当前位置:文档之家› 高考理科数学试题及答案597

高考理科数学试题及答案597

高考理科数学试题及答案597
高考理科数学试题及答案597

高考理科数学试题及答案

(考试时间:120分钟试卷满分:150分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.

31i

i

+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -

2. 设集合{}1,2,4A =,{}

2

40x x x m B =-+=.若{}1A

B =,则B =()

A .{}1,3-

B .{}1,0

C .{}1,3

D .{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百

八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()

A .1盏

B .3盏

C .5盏

D .9盏

4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某

几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π

5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

,则2z x y =+的

最小

值是()

A .15-

B .9-

C .1

D .9

6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共

有()

A .12种

B .18种

C .24种

D .36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,

2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()

A .乙可以知道四人的成绩

B .丁可以知道四人的成绩

C .乙、丁可以知道对方的成绩

D .乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的

S =()A .2 B .3 C .4 D .5

9. 若双曲线C:22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的一条渐

近线被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的 离心率为()

A .2

B .3

C .2

D .

23

10. 若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为()

A .

32 B .155 C .105

D .33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值是()

A.2-

B.32-

C. 4

3

- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽

到的二等品件数,则D X =. 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-

(0,2x π??

∈????

)的最大值是.

15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则

11

n

k k

S ==∑. 16. 已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点,M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N .若M 为

F N 的中点,则F N =.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B

A C +=. (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.(12分)

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )某频率直方图如下: 1.

设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率;

2.

填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量<50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法 新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

P (

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

19.(12分)

如图,四棱锥PABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点.

(1)证明:直线//CE 平面PAB

(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ,求二面角MABD 的余弦值 20. (12分)

设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2

212

x y +=上,过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =

.

(1) 求点P 的轨迹方程;

(2)设点Q 在直线x=3上,且1OP PQ ?=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.(12分)

已知函数3

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;

(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2

30()2e

f x --<<.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。

22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.

(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2

C 的直角坐标方程;

(2)设点A 的极坐标为(2,

)3

π

,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.

23.[选修45:不等式选讲](10分)

已知3

3

0,0,2a b a b >>+=,证明: (1)3

3()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.

参考答案

1.D

2.C

【解析】1是方程240x x m -+=的解,1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =,∴{}13B =,

3.B

【解析】设顶层灯数为1a ,2=q ,()7171238112

-==-a S ,解得13a =.

4.B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半. 5.A

【解析】目标区域如图所示,当直线-2y =x+z 取到点()63--,时,所求z 最小值为15-.

6.D

【解析】只能是一个人完成2份工作,剩下2人各完成一份工作.

由此把4份工作分成3份再全排得23

43C A 36?=

7.D

【解析】四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.

8.B

【解析】0S =,1k =,1a =-代入循环得,7k =时停止循环,3S =. 9.A

【解析】取渐近线b

y x a =

,化成一般式0bx ay -=,圆心()20,到直线距离为22

23b a b =

+ 得224c a =,24e =,2e =.

10.C

【解析】M ,N ,P 分别为AB ,1BB ,11B C 中点,则1AB ,1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角

(异面线所成角为π02?

? ??

?,)

可知1152MN AB =

=

,112

2NP BC ==,

作BC 中点Q ,则可知PQM △为直角三角形. 1=PQ ,1

2

MQ AC =

ABC △中,2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??

=+-???-= ???

,7=AC

则7MQ =

,则MQP △中,22112

MP MQ PQ =+= 则PMN △中,222

cos 2MN NP PM PNM MH NP

+-∠=??

又异面线所成角为π02?

? ??

?,,则余弦值为10.

11.A 【解析】()()21

21x f x x a x a e -'??=+++-???

, 则()()3

2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????,

则()()211x f x x x e -=--?,()()212x f x x x e -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-.

12.B

【解析】几何法:

如图,2PB PC PD +=(D 为BC 中点), 则()

2PA PB PC PD PA ?+=?,

要使PA PD ?最小,则PA ,PD 方向相反,即P 点在线段AD 上, 则min 22PD PA PA PD ?=-?, 即求PD PA ?最大值, 又3

23PA PD AD +==?

