第三章 二次曲面
1．求下列球面的中心和半径：
1）06412222=-+-++z y x z y x ；
解：原方程化为：49)3()2()6(222=-+++-z y x ，则球面中心（6,-2,3），半径R =7 2）022642222=--+-++z y x z y x ；
解：原方程化为：36)3()2()1(222=-+++-z y x ，则球面中心（1,-2,3），半径R =6 3）08222=+++x z y x 。
解：原方程化为：16)4(222=+++z y x ，则球面中心（-4,0,0），半径R =4 2．求下列圆的中心和半径：
1）???=+++=+-+-++0
120246412222z y x z y x z y x
解：球面方程为：25)3()2()6(222=-+++-z y x ，则球面心0（6,-2,3），半径R =5 球心O 到平面a :2x +y +z +1=0的距离63
7
112132622
22=
++++-?=
d R d ∴平面a 与球不相交 故只能形成虚圆。
2）???=+++=++0
2222D Cz By Ax R z y x
解：球心O （0，0，0），半径为R ，则： 球心O 到平面的距离2
2
2
2
2
2
C
B A D C
B A D
O C O B O A d ++=
+++?+?+?=
要能形成圆，则球面必须与平面相交，即：d R
设球O 到平面上的垂足为10001),,,(O z y x O 则为球面与平面相交所形成的圆的圆心，即
⊥1OO 平面，又设：Ct z Bt y At x ===000,,，则：
2
222220C
B A D
t D t C t B t A ++-=
?=+++，即：2222222222221,,,(C B A CD
C B A B
D C B A BD C B A DA O ++-++-++-++-
设圆的半径为r ，则：r =)(2
22
2
2
d R C B A D R ++-
∴圆的中心),,(
2
22222222C
B A CD
C B A B
D C B A AD ++-++-++-， 半径r =)(2
22
2
2
d R C B A D R ++-
3．求下列球面的方程：
1）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点； 解：设球面方程为：0222=++++++D Cz By Ax z y x ，则：
????
??
??
?
=-=-=-=???????
?=+++=++-+=+++-=0232
270
1332062030
D C B A D B A D C B A D C B A D ∴所求球面方程为：02
3
2272
2
2
=---
++z y x z y x 2）过点（1，2，5），与三个坐标平面相切；
解：设球面方程为：2222)()()(a a z a y a x =-+-+-，则：
53)5()2()1(2
222或=?=-+-+-a a a a a
∴所求球面方程为：
25)5()5()5(9)3()3()3(222222=-+-+-=-+-+-z y x z y x 或
3）过点（2，-4，3），且包含圆：0,52
2
==+z y x 。
解：由题可知球心在z 轴，设球心坐标为（0，0，C ），则：球的半径为：R 2=C 2+5 设球的方程为：5)(2222+=-++c c z y x ，则：4+16+（3-c ）2=c 2+5 ∴c =4 ∴所求球的方程为：21)4(22
2
=-++z y x 4．求半径为、对称轴为3
2z
y x ==
的圆柱面的方程。 解：法一：设点（x , y , z ）为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为：
222)2()3()23(14
1y x x z z y d -+-+-=
∵d =2 ∴
2)2()3()23(14
1
222=-+-+-y x x z z y 即：56)23()3()2(222=-+-+-z y z x y x
∴所球圆柱面的方程为：56)23()3()2(222=-+-+-z y z x y x 法二：∵对称轴方程为3
2z
y x ==
∴对称轴过原点（0，0，0） 设),,(z y x M 为圆柱面上任意一点，再在对称轴上取一点),,(0000z y x M 使得⊥0MM 对称轴，由题意有：
42
020*******
02
202+++=++?+=+=z y x z y x R O M MM O M MO
⊥0MM 对称轴03)(2)(1)(000=?-+?-+?-?z z y y x x 0M 在对称轴上t z y x ===
?3
20
00 消去参数得圆柱面方程为：056)32()(142222=-++-++z y x z y x
5．设圆柱面的对称轴为直线：t z t y t x 23,21,--=+==，且知点M （1，-2，1）在这个圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
解：法一：圆柱面的对称轴：2
3
21-+=-=
z y x 点M 到对称轴的距离为：3
65=
d 设点（x , y , z ）为圆柱面上的任意一点，则：
3
65
3)]1()0(2[)]0(2)3[()]3(2)1(2[222=
---+-++++---y x x z z y 即：65)2(4)32()12(2
2
2
=+++++++-z y z x y x
∴所球圆柱面的方程为：65)2(4)32()12(2
2
2
=+++++++-z y z x y x 法二：设圆柱面的对称轴为2
3
21:-+=-=
z y x l 即M （1，-2，1）到l 的距离：3
65
=
d ，l 过点A （0，1，-3） 设点P （x , y , z ）为圆柱面上的任意一点，则：),,(0000z y x M 为对称轴上一点，使得：
PM 0在同一纬圆上，且M 0为该纬圆的圆心，依题意有：
20202
02222
0220202)3()1(9
65)3()1(++-++=
-+-+?+=+=z y x z y x A M d A M PM PA ⊥0PM 0)2()(2)(1)(000=-?-+?-+?-?z z y y x x
0M 在l 上t z y x =-+=-=
?2
3
21000 消去数得圆柱方程为：065)822(])3()1([92222=---+-++-+z y x z y x 6．求顶点为（1，2，3），轴与平面2x+2y-z+1=0垂直、母线和轴夹角为
6
π
的圆柱面的方程。 解：设顶点A （1，2，3），在圆锥面上任取一点M （x , y , z ），则过点A ，M 的直线l 的方向数为（x -1, y -2, z -3）因轴与平面2x +2y -z +1=0垂直，则轴的方向数为（2，2，-1），即轴的方向余弦为（
3
1
,32,32-），直线l 的方向余弦为)
)
