当前位置：文档之家› 五年中考三年模拟九年级上数学北师大版

五年中考三年模拟九年级上数学北师大版

[第1页第2题]如图1-1-1, 四边形ABCD中, AD∥BC且AD=BC, 当△ABC满足什么条件时, 四边形ABCD是菱形? 请说明理由.

图1-1-1

[答案](答案详见解析)

[解析]当△ABC为等腰三角形, 即AB=BC时, 四边形ABCD为菱形. 理由如下:

∵四边形ABCD中, AD∥BC且AD=BC,

∴四边形ABCD为平行四边形.

又AB=BC, ∴平行四边形ABCD为菱形.

[第1页第3题](2012四川成都中考) 如图1-1-2, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, 下列说法错误的是()

图1-1-2

A. AB∥DC

B. AC=BD

C. AC⊥BD

D. OA=OC

[答案] B

[解析]A选项, 菱形的对边平行且相等, 所以AB∥DC, 本选项正确; B选项, 菱形的对角线不一定相等, 本选项错误; C选项, 菱形的对角线一定互相垂直, 所以AC⊥BD, 本选项正确; D选项, 菱形的对角线互相平分, 所以OA=OC, 本选项正确. 故答案为B.

[第1页第4题](2013湖南怀化中考) 如图1-1-3, 在菱形ABCD中, AB=3, ∠ABC=60°, 则对角线AC=()

图1-1-3

A. 12

B. 9

C. 6

D. 3

[答案] D

[解析]∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, 又∵∠ABC=60°,

∴△ABC为等边三角形, ∴AC=AB=3. 故选D.

[第1页第1题]用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()

A. 等腰梯形

B. 正方形

C. 矩形

D. 菱形

[答案] D

[解析]四条边相等的四边形是菱形.

[第1页第6题](2013山东淄博中考) 如图1-1-5, 菱形纸片ABCD中, ∠A=60°, 折叠菱形纸片ABCD, 使点C落在DP(P为AB中点) 所在的直线上, 得到经过点D的折痕DE. 则∠DEC的大小为()

图1-1-5

A. 78°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

[答案] B

[解析]连接BD, ∵四边形ABCD为菱形, ∠A=60°, ∴△ABD为等边三角形, ∠ADC=120°, ∠C=60°, ∵P为AB的中点,

∴DP为∠ADB的平分线, 即∠ADP=∠BDP=30°, ∴∠PDC=90°, ∴由折叠的性质得∠CDE=∠PDE=45°, 在△DEC中, ∠DEC=180°-(∠CDE+∠C) =75°. 故选B.

[第1页第7题](2013江苏无锡中考) 如图1-1-6, 菱形ABCD中, 对角线AC交BD于O, AB=8, E是CD的中点, 则OE的长等于.

图1-1-6

[答案] 4

[解析]∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=AB=8, OD=BO,

∵E是CD的中点, ∴OE是△DBC的中位线, ∴OE=BC=4.

[第1页第8题]如图1-1-7, 在菱形ABCD中, 已知AB=10, AC=16, 那么菱形ABCD面积为.

图1-1-7

[答案]96

[解析]由题意得AC⊥BD, OA=OC, OB=OD, 又AB=10, AC=16, ∴OA=8. ∴BO==6, ∴BD=12, ∴S菱形

ABCD=AC·BD=×16×12=96.

[第1页第9题](2013四川内江中考) 如图1-1-8, 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8, M、N分别是边BC、CD的中点, P 是对角线BD上一点, 则PM+PN的最小值=.

图1-1-8

[答案] 5

[解析]作M关于BD的对称点Q, 连接NQ, 交BD于P, 连接MP、NP, 此时MP+NP的值最小, 连接AC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∠QBP=∠MBP, 即Q在AB上, ∵MQ⊥BD, ∴AC∥MQ, ∵M为BC的中点, ∴Q为AB的中点, ∵N为CD的中点, 四边形ABCD是菱形, ∴BQ∥CD, BQ=CN, ∴四边形BQNC是平行四边形, ∴NQ=BC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴CP=AP=3, BP=PD=4, 在Rt△BP C中, 由勾股定理得BC=5, 即NQ=5, ∴MP+NP=QP+NP=QN=5, 故答案为5.

[第2页第10题](2013广东广州中考) 如图1-1-9, 四边形ABCD是菱形, 对角线AC与BD相交于点O, AB=5, AO=4, 求BD的长.

图1-1-9

[答案](答案详见解析)

[解析]∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD且BO=OD, 即△ABO是直角三角形,

在Rt△ABO中, BO2=AB2-AO2, 其中AO=4, AB=5,

∴BO=3, 又∵BO=OD, ∴BD=2BO=6, ∴BD的长为6.

[第2页第12题]下列条件:

①四边相等的四边形;

②对角线互相垂直且平分的四边形;

③一组邻边相等的四边形;

④一条对角线平分一组对角的平行四边形.