=, 则2

233

24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤, P

D C

B

A

则min 332242

PD PA ?=-?=-. 解析法:

建立如图坐标系,以BC 中点为坐标原点, ∴()

03A ,,()10B -,,()10C ,. 设()P x y ,, ()

3PA x y

=--,,

()

1PB x y =---,,

()1PC x y =--,,

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

则其最小值为33242??

?-=- ???

,此时0x =,3y =.

13.1.96

【解析】有放回的拿取,是一个二项分布模型,其中0.02=p ,100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14.1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???

?=+-∈ ????

???,

令cos x t =且[]01t ∈, 则当3

t =时,()f x 取最大值1. 15.

2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ,公差为d .

则3123a a d =+=

求得11a =,1d =,则n a n =,()12

n n n S +=

16.6

【解析】28y x =则4p =,焦点为()20F ,

,准线:2l x =-,

如图,M 为F 、N 中点,

l F

N M C B

A

O

y

x

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线, ∵2CN =,4AF =, ∴3ME =

又由定义ME MF =, 且MN NF =, ∴6

NF NM MF =+=

17.

【解析】(1)依题得:2

1cos sin 8sin

84(1cos )22

B B B B -==?=-. ∵22sin cos 1B B +=, ∴2216(1cos )cos 1B B -+=, ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=, ∴15

cos 17

B =

, (2)由⑴可知8sin 17

B =. ∵2AB

C S =△, ∴1

sin 22ac B ?=, ∴18

2217

ac ?=, ∴17

2ac =

, ∵15cos 17

B =

, ∴22215217

a c

b a

c +-=,

∴22215a c b +-=, ∴22()215a c ac b +--=,

∴2361715b --=,

∴2b =.

18.

【解析】(1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

(2)

由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关.

(3)150.2÷=,()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=

,8

5 2.3517

?≈ 50 2.3552.35+=,∴中位数为52.35.

19.【解析】

(1)令PA 中点为F ,连结EF ,BF ,CE .

∵E ,F 为PD ,PA 中点,∴EF 为PAD △的中位线,∴1

2

EF AD ∥.

又∵90BAD ABC ∠=∠=?,∴BC AD ∥. 又∵12AB BC AD ==

,∴1

2

BC AD ∥,∴EF BC ∥. ∴四边形BCEF 为平行四边形,∴CE BF ∥. 又∵BF PAB ?面,∴CE PAB 面∥

(2)以AD 中点O 为原点,如图建立空间直角坐标系.

设1AB BC ==,则(000)O ,,,(010)A -,,,(110)B -,,,(100)C ,,,(010)D ,,,

(00P ,.

M 在底面ABCD 上的投影为M ',∴MM BM ''⊥.∵45MBM '∠=?,

∴MBM '△为等腰直角三角形.

∵POC △为直角三角形,OC =

,∴60PCO ∠=?.

设MM a '=,3CM a '=

,3

1OM a '=-.∴3100M a ??'- ? ???

,,. 2

22

231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???.∴3211OM a '=-=-. ∴21002M ??'- ? ???,,,26102M ??

- ? ???

,, 2611AM ??=- ? ???

,,,(100)AB =,,.设平面ABM 的法向量11(0)m y z =,,. 116

0y z +

=,∴(062)m =-,, (020)AD =,,,(100)AB =,,.设平面ABD 的法向量为2(00)n z =,,,

(001)n =,,.

∴10

cos ,m n m n m n

?<>=

=

?. ∴二面角M AB D --的余弦值为10

. 20.

【解析】 ⑴设()P x y ,,易知(0)N x ,

(0)NP y =,又1022NM NP ?== ??

?,

∴2M x y ?

?

???

,,又M 在椭圆上. ∴2

2122x += ???

,即222x y +=. (3)Q Q y -,,()P P P x y ,,(0)Q y ≠,

⑵设点

由已知:()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=,,, ()

2

1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=,

∴2

13OP OQ OP ?=+=, ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=.

设直线OQ :3

Q y y x =

?-,

因为直线l 与OQ l 垂直.

∴3l Q

k y =

故直线l 方程为3

()P P Q

y x x y y =

-+, 令0y =,得3()P Q P y y x x -=-, 1

3

P Q P y y x x -?=-, ∴1

3

P Q P x y y x =-?+,

∵33P Q P y y x =+,

∴1

(33)13

P P x x x =-++=-,

若0Q y =,则33P x -=,1P x =-,1P y =±, 直线OQ 方程为0y =,直线l 方程为1x =-, 直线l 过点(10)-,,为椭圆C 的左焦点.

