2.3.2运用公式法学案
班级 姓名 座号 日期 星期
学习目标
（1）了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用完全平方公式进行因式分。
重点：运用（完全平方）公式法分解因式
难点：完全平方式的识别和运用公式法分解因式。
教学程序
一、课前准备 自主探究
1．(1)（a+b)(a –b ） = ；
（2）（a+b ）2 = ；
（3）（a –b ）2 = .
思考：其中（2）（3）左边的结构特征是 右边的结构特征是
2据上面式子填空：（1）a 2 –b 2 = ；
（2）a 2 –2ab+b 2 = ；
（3）a 2 +2ab+b 2 = .
结论：形如a 2 +2ab+b 2 与a 2 –2ab+b 2 的式子称为完全平方式
口诀：首平方、尾平方， 。
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。
完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-
牛刀小试：下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解．
（1）x 2 –4xy+4y 2 （2）x 2 +4xy –4y 2 （3）4m 2 –6mn+9n 2
（4）m 2 +6mn+9n 2
自主学习例3和例4回答问题：
例3把下列完全平方公式分解因式：（1）x2+16x+64;(2)(m+n)2-4(m+n)+4
解：（1）x2+16x+64=__________________=(____+____)2
(2) (m+n)2-4(m+n)+4=[(_________)-____]2=(__________)2
注意：完全平方公式中的a与b不仅可以表示，也可以表示。
例4将下列各式因式分解：
（1）3ax2 +6axy+3ay2（2）–x 2–4y2 +4xy
解：（1）原式= (x2 +2xy+y2 )= (x+y)2
（2）原式= (x 2–4xy +4y2 )
= (x–2y)2
2._________ 是分解因式首先应当考虑的方法 .
二尝试练习、知识应用课本随堂练习58页1、2题。
三．合作交流展示解疑
请把随堂练习和习题中自己不会的题进行小组讨论交流、互助解决，如果还有不能解决的题交给老师。
盘点收获
1.从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？
注意：在分解因式时如各项有公因式则先；
2.我的疑惑：在自主探究过程中，我对问题存在疑惑和困难，难以解决的问题有第题（写题号）.
2.3.2运用公式法小测
1、判断正误：
（1）x2 +y2 =(x+y)2 ( )
（2）x2–y 2 = (x–y) 2 ( )
（3）x 2–2xy–y 2 = (x–y) 2 ( )
（4）–x 2–2xy–y2 = –(x+y)2 ( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–4x+4 （2）9a2 b2–3ab+1
（3） m 2 +3mn+9n2（4）x 6–10x 5+25
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2（2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2（4）4–12（x–y）+9（x–y)2
新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法（第2课时） 学习目标1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过 程，理解公式中字母的意 2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分 解。 3．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式. 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：能灵活应用提公因式法、公 式法分解因式，且把多项式的每一 个因式都分解到不能再分解. 时间 分配 导课3分、探索新知10分、典例示范10分小结2分、巩固15分 学习过程 学案（学习过程）导案（学法指导）一.提出问题，创设情景 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方 法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？ 能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 二、探索新知 1、下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）x2-6x-9 （4）a2+a+0.25 方法总结：凡是可以写成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2这 样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可 以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。因此，我们把形 如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式 . 2、完全平方公式： 文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 a2+2ab+b2＝（a+b）2 a2-2ab+b2＝（a-b）2 导课： 通过问题导入。 所设置的问题也是前面 学习的乘法公式。 让学生分析、讨论、总 结，最后总结方法，必 要时教师可适度引导。 完全平方公式其实就是 乘法公式的逆运算。
八年级数学下册公式法（二）的概念导学案 （2）会用完全平方公式进行因式分解； （3） 清楚优先提取公因式，然后考虑用公式 本节重难点：1、用完全平方公式进行因式分解 2、 综合应用提公因式法和公式法分解因式 中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。 预习作业：请同学们预习教材内容： 1. 完全平方公式字母表示: . 2、形如222a ab b ++或222a ab b -+的式子称为 3. 结构特征：项数、次数、系数、符号 一、创设情境 导入新课 填空： （1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ； （3）（a –b ）2= ； 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ； （3）a 2+2ab +b 2= ； 二、归纳 结 论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式． a 2–2ab+ b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。 三、合作探究 探究一、： 把下列各式因式分解： （1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2 （3）m 2– 9 132+m （4）()()1682++++n m n m 探究二、将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy
学法指导：优先提取公因式，然后考虑用公式 探究三： 分解因式 （1） （2） （3） （4） 学法指导：把 分解因式时： 1、如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P 的符号相同 2、如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P 的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P 探究四、当x 为何值时，多项式221x x ++取得最小值，其最小值为多少？ 四、当堂检测：1、因式分解 （1） （2） （3） 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法 口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。 2、选做： （1）若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m,k 为常数，求m+k 的值 （2）已知2246130x y x y +-++=，求x,y 的值 五、布置作业 六、教后反思 232++x x 6 72+-x x 21 42--x x 15 22-+x x q px x ++28 624++x x 2 223y xy x +-2 34283x x x --
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
22.2.2用公式法解一元二次方程导学案 一、学习目标导告： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程； 难点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误. 二、学习过程导学 一）独学： 1、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式，并说出二次项系数、一次项系数和常数项。（1）-x2-4(2x-3)=9 (2)3x(x-1)=5(x+2) 2、用配方法解一元一次方程的步骤有哪些？ 3、预习课本P34-37页，标注你的凝难。 二）对学：学习对子讨论学习（合作交流） 1、一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 2、你能否用上面配方法的步骤求出ax2+bx+c=0（a≠0）的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：， 二次项系数化为1，得 配方，得：即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac＞0，则 2 2 4 4 b ac a - ＞0 直接开平方，得：即∴x1= ，x2=
（2）b2-4ac=0，则 2 2 4 4 b a c a - =0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0 （a≠0）有两个的实根。 （3）b2-4ac＜0，则 2 2 4 4 b a c a - ＜0，此时（x+ 2 b a ）2 ＜0，而x取任何实数都不能使（x+ 2 b a ） 2 ＜0，因此方程实数根。 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号 ○2求出b2-4ac的值 ○3当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2-4ac的值带入求根公式x1，x2； 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根 三）群学： 1、学习小组讨论学习独学、对学内容。 2、解决下列问题 1、不解方程，判别一元二次方程根的情况： （1）2x2+3x-4=0 (2) 16x2+9=24x (3)5(x2+1)-7x=0 2、若关于一元二次方程3x2-3x+c=0有实数根，则方程c的取值范围是______。 3、用公式法解下列方程： （1）x2-4x-7=0 （2）2x2-22x+1=0 （3）52-3x=x+1 (4)x2+17=8x 4、课堂小结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式__________________，根的判别式________，当Δ＞0时，方程有__________________，当Δ=0时，方程有____________ ______，当Δ≥0时，方程______________________，当Δ＜0时，方程__________________。 三、学习内容反馈 通过本节课的学习你有什么收获？你预习时的凝难解决了吗？还有哪些需要帮助解决的？ 四、学习内容展示 分组展示独学、对学、群学内容
2019-2020学年八年级数学下册 2.3运用公式法（一）导学案北师大 版 学习目标： （1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行因式分解； 本节重难点： 用平方差公式进行因式分解 中考考点：正向、逆向运用平方差公式。 预习作业： 请同学们预习作业教材P54~P55的内容： 1. 平方差公式字母表示: . 2. 结构特征：项数、次数、系数、符号 活动内容：填空： （1）（x+3）（x –3） = ； （2）（4x+y ）（4x –y ）= ； （3）（1+2x ）（1–2x ）= ； （4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 根据上面式子填空： （1）9m 2–4n 2= ； （2）16x 2–y 2= ； （3）x 2–9= ； （4）1–4x 2= ． 结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ） 平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央 例1： 把下列各式因式分解： （1）25–16x 2 （2）9a 2– 241b
变式训练： （1）24420.1649a b m n - （2）2219 a b -+ 例2、将下列各式因式分解： （1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x 变式训练： （1）22()()x m n y n m -+- （2）5a a - 注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式 2、公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式 3、各项都有公因式，一般先提公因式。 例3：已知n 是整数，证明：2 (21)1n +-能被8整除。 拓展训练： 1、计算： )1)......(1)(1)(1(22221001413121----
公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取
任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：
