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2015线性代数课件-§6.1

2015年考研数学线性代数各章节考试的重点和题型-李兰巧

2015年考研数学线性代数各章节考试的重点和题型 备考2015年考研的同学们复习完了高等数学,接下来开始复习线性代数。刚开始同学们复习线性代数时,觉得非常简单,但是随着学习的不断深入,部分同学就会觉得线性代数有些杂,找不到头绪,一头雾水。为了帮助同学们很好地复习线性代数,我们万学海文通过对历年真题的分析,在这里给出线性代数具体各章节考试的重点和题型,来帮助同学们在很好地复习线性代数。 在考试大纲中,数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同,只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。在历年考题中,数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同,所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的,复习难度也是相同的。 线性代数的题型是非常固定的,尤其是解答题。其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组,另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。所以同学们在复习线性代数时,一定要花大量时间来复习这些内容。 第一章行列式是整个线性代数的基础。复习行列式时,同学们主要掌握行列式的性质和展开定理,会熟练计算行列式。 行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。 数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。例如2012年在解答题第(I)问中直接计算四阶行列式,第(II)问考查线性方程组。2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。 抽象型行列式的计算涉及的知识点较多,经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查,所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。 抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查,在2010年,2012年,2013年都以客观题的形式考查。 对于行列式的定义,考试大纲要求了解,但是在考试中没有考查过它的定义,所以同学们了解定义即可。 行列式的应用—克拉默法则它主要是结合后面的线性方程组考查。 第二章矩阵的知识点是非常多的,性质多,定理多,主要包括矩阵的运算、伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换和初等矩阵、矩阵的秩。 矩阵运算中主要是掌握矩阵的乘法,注意和数的乘法的不同。2013年最后一道解答题间接考查了行矩阵和列矩阵的乘法,很多同学没有想到,关键是没有把握住矩阵乘法的本质。 伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换和初等矩阵是每年必考,基本上都是以客观题的形式考查。同学们要熟练掌握它们的性质,并注意区别它们的不同点。 矩阵的秩是复习的重点,也是复习的难点。矩阵的秩可以和线性代数的各章节结合来考查,所以这是一个综合命题的地方,考生要注意复习。首先要熟练掌握矩阵的秩的定义和矩阵秩的定义,然后会将秩与其他知识点结合处理题目。秩是线性代数出证明题的一个出处,在2008年结合矩阵秩的性质和向量以证明题的形式考查了矩阵的秩。 第三章向量是考试的重点,也是复习的难点。向量这部分内容定义多、性质多、定理多,而且是最抽象的。在学习的过程中可以借助于二维空间、三维空间理解向量之间的关系,也可以结合典型的数值例子来理解抽象的概念和性质。 向量组的线性相关性是考试的热点之一。向量组的线性相关和线性无关是两个对立的概念,要深刻理解向量组线性相关(无关)的概念,即掌握几个相关的重要定理,并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。判断向量组的线性相关性的问题,经常转化为齐次线性方程组是

考研线性代数知识点全面汇总

考研线性代数知识点全面汇总

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《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1.行列式的定义:用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n ≥3)行列式的计算:降阶法 定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; ?行列式值为0的几种情况: Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义:n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D )(,t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质: 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行(列)相等或成比例,则为行列式0。 3、行列式某行(列)乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。 4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。 6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。(按行、列展开法则) 7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则:

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8(答案略) 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

2019春北京大学网络教育学院线性代数作业答案

春季学期线性代数作业 一、选择题(每题2分,共20分) 1.(教材§1.1,课件第一讲)行列式(B )。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.(教材§1.3,课件第二讲)下列对行列式做的变换中,(B )不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.(教材§2.2,课件第四讲)若线性方程组无解,则a的值为( D )。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.(教材§3.3,课件第六讲)下列向量组中,线性无关的是(C )。 A. B. C. D. 5.(教材§3.5,课件第八讲)下列向量组中,(D )不是的基底。 A. B. C. D.

