序地纵向排列，依次被满足。图3.1需要层次 1）生理需要 这是人类最基本的需要，主要包括对食物、水、空气和住房等的需要。虽然这些需要的级别最低，但这是人类个体为了生存而必不可少的需要。人们只有在满足了这类需要之后，才可能转向较高层次的需要，也即所谓“衣食足然后知荣辱”。很难想象，一个人处于饥饿状态时还会对诸如安全与爱情、信任与友爱或渴望名誉与声望等其他事物感兴趣，对于此人而言，缺乏食物的饥饿需要占据最大优势，他的首要动力便是得到食物。此时，只要能够使他满足饥饿的任何措施都会成为一种激励力量。因此，当一个人为生理需要所控制时，其他一切需要只能退居幕后。 当然，尽管生理需要是最低层次的需要，但当前仍然有许多人不能满足这些基本需要。因而，在一个组织中，如果员工还处于为满足生理需要而忙碌的状态，他们所关心的问题就是能够获得报酬以满足生理需要，而不在乎所做的工作如何。只要能够满足需要，任何工作都是可以接受的。 2）安全需要 第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),() ()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 主要概念： 激励：“激励”一词，作为心理学术语，指的是持续激发人的动机的心理过程。通过激励，在某种内部或外部刺激的影响下，使人始终维持在一个兴奋状态中。激励是指引起个体产生明确的目标指向行为的内在动力。 激励过程：激发人的动机的心理过程的模式可以表示为：需要引起动机、动机引起行为，行为又指向一定的目标。这表明，人的行为都是有动机支配的，而动机则是由需要引起的，人的行为都是在某种动机的策动下为了达到某个目标有目的的活动。 目标 行为 动机 需要 动机激发的心理过程模式图 激励系统：激励系统指的是由相互关系、相互作用的激励因素构成的一个整体，包括以下三个方面：激励时间维指激励过程；激励空间维指激励层次；激励逻辑维指各种激励因素。 思考题 1、将激励称为工作动机的意义何在？ 首先，激励是生产力的促进剂、推动剂。 其次，激励是以人为中心的管理思想的主要管理职能。 总之，正确的认识激励理论、模式，不失时机的采用适当的激励手段与方法，对各级管理人员具有很大的指导作用，可以避免决策失误。 2、试述激励的特征，并举例说明。 激励具有以下的特征： （1）激励是人—人系统，即激励主题（激励者）和客体（被激励者）组成一个复杂的人—人系统。 （2）激励系统是动态的。激励双方的心理需求、心态、激励环境、激励因素都是随即多变的。 （3）激励系统是耗散的。耗散是一个远离平衡的开放系统的固有特性。在外界条件变化达到某一特定值时，量变可 能引起质变，系统通过不断地与外界交换能量与物质就 可能从原来的无序状态转变为一种时间、空间与功能的 有序状态。 （4）激励系统是一个非平衡的动态开放系统。 （5）激励系统是可分的。 中值定理 函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。 代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库
(整理)中值定理的应用方法与技巧.
第3章 微分中值定理与导数的应用总结
第三章复习思考题答案
关于高等数学常见中值定理证明及应用
第三章微分中值定理导数的应用
微分中值定理及其应用
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第三章 中值定理与导数的应用经典例题
微分中值定理
2016考研数学：三个微分中值定理
第三章 微分中值定理及其应用
激励理论与应用
3第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答
现代激励理论与应用第一章课后答案
三大中值定理
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