高州市大井中学2011届高三第一次3月考
数学试题（文）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数
i
i
a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为
（ ）
A ．-6
B ．13
C ．
3
2
D ．13
2．已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：22210(0)x x m m -+-≤> ，若p 是q 的充分不必
要条件，则m 的取值范围是 （ ）
A ．[21，＋∞]
B ．[9，＋∞]
C ．[19，＋∞]
D ．（0，＋∞）
3．已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是 （ ）
A ．(||)y f x =
B ．|()|y f x =
C ．(||)y f x =-
D ．(||)y f x =--
4．若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = （ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15 5．已知23
cos()sin 6
3
π
αα+
-=
，则7sin()6πα-的值是
（ ）
A ．23
3
-
B ．
23
3
C ．23
-
D ．
23
6．已知命题p ：函数)2(log 2
5.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x
a y )25(--=是 减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．{|1}a a ≤
B ．{|12}a a <<
x
y
O
图2
x
y
O 图1
C ．{|2}a a <
D ．{|12}a a a ≤≥或
7．如图，在棱长相等的四面体S -ABC 中，E 、F 分别是SC 、AB 的中点， 则直线EF 与SA 所成的角为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 8．已知,l m 表示直线，γβα,,表示平面，下列条件中能推出结论的正确的是
（ ）
条件：①l m ⊥, l α⊥, m β⊥; ②α∥β, β∥γ; ③l α⊥, α∥β;④
l α⊥, m ⊥α。结论：a: l β⊥ b: α ⊥β c: l ∥m d: α∥γ
A ．①?a,②?b,③?c,④?d
B ．①?b,②?d,③?a,④?c
C ．①?c,②?d,③?a,④?b
D ．①?d,②?b,③?a,④?c
9．已知非零向量AC AB ,和BC 满足0)(=?+BC AC AC AB AB ，且21=?BC BC AC AC ，
则△ABC 为 （ ）
A ．等边三角形
B ．等腰非直角三角形
C ．非等腰三角形
D ．等腰直角三角形 10．设O 为坐标原点，点M 坐标为)2,3(，若点(,)N x y 满足不等式组：
53,4
200
≤≤????
??
?≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当 时，则ON OM ?的最大值的变化范围是
（ ） A ．[7，8]
B ．[7，9]
C ．[6，8]
D ．[7，15]
11．已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是
（ ）
A ．21y x =-
B ．y x =
C ．32y x =-
D ．23y x =-+
12．若1x 满足225,x
x +=2x 满足(1)
222log 5x x -+=，则1x +2x ＝
（ ）
A ．
5
2
B ．3
C ．
7
2
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
第一排 最后一排 观礼台 旗杆
30°
60° 15°
106
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110020(),3,x
S xe dx S =?=则30S 为
14．已知函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，
若点A 在直线10(,0)mx ny m n +-=>上，则
11
m n
+的 最小值为 ．
15．2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，
在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在 同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和 最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，
且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为 米 ．
16．设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有
a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①2
2
2
2
a b c h +>+；②3
3
3
3
a b c h
+<+；③ 4444a b c h +>+；④5555
a b c h
+<+．
其中正确结论的序号是 ；进一步得到的一般结论是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分10分）
己知向量a (2sin
,12cos )22
x x
=- ，b (cos ,12cos )22x x =+ ，函数
12
()l o g f x =
（a ·b ）．
（Ⅰ）求函数f （x ）的定义域和值域； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间．
18．（本小题满分12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～
1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要
求； （Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y ＝
2150
x
+；（2）y ＝4lg x －3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
19．（本小题满分12分）如图：在四棱锥P-ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直（图2
为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm 的全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面
图形的面积．
（Ⅱ）图3中，L 、E 均为棱PB 上的点，且1=EP BE ，5=LP
BL
，M 、N 分别为棱PA 、PD 的中点，
问在底面正方形的对角线AC 上是否存在一点F ，使EF //平面LMN ． 若存在，请具体求出
CF 的长度；若不存在，请说明理由．
图1 图3
20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果
2n
n
S S 为常数，则称数列{}n a 为侧视图
主视图
图2
D A P P C
L
E M
N B D
A
C P
F
“科比数列”．
（Ⅰ）已知等差数列{}n b 的首项为1，公差不为零，若{}n b 为“科比数列”，求{}n b 的