3()2()1(3
,
)
3()2()1(2
,
)
3()2()1(1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-+-+---+-+---+-+--z y x z z y x y z y x x 因直线l 与轴的夹角为
6
π
，则： 3
2)3()2()1(232)3()2()1(1
6
cos
222222?-+-+--+?-+-+--=
z y x y z y x x π
)31
()3()2()1(3
2
22-?-+-+--+
z y x z 整理即得圆锥面方程为：
0)322(4])3()2()1[(272222=--+--+-+-z y x z y x
7．求顶点为（1，2，4），轴与平面022=++z y x 垂直且经过点（3，2，1）的圆锥面的方程。
解：设M （1，2，4），P 0（3，2，1），0MP =（2，0，-3）轴的方向数为：=（2,2,1)
与的夹角为：13
31cos =
θ 设点P （x , y , z ）是圆锥面上的任意一点，则：)4,2,1(---=z y x 以：
r MP =
θcos 即：
3
)4()2()1()
4()2(2)1(213312
22?-+-+--+-+-=
z y x z y x ∴所求圆锥面的方程为：0)1022(13)4()2()1(2
2
2
2
=-++--+-+-z y x z y x
8．给定球面020442222=-+-+++z y x z y x ，求
1）过点（1，5，2）的切平面的方程；
解：球面方程为：29)2()2()1(222=++-+-z y x
平面的法向量为：（2，3，4）
∴所求平面方程为：0)2(4)5(3)1(2=-+-+-z y x 2）以（2，6，10）为顶点的切锥面的方程。
解：球心0（-1，2，-2），半径R=29，切锥面顶点P （2，6，10）
轴的方向数为：)12,4,3(==OP r 轴与母线夹角的余弦为：13=OP
13
35
2cos 2
2=
-=
∴R OP θ 设点M （x , y , z ）为切锥面上的点，则：13
)10()6()2()10(12)6(4)2(313
35
22
2
2
?-+-+--+-+-=z y x z y x
故：所求方程为：
0)1501243()10()6(140)2(1402222=-++--+-+-z y x z y x
9．已知圆柱面的三条母线为,11,11,z y x z y x z y x =+=--==+==求这圆柱面的方程。
解：法一：由题知圆柱面的轴线的方向数为（1，1，1）， 设点A （x 1, y 1, z 1）在轴线上，则：
?????---++-+-+=-+-+--++---++-=-+-+-21121121121121121
1211211211211211211)11()1()1()()()()1()11()1()()()(y x x z z y y x x z z y y x x z z y y x x z z y )1,1,(1,11111111+-∴-=+=?x x x A x y x z
令x 1=1，则：A （1，0，2） 轴线方程为：x -1=y =z -2
母线与轴线间的距离为：2=d ，设点P （x , y , z ）为圆柱面上的任意一点，则：
23
)1()12()2(2
22=--++--++-y x x z z y
即6)2()1()1(2
2
2
=+-++-+--z y z x y x
故：所求圆柱面的方程为：6)2()1()1(2
2
2
=+-++-+--z y z x y x
法二：因三条母线z y x l z y x l z y x l =+=--==+==11:,11:,:321，分别过定
点A 1（0，0，0），A 2（1，-1，0），A 3（1，-1，0），设过A 1，A 2，A 3后平面()01=+++z By Ax 为π
则有：??
?
??=+-=++-=00
D B A D C A D 则：A =B =C ，D =0
即平面0=++z y x ：的方程为π，则圆柱面的准线为平面321,,l l l 与π相交所形成
的圆，设圆的方程为：???=++++++=++0
2
22
D Cz By Ax z y x z y x
∵A 1（0，0，0），A 2（-1，0，1），A 3（1，-1，0）在圆上，则有
??
?
??=+=+=???
?
??=+-+++=+++-+=042001100010D C B C A D B A D C A D ∵C 是任意的 ∴取C =0，则：A =2，B =4，C =0，D =0 故准线方程为：??
?=++++=++0
420
2
2
2
y x z y x z y x
设M 0（x 0, y 0, z 0）是准线上的任意一点，M （x , y , z ）为相应母线上一点，则有：
??
???=-=-=++++=++)
1,1,1(),,(0420000002
02020000t z z y y x x y x z y x z y x 消去参数，得圆柱面方程：033222=-+---++z y yz xz xy z y x
10．求柱面的方程：
1）准线为：?
??==022x z
y 母线平行于X 轴；
解：母线的方向数为（1，0，0）
设P （x , y , z ）是柱面上的点，M （x , y , z ）是准线上的点且使MP 为一条母线，则：
过M 的母线方程为：??
?==-=-=-0
200111211
11x z y z z y y x x 且 * 再设
t y y x x =-=-0
11
1，则：x 1=x -t , y 1=y , z 1=z 代入*得：y 2=2z ∴所求柱面的方程为：y 2=2z
2）准线为：??
?==0
4
z xy 母线平行于向量（1，-1，1）。
解：设P （x , y , z ）是柱面上的点，M （x 1, y 1, z 1）是准线上的点且使MP 为一条母线，则：
过M 的母线方程为：??
?==-=--=-041111
111
11z y x z z y y x x 且 * 再设
t z z y y x x =--=--=-1
111
11，则：x 1=x -t , y 1=y+t , z 1=z-t 代入*得： 4))((04
))((=+-??
?
?=-=+-z y z x t z t y t x 故：所求柱面方程为：4))((=+-z y z x
11．求顶点（4，0，-3）准线为??
???==+
0,19252
2z y x 的锥面的方程。
解：设点M （x 1, y 1, z 1）是准线上的一点，P （4，0，-3）是顶点，则：
PM 为一条母线：?
????==+
++==--0
19
25334412
121111z y x z z y y x x 且 * 令
11113
3
44t z z y y x x =++==--，则：33,,44111-+==+-=t z z t y y t x x 代入*得：????