SX-13-11-041 《14.3.2 公式法（2）》导学案 编写人：王朝龙编写时间： 2014.10.18 班级：组名：姓名：等级： 【学习目标】: 1、会用完全平方公式分解因式。 2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。 3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展观察、类比、归纳、预见等能力，体会换元思想，提高处理数学问题的技能。 【学习重点】：用完全平方公式因式分解。 【学习难点】：1、准确判断一个多项式是否为完全平方式2、用换元的思想来因式分解 【知识链接】：1、分解因式学了哪些方法？ 2、分解因式：①ax4-ax2②x4-16 3、除了平方差公式外你还学过什么公式？ 【学习过程】： 探究一、 1、完全平方式指的是 2、整式乘法的完全平方公式是 分解因式的完全平方公式是 3、填空 （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2（6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2 4、分解因式 ①16x2＋24x＋9 ②-x2＋4xy -4y2③25x2＋10x＋1 ④ 9a2-6ab+b2⑤49a2+b2+14ab ⑥y2+y+ 4 1 ⑦ 3ax2＋6axy＋3ay2⑧ 探究二、分解因式 ①-a3b3+2a2b3-ab3② 9 - 12(a-b) + 4 (a-b )2③16a4+24a2b2+9b4探究三、1. 已知22是一个完全平方式，求的值 2、已知x2+4x+y2-2y+5=0, 求x-y的值 【课堂小结】:本节课你有什么收获？ 【当堂检测】： 1、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（） A X2-6X-9 B a2-16a+32 C x2-2xy+4y2 D 4a2-4a+1 2、若9x2－12x+k是一个完全平方式，则K的值是 若9x2－12x+k2是一个完全平方式，则K的值是 若m2－km+ 4 1 是一个完全平方式，则m的值是 3、分解因式 ①–x2-8x-16 ②2x4+4x3+2x3③ ma2-4ma+4m ④ a4-8a2b2+16b4⑤9(a-b)2-6(a-b)+1 ⑥–x4+x2y2 ⑦-2xy-x2-y2⑧x2+3x+ 4 9 ⑨（x+2）(x+3)-x2- 2 7 4、已知x2-4x+y2-10y+29=0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值。 36 ) ( 12 ) (2+ + - +b a b a
八年级数学下册 2.3运用公式法（二）导学案 北师大版 3、运用公式法 （二）学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）清楚优先提取公因式，然后考虑用公式本节重难点： 1、用完全平方公式进行因式分解 2、综合应用提公因式法和公式法分解因式中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。预习作业：请同学们预习作业教材P57~P58的内容： 1、完全平方公式字母表示: 、 2、形如或的式子称为 3、结构特征：项数、次数、系数、符号填空： （1）（a+b）（a-b） = ；（2）（a+b）2= ；（3）（a–b）2= ；根据上面式子填空：（1）a2–b2= ；（2）a2– 2ab+b2= ；（3）a2+2ab+b2= ；结论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式、a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。例1： 把下列各式因式分解： （1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）例
2、将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）– x2–4y2+4xy 注：优先提取公因式，然后考虑用公式例3：分解因式（1）（2）（3）（4）点拨：把分解因式时： 1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P的符号相同 2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P变式练习：（1）（2）（3）借助画字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做字相乘法口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。拓展训练：１、若把代数式化为的形式，其中m,k为常数，求m+k的值２、已知，求x,y的值３、当x为何值时，多项式取得最小值，其最小值为多少？
公式法（一） 【目标导航】 能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解． 【复习导入】 把下列各式分解因式： 1．－4m3＋16m2－26m； 2．(x－3)2＋(3x－9)； 3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1； 4（2011福建福州）分解因式：225 x-=. 5．y2－25 【合作探究】 1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点： 2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式： 【合作探究】 练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ (1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2； (4)－x2－y2；(5) 1 4 a2b2－1；(6) x4－y4. 例1 把下列多项式分解因式 (1) 4x2－9； (2) (x＋p)2－(x＋q)2； (3) 16－ 1 25 m2； (4)－(x＋2)2＋16(x－1)2． 例2 把下列多项式分解因式 (1) x4－y4； (2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－ 9x= ． (3)－ 1 4 xy3＋0.09xy； (4)a2－b2＋a－b； (5)(p－4)(p＋1)＋3p. 练习：把下列多项式分解因式 (1) a2－ 1 25 b2； (2) 9a2－4b2； (3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因 式所得的结果是（） (A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4） (C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2） (4)－a4＋16； (5) m4(m－2)＋4(2－m) 例3 在实数范围内分解因式 (1) x2－2； (2) 5x2－3. 例4(1) 计算：9972－9 (2)设n是整数，用因式分解的方法说明： (2n＋1)2－25能被4整除． (3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31， 你能求出x、y的值吗？ 【课堂操练】 1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b). 2．分解因式:4x2－9y2= ； 3x2－27y2= ； a2b－b3= ； 2x4－2y4= . 3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（） A. x2＋y2 B. x2＋y4 C. x2－y4 D. x2－2x 4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解 因式的结果，这个多项式是（） A. 4a2－b2 B.4a2＋b2 C. －4a2－b2 D. －4a2＋b2 5．分解因式： (1)9a2－ 1 4 b2； (2)2x3－8x； (3)(m＋a)2－(n－b)2. 【课后巩固】 1.把下列各式分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2 (2) p4－16 (3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2