其中能判断四边形是菱形的有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

[答案] C

[解析]①四边相等的四边形是菱形, 故①正确. ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 故②正确. ③一组邻边相等的平行四边形是菱形, 故③错误. ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形, 故④正确. 故选C.

[第2页第13题](2013海南中考) 如图1-1-11, 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE, 连接AD, 下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是()

图1-1-11

A. AB=BC

B. AC=BC

C. ∠B=60°

D. ∠ACB=60°

[答案] B

[解析]由平移, 得AC∥DE, AC=DE, ∴四边形ACED是平行四边形, 又∵BC=CE, ∴当AC=BC时, AC=CE, ∴平行四边形ACED是菱形. 故选B.

[第2页第11题]四边形ABCD是菱形, 点P是对角线AC上一点, 以点P为圆心, PB为半径画弧, 交BC的延长线于点F, 连接PF, PD, PB.

(1) 如图1-1-10①, 当点P是AC的中点时, 请直接写出PF和PD的数量关系;

(2) 如图1-1-10②, 当点P不是AC的中点时, 求证: PF=PD.

图1-1-10

[答案](答案详见解析)

[解析](1) PF=PD.

(2) 证明: ∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.

在△ABP和△ADP中,

∴△ABP≌△ADP(S AS),

∴PB=PD,

又∵PB=PF,

∴PF=PD.

[第2页第14题](2013四川遂宁中考) 如图1-1-12, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E, F, 并且

DE=DF.

求证: (1) △ADE≌△CDF;

(2) 四边形ABCD是菱形.

图1-1-12

[答案](答案详见解析)

[解析](1) ∵DE⊥AB, DF⊥BC,

∴∠AED=∠CFD=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C.

在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(AAS).

(2) ∵△ADE≌△CDF, ∴AD=CD,

又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形.

[第2页第15题](2013山东泰安中考) 如图1-1-13, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, E是CD上一点, BE交AC于F, 连接DF.

(1) 证明: ∠BAC=∠DAC, ∠AFD=∠CFE;

(2) 若AB∥CD, 试证明四边形ABCD是菱形;

(3) 在(2) 的条件下, 试确定点E的位置, 使∠EFD=∠BCD, 并说明理由.

图1-1-13

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 证明: ∵AB=AD, CB=CD, AC=AC,

∴△ABC≌△ADC,

∴∠BAC=∠DAC.

∵AB=AD, ∠BAF=∠DAF, AF=AF,

∴△ABF≌△ADF, ∴∠AFB=∠AFD.

又∵∠CFE=∠AFB, ∴∠AFD=∠CFE.

(2) 证明: ∵AB∥CD,

又∵∠BAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠ACD, ∴AD=CD.

∵AB=AD, CB=CD,

∴AB=CB=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

(3) 当BE⊥CD时, ∠EFD=∠BCD. 理由:

∵四边形ABCD为菱形,

∴BC=CD, ∠BCF=∠DCF.

又∵CF=CF, ∴△BCF≌△DCF,

∴∠CBF=∠CDF.

∵BE⊥CD, ∴∠BEC=∠DEF=90°,

∴∠EFD=∠BCD.

[第3页第2题](2013山东滨州, 8, ★★☆) 如图1-1-20, 将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置, 连接AD、BD, 则下列结论: ①AD=BC; ②BD、AC互相平分; ③四边形ACED是菱形. 其中正确的个数是()

图1-1-20

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

[答案] D

[解析]∵△DCE是由△ABC平移得到的, ∴AB∥CD, AB=CD.

∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD=BC, BD、AC互相平分, 即①②正确. 同理, 四边形ACED是平行四边形, 又∵△ABC是等边三角形, ∴AC=CE, ∴平行四边形ACED是菱形, 即③正确.

[第3页第3题](2014辽宁本溪期中, 23, ★★☆) 如图1-1-17, 在△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, BE=2DE, 延长DE到F, 使得EF=BE, 连接CF. (12分)

(1) 求证: 四边形BCFE是菱形;

(2) 若CE=4, ∠BCF=120°, 求四边形BCFE的面积.

图1-1-17

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 证明: ∵D、E分别是AB、AC的中点,

∴DE∥BC, BC=2DE.

∵BE=2DE, EF=BE, ∴BC=EF,

∴四边形BCFE是平行四边形,

又EF=BE, ∴平行四边形BCFE是菱形.

(2) 连接BF交CE于点O.

由(1) 知四边形BCFE是菱形.

∴BF⊥CE, ∠BCO=∠BCF=60°, OC=CE=2.

在Rt△BOC中, BO===2.

∴BF=2BO=4,

∴四边形BCFE的面积=CE·BF=×4×4=8.

[第3页第1题](2013广东佛山一模, 7, ★☆☆) 如图1-1-15, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, OE⊥AB, 垂足为E, 若∠ADC=130°, 则∠AOE的大小为()

图1-1-15

A. 75°

B. 65°

C. 55°

D. 50°

[答案] B

[解析]在菱形ABCD中, ∠ADC=130°, ∴∠BAD=180°-130°=50°, ∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°, ∵OE⊥AB,

∴∠AEO=90°, ∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.