???=-+=+-++?=++-033
0)3(2525)43(19
)(25)44(22222
t
z z y z x t y t
x 故：所求锥面方程为：0)3(2525)43(222=+-++z y z x 12．求旋转面的方程：
1）
21111111-=--=-+=-z z y x 绕21
11-=-=z y x 旋转； 解：轴2111-=-=z y x 过点A （0，0，1），设M 0（x 0, y 0, z 0）为直线2
1
111-=-+=z y x 上
一点，M （x , y , z ）为旋转面上任意一点，使M 0，M 在同一纬圆上，则：
202
0202220)1()1(-++=-++?=z y x z y x A M MA
⊥0MM 轴02)()1()(1)(000=?-+-?-+?-?z z y y x x 0M 在直线
t z y x z y x =-=-+=-?-=-+=-2
1
1111211111000 ∴消去参数，得旋转面方程：
)12(4)42(])1([62222-+-+-+-=-++z y x z y x z y x
2）
1112--==z y x 绕21
11-=-=z y x 旋转； 解：轴2111-=-=z y x 过点A （0，0，1），设M 0（x 0, y 0, z 0）为1
1
12--==z y x 上一点，
P （x , y , z ）为旋转面上任意一点，且M 0，P 在同一纬圆上，则：
202020202
02000)()()()1(z z y y x x z y x A M A M -+-+-=-++?=
点M 0在
1112--==z y x 上，t z y x =--==?1
1
12000 ⊥P M 0旋转轴02)()1()(1)(000=?-+-?-+?-?z z y y x x
由上可得旋转面方程为：
2222)1()22()4423()22(6--+-++-+-=-+-y x z x z y x z y x
3）3
31z
y x =-=
-绕z 轴旋转； 解：因z 轴为旋转轴，则旋转轴过A （0，0，1），设M 0为直线3
31z
y x =-=-上一点， M （x , y , z ）为旋转面上一点，且M ，M 0在同一纬圆上，有：
2222020200)1()1(-++=-++?=z y x z y x MA A M
M 0为直线上一点t z y x ==-=
-?3
310
00 z =z 0 由上可得，旋转面方程为：10z 2+6z +9=9（x 2+y 2）
4）331z y x =-=
-绕212-==z y x 旋转； 解：旋转轴212-==z y x 过A （0，0，1），设M 0（x 0, y 0, z 0）为3
31z
y x =-=-上一点，
M （x , y , z ）为旋转面上一点，且M 0，M 在同一纬圆上，则有：
2222
020200z y x z y x MA A M ++=++?=
M 0在331z y x =-=
- 上 t z
y x ==-=-?3
31000 旋转轴⊥0MM 0)()2()(1)(2000=-?-+-?+-??z z y y x x
由以上得旋转面方程：
()
77)22(14)222(19492222+-+---+=++z y x z y x z y x
5）圆???==+-0
)(2
22y r z R x )0( r R 绕Z 轴；
解：设M 0（x 0, y 0, z 0）为圆上一点，M （x , y , z ）是旋转面上任意一点，且M 0与M 共纬圆，则由圆绕z 轴旋转有：
???
??
??=++=++==+-02
020********
0200
)(z
z z y x z y x y r z R x 由上可得旋转面方程：2
2222)(r z R y x =+-+±
6）空间曲线?????=+=1
2
22
y x x
z 绕Z 轴。 解：因z 轴为旋转轴，记A （0，0，1）为z 轴上一点，设M 0（x 0, y 0, z 0）是曲线上一点，M （x , y , z ）为旋转面上的一点，且M ，M 0在同一纬圆上，则有：
???
????=-++=-++=+=02
2220202
02
02
02
00)1()1(1
z
z z y x z y x y x x z 由上得，旋转面方程：12
2=+y x 13．画出下列曲面的简图：
1）;1644222=++z y x 2）81922=-z y ；
3）;0442
2
2
=+-z y x 4）19
42
2=++z y x ； 5）xy z =2； 6）;422
22=+-z y x
7）xy z = 8）;6232
22=--z y x 9）;122
22=+++z y xy x 10）2---=y x xy z
14．适当选取坐标系，求下列轨迹的方程，并画图：
1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；
解：选取合适的坐标条，使两定点A （a ，0，0），B （-a ，0，0），则P （x , y , z ）为空间
内一点，则设()0( k ）k k PB
PA 为常数=
即：
0)1(2))(1()()(2222222
22222=+-+++-?=+++++-k ax a z y x k k z y a x z y a x
当k =1时，轨迹为平面x =0
当k ≠1时，轨迹为以点（0,0,1)1(2
2
k k a -+）为球心，212k ak -为半径的球面。
2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；
解：选取合适的坐标条，使两定点A （a ，0，0），B （-a ，0，0），则P （x , y , z ）为空间内一点，
∵ ()0 k k PB PA =+ ∴)0()()(2
22222 k k z y a x z y a x =++++++-
即：)0(444)164(2222222222 k a k k z k y k x a k -=++-
∴轨迹方程为：)0(444)164(2222222222 k a k k z k y k x a k -=++- 3）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；
解：选取合适的坐标条，使两定点A （a ，0，0），B （-a ，0，0），设P （x , y , z ）为任意一点，
∵ k PB PA =+ ∴k z y a x z y a x =+++-++-2
22222)()(
即：044416)416(2
2422222222=-+----a k k z k y k x ak x k a 当k =0时，轨迹方程为：x =0
当k ≠1时，轨迹方程为： 044416)416(22422222222=-+----a k k z k y k x ak x k a 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹；
解：以定点O 为坐标原点，建立空间直线坐标条，设定平面为Ax +By +Cz +D =0，设P （x , y , z ）为任意一点，由已知可得：