6.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵和矩阵均为n阶矩阵,和均为实数,则下列结论不正确的是( A )。 A. B. C. D. 7.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵,则 ( C )。 A. B. C. D. 8.(教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,为矩阵,矩阵为矩阵,为实数,则下列关于矩阵转置的结论,不正确的是( D )。 A. B. C. D. 9.(教材§4.3,课件第十讲)下列矩阵中,(A )不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.(教材§5.1,课件第十一讲)矩阵的特征值是(B )。 A. B. C. D. 二、填空题(每题3分,共30分)

11.(教材§1.1,课件第一讲)行列式的展开式中,的一次项的系数是 2 。 12.(教材§1.4,课件第三讲)如果齐次线性方程组有非零解,那么的值为0或1 。 13.(教材§2.3,课件第四讲)齐次线性方程组有(填“有”或“没有”)非零解。 14. (教材§3.1,课件第五讲)已知向量则 。 15. (教材§3.3,课件第六讲)向量组是线性无关(填“相关”或“无关”)的。 16. (教材§4.1,课件第九讲)已知矩阵,矩阵,那 么。 17. (教材§4.2,课件第九讲)已知矩阵,那么 。 18. (教材§5.1,课件第十一讲)以下关于相似矩阵的说法,正确的有1,2,4

06-10年数学一考研线性代数真题部分

(5)设均为3维列向量,记矩阵 ,, 如果,那么 .. (11)设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] (12)设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵,则 (A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. 已知二次型的秩为2. (I)求a的值; (II)求正交变换,把化成标准形; (III)求方程=0的解. (21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零,矩阵(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.. (5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= . (11)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是 (A)若线性相关,则线性相关. (B)若线性相关,则线性无关. (C)若线性无关,则线性相关. (D)若线性无关,则线性无关. 【 】 (12)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则 (A)(B) (C)(D) 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. (7)设向量组,,线形无关,则下列向量组线形相关的是: ( )(A)(B) (C)(D)

(8)设矩阵A=,B=,则A于B ( ) (A) 合同,且相似 (B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (15)设矩阵A=,则的秩为________. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量; 求矩阵. (5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则( ) 不可逆,不可逆. 不可逆,可逆. 可逆,可逆. 可逆,不可逆. (6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为( ) 0. 1. 2. 3. (13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,则的非零特征值为. (20)(本题满分11分) ,为的转置,为的转置. (1)证;(2)若线性相关,则. (21)(本题满分11分) 设矩阵,现矩阵满足方程,其中,, (1)求证 (2)为何值,方程组有唯一解,求 (3)为何值,方程组有无穷多解,求通解 5)设是3维向量空间的一组基,则由基到基 的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). (6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . (13)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为.

线性代数习题参考答案

第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。

4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数试题及答案.

线性代数(试卷一) 一、 填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为86?的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ _2___________. 6. 设A为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ,则=*A 7。若A为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模(范数)______________ 。 10。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k

二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D) A.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D .r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A) A.8? B.8- C. 34?? D.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( d ) A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R < C.)()(A R B R = D.)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.1-3每小题8分,4-7每小题9分) 1。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 . 2.设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵,且2 1= A ,求* A A 2)3(1--. 3.求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???

2015年武汉大学线性代数考研真题

2015年线性代数 一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆,求出?? ????-C B C A A 的逆。 二、r b A r A r b ==≠),()(,0,b Ax =的所有解集合为S,证明: ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i , 111=∑+-=r n i i k ,使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵,det(A)=1,证明存在正交矩阵P ,使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。 四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误,如正确请说明理由,如不正确请举例说明。 (1)、若)()(B r A r =,则()()* *B r A r = (2)、若())(B r AB r =,则)()(BC r ABC r = (3)、)()('AA r A r = (4)、若一个对称矩阵的秩为r ,则有一个非0 的r 阶主子式。 五、A 是n 阶实对称矩阵,其正负惯性指数分别是q p ,, AX X x f ')(=,记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|,证明: (1)、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - (2)、若w 是n R 的一个线性子空间,将二次型限定w 在中,得到的正负惯性指数分别是p1,q1,则有q q p p ≤≤11,。