[第3页第16题]如图1-1-14①所示, 在△ABC和△EDC中, AC=CE=CB=CD, ∠ACB=∠ECD=90°, AB与CE交于F, ED与AB, BC分别交于M, H.

①

②

图1-1-14

(1) 求证: CF=CH;

(2) 如图1-1-14②所示, △ABC不动, 将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时, 试判断四边形ACDM是什么四边形, 并证明你的结论. [答案](答案详见解析)

[解析](1) 证明: ∵∠ACB=∠ECD=90°,

∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ∴∠1=∠2.

又∵AC=CE=CB=CD,

∴△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,

∴∠A=∠D=45°.

∴△ACF≌△DCH, ∴CF=CH.

(2) 四边形ACDM是菱形. 证明如下:

∵∠ACB=∠ECD=90°, ∠BCE=45°,

∴∠1=45°, ∠2=45°.

易知∠E=∠B=45°,

∴∠1=∠E, ∠2=∠B.

∴AC∥MD, CD∥AM,

∴四边形ACDM是平行四边形.

又∵AC=CD, ∴平行四边形ACDM是菱形.

[第4页第1题]如图1-1-25所示, 已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF, 请回答下列问题:

(1) 四边形ADEF是什么四边形?

(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是菱形?

(3) 当△ABC满足什么条件时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?

图1-1-25

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 四边形ADEF是平行四边形.

在等边△BCE和等边△ABD中, BD=AB, BE=BC.

又∠DBA=∠EBC=60°, ∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA, 即∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△ABC(SAS), ∴DE=AC=AF.

同理, AD=AB=EF.

∴四边形ADEF是平行四边形.

(2) 若AD=AF, 则四边形ADEF为菱形,

∴当△ABC满足AB=AC时, 四边形ADEF为菱形.

(3) 由(1) 可得∠BAC=∠BDE=60°+∠ADE.

当∠ADE=0°时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在, 此时∠BAC=60°. ∴当∠BAC=60°时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.

[第4页第2题]某校九年级学习小组在探究学习过程中, 用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1-1-26①所示位置放置, 现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°< α< 90°), 如图1-1-26②, AE与BC交于点M, AC与EF交于点N, BC与EF 交于点P.

(1) 求证: AM=AN;

(2) 当旋转角α=30°时, 四边形ABPF是什么样的特殊四边形? 并说明理由.

图1-1-26

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 证明: ∵∠α+∠EAC=90°, ∠NAF+∠EAC=90°, ∴∠α=∠NAF. 又∵∠B=∠F, AB=AF, ∴△ABM≌△AFN, ∴AM=AN.

(2) 四边形ABPF是菱形.

理由: ∵∠α=30°, ∠EAF=90°, ∴∠BAF=120°.

又∵∠B=∠F=60°, ∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°, ∠F+∠BAF=60°+120°=180°, ∴AF∥BC, AB∥EF, ∴四边形ABPF是平行四边形.

又∵AB=AF, ∴平行四边形ABPF是菱形.

[第4页第3题](2013福建泉州, 16, ★★☆) 如图1-1-21, 菱形ABCD的周长为8, 对角线AC和BD相交于点O, AC∶BD=1∶2, 则AO∶BO=, 菱形ABCD的面积S=.

图1-1-21

[答案]1∶2; 16

[解析]∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=AC, BO=BD, AC⊥BD, ∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2. ∵菱形ABCD的周长为8, ∴AB=2, 设AO=k,

BO=2k, 则AB==k=2, ∴k=2, ∴AO=2, BO=4, ∴菱形ABCD的面积S=4S△AOB=4××2×4=16. 故答案为16.

[第4页第4题](2013湖北黄冈, 17, ★★☆) 如图1-1-22, 四边形ABCD是菱形, 对角线AC、BD相交于点O, DH⊥AB于H, 连接OH, 求证: ∠DHO=∠DCO. (6分)

图1-1-22

[答案](答案详见解析)

[解析]∵四边形ABCD是菱形, ∴OD=OB, ∠COD=90°.

∵DH⊥AB于H, ∴∠DHB=90°, ∴OH=BD=OB,

∴∠OHB=∠OBH.

又∵AB∥CD, ∴∠OBH=∠ODC, ∴∠OHB=∠ODC.

在Rt△COD中, ∠ODC+∠OCD=90°,

又∠DHO+∠OHB=90°,

∴∠DHO=∠DCO.

[第4页第5题](2013江苏常州, 23, ★★☆) 如图1-1-23, 在△ABC中, AB=AC, ∠B=60°, ∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角, AD平分∠FAC, CD平分∠ECA.

求证: 四边形ABCD是菱形. (7分)

图1-1-23

[答案](答案详见解析)

[解析]证法一: ∵AB=AC, ∠B=60°,

∴△ABC是正三角形,

∴∠FAC=120°, AB=AC=BC. 又AD平分∠FAC, ∴∠DAC=∠FAC=60°. 同理可证∠DCA=60°, ∴△ADC是正三角形, ∴AD=AC=DC,

∴AB=BC=AD=DC, ∴四边形ABCD是菱形.