K C B A D Cz By Ax z y x =+++++++2
222
22，即：22222222)())((D Cz By Ax k z y x C B A +++=++++
∴轨迹方程为：2
2
2
2
2
2
2
2
)())((D Cz By Ax k z y x C B A +++=++++
5）求与二给定直线等距离的点轨迹的方程，已知二直线之间的距离为a ，夹角为a （取公垂线为z 轴，中点为原点，X 轴与二直线成等角）。
解：以两直线的公垂线为z 轴，公垂线中点为原点，x 轴与二直线成等角建立坐标条设两直线分别为l 1, l 2,l 1与z 轴交点A （0，0，2a ），l 2与z 轴交点B （0，0，-2
a ），l 1, l 2,与x 轴夹角都为
2a ，l 1, l 2与z 轴夹角都为2
π
，由方向余弦公式1cos cos cos 222=++r βα，可知：2
sin 2
cos 1cos 2
2
2α
α
β=-=，则：2
sin
cos 2
α
β±=，因l 1与l 2异面，则l 1与l 2的方向余
弦不相等，即：
l 1的方向余弦为（0,2
sin
,2
cos α
α
），l 2的方向余弦为（0,2
sin ,2
cos α
α
-）或 l 1的方向余弦为（0,2
sin
,2
cos
α
α
-），l 2的方向余弦为（0,2sin
,2
cos
α
α
-）则：
l 1的方程为：
22
sin 2
cos
a
z a y a
x -=
=
，l 2的方程为：
22
sin
2
cos
a
z a y a x +=
-=
，设p
（x , y , z ）为满足条件的一点，则有：
sin 0
,2
sin ,2(cos )
0,2
sin ,2(cos )2,,(0,2sin ,2cos )0,2sin ,2(cos )2,,(=+?--?+=?-a xy az a a a
a a z y x a a a a a z y x 当l 1的方向余弦为（0,2
sin ,2cos
a
-α
），则同理有： 0sin 0
,2
sin ,2(cos )
0,2
sin ,2(cos )2,,(0,2sin ,2cos )0,2sin ,2(cos )2,,(=-?-?+=--?-a xy az a a a
a a z y x a a a a a z y x
综上：轨迹方程为：0sin 22222=-a y x z a 15．已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆
?????=+
=116
90
2
2
y x z 及点)23,2,1(M ，求这个椭球面的方程。 解：由题可设椭球面的方程为：
116922
22=++c
z y x 又过点M （1,2,
23）
，则有：123
164912=++c
362=∴c 故：所求椭球圆的方程为：
136
1692
22=++z y x
16．已知椭圆抛物面的顶点为原点，对称面为XZ 和YZ 平面，且过点（322,2,1）和（1,1,3
1
-），求这个椭圆抛物面的方程。
解：由题可设椭圆抛物面的方程为：22
22b
y a x z +=，则：
??
???==????????+=+=361
19
1141
322222
22
2b a b a
b a ∴所求椭圆抛物面的方程为：22
3
16y x z +
= 17．求直线族0
112λ
λ-=-=-z y x 所成的曲面。 解：由0112λλ-=-=-z y x 得：0001
11222=-+????==-+???????
?-=--=-z y x z y x z y y
x λλλ
λ ∴所求曲面的方程为：02=-+z y x
18．求下列三条直线同时相交的直线所产生的曲面：
52
4132,1,,1+=+=--?
?
?-=-=???==z y x z y x z y x 解：先写出通过直线l 1和l 2的两个平面来的方程：
0)1(:=-+-x z y λπλ（1） 0)1(:=+++x z y μπμ（2）
直线l 3上的动点坐标为：t z t y t x 52,31,32+-=+-=-=（3） 分别将（3）代入（1）得：131--=
t t λ，代入（2）得：1
1
3--=t t μ 于是得线来： 10)1(130)1(1
31222=-+????
???
?
=+-++=---+-z y x x t t z y x t t z y ∴所求曲面的方程为：12
2
2
=-+z y x
19．求下列曲线在各坐标面上投影的方程，画出简图：
1）??
???=-=-+
021412162
22x z y x
解：在YOZ 平面上的投影：??
???==
-0
43
41222x z y 在XOZ 平面上的投影：??
?==02y x 在XOY 平面上的投影：（2，3，0），（2，-3，0）
2）?????=+-=-+0
1202
2
22z x z y x 解：在YOZ 平面上的投影：???==-+--0
018532246x y z z z
在XOZ 平面上的投影：?
??==+-00
122y z x
在XOY 平面上的投影： ???==--+0
1223z x y x
3）?????=++=-+4
41642
2222z y x z y x 解：在YOZ 平面上的投影：???==--0012322x z y 在XOZ 平面上的投影：???==+00322y z x
在XOY 平面上的投影：?
??==+04
22z y x
4）???
????+=--=2222
413414y x x y x z
解：在YOZ 平面上的投影：???==-+002482x z y 在XOZ 平面上的投影：??
?==+-0
022y z x 在XOY 平面上的投影：???==-+0
8822z y x
20．用不等式表出下列曲面所围成的区域，并作简图： 1）;0,4,22
2
2
2
==+=+z x y x x y x
解：??
?
??≥-02240z y x
2）;1,12222=+=+z y y x
解：??
?
??≥-≤0221z y x
3）12,422222=++=+z y x z y x
解：????
???≤≤≤≤3
203232z y x
第四章 正交变换和仿射变换
1．求出把点（2，3，0）变成点（0，-1，1）的平移α的公式。α把曲面1222=++z y x 和
01882=+--y x y 变成什么曲面？
解：∵a 1=0-2=-2，a 2=-1-3=-4，a 3=1-0=1， )1,4,2(--=a
设该平移的a 后的点为（x , y , z ），则平移前的点为：（x +2, y +4, z -1） ∴a 把曲面1222=++z y x 变成曲面1)1()4()2(222=-++++z y x
把曲面01882=+--y x y 变成曲面016)4(8)4(2=++--+y x y
2．求出绕Y 轴左旋4
π
的旋转σ的公式，σ把曲面2522=+z x 和0222=-+++z x z xz x 变成什么曲面？
解：旋转σ：???