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

西南大学线性代数作业答案

西南大学线性代数作业答案

第一次 行列式部分的填空题 1.在5阶行列式ij a 中,项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2.排列45312的逆序数为 5 。 3.行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 . 4.行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5.行列式25 11 22 14--x 中,x 的代数余子式是 — 5 。 6.计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1.计算三阶行列式 3 811411 02--- 解:原式=2×(—4)×3+0×(—1)×(—1)+1×1×8—1×(—1)× (—4)—0×1×3—2×(—1)×8=—4 2.决定i 和j ,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解:i =8,j =5。

3.(7分)已知0010413≠x x x ,求x 的值. 解:原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得:x 1=0;x 2=2 所以 x={x │x ≠0;x ≠2 x ∈R } 4.(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解,求λ。 解:()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5.用克莱姆法则求下列方程组: ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解:因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=)(r r r r r r D 所以方程组有唯一解,再计算: 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此,根据克拉默法则,方程组的唯一解是:

考研数学线性代数知识点梳理

从近几年的真题来看,数学线性代数出题没有过多的变化,2014年的考研[微博]学子们,如何做到在千军万马中胜出,需要我们提前准备,更要做到心中有数,下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式,包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算,其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值,考点不在求行列式,而在于相关性质,矩阵部分出题很灵活,频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式:(1)矩阵形式,(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解,因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况:①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系:齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。

河北工业大学线性代数作业答案

线性代数作业提示与答案 作业(1) 一.k x x k x k x -====4321,0,, 二.??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三.1.阶梯形(不唯一):????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ,简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4; 2.简化阶梯形为单位矩阵. 四.1.其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ(该方程组的系数矩阵为方阵,故可以借助于行列式来判定) 当12≠-≠λλ,时,方程组只有零解, 当2-=λ时,通解为=x ???? ? ?????111k ; 当1=λ时,通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-; 2.?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA , 当2-≠λ时,方程组有唯一解; 当2-=λ时,方程组有无穷解,通解为=x T T k ],,[],,[022111+.

作业(2) 一.1. =x 1,2,3; 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二.1.1; 2.以第二列、第三列分别减去第一列,再把第二列、第三列分别加到第一列上,得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3. 0; (注:行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆,而且计算过程中用的是等号) 4.12 2 2 +++γβα 作业(3) 一.1.c; 2. d ; 3.a 二.1.将第n ,,, 32列都加到第一列上,提出公因子∑=+ n i i a x 1 ,得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起,各列均减第一列,按第二行展开,得)!(22--n . 3.由第1-n 行至第一行,相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上,得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4.按第一列展开,得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三.3)(=A R (注:用矩阵的行初等变换化为梯矩阵,数非零行即可.注意矩阵的表

历年考研线性代数部分(至2012)

1987年全国硕士研究生入学统一考试 (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0 =β在此基底下的坐标是_____________. (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B (4)设A 为n 阶方阵,且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵,则* ||A 等于 (A)a (B) 1a (C)1n a - (D)n a 九、(本题满分8分) 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 1988年全国硕士研究生入学统一考试 (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________. (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关 (C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、(本题满分6分)

线性代数课后作业答案(胡觉亮版)

第一章 1.用消元法解下列线性方程组: (1)??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =,得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2,其中c 为任意常数. 2.用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵: (2)???? ? ??--324423211123. 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ,得 行阶梯形:????? ? ?---0000510402321(不唯一);行最简形:???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3.用初等行变换解下列线性方程组: (1)?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x