证法二: ∵AB=AC, ∠B=60°, ∴△ABC是正三角形, ∴∠FAC=120°, AB=BC.

又AD平分∠FAC, ∴∠DAF=∠FAC=60°, ∴∠B=∠DAF, ∴AD∥BC(同位角相等, 两直线平行).

同理可证AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.

又AB=BC, ∴平行四边形ABCD是菱形.

[第3页第1题](2013四川凉山州, 9, ★★☆) 如图1-1-19, 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()

图1-1-19

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

[答案] C

[解析]∵四边形ABCD为菱形, ∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC=AC=4. ∴正方形ACEF的周长=4×4=16,

∴选C.

[第4页第6题](2013新疆乌鲁木齐, 19, ★★☆) 如图1-1-24, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 分别与BC, CD交于E, F, EH⊥AB于H, 连接FH. 求证: 四边形CFHE是菱形. (10分)

图1-1-24

[答案](答案详见解析)

[解析]证法一: ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠HAE. ∵EH⊥AB于H, ∴∠AHE=∠ACB=90°. 又∵AE=AE, ∴△ACE≌△AHE. ∴EC=EH, AC=AH. 又∵∠CAE=∠HAE, AF=AF,

∴△AFC≌△AFH. ∴FC=FH. ∵CD⊥AB于D, ∠ACB=90°,

∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°. 又∵∠DAF=∠CAE, ∠AFD=∠CFE. ∴∠CFE=∠CEF.

∴CF=CE. ∴EC=EH=HF=FC. ∴四边形CFHE是菱形.

证法二: ∵AE平分∠BAC, EH⊥AB, EC⊥AC, ∴∠1=∠2, EH=EC. ∵∠1+∠3=90°, ∠2+∠4=90°, ∠4=∠5, ∴∠3=∠5. ∴EC=CF. ∴EH=CF. ∵EH⊥AB, CD⊥AB, ∴EH∥CF. ∴四边形CFHE是平行四边形. 又∵EH=EC, ∴平行四边形CFHE是菱形.

[第5页第1题]下面对矩形的定义正确的是()

A. 矩形的四个角都是直角

B. 矩形的对角线相等

C. 矩形是中心对称图形

D. 有一个角是直角的平行四边形

[答案] D

[解析]A、B、C说的全部是矩形的性质, 故A、B、C选项错误, 有一个角是直角的平行四边形是矩形, 故D选项正确. 故选D. [第5页第2题]如图1-2-1, 要使?ABCD成为矩形, 需添加的条件是()

图1-2-1

A. AB=BC

B. AC⊥BD

C. ∠ABC=90°

D. ∠1=∠2

[答案] C

[解析]根据矩形的定义可知, 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

[第5页第3题]如图1-2-2所示, 在?ABCD中, AC、BD交于点O, AE⊥BC于E, EF交AD于F, 求证: 四边形AECF是矩形.

图1-2-2

[答案](答案详见解析)

[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC, BO=DO, ∴∠1=∠2,

又∵∠FOD=∠EOB,

∴△DOF≌△BOE, ∴DF=BE,

∴AD-DF=BC-BE, 即AF=EC,

又∵AF∥EC, ∴四边形AECF是平行四边形,

又∵AE⊥BC, 所以∠AEC=90°,

∴平行四边形AECF是矩形.

[第5页第5题](2013四川宜宾中考) 矩形具有而菱形不具有的性质是()

A. 两组对边分别平行

B. 对角线相等

C. 对角线互相平分

D. 两组对角分别相等

[答案] B

[解析]熟练掌握菱形与矩形的性质.

[第5页第4题]如图1-2-3, 在△ABC中, D是BC边上的一点, E是AD的中点, 过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F, 且AF=BD, 连接BF.

(1) 线段BD与CD有何数量关系, 为什么?

(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形AFBD是矩形? 请说明理由.

图1-2-3

[答案](答案详见解析)

[解析](1) BD=CD.

理由: ∵E是AD的中点, ∴AE=DE.

又∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE.

又∵∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DEC, ∴AF=CD.

∵AF=BD, ∴BD=CD.

(2) 当△ABC满足AB=AC时, 四边形AFBD是矩形.

理由: ∵AF∥BD, AF=BD,

∴四边形AFBD是平行四边形.

∵AB=AC, BD=CD, ∴AD⊥BC, 即∠ADB=90°,

∴平行四边形AFBD是矩形.

[第3页第4题](2014浙江杭州萧山党湾中学月考, 20, ★★☆) 如图1-1-18, 在?ABCD中, E、F分别为边AB、CD的中点, BD是对角线, 过A点作AG∥D B交CB的延长线于点G. (11分)

(1) 求证: DE∥BF;

(2) 若∠G=90°, 求证: 四边形DEBF是菱形.

图1-1-18

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 在?ABCD中, AB∥CD, AB=CD.

∵E、F分别为边AB、CD的中点,

∴DF=DC, BE=AB,

∴DF=BE.