?
?
??
??--==+-=??????????-==--=1
11111112
2222
22222222222z x z y y z x x z
x z y
y z x x
σ把曲面2522=+z x 变成曲面：50)()(22=++-z x z x σ把曲面0222=-+++z x z xz x 变成曲面：022=+z x
3．求前两题中变换乘积ασ和σα的公式。
解：ασ的公式：???
?
?????+-=-=+--=222224
2322
2211
1z x z y y z x x
σα的公式：???
?
?
??
??+-=-=---=122224
22222111z x z y y z x x
4．设α,σ,τ是三个变换，证明τασστα)()(=
证明：设点P 为任意一点，则：)))((()))(())((p p p τσασταστα==
)))((()()(p p τσατασ= 故：τασστα)()(= 5．设α,σ是两个变换，证明111)(---=ασασ
证明：∵εααασσαασασ===-----11111)())(( 又εασασ=-1))(( 111)(---=∴ασασ
6．求出把点（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1）分别变成点（0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）的旋转。
解：由题可设旋转公式为：?????++=++=++=z
a y a x a z z a y a x a y z
a y a x a x 3332311
2322211
1312111
将（0，1，0），（0，0，1）代入得：a 12=0，a 22=0，a 32=1，a 13=1，a 23=0，a 33=0
而：0,110
1001
0312131212133
22
11
==∴=-==a a a a a a a a
又：011011222
11=∴=++a a
故：旋转公式为：??
?
??='='='y z x y z
x
7．求出对于平面0=+++D Cz By Ax 的反射公式。
解：设点（x , y , z ）传平面反射后的点为（z y x ''',,），则：
??????
?-'=-'=-'=++'++'++'C z z B y y A
x x D C z z B y y A x
x 02
22 即得：???
?
?
?
???--+++++-='+--++++-='++--+++-=')222())(222())(222(2
222
222222
222
22222z C B A C By Ax D C B A C z z y B C A B Ax D C B A B y z By x A C B A D C B A A x 8．证明：分别对于两个平行平面的两个反射的乘积是一个平移。 9．证明：分别对于两个相交平面的两个反射的乘积是一个旋转。
10．证明：相似变换：??
?
??='≠='='kz z k ky y kx x )0(,, 保持角度不变。
11．证明：在仿射变换下，两个不动点的边线上的每个点都不动。
证明：设在仿射变换下，点A ，B 的对应点分别为A'，B'在直线AB 上任取一点x ,设x 的对应点为x'，由题设知：
A'≡A ， B'≡B
再由结合性知A ，B ，X ， x' 共线 ∵（ABX ）=（ABX'） ∴ X = X' 即：直线AB 上每个点都是不动点。即证。
2015年七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合 题》 2015-06-15一．解答题（共17小题） 1．（2015春?玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0． （1）求a、b的值； （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC 的面积表示为S△ABC） ②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． 2．（2015春?汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C （3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0． （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2015春?鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 4．（2014春?富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0 （1）求a、b的值； （2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
第六章平面直角坐标系水平测试题（一） 一、（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分 . 在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 把所选项前 的字母代号填在题后的括号内 . 相信你一定会选对！） 1.某同学的座位号为（2,4 ），那么该同学的位置是（） （ A ）第 2 排第 4 列（ B ）第 4 排第 2 列（ C）第 2 列第 4 排（D ）不好确定 2.下列各点中，在第二象限的点是（） （ A ）（ 2， 3）（ B ）（ 2，－ 3）（ C）（－ 2，－ 3）（D ）（－ 2， 3） 3. P 到y 轴的距离为 3, 则点 P 的坐标为（） 若 x 轴上的点 （ A ）（ 3,0）（ B）（ 0,3）（C）（ 3,0）或（－ 3,0）（ D）（ 0,3）或（ 0,－3） 4.点M（m 1，m 3）在x轴上，则点 M 坐标为（）． （ A ）（ 0，－ 4）（ B ）（ 4， 0）（ C）（－ 2， 0）（ D）（ 0，－ 2） 5.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－ 1,－ 1）,（－ 1,2）,（ 3,－ 1）?,则第四个顶点的坐标为（） （ A ）（ 2,2）（ B）（ 3,2）（ C）（ 3,3）（ D）（ 2,3） 6.线段 AB 两端点坐标分别为 A （1,4 ），B（4,1），现将它向左平移 4 个单位长度，得到线段 A 1B1，则 A 1、 B 1 的坐标分别为（） （ A ） A 1（5,0 ），B1（8, 3 ）（ B） A 1（3,7）， B1（ 0， 5） （ C） A 1（5,4 ）B1 （－ 8， 1）（D ） A 1（3,4） B 1（0,1） 7、点 P（ m+3， m+1）在 x 轴上，则 P 点坐标为（） A ．（ 0， -2） B ．（ 2， 0）C．（ 4， 0）D．（ 0， -4） 8、点 P（ x,y ）位于 x 轴下方， y 轴左侧，且x =2 ， y =4，点P的坐标是（） A．（ 4， 2） B ．（－ 2，－ 4） C ．（－ 4，－ 2） D ．（ 2， 4） 9、点 P（ 0，－ 3），以 P 为圆心， 5 为半径画圆交 y 轴负半轴的坐标是（） A．（ 8， 0） B ．（ 0 ，－ 8） C ．（0， 8） D ．（－ 8， 0） 10、将某图形的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，则该图形（） A．向右平移 2 个单位 B ．向左平移 2 个单位 C ．向上平移 2 个单位 D ．向下平移 2 个单位 11、点 E（a,b ）到 x 轴的距离是4，到 y 轴距离是3，则有（） A． a=3, b=4 B ． a=± 3,b= ± 4 C ． a=4, b=3 D ． a=± 4,b= ± 3 12、如果点 M到 x 轴和 y 轴的距离相等，则点M横、纵坐标的关系是（） A．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．相等或互为相反数 13、已知 P(0 ， a) 在 y 轴的负半轴上，则Q( a2 1, a 1)在( ) A、 y 轴的左边， x 轴的上方 B 、y 轴的右边， x 轴的上方
在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A ,0),,(≠-a a a 点B ),(c b ……, ———初中七年级数学 题目: 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A ,0),,(≠-a a a 点B ),(c b c b a ,,满足???-=---=--4 532132c b a c b a （1）若,a a <-,则点A 在第 象限 （2）若 4-≥c b ,且c 为正整数,求点A 的坐标 （3）若点C 是直角坐标系内的一点,连接AB,OC,若AB ∥OC,且AB=OC, 则C 点坐标是 . 解： （1）— 由于,a a <- ∴A 在第二象限 （2） 由题意解得? ??--=-=25c b c a 又4-≥c b , 2--=c b 42-≥--∴c c c ≥∴1 且c 为正整数, ∴1=c ∴???-=-=3 4b a ∴A 点坐标为(4,-4) （3） 分析: 若点C 是直角坐标系内的一点,连接AB,OC,若AB ∥OC,且AB=OC, 按题意AB ∥OC,且AB=OC ，其实C 点坐标可理解为,OC 线段是将AB 线段平移,而A 点和B 点坐标分别移至O 点后形成两线段端点的坐标。
故该C点就会在两个象限中: (甲),其中一点是把B点坐标移到直角坐标系的原点,,此时A点也按B点向右和向下移相同距离,即就是此时的C点坐标: 把B点坐标(-3,1)向右移动3个单位,向下移1个单位即到原点O,而A点坐标也按B点坐标移相同距离,即(4+3,-4-1)这就是此时的C点坐标为(7,-5); (乙),另一点是把A点坐标移到直角坐标系的原点,,此时B点也按A点向左和向上移相同距离,即就是此时的C点坐标: 把A点坐标(4.-4)向左移动4个单位,向上移4个单位即到原点O,而A点坐标也按B点坐标移相同距离,即(-3-4,1+4)这就是此时的C点坐标为(-7,5); 解: C点坐标为(7,-5)和(-7,5) 在下图看更明了:
1. (2016 广西河池市) 】．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1,3）．将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是（ ） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．（1,―3） D ．（―1,3） 答案：】． 答案A 逐步提示作AC ⊥x 轴于点C ，根据勾股定理求出OA 的长，根据正切的概念求出∠AOC 的度数，再根据旋转变换即可得解. 详细解答解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C . ∵点A 的坐标为（1,3），∴OC ＝1，AC ＝3．∴OA ＝12＋ (3)2＝2. ∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝3,∴∠AOC ＝60°. ∴将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OB 时，点B 恰好在y 轴上. ∴点B 的坐标是(0,2) . 故选择A. 解后反思本题通过作垂线，将点的坐标转化为线段的长度，应用勾股定理求斜边的长，应用特殊角的三角函数值求出特殊角的度数，再根据旋转的方向和角度确定所求点的位置，最后写出其坐标. 关键词 图形旋转的特征、特殊角三角函数值的运用、点的坐标 20160926210454015732 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/26 2. (2016 广西贺州市) 】．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 答案：】． 考点坐标与图形变化-旋转． 分析由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论． 解答解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°， ∴AO=A′O． 作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°． ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′． 在△ACO和△A′C′O中， ， ∴△ACO≌△A′C′O（AAS）， ∴AC=A′C′，CO=C′O． ∵A（﹣2，5）， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2，OC′=5， ∴A′（5，2）． 故选：B．
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式 课程学习目标 目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式； 目标难点：两点间距离公式的推导； ［学法关键］ 1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式； 2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。 研习点1. 两点间的距离公式 1． 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B 2． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|； 当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|； 当B 为原点时，d (A ，B 求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算： （1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1. （3）计算d 22x y +. （4）给出两点的距离d . 通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离
研习点2. 坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法. 用坐标法证题的步骤 （1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论. 研习点3. 中点坐标公式 已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有1212 22 x x x y y y +?=???+?=?? （1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。 （2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为 123123 33x x x x y y y y ++?=???++?=?? 题型1. 公式的基本应用 例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标， （1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2). 解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B =。 （2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2 3)， AB 两点的距离d (C ，D =
第六章 平面直角坐标系水平测试题（一） 一、（本大题共10小题，每题3分，共30分. 在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.把所选项前的字母代号填在题后的括号内. 相信你一定会选对！） 1.某同学的座位号为（），那么该同学的位置是（ ） （A ）第2排第4列 （B ）第4排第2列 （C ）第2列第4排 （D ）不好确定 2.下列各点中，在第二象限的点是（ ） （A ）（2，3） （B ）（2，－3） （C ）（－2，－3） （D ）（－2，3） 3.若轴上的点到轴的距离为3,则点的坐标为（ ） （A ）（3,0） （B ）（0,3） （C ）（3,0）或（－3,0） （D ）（0,3）或（0,－3） 4.点（，）在轴上，则点坐标为（ ）． （A ）（0，－4） （B ）（4，0） （C ）（－2，0） （D ）（0，－2） 5.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－1,－1）,（－1,2）,（3,－1）?,则第四个顶点的坐标为（ ） （A ）（2,2） （B ）（3,2） （C ）（3,3） （D ）（2,3） 6.线段AB 两端点坐标分别为A （），B （），现将它向左平移4个单位长度，得到线段A 1B 1，则A 1、B 1的坐标分别为（ ） （A ）A 1（），B 1（） （B ）A 1（）， B 1（0，5） （C ）A 1（） B 1（－8，1） （D ）A 1（） B 1（） 7、点P （m+3，m+1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．（0，-2） B ．（2，0） C ．（4，0） D ．（0，-4） 8、点P （x,y ）位于x 轴下方，y 轴左侧，且x =2 ，y =4，点P 的坐标是（ ） A ．（4，2） B ．（－2，－4） C ．（－4，－2） D ．（2，4） 9、点P （0，－3），以P 为圆心，5为半径画圆交y 轴负半轴的坐标是 （ ） A ．（8，0） B ．（ 0，－8） C ．（0，8） D ．（－8，0） 10、将某图形的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，则该图形 （ ） A ．向右平移2个单位 B ．向左平移2 个单位 C ．向上平移2 个单位 D ．向下平移2 个单位 11、点 E （a,b ）到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，则有 （ ） A ．a=3, b=4 B ．a=±3,b=±4 C ．a=4, b=3 D ．a=±4,b=±3 12、如果点M 到x 轴和y 轴的距离相等，则点M 横、纵坐标的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．相等或互为相反数 13、已知P(0，a)在y 轴的负半轴上，则Q(2 1,1a a ---+)在( ) A 、y 轴的左边，x 轴的上方 B 、y 轴的右边，x 轴的上方 14.七年级（2）班教室里的座位共有7排8列，其中小明的座位在第3排第7列，简记为（3，7），小华坐在第5排第2列，则小华的座位可记作__________. 15. 若点P （,）在第二象限,则点Q （,）在第_______象限. 16. 若点P 到轴的距离是12,到轴的距离是15,那么P 点坐标可以是________. 17.小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了3个单位长度,平移前猫眼的坐标为（－4,3）,（－2,3）,则移动后
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 教材分析 本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。 课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。 本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。 课时分配 本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。 教学目标 重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。 知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。 能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。 教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。 自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。 考试点：空间中点的确定及坐标表示。 易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。 拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。 一、引入新课 由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。 ,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示。类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐 x y z表示。 标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y -1)2＝4 和圆C 2：(x －4)2＋(y -5)2＝4 （1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程 （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标. 解：（1）由于直线x ＝4与圆C 1不相交； ∴ 直线l 的斜率存在，设l 方程为：y ＝k (x －4) 圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，∵ l 被⊙C 1截得的弦长为23 ∴ d ＝22)3(2-＝1 d ＝21| )43(1|k k +---从而k (24k ＋7)＝0即k ＝0或k ＝－24 7 ∴直线l 的方程为：y ＝0或7x ＋24y －28＝0 （2）设点P （a , b ）满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ), k ≠0 则直线l 2方程为：y －b ＝－k 1(x －a ) ∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长 相等， ∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等 即21| )3(1|k b a k +----＝211|)4(15|k b a k +--+ 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk | ∴1＋3k ＋ak －b ＝±（5k ＋4－a －bk ）即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5 因k 的取值有无穷多个，所以???=+-=-+0302a b b a 或???=-+=+-0508b a b a 解得???????-==2125b a 或??? ????=-=21323b a 这样的点只可能是点P 1(25, －21)或点P 2(－23, 2 13)