21.

【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥,0x >,所以ln 0ax a x --≥.

令()ln g x ax a x =--,则()10g =,()11

ax g x a x x

-'=-

=

, 当0a ≤时,()0g x '<,()g x 单调递减,但()10g =,1x >时,()0g x <; 当0a >时,令()0g x '=,得1

x a

=. 当10x a <<

时,()0g x '<,()g x 单调减;当1

x a

>时,()0g x '>,()g x 单调增. 若01a <<,则()g x 在11a ?? ???,上单调减,()110g g a ??

<= ???;

若1a >,则()g x 在11a ?? ???,上单调增,()110g g a ??

<= ???;

若1a =,则()()min 110g x g g a ??

=== ???

,()0g x ≥.

综上,1a =.

⑵()2ln f x x x x x =--,()22ln f x x x '=--,0x >.

令()22ln h x x x =--,则()121

2x h x x x

-'=-=

,0x >. 令()0h x '=得1

2

x =

, 当102x <<时,()0h x '<,()h x 单调递减;当1

2

x >时,()0h x '>,()h x 单调递增.

所以,()min 112ln 202h x h ??

==-+< ???

因为()

22e 2e 0h --=>,()22ln 20h =->,21e 02-??∈ ???,,122??

∈+∞ ???

,,

所以在102?? ???,和12??

+∞ ???

,上,()h x 即()f x '各有一个零点.

设()f x '在102?? ???,和12??+∞ ???,上的零点分别为02x x ,

,因为()f x '在102??

???

,上单调减,

所以当00x x <<时,()0f x '>,()f x 单调增;当01

2

x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减.因此,0x 是()f x 的极大值点.

因为,()f x '在12??

+∞ ???

,上单调增,所以当212x x <<时,()0f x '<,()f x 单调减,

2x x >时,()f x 单调增,因此2x 是()f x 的极小值点.

所以,()f x 有唯一的极大值点0x .

由前面的证明可知,201e 2x -?

?∈ ??

?,,则()()

24220e e e e f x f ---->=+>.

因为()00022ln 0f x x x '=--=,所以00ln 22x x =-,则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-,因为0102x <<,所以()01

4

f x <. 因此,()201

e 4

f x -<<

. 22.

【解析】⑴设()()00M P ρθρθ,

,, 则0||OM OP ρρ==,.

解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为

()

2

224x y -+=.()0x ≠

⑵连接AC ,易知AOC △为正三角形.

||OA 为定值.

∴当高最大时,AOB S △面积最大,

如图,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于H 点 交圆C 于B 点, 此时AOB S △最大

23.

【解析】⑴由柯西不等式得:()()()

2

2

5

5

33

4a b a b a b ++=+=≥

1a b ==时取等号. ⑵∵332a b +=

∴()()

222a b a ab b +-+= ∴()()2

32a b b ab α??++-=??

∴()()3

32a b ab a b +-+=

∴()()

3

23a b ab

a b +-=+

由均值不等式可得:()()3

2

232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3

2232a b a b a b +-+?? ?+??

≤ ∴()()3

3

324

a b a b ++-≤

()3

124

a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立.

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高考二模数学理试题分类汇编

排列组合

1.(佛山市)将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子,每个盒内放一个球,

若恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为.

2.(广州市)5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排2

人,则不同的安排方案共有_________种(用数字作答). 3.(惠州市)将自然数按如图排列,其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为

),(n m A ,

如4)1,3(=A ,12)2,4(=A ,则=),1(n A __________;=)10,10(A __________.

28212715202610141925691318243581217231

2

4

7

1116

22

4(深圳市)从1,2,2,3,3,3这六个数字中任取五个, 组成五位数,则不同的五位数共有

A .50个

B .60个

C .100个

D .120个

5(湛江市)已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ,在U 中任取四个元素组成的集合记为

},,,{4321a a a a A =,余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =,43214321b b b b a a a a +++<+++,则集合A 的取法共有____________种.

6(肇庆市)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋

友1本,则不同的赠送方法共有▲种(用数字作答).

答案:20 30 (1)

,1812n n + B 31 10

相关主题
相关文档 最新文档