通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 的各项都是正数，前n 项和为n S ，若33332123n n c c c c S ++++= 对任
意n N *
∈ 都成立，试推断数列{}n c 是否为“科比数列”？并说明理由．
21．（本小题满分12分）
定义12,,,n x x x ???的“倒平均数”为*12()
n
n
n N x x x ∈++???，已知数列
前项
的“倒平均数”为1
24n +．
（I ）记*()1n
n a c n N n =
∈+，试比较
与的大小；
（II ）是否存在实数
，使得当
时，
2()401n
a f x x x n =-+-
≤+对任意
恒成立？若存在,求出最大的实数
；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数2111,22,()(0)2t
y x y x x t y x x x
-=+=
-++=
+>的最小值恰好是方程 320x ax bx c +++=的三个解，其中01t <<．
（I ）求证:2
23a b =+
（II ）设12(,),(,)x M x N 是函数3
2
()f x x ax bx c =+++的两个极值点。
①若122
,3
x x -=
求函数()f x 的解析式；②求M N -的取值范围。
参考答案
一、选择题：
1．A 2．B 3．C4． B 5．D6． B7．C 8．．B 9．A 10． A 11．A 12．C
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B 选项,但对于C,D 选项则难以作出
选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决．设A B →的件数为1x （规定:当10x <时,则B 调整了1||x 件给A,下同!）,B C →的件数为2x ,C D →的件数为3x ,D A →的件数为4x ,依题意可得
415040x x +-=,125045x x +-=,235054x x +-=,345061x x +-=,从而215x x =+,311x x =+,4110x x =-,故调动件次
11111()|||5||1||10|f x x x x x =+++++-,画出图像（或绝对值的几何意义）可得最小值为16,故选（C ）．
二、填空题：
13． 6 14．4 15．30 16． ② ④n
n
n
n
()a b c h n N *
+<+∈ 三、解答题：
17．解（Ⅰ）因为a ·b ＝22sin
cos (12cos )(12cos )sin 12cos 22222
x x x x x x +-+=+- sin cos 2sin()4
x x x π
=-=-． （2分） 由sin()04
x π
-
>，得224
k x k π
πππ<-
<+，即5224
4
k x k π
π
ππ+
<<+
，k ∈Z ．
所以f （x ）的定义域是5(2,2),4
4
k k k Z π
π
ππ++
∈ ． （4分） 因为02sin()24x π<
-≤，则12
1
()log 22f x ≥=-，
所以f （x ）的值域是1
[,)2
-
∞ +． （6分） （Ⅱ）由题设1
2
()log 2sin()4
f x x π
=-．
若f （x ）为增函数，则2sin()4
y x π
=-为减函数，
所以222
4
k x k π
π
πππ+
≤-
<+，即
352244k x k ππππ+
≤<+，故f （x ）的递增区间是35[2,2),44
k k k Z ππππ++∈ （9分）
若f （x ）为减函数，则2sin()4y x π
=-为增函数，
所以224
2
k x k π
π
ππ<-
≤+
，即
3224
4k x k π
πππ+
<≤+
，故f （x ）的递减区间是3(2,2],44
k k k Z ππ
ππ++∈．（12
分）
18．解（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f （x ），则公司对函数模型的基本要求是： 当x ∈[10，1000]时，①f （x ）是增函数；
②f （x ）≤9恒成立；③()5x
f x ≤恒成立． （3分） （Ⅱ）（1）对于函数模型()2150
x
f x =+： 当x ∈[10，1000]时，f （x ）是增函数， 则max 100020
()(1000)2291503
f x f ==
+=+<． 所以f （x ）≤9恒成立． （5分）
因为函数
()12
150f x x x =+在[10，1000]上是减函数， 所以max ()111
[]15055f x x =+>． 从而()1211505f x x x =+≤，即()5
x
f x ≤不恒成立． 故该函数模型不符合公司要求． （8分）
（2）对于函数模型f （x ）＝4lg x －3：
当x ∈[10，1000]时，f （x ）是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=．
所以f （x ）≤9恒立． （10分） 设g （x ）＝4lg x －3－
5x ，则4lg 1
()5
e g x x '=
-． 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1
()0555
e e e g x x --'=-≤=<， 所以g （x ）在[10，1000]上是减函数， 从而g （x ）≤g （10）＝－1＜0．所以4lg x －3－5
x
＜0， 即4lg x －3＜
5x ， 所以()5
x
f x <恒成立,故该函数模型符合公司要求．
19．解：（1）该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm 的正方形（如下图）----2
分 其面积为：6×6=36（cm 2
）---4分
（2）如图，以C 为原点，CD 为x
轴，CB 为y 轴，CP 为Z 轴建立空间直角坐标系，则
D （6，0，0），A （6，6，0），B （0，6，0），P （0，0，6），
E （0，3，3），L （0，1，5），M （3，3，3），N （3，0，3）------6分 ∴(),0,6,6),0,3,0(),2,2,3(==-=CA NM LM ----7分 设平面LMN 的法向量为n
=（x,y,z ）
由?????=?=?0
0NM n LM n 得???==-+030223y z y x 令x=2 则n =（2，0，3）------------9分 设)0,6,6(λλλ==CA CF ，----------------------------------10分 则())3,36,6()0,6,6(3,3,0--=+--=+=λλλλCF EC EF -------------11分 由0=?n EF
，得0912=-λ，即λ=
4
3
-------------------------------12分 又EF ，平面LMN ? 所以，EF//平面LMN------------------------------------13分
即在底面正方形的对角线AC 上存在符合题意的点F ，CF=
43AC=2
29cm---------14分 20．解（Ⅰ）设等差数列{}n b 的公差为(0)d d ≠，
2n
n
S k S =，因为11b =， 则11
(1)[22(21)]22
n n n d k n n n d +
-=+?-， 即2(1)42(21)n d k k n d +-=+-． （2分）
z
L E
M N
B
D
A
C
P
F
整理得，(41)(21)(2)0k dn k d -+--=． （3分）
因为对任意正整数n 上式恒成立，则(41)0
(21)(2)0
d k k d -=??