14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：
结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；
【学习目标】 1．会用完全公式进行因式分解。 2．进一步明确因式分解对结果的要求。 3．学会逆向思维，渗透化归的思想方法。 【学习重点】运用完全平方公式分解因式。 【学习难点】对需要综合运用多种方法的多项式的因式分解。 【知识准备】 1.平方差公式（用字母表示） 。 2. 2()a b += ； 2()a b -= 。 3.因式分解： 2(1)436b - 22 (2)()()x p x q +-+ 【自习自疑文】 一、阅读教材P117-P118内容，并思考回答下列问题。 1．辩一辩：下列各式是完全平方式？为什么？ 2(1)44a a -+ 22(2)44x x y ++ 221 (3)424 a a b b ++ 22(4)a ab b -+ 2(5)69x x -- 2(6)0.25a a ++
2．完全平方公式（用字母表示）： 。 3．完全平方公式的特征是 。 二、预习评估 分解因式 2(1)11025t t ++ 2(2)1449m m -+ 21(3)4 y y ++ 2 (4)21a a ++ 【我想问】 请你将预习中遇见的问题和疑问写下来，等待课堂上与同学、老师共同探究解决。 等级 组长（或家长）签字 【自主探究文】 【探究一】分解因式： 2(1)1236x x ++ 4224(2)816a a b b -+ 2(3)(1)6(1)9x x -+-+ 22(4)363ax axy ay -+-
【探究二】 1、代数式2 2169y kxy x +-，求k 的值。 2、2244y y ---分解因式：9a 【探究三】2 2 46130,y x y x y +-++=已知：x 求、的值 【探究四】 222b c ABC 0,ABC a b c ab bc ac ?++---=?已知、、是的三条边，且满足a 试判断的形状。
第四章因式分解 第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。 一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。 定义解析：（1）等式左边必须是 （2）分解因式的结果必须是以的形式表示； （3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解 为止。 二、合作探究 探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不
是分解因式？为什么？ （1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2） －3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ） 三、提升训练 1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )
八年级数学导学案2.31运用公式法（一）导学案 学习目标： （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. 一、课前准备（预习教材P54-P56，找出疑惑之处） 复习整式乘法的公式 二、新课导学 创设问题情境，引入新课 在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. 互动探究 探究任务一： 请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）（2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ 2.公式讲解 请大家观察式子a2－b2,找出它的特点. 是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. 如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）. 9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m－2n） 探究任务二： ［例1］把下列各式分解因式： 用心爱心专心 1
《21．2.2 公式法》教案 【教学目标】 1．知道一元二次方程根的判别式的概念． 2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围． 3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程． 【教学过程】 一、情境导入 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋1 4 ＝0； (3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋1 4 ＝0，a＝1，b＝－1，c＝ 1 4 .∴b2－4ac＝(－1)2－4×1× 1 4 ＝0.∴
方程有两个相等的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3 ＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况 已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根． 方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论． 【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把 每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由． 解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是
用公式法进行因式分解导学案 学习目标： 1、会用公式法进行因式分解。 2、了解因式分解的步骤。 学习重点：会用公式法进行因式分解。 学习难点：熟练应用公式法进行因式分解。 一、课前预习： 1.旧知回顾： （1）写出平方差公式和完全平方公式 （2）把下列单项式因式分解： ①225x 1015y xy xy -+ ②()()2 4a 33-a -- ③322-4ab 1210a b ab -+ ④()()23126-y x y x -+ 2.新知预习： 预习课本43页到44页练习以上内容，了解下列问题： （1） 什么是公式法因式分解？ （2） 例1和例2分别是用哪个公式进行的因式分解？你能正确找到公式中的a 和b 吗？ 二．课内探究： 把旧知回顾中的公式反过来，就得到： （1） （2） （3） 把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做 。 典例剖析： 例1、因式分解： （1）. 24x 25- （2）. 22 1 169a b - (3) 41a - 对应训练：课后练习题1 解：（1）. （2）. （3）. （4）. 例2、因式分解： （1）. 225x 204x ++ （2）221934 m mn n -+ 对应训练： 课后练习题2 三．知识小结：