∴四边形DEBF为平行四边形,

∴DE∥BF.

(2) ∵AG∥BD, ∴∠G=∠DBC=90°,

∴△DBC为直角三角形.

又∵F为边CD的中点, ∴BF=DC=DF.

又∵四边形DEBF为平行四边形,

∴四边形DEBF是菱形.

[第5页第6题](2013广东茂名中考) 如图1-2-4, 矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOD=60°, AD=2, 则AC的长是()

图1-2-4

A. 2

B. 4

C. 2

D. 4

[答案] B

[解析]在矩形ABCD中, OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC, ∵∠AOD=60°, ∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°, 又∵∠ADC=90°, ∴AC=2AD=2×2=4. 故选B.

[第5页第7题](2013贵州遵义中考) 如图1-2-5, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 点E, F分别是AO, AD的中点, 若AB=6 cm, BC=8 cm, 则△AEF的周长=.

图1-2-5

[答案]9 cm

[解析]在Rt△ABC中, AC==10 cm, ∵点E, F分别是AO, AD的中点, ∴EF是△AOD的中位线, ∴EF=OD=BD=AC=2.5 cm,

AF=AD=BC=4 cm, AE=AO=AC=2.5 cm, ∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9 cm.

[第5页第8题]如图1-2-6所示, 矩形ABCD中, AE⊥BD, ∠DAE∶∠BAE=3∶1, 求∠BAE、∠EAO的度数.

图1-2-6

[答案](答案详见解析)

[解析]∵四边形ABCD是矩形,

∴∠DAB=90°, ∴∠BAE+∠DAE=90°,

又∵∠DAE∶∠BAE=3∶1, ∴∠BAE=22.5°, ∠DAE=67.5°.

∵AE⊥BD, ∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,

∴∠OAB=∠ABO=67.5°,

∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.

[第5页第9题]如图1-2-7所示, 矩形ABCD中, E为AD上一点, EF⊥CE交AB于F, 若DE=2, 矩形的周长为16, 且CE=EF, 求AE 的长.

图1-2-7

[答案](答案详见解析)

[解析]∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠D=90°, AD=BC, AB=DC.

∵EF⊥CE, ∴∠AEF+∠DEC=90°.

又∵∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC.

又∵EF=CE, ∴△AEF≌△DCE. ∴AE=DC.

∵AB+BC+DC+AD=16, ∴AD+DC=8.

∴AE+2+AE=8, ∴AE=3.

[第6页第10题]如图1-2-8, 矩形ABCD的对角线相交于点O, OF⊥BC, CE⊥BD, OE∶BE=1∶3, OF=4, 求∠ADB的度数和BD的长.

图1-2-8

[答案](答案详见解析)

[解析]由矩形的性质可知OD=OC.

又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.

又因为CE⊥OD, 所以OC=CD,

所以OC=CD=OD, 即△OCD是等边三角形.

故∠CDB=60°, 所以∠ADB=30°.

又OB=OC, OF⊥BC, 所以点F为BC的中点, 所以CD=2OF=8, 所以BD=2OD=2CD=16.

[第6页第14题]如图1-2-12, 在△ABC中, D是AB边的中点, △ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形, 连接DE、DF.

求证: DE=DF.

图1-2-12

[答案](答案详见解析)

[解析]分别取AC、BC的中点M、N, 连接MD、ND、EM、FN, 又∵D为AB的中点, ∠AEC=90°, ∠BFC=90°,

∴EM=DN=AC, FN=MD=BC,

DN∥CM且DN=CM,

∴四边形MDNC为平行四边形,

∴∠CMD=∠CND.

∵∠EMC=∠FNC=90°,

∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND,

即∠EMD=∠FND,

∴△EMD≌△DNF.

∴DE=DF.

[第6页第11题](2013重庆A卷中考) 如图1-2-9, 在矩形ABCD中, E、F分别是AB、CD上的点, AE=CF, 连接EF、BF, EF与对角线AC交于点O, 且BE=BF, ∠BEF=2∠BAC.

(1) 求证: OE=OF;

(2) 若BC=2, 求AB的长.

图1-2-9

[答案](答案详见解析)

[解析](1) ∵四边形ABCD是矩形,

∴CD∥AB, ∴∠FCO=∠EAO.

在△FCO与△EAO中,

∴△FCO≌△EAO(AAS),

∴OF=OE.

(2) 如图, 连接OB,

∵BE=BF, OE=OF, ∴BO⊥EF.

∵△FCO≌△EAO, ∴OA=OC,

∴OB=AC=OA, ∴∠BAC=∠ABO.

在Rt△BEO中, ∠BEF=2∠BAC, ∠BAC=∠ABO,

∴2∠BAC+∠BAC=90°, 解得∠B AC=30°.

∵BC=2, ∴AC=2BC=4, ∴AB==6.