--=?，
解得214
d k =???=??． （5分）
故数列{}n b 的通项公式是21n b n =-． （6分）
（Ⅱ）由已知，当1n =时，3
22111c S c ==．因为10c >，所以11c =． （7分）
当2n ≥时，33332123n n c c c c S ++++= ，33332
12311n n c c c c S --++++= ．
两式相减，得()()3221111()n n n n n n n n n n c S S S S S S c S S ----=-=-+=?+．
因为0n c >，所以2n c =12n n n n S S S c -+=-． （9分）
显然11c =适合上式，所以当2n ≥时，21112n n n c S c ---=-． 于是22111112()2n n n n n n n n n n n c c S S c c c c c c c ------=--+=-+=+．
因为10n n c c -+>，则11n n c c --=，
所以数列{}n c 是首项为1，公差为1的等差数列．（12分） 所以
2(1)1
2(21)42
n n S n n n S n n n ++==
++不为常数， 故数列{}n c 不是“科比数列”． （13分）
21．解：（1）数列的通项为．故，易知，．
（2）假设存在实数
，使得当
时，
对任意恒成立，
则对任意都成立，
，
得，有或．故存在最大的实数符合题意．22．解：（1）由条件，得b
ax
x
b
x
a
x
x
f+
+
=
+
?
+
?
=
'2
22
2
1
3
3
1
)
(，------------------1分
当]2
,2
[-
∈
x时，总有0
)
(≤
'x
f，所以有
??
?
?
?
≤
+
+
≤
+
-
?
??
?
?
?
≤
'
≤
-
'
.0
2
2
,0
2
2
.0
)2
(
,0
)2
(
b
a
b
a
f
f
由①+②得，2
2
4-
≤
?
≤
+b
b，
又b≥－2，∴b=－2， ----------------4分
把b=－2代入①和②得
.0
.0
,0
.0
2
2
2
,0
2
2
2
=
?
?
?
?
≤
≥
?
??
?
?
?
≤
-
+
≤
-
-
a
a
a
a
a
因此
1
2
3
1
)
(3+
-
=x
x
x
f--------------------7分
（2）3
6
)1
2
3
1
(3
)
(2
3
2
3-
+
-
=
-
+
+
-
-
=mx
x
x
mx
x
x
x
g，
mx
x
x
g2
3
)
(2+
-
=
'是关于x的二次函数，--------------------------------------------8分
当]1,0[
∈
x时，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤
=
'
≤
≤
≤
+
-
=
'
?
≤
'
;1
3
|)
3
(
|
,1
3
,1
|
2
3
||)1(
|
1
|)
(
|
2
m
m
g
m
m
g
x
g或
?
?
?
??
?
?
≤
=
'
>
≤
+
-
=
'
;1
|)0(
|
,1
3
,1
|
2
3
||)1(
|
g
m
m
g
或?
?
?
??
?
?
≤
=
'
<
≤
+
-
=
'
.1
|)0(
|
,0
3
,1
|
2
3
||)1(
|
g
m
m
g
-------------------------------11分
解得，3
1≤
≤m．
①
②
因此，当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的恒成立，则31≤≤m -------12分 由mx x x g 23)(2+-='>0（0≤x ≤1）可知， 当1≤m ≤23时g （x ）在[0, 3
2m ]为增函数， 在[
3
2m
，1]上为减函数|，|g （0）|=3≤3．5, |g （1）|=|m-4|≤3,|g （32m ）|=|
327
43
+m |≤3．5, 即|g （x ）|≤3．5；-------------------------------------------------------13
分 当
2
3
≤m ≤3时g （x ）在[0，1]为增函数, |g （0）|=3≤3．5,|g （1）|=|m-4|≤2．5,即|g （x ）|≤3．5。 综上所述，当]1,0[∈x 时，若1|)(|≤'x g 恒成立， 则|g （x ）|≤3．5也恒成立．--------14分
22．（I ）三个函数的最小值一次为：1,1,1t t +-，由(1)0f =得1c a b =---，所以，
2()(1)[(1)1]f x x x a x a b =-+++++，故方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为
1,1t t +-，由韦达定理消去t 得223a b =+
（II ）①3
2
()7273f x x x x =-++-； ②33
222449(3)(())27272
a M N
b --=-或
由（I ）知222
(1)(11)221a t t t +=++-=+-?M N -的取值范围为
3
24
(0,(32))27
-