四．达标检测 一．平方差公式 1、把下列各式分解因式： （1）29a - （2）22 49a b - (3) 2199 a -+ (4) 2442516a y b -+ 二．完全平方公式 1、把下列各式分解因式： （1）244x x ++ （2）24129x x -+ （3）22293 m mn n -+ （4）222ab a b -- （5）2244x y xy --+ （6）222()()x x y z y z --++ 五．课后延伸： 练习册题目 六．布置作业 巩固性作业：完成练习册上的题目 预习性作业：预习45页例3、例4，了解这两个例题的因式分解步骤是什么？
九年级数学上册 2.2.2 公式法导学案（新版） 湘教版 2、2、2 公式法学习目标： 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念。 2、会熟练应用公式法解一元二次方程、学习重点：求根公式的推导和公式法的应用、学习难点：一元二次方程求根公式法的推导、学习过程 一、问题引入： 1、知识回忆（学生活动）：用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 2、情境导入：用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的实数根呢？请同学独立完成下面这个问题、问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2= 二、探究新知： 请同学们带着以下问题用10分钟的时间自学完教材P35—P37动脑筋前的内容，并完成下面的自学检测中的练习。 1、自学思考题：
⑴如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？ 配方时需要哪几个步骤？ ⑵方程(x+)2=一定有实数根吗？ ⑶ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由什么决定？求根公式的意义是什么？ ⑷ 为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？ （学生尝试，分组讨论交流，分析公式的特点，记忆公 式。） 2、自学检测： ⑴用公式法解方程2x2-7x=3时，其中a、b、c、的值分别为。 ⑵一元二次方程x2+2=3x,则b2-4ac= x1= x2= ⑶方程x2-5x-6=0的两根为x1= x2= ⑷用公式法解方程3x2-4=x时，其中a= b= c= b2-4ac= 方程的根x1= x2= ⑸在一元二次方程2x2-3x+2=0 中，b2-4ac= 此方程实数解。 3、自学点拨： ⑴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、 b、c而定。 ⑵解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子就得到方程的根、4、实践交流：
时导学案人教版五四制 学习目标： 1．学习用完全平方公式分解因式，并能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．2．基本能做到：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解． 教学过程： 一、根据问题，自主探究 1. 完成乘法公式：（a+b）2=_____________（a－b）2=______________ 将完全平方公式反过来写： ___________________________;_______________________________ 2. 形如a2+2ab+b2 或a2－2ab+b2的式子称为___________ 把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用_________ 二、合作交流，成果展示 1 集体交流，并完成下面的问题 1)下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+1 4 b2 （4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25（2) 将下列各式分解因式： （1）4x2+28x+49; （2）（m+n）2－（m +n）+1 4 . （3）6ax2+12axy+6ay2(4)－x2+4xy－4y2
三、巩固拓展，升华认知 1.课本第12页随堂练习1、2题 2.把下列各式分解因式 （1）6a-a 2-9； （2）-8ab -16a 2-b 2； （3）2a 2-a 3-a ； （4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2 （5）a a a 1812223-+- (6) 2x 2y －8xy ＋8y (7)、1222-+-b ab a 四、小结反思，智慧生成 1. 通过本节的学习，你认为应当如何分解因式？ 五、课堂检测，评价收获 1.若01222 =+-++b b a ，则22ab b a +的值为_______。
公式法（2） 一.巩固案 1.把下列各式分解因式 (1).ab b a 16163- (2)x x 1233+- (3)224)2(x y x -+ 2.已知m+n=2010,m-n=-1,求2244n m -的值. 二.预习案 1.课前预习:（阅读课本P169-170） 2.用幂的相关知识填空： (1)()2216a = (2)()42x = 3.用整式乘法的完全平方公式填空. (1)()()____________2)1(222=+??+=+a (2)()()__________2)(222=+??-=-b a 4.你能用提公因式法把多项式122+-a a 分解因式吗?若不能,能用平方差公式分解吗?若不能,你会想什么办法解决这个问题?观察第3题你会有什么发现?用你的发现尝试把下列多项式分解因式. (1)()()________212222=+??-=+-a a (2)()()____________222222=+??-=+-b ab a 5．根据上面的填空完成下面的知识归纳. (1)第3题由左到右的变形是 ,第4题由左到右的变形是 . (2)我们把整式乘法的完全平方公式: ____________________________)(2=+b a __________________________________)(2=-b a 反过来就得到因式分解的完全平方公式: 22)(___________________________________)(___________________________________b a b a -=+=用文字描述为: . (3)我们把 和 叫完全平方式. 6.尝试练习:用完全平方公式分解因式. (1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( ) A.241a + B.22b ab a ++ C.442+-a a D.1442-+b b