[第6页第15题]如图1-2-13, E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点, 要使四边形EFGH为矩形, 四边形ABCD应具备的条件是()

图1-2-13

A. 一组对边平行而另一组对边不平行

B. 对角线相等

C. 对角线互相垂直

D. 对角线互相平分

[答案] C

[解析]因为E、H分别是AB、AD的中点, 所以EH是△ABD的中位线, 所以EH平行且等于BD, 同理, FG平行且等于BD, 故EH 平行且等于FG. 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形, 可知四边形EFGH是平行四边形. 要使四边形EFGH为矩形, 只需满足一个角是直角即可. 由EH∥BD, 知只要满足AC⊥BD就能得到一个角为直角, 因此选C.

[第6页第12题]如图1-2-10, △ABC中, ∠C=90°, D是AB边的中点, AC=3, BC=4, 则CD=.

图1-2-10

[答案] 2.5

[解析]由勾股定理可求得AB==5, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.

[第6页第16题]如图1-2-14, ?ABCD中, 点O是AC与BD的交点, 过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.

(1) 求证: △AOE≌△COF;

(2) 请连接EC、AF, 则EF与AC满足什么条件时, 四边形AECF是矩形? 并说明理由.

图1-2-14

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC, AB∥CD. ∴∠AEO=∠CFO.

在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF.

(2) 当AC=EF时, 四边形AECF是矩形. 理由: ∵△AOE≌△COF, ∴OE=OF, AO=CO. ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC=EF, ∴平行四边形AECF是矩形.

[第6页第13题]如图1-2-11, 在?ABCD中, AE⊥BD于点E, CF⊥BD于点F, G, H分别是AB, CD的中点, 求证: 四边形EGFH为平行四边形.

图1-2-11

[答案](答案详见解析)

[解析]∵AE⊥BD, G是AB的中点,

∴EG=AB=BG, ∴∠GEB=∠GBE.

同理可得FH=DC=D H, ∠DFH=∠FDH.

∵在?ABCD中, AB=CD, AB∥CD,

∴EG=FH, ∠GBE=∠FDH.

∴∠GEB=∠DFH, ∴EG∥FH.

∴四边形EGFH为平行四边形.

[第7页第1题](2013辽宁沈阳一模, 5, ★★☆) 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是()

A. 正方形

B. 矩形

C. 菱形

D. 等腰梯形

[答案] C

[解析]如图所示, E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点, 连AC、BD,

因为E、F分别是AB、BC的中点, 所以EF=AC, 同理, HG=AC, FG=BD, EH=BD. 又因为四边形ABCD是矩形, 所以AC=BD, 所以EF=FG=GH=HE, 所以四边形EFGH是菱形. 故选C.

[第7页第2题](2014山东泰安期中, 17, ★☆☆) 如图1-2-16, ?ABCD的对角线相交于点O, 请你添加一个条件(只添一个即可), 使?ABCD是矩形.

图1-2-16

[答案]∠ABC=90°(答案不唯一)

[解析]（无解析）

[第7页第2题](2013湖南邵阳, 10, ★★☆) 如图1-2-20, 点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连接BE交CD 于点O, 连接AO, 下列结论不正确的是()

图1-2-20

A. △AOB≌△BOC

B. △BOC≌△EOD

C. △AOD≌△EOD

D. △AOD≌△BOC

[答案] A

[解析]∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC, ∠ADO=∠EDO=∠C=90°, ∵AD=DE, ∴BC=DE. 在△BOC与△EOD中, ∠EDO=∠C=90°, BC=DE, ∠BOC=∠DOE, ∴△BOC≌△EOD, 故B选项正确. 在△AOD和△EOD中, ∠ADO=∠EDO=90°, AD=DE, OD=OD, ∴△AOD≌△EOD, 故C选项正确. 由B、C知△AOD≌△BOC, 故D选项正确.

[第7页第1题](2013湖北宜昌, 7, ★★☆) 如图1-2-19, 在矩形ABCD中, AB< BC, AC, BD相交于点O, 则图中等腰三角形的个数是()

图1-2-19

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

[答案] C

[解析]∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OB=OC=OD, 又∵AB< BC, ∴△AOB, △COB, △COD, △AOD都是等腰三角形. 故选C.

[第7页第3题](2013福建宁德质检, 18, ★★☆) 如图1-2-17, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, 点P是AB上的任意一点, 作PD⊥AC于点D, PE⊥CB于点E, 连接DE, 则DE的最小值为.

图1-2-17

[答案] 4.8

[解析]∵Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, ∴AB=10, 连接CP, ∵PD⊥AC, PE⊥CB, ∴四边形DPEC是矩形,

∴DE=CP, 当DE最小时, CP最小, 根据垂线段最短可知, 当CP⊥AB时, CP最小, 且最小值为=4.8, 故答案为4.8.

[第7页第17题](2013湖南张家界中考) 如图1-2-15, △ABC中, 点O是边AC上一个动点, 过O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB 的平分线于点E, 交∠ACB的外角平分线于点F.

(1) 求证: OE=OF;

(2) 若CE=12, CF=5, 求OC的长;

(3) 当点O在边AC上运动到什么位置时, 四边形AECF是矩形? 并说明理由.