平面直角坐标系中面积的求法 姓名： 家长签字： 1、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。 2、在平面直角坐标系中，A （-5，0）、B （3，0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标。 3、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S = ，求点P 的坐标。 4、已知，点A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4） （1）求△ABC 的面积； （2）设P 为x 轴上一点，若12 APC PBC S S = ，试求点P 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，-1）、B （-1，4）、C （-3，1）， （1）求△ABC 的面积； （2）将△ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB 扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A （-4，0）、B （2，0）、点C 在y 轴正半轴上，18ABC S = ， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得12 APC ABC S S = 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。
7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个 单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。 （1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积； （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使 1 2 APB ABDC S S 四 ，若存在这样的点，求出点P的坐 标，若不存在，试说明理由。 8、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 （1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（-3，1）、B （-3，3）、C（2，3）。 （1）求点D的坐标； （2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？ （3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1 ，几秒钟后△OB1D1 的面积等于长方形ABCD的面积？
建立空间直角坐标系的几种常见思路 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ??- ? ??? ，，、133022C ?? ? ?? ?，，． 设302E a ?? ? ??? ，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，，
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1。 （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ。 收藏答案 数学【解答题】ID： 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。 （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。 收藏答案 数学【解答题】ID： 已知双曲线C1：。 （1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程； （2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当时，求实数m的值。在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。 （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的
距离是定值。 收藏答案 数学【填空题】ID： 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为（）。 收藏答案 数学【解答题】ID： 已知双曲线C1：。 （1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程； （2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当时，求实数m的值。 收藏答案 数学【填空题】ID： 如图，双曲线=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D。 则：（1）双曲线的离心率e=（）； （2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=（）。
平移与旋转 一、知识点 1、平移 （1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 （2）性质： ① 对应点所连的线段平行且相等。 ② 对应线段平行且相等，对应角相等。 ③ 平移不改变图形的形状和大小。 决定平移的三大要素：原始位置、平移方向与平移距离。 2、旋转 （1）定义：在平面内，将一个图形围绕某个点顺时针或逆时针移动一定的角度，这样的图 形运动称为旋转。 （2）性质：① 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。任 意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等。 ② 对应点到旋转中心的距离相等。 ③ 旋转不改变图形的形状和大小。 决定旋转的三大要素：原始位置、旋转中心与旋转角。 3、作图 一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作。 决定平移作图的三大要素：原始位置、平移方向与移动距离。 决定旋转作图的三大要素：原始位置、旋转中心与旋转角。 1、下列每组大写字母中，旋转180°和原来形状一样的是 A 、H I O E B 、H I O N C 、H I O U D 、H I O B 2、在括号内填上图形从甲到乙的变换关系： 3、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，分针旋转的角度是 。 （ ） 甲 乙 甲 乙 乙 甲 （ ） （ ）
4、下列图形中，不能由图形M 经过一次平移或旋转得到的是 。 5、如图，当半径为30cm 的转动轮转过120?角时，传送带上的物体A 平移的 距离为 cm 。 平面直角坐标系 一、知识点 1、有序数对 定义：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种 有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）。 2、平面直角坐标系 ① 定义：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y 轴或纵轴，习惯上取向上为正方向。 理解：由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。 ②三要素：正方向，两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点，单位长度。 ③点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a ，b ）。 a 是点对应横轴上的数值， b 是点在纵轴上对应的数值。 ④象限：建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限， 第三象限和第四象限。 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 3、平面直角坐标系的应用 （1）实际问题中如何建立平面直角坐标系： ①选择坐标原点 ②确定正方向 ③明确单位长度 （2）平面直角坐标系中图形变化与坐标的关系： ①平移 ②放大 ③翻转（180°） 练习： 1、在平面直角坐标系中，点（2-，4）所在的象限是 Ａ、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限 2、点P （ ）一定 A 、在第一，三象限 B 、在第一，四象限 C 、在x 轴的下方 D 、不在x 轴的下方 A B C D M 1,-y x
复习：求下列条件下线段AB 的长度. 1）A(－6，0)，B(－2，0) 2）A(－3，0)，B(2，0) 3）A(1，0)，B(5，0). 4）A(x 1，0)，B(x 2，0). 5）A(0，y 1)，B(0 ，y 2 ). 一、有一边在坐标轴上 例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上 的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则 D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542 1=??. 三、三边均不与坐标轴平行