解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M , 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x . (2)??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M , 得方程组无解. 第二章 1.(2) 2 2 x y x y . 解 原式()xy y x =-. (2)01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L . 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-

考研线性代数重点内容和典型题型.doc

矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩 阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。2012年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。 由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括:掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有:二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

线性代数习题集(带答案)

______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).

西南大学2020年秋季线性代数 【0044】机考大作业参考答案

一、必答题 什么是线性方程组的系数矩阵和增广矩阵? 答:系数矩阵:方程组左边各方程的系数作为矩阵就是此方程的系数矩阵。 増广矩阵:将非齐次方程右边作为列向量加在系数矩阵后就是增广矩阵其次方程有非零解的条件是系数矩阵的秩小于N 就是说未知数的个数大于方程的个数。 1、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。 1231231232322 21x x x x x x x x x ++=??++=??+-=? 2、求解上述线性方程组 二、从下列两题中任选一题作答 1、(a)什么是逆矩阵? (b)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程11(2)T E C B A C ---=,试求矩阵A ,其 中1232012300120001B --?? ?- ?= ? ???,1201012000120001C ?? ? ?= ? ???。 (a )设A 是一个n 阶矩阵,若存在另一个n 阶矩阵B ,使 得: AB=BA=E ,则称方阵A 可逆,并称方阵B 是A 的逆矩阵

(b ) 2、(a)什么是向量组的极大线性无关组? (b)判断 向量组()()()123=1320=70143=2101T T T ααα-、、、 ()()45=5162=2-141T T αα、是否线性无关。 (c) 求出一个向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。 三、从下列两题中任选一题作答 1、(a )阐述方阵的特征值和特征向量的定义。 对于方阵a,存在一个非零向量x 和实数λ,使得ax=λx 成立,则称λ为矩阵的特征值,x 称为a 相对于λ的特征向量。 延伸: 由ax-λx=0得(a-λe)x=0.

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1.行列式的定义:用n 2个元素a j 组成的记号称为n 阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2 .行列式的计算 一阶I a |= 行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n 工3)行列式的计算:降阶法 定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0,利用定理展开降阶。 特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; 0行列式值为0的几种情况: m 行列式某行(列)的元素对应成比例; IV 奇数阶的反对称行列式。 3■概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式 M j 、代数余子式Aj =(-d+’M ij 定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义:D =Z (-1)&4@22…a q n n , t 为q i q 2…q n 的逆序数 4. 行列式性质: 1行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行 (列)相等或成比例,则为行列式0。 3、行列式某行(列)乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。 4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。 6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。 7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为 I 行列式某行(列)元素全为0; n 行列式某行(列)的对应元素相同; (按行、列展开法则) 0.

线性代数练习题及答案

线性代数期中练习 一、单项选择题。 1. 12 021 k k -≠-的充分必要条件是( )。 (A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2.若AB =AC ,当( )时,有B =C 。 (A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵 3.若三阶行列式M a a a a a a a a a =3332 31 232221 13 1211 ,则=---------33 32 312322 2113 1211222222222a a a a a a a a a ( ) 。 (A) -6M (B) 6M (C) 8M (D) -8M 4.齐次线性方程组123123123 000ax x x x ax x x x x ++=?? ++=??++=?有非零解,则a 应满足( )。 (A) 0a ≠; (B) 0a =; (C) 1a ≠; (D) 1a =. 5.设12,ββ是Ax b =的两个不同的解,12,αα是0=Ax 的基础解系,则Ax b = 的通解是( )。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+ + (B) 11212121 ()()2 c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121 ()()2 c c αββββ+-++ 二.填空题。 6.A = (1, 2, 3, 4),B = (1, -1, 3, 5),则A ·B T = 。 7.已知A 、B 为4阶方阵,且A =-2,B =3,则| 5AB | = 。 | ( AB )-1 |= 。 8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ??? 中,已知1-B 、1 -C 存在,而O 是零矩阵,则 =-1A 。

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