图1-2-15

[答案](答案详见解析)

[解析](1) 证明: ∵CF平分∠ACD, 且MN∥BD,

∴∠ACF=∠FCD=∠CFO, ∴OF=OC,

同理可证OC=OE, ∴OE=OF.

(2) 由(1) 知OF=OC, OC=OE,

∴∠OCF=∠OFC, ∠OCE=∠OEC,

∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC,

而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,

∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°, ∴△ECF是直角三角形,

∴EF===13,

∴OC=EF=.

(3) 当点O移动到AC的中点时, 四边形AECF为矩形.

理由如下: 由(1) 知OE=OF,

∵O是AC的中点, ∴OA=OC,

∴四边形AECF为平行四边形,

又∵∠ECF=90°,

∴平行四边形AECF为矩形.

[第7页第3题](2013北京, 11, ★★☆) 如图1-2-21, O是矩形ABCD的对角线AC的中点, M是AD的中点, 若AB=5, AD=12, 则四边形ABOM的周长为.

图1-2-21

[答案]20

[解析]∵AB=5, AD=12, ∴AC=13, ∴BO=6.5. ∵M、O分别为AD、AC的中点, 又CD=5, ∴MO=2.5, AM=6, ∴C四边形

ABOM=AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20.

[第7页第4题](2013浙江温州一模, 21, ★★☆) 已知: 如图1-2-18, D是△ABC的边AB上一点, CN∥AB, DN交AC于点M, MA=MC.

(1) 求证: CD=AN;

(2) 若∠AMD=2∠MCD, 求证: 四边形ADCN是矩形.

图1-2-18

[答案](答案详见解析)

[解析](1) ∵CN∥AB, ∴∠DAC=∠NCA,

在△AMD和△CMN中,

∵

∴△AMD≌△CMN(ASA), ∴AD=CN, 又∵AD∥CN, ∴四边形ADCN是平行四边形, ∴CD=AN.

(2) ∵∠AMD=2∠MCD, ∠AMD=∠MCD+∠MDC,

∴∠MCD=∠MDC, ∴MD=MC,

由(1) 知四边形ADCN是平行四边形, ∴MD=MN, MA=MC, ∴MD=MN=MA=MC, ∴AC=DN, ∴平行四边形ADCN是矩形.

[第8页第1题]如图1-2-25, P是矩形ABCD内的任意一点, 连接PA、PB、PC、PD, 得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA, 设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4. 给出如下结论:

图1-2-25

①S1+S4=S2+S3;

②S2+S4=S1+S3;

③若S3=2S1, 则S4=2S2;

④若S1=S2, 则P点在矩形的对角线上.

其中正确结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上).

[答案]②④

[解析]因为△APB和△CPD的高的和恰好等于AD的长, △APD和△CB P的高的和恰好等于AB的长, 所以S1+S3=S矩形ABCD, S2+S4=S

, 所以S1+S3=S2+S4, 故②正确, ①③错误; 若S1=S2, 因为S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD, 所以S3=S4, 所以P点在矩形ABCD的对角线矩形ABCD

上, 故④正确.

[第8页第5题](2013云南西双版纳, 20, ★★☆) 如图1-2-23, 已知AB∥DE, AB=DE, AF=CD, ∠CEF=90°.

(1) 若∠ECF=30°, CF=8, 求CE的长;

(2) 求证: △ABF≌△DEC;

(3) 求证: 四边形BCEF是矩形.

图1-2-23

[答案](答案详见解析)

[解析](1) ∵∠CEF=90°, ∠ECF=30°, CF=8,

∴EF=CF=4, ∴CE==4.

(2) 证明: ∵AB∥DE, ∴∠A=∠D.

在△ABF和△DEC中,

∴△ABF≌△DEC(SAS).

(3) 证明: 由(2) 可知△ABF≌△DEC,

∴BF=CE, ∠AFB=∠DCE,

∴∠BFC=∠ECF,

∴BF∥EC, ∴四边形BCEF是平行四边形.

又∵∠CEF=90°, ∴平行四边形BCEF是矩形.

[第8页第1题]下面四个定义中不正确的是()

A. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

B. 有一组邻边相等的四边形叫菱形

C. 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形

D. 两腰相等的梯形叫等腰梯形

[答案] B

[解析]一组邻边相等的平行四边形是菱形, B错误.

[第8页第2题]正方形具有而矩形不一定具有的特征是()

A. 四个角都相等

B. 四边都相等

C. 对角线相等

D. 对角线互相平分

[答案] B

[解析]根据正方形和矩形的性质知, 它们具有的相同的特征有: 四个角都是直角, 对角线都相等, 对角线互相平分, 但矩形的长和宽不相等. 故选B.

[第8页第6题](2013辽宁锦州, 20, ★★☆) 如图1-2-24, 点O是菱形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD, 连接OE.

求证: OE=BC.

图1-2-24

[答案](答案详见解析)

[解析]∵DE∥AC, CE∥BD,

∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AD=DC=BC, AC⊥BD,

∴∠D OC=90°.

∴四边形OCED是矩形.