《平面直角坐标系》章节复习 考点1：考点的坐标与象限的关系 知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下： （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在平面直角坐标中，点M (－2，3)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、在平面直角坐标系中，点P (－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（ ） 、 A ．x 轴正半轴上 B ．x 轴负半轴上 C ．y 轴正半轴上 D ．y 轴负半轴上 4、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5、在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，在第四象限，则实数x 的取值范围是 ． 6、对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．． （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点 ` x 轴上的点纵坐标为0, y 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0） 1、点P （m+3，m+1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．（0，-2） B ．（2，0） C ．（4，0） D ．（0，-4） 2、已知点P (m ，2m －1)在y 轴上，则P 点的坐标是 。 考点3：考对称点的坐标 知识解析：
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 ． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos 17 BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1 （０，2，０）、3102c ??- ? ???，，、13302C ?? ? ??? ，，．
设302E a ?? ? ???，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ????--= ? ???? ?， 即12a =或32a =（舍去）．故3102E ?? ? ??? ，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角． 因11(002)B A BA ==，，，31222EA ? ?=-- ? ??，， 故11112cos 3 EA B A EA B A θ= =，即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系． 设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、 V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）． 由(020)(103)0AB VA =-=， ，，，，得
平面直角坐标系下的图形变换 王建华 图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。 在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的 关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活 平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变 左右平移横坐标改变,纵坐标不变 对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变 关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变 关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数 旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180 一、平移 例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)． 向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）． 比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度． 友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。 析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B 反思：①根据平移的坐标变化规律： ★左右平移时：向左平移h个单位) , ( ) , (b h a b a- → 向右平移h个单位) , ( ) , (b h a b a+ → ★上下平移时：向上平移h个单位) , ( ) , (h b a b a+ → 向下平移h个单位) , ( ) , (h b a b a- → 二、旋转 例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点 0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的 坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC三个顶点的坐标分别是： A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： 图2 图1 B/ 图 2 图1
专题：平面直角坐标系中的变化规律 ——掌握不同规律，以不变应万变 ◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究 1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3， 2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________． 2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________． ◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究 3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个 C．40个D．80个 第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2 ︵ ，P2P3 ︵ ，P3P4 ︵ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()
A．(－6，24) B．(－6，25) C．(－5，24) D．(－5，25) ◆类型三图形变化中的点的坐标探究 5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是() A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2) C．(14＋3π，2) D．(12＋3π ，0) 6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________； (2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．
0022 Ax By C A B d +++= 平面直角坐标系中有关计算的问题 ◆知识讲解 ①点P （a ，b ）到x 轴的距离为 ，到y 轴距离为 ，到原点距离为 。 ②点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上?a 为任意实数，b= ； 若点P 在y 轴上?a= ，b 为任意实数； 若点P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上?a= ； 若点P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上?a= 。 ③A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称?x 1= ，y 1= ； A 、 B 关于的y 轴对称?x 1= ，y 1= ； A 、B 关于原点对称?x 1= ，y 1= ； ④AB ∥x 轴?y 1=y 2且x 1≠x 2；AB ∥y 轴?x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）． 当AB 平行于x 轴时，AB=|x 2－x 1|； 当AB 平行于y 轴时，AB=|y 2－y 1|； ⑤当AB 不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，AB= ()() 22 2121x x y y -+- △⑥平面直角坐标系中，点到直线的距离: 已知点P （x 0， y 0）、直线L ：0Ax By C ++=， 则点P （x 0， y 0）到直线L ：0Ax By C ++=的 距 离公式为 △⑦平面直角坐标系中，两平行线之间的距离: 两条平行直线 00 2211=++=++C By Ax l C By Ax l ：：之间的距离是2 2 2 1B A C C d +-= ⑧若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行时，12k k =；若直线11y k x b =+与直线 22y k x b =+垂直时，121k k ?=-。 ◆课前热身 1、点A （-2,-3）到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。 2、若点P 在第三象限且到x 轴的距离为 2 ,到y 轴的距离为5,则点P 的坐标是 。 4、点A 在x 轴上,距离原点4个单位长度,则A 点的坐标是 _______________。 5、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是 。 6、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A ．M (5，0)，N (8，4) B ．M (4，0)，N (8，4) C ．M (5，0)，N (7，4) D ．M (4，0)，N (7，4) 7、若点A （m －3，1－3m ）在第三象限，则m 的取值范围是 . B 2 B 1 A 2 A 1 B (x 2,y 2) A (x 1,y 1) O y x C ___ ___,)2(______,)1(: )5,(),3(3====-b a N M b a N M a N b M 角平分线上，则两点都在第二、四象限、若点角平分线上，则两点都在第一、三象限、若点，、已知点