∴OE=CD.

∵四边形ABCD是菱形,

∴CD=BC.

∴OE=BC.

[第8页第3题]如图1-3-1, 四边形ABCD是正方形, 点G是BC上的任意一点, DE⊥AG于点E, BF∥DE, 且交AG于点F, 则下列结论不正确的是()

图1-3-1

A. EF=CG

B. BF=AE

C. AF=DE

D. AF-BF=EF

[答案] A

[解析]∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD, ∠BAD=90°, ∵DE⊥AG, ∴∠AED=90°, ∴∠ADE+∠DAE=90°, 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°, ∴∠BAF=∠ADE, ∵BF∥DE,

∴∠AED=∠BFA=90°,

在△ABF和△DAE中,

∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴BF=AE, AF=DE, ∴EF=AF-AE=AF-BF, 而EF与CG的关系无法确定. 故选A.

[第8页第4题](2013宁夏, 22, ★★☆) 如图1-2-22, 在矩形ABCD中, 点E是BC上一点, AE=AD, DF⊥AE, 垂足为F.

求证: DF=DC. (6分)

图1-2-22

[答案](答案详见解析)

[解析]∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=CD, AD∥BC, ∠B=90°.

∵DF⊥AE, ∴∠AFD=∠B=90°.

∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB.

又∵AD=AE, ∴△ADF≌△EAB, ∴DF=AB,

∴DF=DC.

[第9页第4题]如图1-3-2, 已知正方形ABCD的边长为1, 连接AC、BD, CE平分∠ACD交BD于点E, 则DE=.

图1-3-2

[答案]-1

[解析]设AC与BD的交点为O.

过E作EF⊥DC于F, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,

又∵CE平分∠ACD交BD于点E,

∴EO=EF, ∵正方形ABCD的边长为1,

∴AC=, ∴CO=AC=,

∴易知CF=CO=,

∴EF=DF=DC-CF=1-,

∴DE==-1.

[第9页第9题]如图1-3-7, 已知平行四边形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, E是BD延长线上的点, 且△ACE是等边三角形.

(1) 求证: 四边形ABCD是菱形;

(2) 若∠AED=2∠EAD, 求证: 四边形ABCD是正方形.

图1-3-7

[答案](答案详见解析)

[解析](1) ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.

又∵△ACE是等边三角形,

∴EO⊥AC(三线合一), 即AC⊥BD,

∴平行四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).

(2) ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.

又∵△ACE是等边三角形, ∴EO平分∠AEC(三线合一),

∴∠AED=∠AEC=×60°=30°,

又∵∠AED=2∠EAD, ∴∠EAD=15°, ∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和), ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ADC=2∠ADO=90°,

∴菱形ABCD是正方形.

[第9页第10题](2013江苏南京中考) 如图1-3-8, 在四边形ABCD中, AB=BC, 对角线BD平分∠ABC, P是BD上一点, 过点P作PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别为M, N.

(1) 求证: ∠ADB=∠CDB;

(2) 若∠ADC=90°, 求证: 四边形MPND是正方形.

图1-3-8

[答案](答案详见解析)

[解析](1) ∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD.

又∵BA=BC, BD=BD,

∴△ABD≌△CBD.

∴∠ADB=∠CDB.

(2) ∵PM⊥AD, PN⊥CD,

∴∠PMD=∠PND=90°.

又∵∠ADC=90°, ∴四边形MPND是矩形.

∵∠ADB=∠CDB, PM⊥AD, PN⊥CD, ∴PM=PN.

∴矩形MPND是正方形.

[第9页第5题](2013福建莆田中考) 如图1-3-3, 正方形ABCD的边长为4, 点P在DC边上且DP=1, 点Q是AC上一动点, 则DQ+PQ的最小值为.

图1-3-3

[答案] 5

[解析]连接BP交AC于点Q', 连接Q' D.

∵点B与点D关于AC对称, ∴BP的长即为PQ+DQ的最小值, ∵CB=4, DP=1, ∴CP=3, 在Rt△BCP中, BP===5. 故答案为5.

[第9页第6题]如图1-3-4, 四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形, 连接BG与DE相交于点H. 证明: △ABG≌△ADE.

图1-3-4

[答案](答案详见解析)

[解析]在正方形ABCD和正方形AEFG中,

∠GAE=∠BAD=90°,

∴∠GAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB,

即∠GAB=∠EAD,

在△ABG和△ADE中,

∴△ABG≌△ADE(SAS).

[第9页第7题]如图1-3-5, 已知正方形ABDE和正方形ACFG, DM⊥BC, FN⊥BC, 垂足分别为M, N. 试说明: BC=DM+FN.

图1-3-5

[答案](答案详见解析)

[解析]过点A作AH⊥BC, 垂足为H.

∵∠MDB+∠DBM=90°,

∠DBM+∠ABH=90°,

∴∠MDB=∠ABH.

又AB=BD, ∠M=∠AHB,

∴△DMB≌△BHA.

∴DM=BH.

同理可得FN=CH.

∵BC=BH+CH,

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b